ANÁLISE NÃO LINEAR FÍSICA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO UTILIZANDO O MÉTODO DAS MICRO TRELIÇAS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL GUILHERME JOSÉ BANDEIRA JOVINO MARQUES ANÁLISE NÃO LINEAR FÍSICA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO UTILIZANDO O MÉTODO DAS MICRO TRELIÇAS Recife 2017

2 GUILHERME JOSÉ BANDEIRA JOVINO MARQUES ANÁLISE NÃO LINEAR FÍSICA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO UTILIZANDO O MÉTODO DAS MICRO TRELIÇAS Dissertação apresentaa ao Programa e Pós-grauação em Engenharia Civil a Universiae Feeral e Pernambuco, área e Estruturas, como requisito para obtenção o iploma e Mestre em Engenharia Civil. Área e Concentração: Estruturas. Linha e Pesquisa: Análise Não Linear Física. Orientaor: Prof. Dr. Paulo Marcelo Vieira Ribeiro. Coorientaor: Prof. Dr. Renato e Sirqueira Motta. RECIFE 2017

3 Catalogação na fonte Bibliotecária Margareth Malta, CRB-4 / 1198 M357a Marques, Guilherme José Baneira Jovino. Análise não linear física e estruturas e concreto armao utilizano o métoo as micro treliças / Guilherme José Baneira Jovino Marques folhas, il., gráfs., tabs. Orientaor: Prof. Dr. Paulo Marcelo Vieira Ribeiro. Coorientaor: Prof. Dr. Renato e Sirqueira Motta. Dissertação (Mestrao) Universiae Feeral e Pernambuco. CTG. Programa e Pós-Grauação em Engenharia Civil, Inclui Referências e Apênice. 1. Engenharia civil. 2. Elementos estruturais em concreto armao. 3. Não lineariae física. 4. Computacional. 5. Micro treliças. I. Ribeiro, Paulo Marcelo Vieira. (Orientaor). II. Motta, Renato e Sirqueira. (Coorientaor). III. Título. UFPE 624 CDD (22. e.) BCTG/

4 GUILHERME JOSÉ BANDEIRA JOVINO MARQUES Dissertação submetia ao curso e pós grauação em Engenharia Civil a Universiae Feeral e Pernambuco como parte os requisitos necessários à obtenção o grau e Mestre em Engenharia Civil. Aprovao em: 22/02/2017 Profº. Dr. Paulo Marcelo Vieira Ribeiro (Orientaor acaêmico) Universiae Feeral e Pernambuco Prof. Dr. Renato e Sirqueira Motta (Coorientaor acaêmico) Universiae Feeral e Pernambuco Prof. Dr. Tiago Ancelmo e Carvalho Pires e Oliveira (Examinaor Interno) Universiae Feeral e Pernambuco Prof. Dr. José Jéferson o Rêgo Silva (Examinaor Externo) Universiae Feeral e Pernambuco

5 RESUMO Análises estruturais usuais são realizaas com a hipótese e lineariae física o material componente os elementos estruturais. Uma visão mais abrangente o problema consiera as relações constitutivas efinias por funções arbitrárias. O presente trabalho tem como finaliae a apresentação e um cóigo esenvolvio em MATLAB (2016) para a análise estática e estruturas constituías por concreto armao consierano a não lineariae física o material em questão utilizano o métoo as micro treliças. O pré-processamento as micro treliças para níveis progressivos e complexiae foi realizao com o auxílio o software GiD (2016) e posteriormente exportao ao programa principal, que resolve um sistema e equações não-lineares por meio o métoo aproximao e Newton-Raphson utilizano-se e incrementos e cargas progressivos. O programa apresenta e forma clara os efeitos a não lineariae física o material em elementos estruturais e concreto armao. Os resultaos foram posteriormente comparaos aos obtios com cóigos comerciais em elementos finitos e confirmam a valiae as rotinas propostas. Palavras-chave: Elementos estruturais em concreto armao. Não lineariae física. Computacional. Micro treliças.

6 ABSTRACT Usual structural analyzes are performe with the hypothesis of physical linearity of the material component of the structural elements. A more comprehensive view of the problem arises with the consieration of constitutive relations efine by arbitrary functions. The present work has the purpose of presenting a coe evelope in MATLAB (2016) for the static analysis of structures constitute by reinforce concrete consiering the physical nonlinearity of the material in question. The pre-processing of the micro truss for progressive levels of complexity was performe via the GiD (2016) software an then exporte to the main program, which solves a system of nonlinear equations using the Newton-Raphson metho using increments of Progressive loas. The program clearly presents an iactically the effects of physical nonlinearity of the material on structural elements of reinforce concrete. The results were later compare to those obtaine with commercial coes base on the finite metho an valiates the propose methoology of the propose routines. Keywors: Structural elements in reinforce concrete. Physical non-linearity. Computational. Micro truss.

7 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1. Moelo e elemento estrutural composto por micro treliças. Fonte: (SALEM, 2003) Figura 2. Moelo constitutivo e Hognesta (1951). Fonte: (STRAMANDINOLI, 2007) Figura 3. Moelo constitutivo aotao pelo CEB-FIP. Fonte: (STRAMANDINOLI, 2007).. 15 Figura 4. Moelo constitutivo aotao pela NBR Fonte: (STRAMANDINOLI, 2007) 16 Figura 5. Moelo e Maner (1988). Fonte: (STRAMANDINOLI, 2007) Figura 6. Moelo constitutivo proposto por Okamura e Maekawa (1991). Fonte: (SALEM, 2003) Figura 7. Moelo constitutivo e Pillai e Menon (1998).Fonte: (NAGARAJAN, 2009) Figura 8. Comparativo entre os moelos constitutivos citaos Figura 9. Diagrama tensão-eformação o aço com patamar e escoamento. Fonte: (ARAÚJO, 2010) Figura 10. Diagrama tensão-eformação o aço sem patamar e escoamento. Fonte: (ARAÚJO, 2010) Figura 11. Diagrama tensão-eformação o aço com patamar e escoamento. Fonte: (SALEM, 2003) Figura 12. Diagrama tensão-eformação o aço. Fonte: (NAGARAJAN, 2009) Figura 13. Exemplo simulao por Salem (2003). Fonte: (SALEM, 2003) Figura 14. Diagrama Carga x Deslocamento. Fonte: (SALEM, 2003) Figura 15. Exemplo utilizao por Nagarajan (2009). Fonte: (NAGARAJAN, 2009) Figura 16. Elementos irregulares. Fonte: (VIEIRA, 2013) Figura 17. Composição os elementos treliçaos e Hrennikoff (1941). Fonte: (NAGARAJAN, 2009) Figura 18. Analogia utilizaa por Kiousis (2010). Fonte: (SALEM, 2003) Figura 19. Esquema a treliça composta por suas conectiviaes e nós Figura 20. Esquema as barras isolaas com suas respectivas forças

8 Figura 21. Eixo global e local representano seus respectivos vetores Figura 22. Esquema e interação o métoo e Newton-Raphson. Fonte: (IVANčO, 2011). 37 Figura 23. Elemento estrutural esenhao no software Autoca (2013) Figura 24. Elemento estrutural processao pelo software Gi (2016) Figura 25. Lista e arquivos e entraa o programa ANLEMT Figura 26. Elemento estrutural plotao pelo ANLEMT Figura 27. Janela principal o ANLEMT Figura 28. Janela secunária o ANLEMT Figura 29. Janela referente ao carregamento noal no ANLEMT Figura 30. Janela referente às restrições noais no ANLEMT Figura 31. Janela referente à inserção e armaura no ANLEMT Figura 32. Elemento estrutural Figura 33. Fluxograma e programação o cóigo computacional Figura 34. Cubo e concreto valiao. Fonte: (VIEIRA, 2013) Figura 35. Viga esquemática ensaiaa por Slowik (2014) Figura 36. Fissuração o ensaio E3, apresentaa por Slowik (2014). Fonte: (SLOWIK, 2014) Figura 37. Fissuração o ensaio E3 seguno o ANLEMT Figura 38. Fissuração o ensaio E3 seguno o MIDAS Figura 39. Fissuração o ensaio E5, apresentaa por Slowik (2014). Fonte: (SLOWIK, 2014) Figura 40. Fissuração o ensaio E5 seguno o ANLEMT Figura 41. Fissuração o ensaio E5 seguno o MIDAS Figura 42. Diagrama carga-eformação, comparação ANLEMT MIDAS (2009) para o ensaio E Figura 43. Diagrama carga-eformação, comparação ANLEMT MIDAS (2009) para o ensaio E

9 Figura 44. Diagrama carga-eformação, comparação ANLEMT MIDAS (2009) para o ensaio E Figura 45. Diagrama carga-eformação, comparação ANLEMT MIDAS (2009) para o ensaio E Figura 46. Diagrama carga-eformação, comparação ANLEMT MIDAS (2009) para o ensaio E Figura 47. Diagrama Carga-Erro Figura 48. Gráfico comparativo Carga x Deslocamento Figura 47. Fissuras resultantes o processamento. Fonte: (SALEM, 2003) Figura 50. Fissuras resultantes o processamento o cóigo computacional Figura 51. Esforços e tração. Fonte: (SALEM, 2003) Figura 52. Esforços e tração processaos Figura 53. Esforços e compressão. Fonte: (SALEM, 2003) Figura 54. Esforços e compressão processaos Figura 55. Diagrama carga-eslocamento para o regime linear e não linear

10 LISTA DE TABELAS Tabela 1. Tabela resumo criaa por Nagarajan (2009). Fonte: (NAGARAJAN, 2009) Tabela 2. Deformações longituinal e transversal Tabela 3. Valores ensaiaos por Slowik (2014) Tabela 4. Comparativo viga S Tabela 5. Comparativo viga S Tabela 6. Comparativo viga S Tabela 7. Comparativo viga S Tabela 8. Comparativo viga S

11 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO Objetivo Estrutura o texto 13 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Moelos constitutivo Concreto Aço Métoo as micro treliças Áreas transversais os elementos treliçaos 25 3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Teoria as treliças planas Não-lineariae física Métoo e newton-raphson 36 4 DESENVOLVIMENTO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL Consierações Estrutura o cóigo computacional 41 5 RESULTADOS VALIDAÇÃO DO ANLEMT Coeficiente e Poisson Não lineariae física Mias (2009)/ANLEMT Não lineariae física Resultao experimental/anlemt Comparativo lineariae e não lineariae o concreto 59 6 CONCLUSÕES 60 REFERÊNCIAS 61 APÊNDICE A - RESULTADOS SLOWIK 63

12 11 1 INTRODUÇÃO O concreto armao é o material mais utilizao, na construção e estruturas (eifícios, casas, estáios), principalmente no Brasil (Stramaninoli, 2007). Os elementos estruturais são imensionaos para resistirem a toas as ações solicitantes impostas, não eveno apresentar eformações excessivas nem fissurações aparentes, que iminuam o renimento a estrutura (conições e serviço e urabiliae). Na área o imensionamento estrutural, algumas hipóteses básicas são normalmente utilizaas para facilitar os cálculos necessários garantino a estabiliae o sistema, entre elas está a lei e Hooke, que etermina a lineariae o comportamento os materiais. A utilização a lei e Hooke, apesar e manter certa segurança aos cálculos, não emonstra o real comportamento o elemento estrutural, poeno mascarar eslocamentos expressivos e aumentar os esforços solicitantes, impono aos elementos seções transversais maiores que as necessárias. Para um elemento e concreto armao submetio a quaisquer esforços, fissuras irão aparecer espaçaas entre si (Martins, 2008). O alongamento máximo as barras e aço, que reforçam o concreto, é ao na localização as fissuras. Logo, a melhor maneira e se moelar um elemento e concreto armao é consierano o comportamento não linear físico os materiais e as fissuras resultantes os esforços solicitaos. O comportamento não linear físico os materiais já é empregao no processamento e esforços, utilizano-se e métoos numéricos para obter resultaos com baixo ínice e erros quano se comparao com os resultaos reais. A utilização e métoos numéricos na área a engenharia estrutural também é utilizaa, na análise estrutural o concreto armao. Porém, tais métoos requerem uma grane quantiae e operações matemáticas e apresentam matrizes compostas por centenas e elementos, epeneno o quão iscretizao é o sistema estrutural, necessitano o usuário utilizar meios computacionais para conseguir resultaos plausíveis em tempo hábil. Atualmente, existem iversos softwares e análise estrutural que trabalham com o comportamento não linear físico o material. Para o processamento a análise os esforços, a maioria esses softwares utiliza o métoo os elementos finitos (MEF), que exige conhecimentos mais aprofunaos sobre o cálculo e métoos aproximaos, tornano-o complexo para alguns usuários. O moelo as bielas e tirantes (MBT) se originou o métoo os elementos finitos,

13 12 como uma otimização analítica no imensionamento e estruturas e concreto armao (Vieira, 2013), ano origem ao moelo as micro treliças (MMT). O moelo as micro treliças, aplicao ao concreto armao, consiste em representar as fibras o concreto e o aço utilizano micro treliças reticulaas (Figura 1). Figura 1. Moelo e elemento estrutural composto por micro treliças. Fonte: (SALEM, 2003) Este trabalho apresenta uma maneira mais simplificaa e com resultaos consistentes para a análise não linear física e elementos estruturais, utilizano o métoo as micro treliças, apresentao esquematicamente pela Figura 1, garantino precisão e tempo hábil na análise e esforços. A não lineariae física será trataa como uma analogia a lei e Hooke, consierano o móulo e elasticiae função os eslocamentos a serem calculaos. Diversos moelos constitutivos serão apresentaos com a finaliae e representar o comportamento o concreto armao. Será proposto o métoo as micro treliças no qual as áreas os elementos são calculaas seguno parâmetros a iscretização. Será apresentaa a estrutura o cóigo computacional que visa solucionar a análise proposta com precisão nos resultaos e tempo e processamento hábil. As valiações serão feitas comparano resultaos obtios e processamento e softwares comerciais e ensaios experimentais.

14 Objetivo O objetivo este trabalho é esenvolver um programa computacional para analisar elementos estruturais (vigas, pilares), consierano o comportamento não linear físico o concreto armao, pelo métoo as micro treliças. 1.2 Estrutura o texto Capitulo 2 Neste capítulo será resumia a bibliografia utilizaa para ar embasamento ao trabalho. Serão escritos, resumiamente, os principais pontos retiraos os artigos estuaos, visano estruturar o objetivo principal e as valiações presentes neste trabalho. Capitulo 3 Neste capítulo serão escritos toos os cálculos e operações matemáticas que envolvem os métoos analíticos e numéricos utilizaos. Capitulo 4 Serão apresentaos as consierações e o esenvolvimento o programa computacional, explicano caa rotina e suas respectivas funções. Também será apresentao um fluxograma resumino o cóigo. Capitulo 5 Serão apresentaas toas as valiações realizaas. Capitulo 6 Serão apresentaas as conclusões o trabalho.

15 14 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 Moelos constitutivo Concreto Atualmente, as análises estruturais consieram a lineariae física o material que compõe o elemento estrutural estuao, porém, sob essa hipótese, ou seja, o regime e eformações linear e um material, os resultaos obtios se istanciam a realiae. Uma visão mais abrangente o problema consiera as relações constitutivas não lineares efinias por funções arbitrárias, em que, a tensão é uma função não linear a eformação. Com a evolução os estuos sobre o comportamento os materiais, iversos moelos constitutivos foram propostos e são utilizaos atualmente (Stramaninoli, 2007; Salem, 2003; Araújo, 2010; Nagarajan, 2009). Stramaninoli (2007) citou quatro moelos constitutivos para representar o comportamento à compressão o concreto: o e Hognesta (1951), o utilizao pelo CEB-FIP (1990), o moelo aotao pela NBR-6118 (2003) e o moelo e Maner et al. (1988) apu Paz (1995). Para o comportamento o concreto no regime e tração, Stramaninoli (2007) consierou um regime linear até a fissuração ou ruptura o elemento. O moelo constitutivo o concreto proposto por Hognesta (1951) escreve a relação entre a tensão no concreto (ζc) e a eformação específica ( c ) (Figura 2) pelas seguintes equações: c f cm 2 c 0 2 c 0, para 0 < ε c ε c f cm c 0 u 0, para ε c ε seno f cm a resistência à compressão méia o material, 0 a eformação específica corresponente a tensão máxima e ( u ) a eformação específica última.

16 15 Figura 2. Moelo constitutivo e Hognesta (1951). Fonte: (STRAMANDINOLI, 2007) O moelo constitutivo proposto por CEB-FIP (1990) consiera o regime não linear após a carga e ruptura (Figura 3): c E ci E c1 1 c c1 E ci 2 E c1 2 c c1 c c1 f cm seno E ci o móulo e eformação longituinal inicial, E c1 o móulo e eformação secante referente à eformação corresponente à tensão máxima ( c1 ) e lim a eformação limite a ser consieraa, corresponente a metae a resistência méia à compressão o concreto, no ramo escenente a curva. Figura 3. Moelo constitutivo aotao pelo CEB-FIP. Fonte: (STRAMANDINOLI, 2007)

17 16 A norma brasileira NBR-6118 (2003) aota um moelo utilizano a resistência à compressão e cálculo o concreto (f c ), ano origem ao conhecio iagrama Parábola- Retângulo (Figura 4), escrito por: c 0.85 f c 1 1 c 2, para ε c <0,2% c 0.85 f c, para 0,2% < ε c <0,35% Após a carga e ruptura, consierano a eformação específica o concreto (ε c ) entre 0,2% e 0,35%, o iagrama passa a apresentar um regime constante para representar o escoamento a estrutura (Figura 4). Figura 4. Moelo constitutivo aotao pela NBR Fonte: (STRAMANDINOLI, 2007) O moelo constitutivo e Maner (1988), consiera o confinamento o concreto provocao pelos estribos, resultano no aumento a resistência a compressão o concreto, é escrito por: f cc r c r 1 x r com x c cc

18 17 r E c E c E sec f cc cc co f co E sec f cc cc E c 5000 f co seno f cc e f co a tensão máxima o concreto confinao e não confinao, respectivamente, ε cc e ε co a sua eformação específica corresponente; e E c e E sec o móulos e elasticiae tangente e secante, respectivamente. Esse moelo constitutivo é apresentao na Figura 5. Figura 5. Moelo e Maner (1988). Fonte: (STRAMANDINOLI, 2007) No moelo constitutivo proposto por Maekawa e Okamura (1991), utilizao por Salem (2003),as tensões e tração seguem um regime linear até atingir a eformação crítica o material (ε cr ); após essa eformação, as tensões no elemento pós-fissurao são escritas por:

19 c c f t cr C seno f t a resistência à tração o concreto e C coeficiente que epene a energia e fratura o concreto. Para o regime à compressão o concreto, o moelo consitutivo proposto por Maekawa e Okamura (1991), utilizao por Salem (2003), é escrito por: c K 0 E 0 c p ( ) com, K 0 e 0.73 x 1 e 1.25x ( ) E 0 p 2f c pico 20 pico x 7 1 e 0.35 x ( ) ( ) x c pico ( ) seno f c a resistência à compressão o concreto e ε pico a sua eformação específica relacionaa, e E 0 o móulo e elasticiae inicial O comportamento o moelo constitutivo proposto por Maekawa e Okamura (1991) é apresentao na Figura 6. Figura 6. Moelo constitutivo proposto por Okamura e Maekawa (1991). Fonte: (SALEM, 2003)

20 19 Salem (2003) consierou, simultaneamente, as não lineariaes fisica e geométrica na análise o comportamento estrutural. Nessa análise, os elementos as micro treliças têm seus comprimentos e ângulos atualizaos a meia que a estrutura se eforma. Para a compressão o concreto, Nagarajan (2009) utilizou o moelo constitutivo proposto por Hognesta (1951) e para a tração o concreto, o autor consiera uma tensão e ruptura relativa à uma eformação específica igual a 0,015% e o móulo e elasticiae consierao foi o o inicio o regime e compressão (PILLAI e MENON, 1998). Esse comportamento, consierao por Nagarajan (2009) é apresentao na Figura 7. Figura 7. Moelo constitutivo e Pillai e Menon (1998).Fonte: (NAGARAJAN, 2009) O moelo constitutivo proposto por Desayi e Krishnan (1964) é escrito por: c f cm ( ) seno o parâmetro η a razão entre a eformação específica o concreto (ε c ) e a eformação específica e ruptura (ε 0 ). Comparou-se o comportamento os moelos constitutivos o concreto, propostos por Okamura e Maekawa (1991), Dayse e Krishnan (1964) e pelo CEB-FIP (1990) e o aotao pela NBR 6118 (2003), utilizaos por Salem (2003), Stramaninoli (2007) e Nagarajan (2009) por meio o iagrama tensão-eformação consierano um concreto com resistência méia a compressão e 20 MPa e resistência méia a tração e 2,0 MPa Figura 8. Observa-se que o comportamento as fibras anterior à carga e ruptura, seja ela por compressão ou tração, é aproximaamente igual, mostrano a similariae existente entre eles.

21 20 Figura 8. Comparativo entre os moelos constitutivos citaos Aço Seguno Araújo (2010), a forma o iagrama tensão-eformação e aços, obtio em ensaio e tração simples, é influenciaa pelo processo e fabricação. Dois tipos e iagramas são apresentaos: o iagrama tensão-eformação com patamar e escoamento (Figura 9) e sem o patamar e escoamento (Figura 10). As barras que são prouzias exclusivamente por laminação a quente apresentam o patamar e escoamento. As barras laminaas são as mais utilizaas para o reforço existente no concreto armao. O iagrama tensão-eformação que não apresenta o patamar e escoamento é característico os fios obtios por trefilação. Figura 9. Diagrama tensão-eformação o aço com patamar e escoamento. Fonte: (ARAÚJO, 2010)

22 21 Figura 10. Diagrama tensão-eformação o aço sem patamar e escoamento. Fonte: (ARAÚJO, 2010) O moelo constitutivo o aço, utilizao por Salem (2003), proposto por Okamura e Maekawa (1991), apresenta o patamar e escoamento (Figura 11), é escrito pelas expressões a seguir: s E s, para 0 < ε < ε y ( ) s f y, para ε y ε < ε sh ( ) s f y 1 e sh k 1.01 fu f y, para ε > ε sh ( ) com, k f y ( ) seno ζ s a tensão o aço, ε a eformação específica, Es o móulo e elasticiae o aço, f y a tensão e escoamento o aço, f u a tensão última, ε y as eformações específicas e ε sh as eformações específicas pós escoamento.

23 22 Figura 11. Diagrama tensão-eformação o aço com patamar e escoamento. Fonte: (SALEM, 2003). Nagarajan (2009) utilizou um moelo constitutivo para o aço consierano o material perfeitamente plástico, conteno apenas a reta ascenente e o patamar e escoamento, não consierano o regime pós-escoamento em suas valiações (Figura 12). Figura 12. Diagrama tensão-eformação o aço. Fonte: (NAGARAJAN, 2009). 2.2 Métoo as micro treliças As micro treliças é um métoo e análise estrutural pouco utilizao se comparao com o métoo os elementos finitos (MEF). Consierano apenas os esforços e tração e compressão, o métoo as micro treliças, torna-se mais simples e robusto o que o MEF. Salem (2003) se baseou no métoo as bielas e tirantes (MBT) para estuar o métoo as micro treliças. O MBT se resume em consierar toos os esforços e tração e compressão em elementos que sofrem tensões axias e são ligaos entre si por nós. Salem (2003) consierou o elemento treliçao como seno o conjunto uas barras horizontais, uas barras verticais e uas barras iagonais (Figura 1). Os elementos horizontais e verticais são responsáveis por suportar os esforços normais em suas respectivas ireções enquanto os elementos iagonais são responsáveis por transferir os esforços e cisalhamento por meio e um mecanismo que comprime um elemento e traciona o outro. Para a valiação o moelo, Salem (2003) moelou uma viga bi apoiaa com 2,4 metros e comprimento e seção transversal e 20x60 cm, iscretizaa em elementos treliçaos

24 23 quaraos com 30 mm e reforçao com uma barra e aço com 19 mm e iâmetro (Figura 13). O carregamento foi composto por uas cargas pontuais simetricamentes aplicaas, istanciano-se 30 cm o meio o vão. Figura 13. Exemplo simulao por Salem (2003). Fonte: (SALEM, 2003) Os resultaos a relação carga versus eslocamento simulaos foram comparaos com os resultaos experimentais obtios por Shin (1988), apresentano boa concorância (Figura 14). Figura 14. Diagrama Carga x Deslocamento. Fonte: (SALEM, 2003) Nagarajan (2009) também relacionou os métoos as bielas e tirantes com o as micro treliças. Para a valiação os resultaos, Nagarajan (2009) imensionou uma viga paree, pelo métoo as bielas e tirantes, com 6,0 metros e comprimento e uma seção transversal e 3,0 x 0,50 metros (Figura 15), calculano a armaura necessária para suportar uma carga e 1500 kn. Foram analisaas três conições para a valiação: carga pontual no meio o vão, uas cargas pontuas simetricamente espaçaas e carga istribuia ao longo e too o comprimento a viga.

25 24 Figura 15. Exemplo utilizao por Nagarajan (2009). Fonte: (NAGARAJAN, 2009) Posteriormente, foi processao o mesmo exemplo utilizano o métoo as micro treliças, consierano o reforço e armaura calculao anteriomente. A carga e ruptura resultante foi comparaa com a carga e imensionamento a viga (1500 kn). Foi montao um quaro resumo (Tabela 1) apresentano os valores referentes a carga e ruptura e a área e aço utilizaa no processamento. Os resultao obtios por Nagarajan (2009) foram conclusivos, estano toas as cargas e ruptura próximas a carga e imensionamento a viga. Tabela 1. Tabela resumo criaa por Nagarajan (2009). Fonte: (NAGARAJAN, 2009) Vieira (2013) realizou simulações numéricas utilizano o métoo as micro treliças. Nessas simulações não sãoconsieraas a aerência entre o concreto e o aço, somente o acoplamento entre os nós os elementos a treliça plana que representam o concreto e o aço. Vieira (2013) eterminou o caminho as fissuras e a carga última utilizano a carga e ruptura (tração ou compressão) os elementos treliçaos. Com as respostas os esforços axiais e caa barra constituinte a micro treliça, foi possível otimizar o melhor posicionamento o

26 25 reforço e aço para aproveitar melhor as características os materiais que compõe o concreto armao. Os elementos quariláteros treliçaos utilizaos por Vieira (2013) não necessitam serem formaos por ângulos retos(figura 16). Figura 16. Elementos irregulares. Fonte: (VIEIRA, 2013) As valiações realizaas por Vieira (2013) foram com o software Micro-Truss Analyser (MTA). Para essas valiações, as informações os moelos constitutivos foram obtias com o software comercial Abaqus. 2.3 Áreas transversais os elementos treliçaos Nagarajan (2009), para o cálculo as áreas transversais os elementos componentes a micro treliça, se baseou em Hrennikoff (1941) que consiera a seção epenente as imensões o elemento treliçao constituio por quatro nós, formano um quarilátero, e 6 barras, uas verticais, uas horizontais e uas iagonais. As seções transversais os elementos, também, epenem a altura o elemento (a), a relação entre a altura e a largura o elemento (k) e a espessura a peça estrutural real. O elemento treliçao usao por Nagarajan (2009) é apresentao na Figura 17.

27 26 Figura 17. Composição os elementos treliçaos e Hrennikoff (1941). Fonte: (NAGARAJAN, 2009) Nagarajan (2009) relacionou as áreas A v, A h e A, áreas transversais os elementos treliçaos verticais, horizontais e iagonais, respectivamente, a seguinte forma: 3 A h 8 3 k2 3 3k 2 1 A v 8 k at at (2.4.1) (2.4.2) k 2 2 A at 8 k (2.4.3) seno, k o coeficiente que relaciona a altura e largura a micro treliça e t a espessura o elemento estrutural que está seno analisao. Outro métoo para o cálculo as áreas transversais e caa elemento componente a micro treliça foi estuao por Kiousis (2010). Nesse estuo foi comparaa a rigiez e um elemento no estao plano e tensões com um elemento componente a micro treliça constituios por quatro nós e seis barras (Figura 18). Figura 18. Analogia utilizaa por Kiousis (2010). Fonte: (SALEM, 2003)

28 27 Kiousis (2010) consierou que os elementos treliçaos que constituem o concreto armao são moelaos com base em equações que levam em conta o enurecimento epenente o confinamento o concreto e seu posterior amolecimento. O autor iscute a possibiliae o aumento a resistência e a uctiliae, os pilares e concreto sujeitos a ações e compressão, com o aumento a área transversal os estribos e iminuição e seu espaçamento, mesmo que esse aumento seja limitao. Nesse estuo, também, foiavaliaa a influência o reforço transversal sobre o tipo e fissura na peça estrutural após sua falha. Kiousis (2010) escreveu a relação o estao plano e tensões relacionano as tensões (ζ) presentes no elemento bem como suas eformações específicas (ε) nas ireções x e y e o coeficiente e Poisson (ν) por: x E y x y (2.4.3) As eformações específicas o elemento (ε x e ε y ), consierano suas imensões (a e b), poem ser escritas por: x 2 y 1 a b u x u y (2.4.4) A relação entre e as forças (F)as tensões noais, consierano a espessura o elemento iscretizao (), é aa por: F x F y 2 b 0 0 a x y (2.4.6) Substituino as equações e na equação 2.4.6, obtém-se: F x F y 2 b 0 0 a E a b u x u y (2.4.7)

29 28 F x E F y 1 2 b a b a 1 0 a u x (2.4.8) 1 u 0 y b F x F y E 1 2 b a a b u x u y (2.4.9) Kiousis (2010), utilizano o métoo a rigiez ireta, propôs a seguinte relação noal entre a força e o eslocamento: F x 2E F y A 1 cos 3 A a 3 a sen 2 cos A 3 b sen cos 2 A 3 a A 2 sen 3 A b 3 b u x (2.4.10) u y Na qual, A1, A2 e A3 são as áreas transversais os elementos horizontais, verticais e iagonais, respectivamente. Igualano as equações e , poe-se relacionar a rigiez o elemento no estao plano e tensões com o sistema e treliças planas. Isolano os elementos obtém-se (Kiousis, 2010): E 1 2 b a a b u x u y 2E A 1 cos 3 A a 3 a sen 2 cos A 3 b sen cos 2 A 3 a A 2 sen 3 A b 3 b u x u y (2.4.11) 1 A 1 2 b lcos 2 sen 2 (2.4.12) 1 A 2 2 a lsen 2 cos 2 (2.4.13) A l sen ( 2) (2.4.14) Seno l o comprimento a iagonal.

30 29 As equações , e representam as áreas transversais os elementos horizontais, verticais e iagonais, respectivamente.

31 30 3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA 3.1 Teoria as treliças planas Antes e iniciar a análise não linear as micro treliças planas, faz necessária uma revisão teórica sucinta referente à análise matricial e treliças planas. Inicialmente, é feito uma compatibiliae as barras que irão compor a estrutura treliçaa e as coorenaas cartesianas os nós existentes. Consiere a treliça plana, composta por três barras ligaas entre si por três nós (Figura 19). O nó N1 é restrito na ireção X e Y o eixo cartesiano, o nó N3 é restrito apenas na ireção X o eixo cartesiano e o nó N2 é livre e restrições em toas as ireções. A barra B1 é ligaa aos nós N1 e N2, a barra B2 é formaa pelos nós N2 e N3 e pôr fim a barra B3 é ligaa aos nós N1 e N3. As rotações presentes nos cálculos são consieraas livres e restrições para que a estrutura seja caracterizaa como uma treliça plana reticulaa. Figura 19. Esquema a treliça composta por suas conectiviaes e nós. Isolano a barra B1 composta por suas conectiviaes N1 e N2, representa-se o conjunto e forças, em coorenaas locais, atuantes nessa barra como F L xi e F L xj. O par e forças tem a finaliae e manter o equilíbrio com a ausência as emais barras que compõe a estrutura reticulaa plana. As forças F L xi e F L xf atuam nas coorenaas locais e são aplicaas no início e fim a barra em questão, respectivamente. Seguno Vaz (2011), cálculo matricial consiera o sistema local e global e coorenaas, ou seja, o esquema apresentao é composto a barra B1, suas conectiviaes,

32 31 N1 e N2, bem como os esforços atuantes nos nós inicial e final a barra estuaa, tais esforços seguino a ireção o eixo local o elemento (Figura 20). Figura 20. Esquema as barras isolaas com suas respectivas forças. Para o cálculo a matriz e rigiez resultante em caa barra, levano em consieração a nomenclatura apresentaa para os pares e forças atuantes na barra B1 (Figura 20), poe-se resumir o alongamento a barra (L) como seno o resultao a subtração entre o eslocamento noal final e o eslocamento noal inicial, D L xi e D L xf respectivamente, ambos irecionaos nas coorenaas locais a barra. Fazeno-se uso a equação que relaciona a razão entre o prouto a força axial (F) e o comprimento a barra (L) pelo prouto o móulo e elasticiae o material (E) e a área transversal a barra (A), efine-se o alongamento a barra em questão (L). Isolano-se a força axial (F) e substituino-se a mesma pelo conjunto e forças axiais atuantes nos extremos a barra (F L xi e F L xf), obtém-se as seguintes expressões: L D x L j D x L i (3.1.1) L F L E A F L E A L E i F.x L A L L (3.1.2) L F L E A F L E A L L Fx f E A L L (3.1.3) Substituino a equação nas equações e 3.1.3, resulta na relação entre o conjunto e forças axiais atuantes nos extremos as barras (F L xi e F L xf) e seus respectivos eslocamentos noais (D L xi e D L xf). Caa barra que compõe a estrutura plana reticulaa terá

33 32 sua equação corresponente. L F EAL x i L EA L D L x L D F j x i x i L L EA D L x F j x i L L EA D x i L (3.1.4) EA L D L L F EAL L x D x F j x i j L x j L L EA D L x F j x j L L EA D x i L (3.1.5) Consierano que os pares e forças no sentio transversal a barra (F L yi e F L yf) e seus respectivos eslocamentos (D L yi e D L yf) são nulos e colocano as expressões em notação matricial, a matriz e rigiez local e caa elemento constituinte a estrutura plana reticulaa é estabelecia (Eq ). Denominano F L o vetor e forças noais atuantes nos extremos e caa barra, seno F x a força axial e F y a força transversal, K L a matriz e rigiez local o elemento e D L o vetor e eslocamentos noais os nós iniciais e finais a barra, analogamente ao conjunto e forças, obtém-se a seguinte expressão: L Fx i L Fy i L Fx j L Fy j E A L 0 E A L E A L 0 E A L L Dx i L Dy i F L K L D L L Dx j L Dy j (3.1.6) Para simplificar os cálculos se estabelece que toas as variáveis a equação matricial (3.1.6) evem seguir os eixos globais (cartesianos). Para isso, evem-se transformar os vetores {F L } e {D L } e coorenaas locais para coorenaas globais. De acoro com a Figura 21, os vetores localizaos no eixo global são resultaos a soma vetorial e vetores localizaos no eixo local.

34 33 Figura 21. Eixo global e local representano seus respectivos vetores. Projetano os vetores V y e V x, situaos no eixo global, em subvetores locais, seguino o ângulo formao pela rotação entre eixos, poemos efinir os vetores locais, V L x e V L y, ao por: V x L V x cos V y sen (3.1.7) V y L V x sen V y cos (3.1.8) Analogamente aos vetores representaos, poe-se utilizar a rotação para os eslocamentos noais: D x L D x cos D y sen (3.1.9) D y L D x sen D y cos (3.1.10) Isolano-se os vetores nas coorenaas locais (D L ) e subiviino os eslocamentos noais em inicial e final, poemos reescrever a transformação e eixos para o eslocamento noal (D) em linguagem matricial por: L D x i = D xi.cos()+d yi.sen() (3.1.11) L D y i = -D xi.sen()+d yi.cos() (3.1.12) L D x f = D xf.cos()+d yf.sen() (3.1.13) L D y f = -D xf.sen()+d yf.cos() (3.1.14)

35 34 Ou em forma matricial: D x L D y L D x L D y L i i f f cos sen 0 0 sen cos cos sen 0 0 sen cos i D x D y i (3.1.15) D x f D y f Logo: {D L } =[R].{D} (3.1.17) seno [R] a matriz e rotação. Essa equação poe ser utilizaa para qualquer coorenaa vetorial locaa em um eixo qualquer transformano a mesma em coorenaa vetoriais locaas no eixo global. Poe-se reescrever a equação em coorenaas globais multiplicano os vetores força e eslocamento, locais, pela matriz e rotação (Eq e Eq ), seno {F} e {D} os respectivos vetores em coorenaas globais, resultano na equação {D L } = [R].{D} (3.1.18) {F L } = [R].{F} (3.1.19) [R].{F} = [K L ].[R].[D] (3.1.20) Multiplicano-se ambos os laos a equação pela inversa a matriz e rotação e isolano os vetores força e eslocamento, obtém-se: [R] -1. [R].{F} = [R] -1.[K L ].[R].{D} (3.1.21) {F} = {R} -1.[K L ].[R].{D} (3.1.22) [K] = [R] -1.[K L ].[R] (3.1.23) {F} = [K].{D} (3.1.24) Seno [K] a matriz e rigiez global as barras. Pra efinir a contribuição que caa barra terá na matriz e rigiez a estrutura eve-se obeecer a uas conições: a conição e equilíbrio e a e compatibiliae

36 35 A conição e equilíbrio, para caa nó a estrutura, estabelece que as cargas externas aplicaas nos nós evem ser iguais a soma as solicitações nos extremos as barras que concorrem no nó. De acoro com a Figura 19 em que é apresentao o exemplo e uma treliça com seus nós e compatibiliaes, têm-se: F x1 F x1 1 F x2 F x2 1 F x3 F x F x1 F y1 F y1 2 1 F x2 F y2 F y2 3 2 F x3 F y3 F y3 As conições e compatibiliae estabelecem que as barras que pertencem ao mesmo nó têm seus eslocamentos noais iguais. 3 F y1 2 F y2 3 F y3 D x1 1 D x1 3 D y1 1 D y1 3 D x2 1 D x2 2 D y2 1 D y2 2 D x3 2 D x3 3 D y3 2 D y3 3 Com as uas conições satisfeitas, poe-se estabelecer a matriz e rigiez a estrutura com participações e toas as barras que compõe a treliça. Na análise linear e treliças planas utilizano o métoo a rigiez, o sistema final e equações é um sistema linear simples, com n incógnitas (em que n é uas vezes o número e nós por se trabalhar apenas com translação no eixo x e y) e n equações, seno resolvio analiticamente. 3.2 Não-lineariae física Na análise linear estrutural, leva-se em consieração a lei e Hooke em que o móulo e elasticiae as peças estruturais é uma constante, seguno uma equação linear relacionano a tensão e a eformação a estrutura. Consierano a não lineariae física o material, o móulo e elasticiae passa a ser função a eformação efetiva a estrutura. O comportamento elasto-plástico os materiais é simplificao para o caso e treliças, pois o espaço as tensões é uniimensional. Para o móulo e elasticiae secante, foi proposta neste trabalho, uma analogia a lei e Hooke (Eq ).

37 36 F L E( ) A (3.2.1) Consierano que os esforços axiais em caa elemento treliçao são iguais ao prouto entre a tensão (ζ c ) pela área transversal (A) e que a eformação específica é a razão o eslocamento (δ) pelo comprimento a barra (L), poe-se chegar à equação que efine o móulo e elasticiae não linear. ( ) A F (3.2.2) F E( ) L A (3.2.3) Substituino-se as equações na equação 3.2.3, tem-se: ( ) A E( ) L A (3.2.4) E( ) ( ) (3.2.5) Consierano os conceitos apresentaos no Item 3.1 e utilizano o móulo e elasticiae não linear (Eq ), a análise as estruturas resultará em um sistema e equações não linear, apenas seno resolvio com o auxílio e métoos numéricos, no presente trabalho foi consierao o métoo e Newton-Raphson. 3.3 Métoo e newton-raphson O métoo e Newton-Raphson é um proceimento utilizao para obter soluções e sistema e equações não lineares. Inicialmente calcula-se a reta tangente ao gráfico no ponto inicial (Eq ). O cálculo o eslocamento inicial é a razão entre a carga aplicaa e a reta tangente no ponto inicial (Eq ). O resíuo será a iferença entre a força aplicaa e a força resultante relativa ao eslocamento o elemento (Eq ). O incremento e eslocamento é igual à razão entre o resíuo e a tangente (K) (Eq ). Posteriormente atualiza-se o eslocamento (Eq ) e repetem-se os cálculos até o critério e convergência for atenio, obeeceno à tolerância imposta. O processo o métoo e Newton-Raphson é representao pelas expressões a seguir: K( ) F( ) (3.3.1)

38 37 0 F total K 0 (3.3.2) R F i total F i (3.3.3) i R i K i (3.3.4) i 1 i i (3.3.5) seno K(δ) a reta tangente relativa ao eslocamento; δ o eslocamento noal; δ 0 o eslocamento inicial; K 0 a reta tangente relativa ao eslocamento inicial; Δδ o incremento e eslocamento; R o resíuo; F total a força total aplicaa à estrutura; F(δ) a força noal referente ao eslocamento (δ); i a iteração. O métoo e Newton-Raphson é representao esquematicamente na Figura 22. Figura 22. Esquema e interação o métoo e Newton-Raphson. Fonte: (IVANčO, 2011) Como visto anteriormente, sabemos que o métoo e Newton-Raphson epene a reta tangente à curva em caa iteração. No caso e sistemas e equações não lineares o métoo é semelhante, porém ao invés e calcularmos a reta tangente à curva, calcularemos o hiperplano tangente ao politopo que o sistema linear etermina, enominao Matriz Jacobiana, no caso e estruturas, matriz e rigiez. Tomano como exemplo, seja {Fn} o vetor composto pelas equações não lineares e um sistema e seis incógnitas, temos:

39 38 F n F 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 F 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 F 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 F 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 F 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 F 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 (3.3.6) A matriz Jacobiana [J] será composta pelas erivaas parciais e caa equação componente o vetor {F n } seguno caa incógnita o sistema. Ou seja, para o exemplo a seguir, temos: Seno i=1...6 e j=1...6 o número e equações e incógnitas, respectivamente, o sistema não linear, o Jacobiano será: J F 1 x 1 F 2 x 1 F 3 x 1 F 4 x 1 F 5 x 1 F 6 x 1 F 1 x 2 F 2 x 2 F 3 x 2 F 4 x 2 F 5 x 2 F 6 x 2 F 1 x 3 F 2 x 3 F 3 x 3 F 4 x 3 F 5 x 3 F 6 x 3 F 1 x 4 F 2 x 4 F 3 x 4 F 4 x 4 F 5 x 4 F 6 x 4 F 1 x 5 F 2 x 5 F 3 x 5 F 4 x 5 F 5 x 5 F 6 x 5 F 1 x 6 F 2 x 6 F 3 x 6 F 4 x 6 F 5 x 6 F 6 x 6 (3.3.7) O processo e iteração é análogo ao métoo empregao para as equações. Seno δ 0 o vetor composto pelos valores iniciais e eformações. O processo e cálculo o sistema e equações não lineares é escrito pelas expressões a seguir: J( ) F n( ) (3.3.8) R F i n F i (3.3.9) i 1 J( ) R i (3.3.10)

40 39 i 1 i i (3.3.11) Seno δ o eslocamento noal; Δδ o incremento e eslocamento; R o resíuo; F(δ) a força noal referente ao eslocamento (δ); e i a iteração. Critério e paraa: a interação irá terminar quano toos os incrementos e eformação atingir a tolerância imposta inicialmente.

41 40 4 DESENVOLVIMENTO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL 4.1 Consierações Algumas consierações feitas para o esenvolvimento o cóigo computacional são apresentaas a seguir: Elemento treliçao: o elemento treliçao everá ser composto por quariláteros regulares que possuem as mesmas imensões. Móulo e elasticiae: como no programa computacional será aotao o métoo iterativo incremental e as eformações são próximas suficientes, em caa incremento, será usao o móulo e elasticiae secante que faz com que os resultaos convirjam com apenas uma ou uas iterações. A escolha o móulo e elasticiae secante, também, se eve a simpliciae, pois sua formulação e cálculo são mais iretos e compreensíveis. Métoo numérico: o métoo numérico usao no programa será o e Newton- Raphson. Esse métoo converge para resultaos satisfatórios com menos iterações o que o métoo e Newton-Raphson moificao. Moelo Constitutivo: no programa será aotao o moelo constitutivo o concreto proposto por Okamura e Maekawa (1991). A escolha esse moelo foi evio à manutenção o comportamento o material utilizao em vários exemplos valiaos, como em Salem (2003). O moelo constitutivo aotao para o aço foi consierao linear até a carga e ruptura e contém o patamar e escoamento no regime pósfissuração (Araújo, 2010). Área os elementos treliçaos: Nesse trabalho foi consierao o métoo e cálculo e áreas proposto por Kiousis (2010), já que o mesmo relaciona a rigiez o elemento no estao plano e tensões com o sistema e treliças planas e leva em consieração o coeficiente e Poisson que relaciona a eformação horizontal com a eformação vertical a estrutura. Fissuração: no regime após a carga e ruptura, o programa computacional aotará a seguinte conição: uma vez que a resistência e tração ou compressão for ultrapassaa, o móulo e elasticiae aquele elemento será reuzio à zero, resultano na retiraa o elemento o processamento uma vez que sua resistência a esforços axiais foi ultrapassaa.

42 Estrutura o cóigo computacional Neste trabalho foi esenvolvio um programa computacional enominao ANLEMT, em MATLAB (2016), para análise e elementos estruturais e concreto armao, consierano a não lineariae física, com o métoo as micro treliças. Os resultaos fornecios pelo programa ANLEMT são: eslocamentos noais, esforços axiais (compressão e tração) e o comportamento e fissuração a peça analisaa. O MATLAB (2016) é um software e programação matemática que se baseia em matrizes e vetores para processar as operações matemáticas. Além a programação matricial o MATLAB (2016) possibilita a interação entre outros softwares. Os aos e entraa para o programa ANLEMT são geraos pelo software Gi (2016). Para aplicação o ANLEM, é necessário fazer um pré-processamento, utilizano o software Autoca (2013) e Gi (2016), escrito a seguir: 1. Definio o elemento a ser analisao (pilar, viga), com o software Autoca (2013) eve ser esenhaa a estrutura treliçaa, obeeceno as consierações feitas, ou seja, o elemento treliçao composto por seis barras, seno uas barras horizontais, uas barras verticais e uas barras iagonais (Figura 23). Finalizao o esenho, gera-se um arquivo xf, que será usao pelo software Gi (2016); Figura 23. Estrutura e microtreliça esenhao no software Autoca (2013).

43 42 2. O usuário everá importar o arquivo xf com o software Gi (2016), que irá processar as interações entre os elementos, os nós e as barras (Figura 24), gerano um arquivo e texto conteno as informações necessárias para o processamento no ANLEMT (coorenaas e conectiviaes); Figura 24. Elemento estrutural processao pelo software Gi (2016). 3. Dano início ao ANLEMT, o arquivo e texto será listao (Figura 25), eveno o usuário escolher o arquivo conteno as informações a estrutura que eseja trabalhar. O ANLEMT processará o arquivo, calculano as principais características e caa barra (área transversal os elementos treliçaos, comprimento a barra e os ângulos relacionaos com o eixo horizontal). Figura 25. Lista e arquivos e entraa o programa ANLEMT.

44 43 4. Posteriormente o programa irá plotar uma figura com o elemento estrutural a ser analisao (Figura 26) composto por micro treliças, apresentano seus nós e suas barras. Figura 26. Elemento estrutural plotao pelo ANLEMT. 5. Plotao o elemento, utilizano a janela principal (Figura 27), o usuário poerá escolher entre calcular os resultaos, ano início ao processamento, moificar as características os elementos (apoios, cargas e inserção e armaura) ou inserir um elemento rígio. Figura 27. Janela principal o ANLEMT. 6. Escolheno a opção Moificar, utilizano a janela secunária (Figura 28), o ANLEMT permitirá ao usuário carregar a estrutura, acrescentar restrições e apoio ou inserir uma armaura e reforço no elemento analisao. Figura 28. Janela secunária o ANLEMT.

45 44 7. Para o carregamento, o usuário everá efinir as cargas horizontais e verticais que atuarão no nó selecionao (Figura 29). Figura 29. Janela referente ao carregamento noal no ANLEMT. 8. As restrições (verticais e horizontais) os nós é feita atribuino o valor 0 para eslocamentos restritos e o valor 1 para eslocamentos livres (Figura 30). Figura 30. Janela referente às restrições noais no ANLEMT. 9. A inserção a armaura e reforço também é feita selecionano ois nós alinhaos ortogonalmente (na ireção vertical ou horizontal), efinino a área e aço existente nos elementos compreenios entre os nós selecionaos (Figura 31). Figura 31. Janela referente à inserção e armaura no ANLEMT.

46 45 Feitas toas as moificações necessárias no elemento em análise (Figura 32) e escolheno a opção Calcular na janela principal (Figura 27), o ANLEMT processará o elemento estrutural, seguino: Cálculo o móulo e elasticiae e caa barra; Geração a matriz e rigiez global a estrutura; Geração o vetor e carregamento aplicao à estrutura; Solução o sistema e equações não lineares. Figura 32. Elemento estrutural Cálculo o móulo e elasticiae e caa barra: O móulo e elasticiae é calculao utilizano equação que relaciona a tensão e a eformação específica, previamente inseria no cóigo. Geração a matriz e rigiez global a estrutura: A matriz e rigiez global a estrutura é obtia, respeitano a conição e equilíbrio e a e compatibiliae, com a contribuição a rigiez e caa barra componente a estrutura. Geração o vetor e carregamento aplicao à estrutura: O vetor e carregamento será composto por toas as cargas inserias pelo usuário no pré-processamento. Solução o sistema e equações não lineares: Por último, o sistema não linear resultante é solucionao.

47 46 A análise o elemento estrutural consiera a iteração incremental, ou seja, para caa incremento e carga aplicao, o sistema e equações não lineares é resolvio com a quantiae e iterações necessárias. Ao término e caa processamento incremental, o ANLEMT faz uma análise comportamental e caa barra, eliminano as barras que não suportaram as tensões solicitantes (tração ou compressão). Os eslocamentos iniciais, para caa incremento e carga, são os eslocamentos resultantes o incremento anterior. Ao final o processamento e toos os incrementos, o usuário poerá escolher qualquer nó a estrutura para obter seus escolamentos (vertical e horizontal), plotar os esforços resultantes (tração e compressão) e/ou plotar as fissuras o elemento analisao. Com a ferramenta e captura esenvolvia, o ANLEMT irá garantir a precisão a escolha os nós, fazeno com que as características moificaas sejam aplicaas apenas ao nó mais próximo o clique o usuário. O fluxograma o programa computacional ANLEMT é apresentao na (Figura 33).

48 47 Figura 33. Fluxograma e programação o cóigo computacional.

49 48 5 RESULTADOS VALIDAÇÃO DO ANLEMT Para a valiação o programa ANLEMT foram utilizaos os trabalhos e Vieira (2013), Slowik (2014) e Salem (2003) que contém valiações e experimentos com softwares comerciais (MIDAS, 2009; Micro-Truss Analyser). Primeiramente, a valiação o ANLEMT foi em relação ao conceito o coeficiente e Poisson. 5.1 Coeficiente e Poisson Quano aplicao um esforço axial e compressão ou tração em um eterminao material, o mesmo sofre eformações na ireção e sentio o esforço aplicao proporcional ao móulo e Young em regime elástico, porém, qualquer material que se eforme longituinalmente irá, simultaneamente, sofrer eformações transversais. A razão entre as eformações longituinais e as transversais é enominaa Coeficiente e Poisson. Para valiar o ANLEMT, em relação ao Coeficiente e Poisson, foi utilizao o exemplo e valiação realizao por Vieira (2013). Ele consierou um cubo e concreto, com o moulo e elasticiae igual a 25,043 GPa e coeficiente e Poisson igual a 0,2, e laos unitários cuja face esquera foi restringia a eformação horizontal a estrutura e a face inferior foi restrita a eformação vertical. Na face lateral oposta à restrição, aplicou-se um carregamento e 100 kn/m (Figura 34). O resultao a valiação o ANLEMT em relação ao Coeficiente e Poisson está apresentaos na tabela 2. Figura 34. Cubo e concreto valiao. Fonte: (VIEIRA, 2013)

50 49 Carga Discretização Deformações Coeficiente Horizontal Vertical e Poisson 1% 0,03 0, , ,20 10% 0,03 0, , ,20 20% 0,03 0, , ,20 30% 0,03 0, , ,20 40% 0,03 0, , ,20 50% 0,03 0, , ,20 60% 0,03 0, , ,20 70% 0,03 0, , ,20 80% 0,03 0, , ,20 90% 0,03 0, , ,20 100% 0,03 0, , ,20 Tabela 2. Deformações longituinal e transversal. Na Tabela 2, observa-se que os valores os coeficientes e Poisson, em toos os incrementos processaos, obtios com as eformações calculaas pelo ANLEMT, foram iguais a 0,2, o mesmo valor fornecio ao ANLEMT para o cálculo as áreas transversais (Item 2.4). 5.2 Não lineariae física Mias (2009)/ANLEMT Para valiar o ANLEMT, em relação a não lineariae física, foi utilizao o estuo experimental realizao por Slowik (2014). Slowik (2014) realizou vários ensaios com uma viga e concreto armao submetia a uas cargas pontuais (Figura 35); em caa ensaio, a única variável foi a istância (a) entre o apoio a viga e a carga aplicaa próxima a esse apoio. Slowik (2014) analisou o comportamento as fissuras nas vigas quano a mesma é submetia a cargas aplicaas em iferentes pontos. A valiação o ANLEMT foi realizaa e uas maneiras enominaas ireta e inireta. Direta pela comparação entre as fissuras simulaas pelo ANLEMT e as fissuras eterminaas experimentalmente. Inireta pela comparação entre os valores simulaos pelos moelos ANLEMT e MIDAS (2009). As informações referentes aos cinco ensaios realizaos por Slowik (2014) são apresentaas na Tabela 3.

51 50 Figura 35. Viga esquemática ensaiaa por Slowik (2014). Ensaios leff (m) a (m) (m) a/ leff/ Vcr (tf) Vult (tf) Vult/Vcr E1 1,800 0,90 0,220 4,100 8,182 3,750 4,350 1,160 E2 1,800 0,75 0,220 3,400 8,182 3,750 4,200 1,120 E3 1,800 0,59 0,220 2,700 8,182 3,300 4,200 1,273 E4 1,800 0,51 0,220 2,300 8,182 4,200 8,250 1,964 E5 1,800 0,55 0,220 2,500 8,182 4,050 4,050 1,000 Tabela 3. Valores ensaiaos por Slowik (2014). A viga ensaiaa, por Slowik (2014), tem imensões constantes, apenas variano o local e aplicação a carga. A seção transversal a viga é e 12 x 25 cm e o comprimento e 2,05 metros. O concreto tem as resistências à compressão e à tração e respectivamente e 35 MPa e 3,5 MPa. O reforço estrutural o concreto armao utilizao foram uas barras e aço e 18 mm e iâmetro com resistência à tração e 453 MPa. Os móulos e elasticiae o concreto e o aço foram MPa e Mpa, respectivamente. Para a valiação ireta, com a finaliae e mostrar a iferença o comportamento as fissuras quano o carregamento se aproxima os apoios, foram comparaos os resultaos os ensaios experimentais E3 e E5 e Slowik (2014) (Figura 36 e Figura 39) com os resultaos obtios com o ANLEMT (Figura 37 e Figura 40).

52 51 E3: Figura 36. Fissuração o ensaio E3, apresentaa por Slowik (2014). Fonte: (SLOWIK, 2014) Figura 37. Fissuração o ensaio E3 seguno o ANLEMT. E5: Figura 38. Fissuração o ensaio E3 seguno o MIDAS. Figura 39. Fissuração o ensaio E5, apresentaa por Slowik (2014). Fonte: (SLOWIK, 2014) Figura 40. Fissuração o ensaio E5 seguno o ANLEMT.

53 Carga Aplicaa (tf) 52 Figura 41. Fissuração o ensaio E5 seguno o MIDAS. Para a valiação inireta, os resultaos, obtios com o MIDAS (2009) e com o ANLEMT, foram comparaos por meio o iagrama carga-eformação (Figura 42, Figura 43, Figura 44, Figura 45, e Figura 46), seno os erros percentuais calculaos e apresentaos na Figura E E E E E E-03 Deslocamento (m) ANLEMT Mias Figura 42. Diagrama carga-eformação, comparação ANLEMT MIDAS (2009) para o ensaio E1.

54 Carga aplicaa (tf) ANLEMT Mias E E E E E E-03 Deslocamento (m) Figura 43. Diagrama carga-eformação, comparação ANLEMT MIDAS (2009) para o ensaio E2.

55 Carga aplicaa (tf) Carga aplicaa (tf) ANLEMT Mias E E E E E E E E E-03 Deslocamento (m) Figura 44. Diagrama carga-eformação, comparação ANLEMT MIDAS (2009) para o ensaio E ANLEMT Mias Deslocamento (m) Figura 45. Diagrama carga-eformação, comparação ANLEMT MIDAS (2009) para o ensaio E4.

56 Carga aplicaa (tf) ANLEMT Mias Deslocamento (m) Figura 46. Diagrama carga-eformação, comparação ANLEMT MIDAS (2009) para o ensaio E5. O iagrama carga-erro é apresentao na Figura 47. Figura 47. Diagrama no regime elástico após a plastificação. Os resultaos apresentaos se mostraram satisfatórios. Para a valiação ireta, a análise as fissuras apresentou uma boa concorância com os resultaos experimentais. Quanto mais a carga se aproxima os apoios, mais as fissuras são istribuías ao longo o vão livre. Para a valiação inireta, mesmo com as restrições impostas na programação o ANLEMT (Item 4.1), o comportamento os erros foi satisfatório. Os resultaos mantiveram um erro percentual baixo, aproximaamente 7%, no início a fase elástica, cresceno à meia que as fissuras aparecem, chegano a valores máximos e, aproximaamente, 20%.

57 Não lineariae física Resultao experimental/anlemt Salem (2003) consierou a não lineariae física e geométrica o material para processar os exemplos ensaiaos por Shin (1988), consierano uma viga com seção transversal e 20x60 cm e um comprimento e 2,4 m (Figura 13). A resistência à compressão o concreto aotaa foi igual a 30 MPa e à tração igual a 2,5 MPa. Os móulos e elasticiae o concreto e o aço foram, respectivamente, MPa e MPa. O reforço foi feito com uma barra e aço e 19 mm e iâmetro e com resistência a tração e 350 MPa. Salem (2003) utilizou uma iscretização com elementos quaraos e 30 mm e lao, seno suficiente para representar as fissuras resultantes. A valiação foi realizaa pela comparação os resultaos calculaos pelo ANLEMT, os obtios experimentalmente por Shin (1988) e os calculaos por Salem (2003) por meio o iagrama carga-eslocamento (Figura 48). Figura 48. Gráfico comparativo Carga x Deslocamento. A análise o gráfico apresentao (Figura 48) foi satisfatória, consierano que os iagramas apresentaram comportamentos similares, mesmo levano em consieração as restrições impostas no ANLEMT. A iferença apresentaa entre as curvas poe ser resultao a utilização a análise não linear geométrica e/ou pelo uso o regime pós-fissuração consierao por Salem (2003). As fissuras (Figura 49) e as tensões e tração e compressão (Figura 51 e Figura 53), escritas por Salem (2003), foram comparaas com os resultaos obtios no ANLEMT, seno as fissuras apresentaas na Figura 50 e as tensões na Figura 52 e Figura 54.

58 57 Figura 49. Fissuras resultantes o processamento. Fonte: (SALEM, 2003) Figura 50. Fissuras resultantes o processamento o cóigo computacional.

59 58 Figura 51. Esforços e tração. Fonte: (SALEM, 2003) Figura 52. Esforços e tração processaos. Figura 53. Esforços e compressão. Fonte: (SALEM, 2003) Figura 54. Esforços e compressão processaos