Observa-se ainda que, para pequenos giros, os pontos de uma seção transversal não sofrem deslocamento na direção longitudinal.

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1 Universiae Feeral e Alagoas Centro e ecnologia Curso e Engenharia Civil Disciplina: Mecânica os Sólios Cóigo: ECIV030 Professor: Euaro Nobre ages orção em Barras e Seção ransversal Circular Cheia ou Vazaa Maceió/A

2 Ensaio e orção Consiere a barra prismática e seção circular constituía e um mesmo material isotrópico e elástico linear, submetia a um torsor em uma as extremiaes e engastaa na outra. Através e ensaios observa-se que os pontos a mesma seção transversal sofrem o mesmo giro em relação ao eixo a peça. Observa-se aina que, para pequenos giros, os pontos e uma seção transversal não sofrem eslocamento na ireção longituinal. Euaro Nobre ages CEC/UFA

3 Deslocamentos, Deformações e ensões y Solução e Coulomb (784) ( X,Y, Z) 0 ( X, Y, Z) Z( X) ( X,Y, Z) Y( X) u v w z z σ xz σ xy y x x [ ε] [ σ] G 0 Z Y 0 Z Y Z 0 0 Z 0 0 Y 0 0 Y 0 0 Euaro Nobre ages CEC/UFA

4 Equações Diferenciais e Equilíbrio em ensões y z x [ σ] G 0 Z Y Z 0 0 Y 0 0 Simetria σ ij σ ji OK! σ σ xx yx σzx bx X Y Z 0 σxy σ yy σzy by X Y Z 0 σ σ xz yz σzz bz X Y Z 0 OK! GZ GY 0 0 (X) eve ser linear Euaro Nobre ages CEC/UFA

5 ensões e Cisalhamento na Seção ransversal z C B D y R A AC: Y 0 R Z R σxy GZ σ xz 0 DB: R Y R Z 0 σ xy 0 σ xz GY Euaro Nobre ages CEC/UFA

6 ensões e Cisalhamento na Seção ransversal z y R A istribuição as tensões e cisalhamento ao longo os eixos y e z numa seção transversal qualquer só apresenta o componente ortogonal não nulo (em y σ xy 0 e σ xz 0 e em z σ xy 0 e σ xz 0). Pela simetria o problema, como não existe restrição ao posicionamento os eixos y e z na seção transversal, a istribuição anterior vale para qualquer ireção iagonal a seção transversal. r Gr 0 r Caso a seção transversal seja vazaa, a istribuição a tensão e cisalhamento continua valeno só que R i r R e. R Euaro Nobre ages CEC/UFA

7 Equivalência Estática entre o Momento orsor e as ensões e Cisalhamento y r Gr 0 r R z R rf A Gr A r A A ou r e G γ A r r A Euaro Nobre ages CEC/UFA

8 Momento Polar e Inércia y A r A z R πr 4 y R e ( 4 4 ) z R e R i R i π Euaro Nobre ages CEC/UFA

9 Equações Governantes Relação cinemática: Relação constitutiva: Equivalência estática: Equação e equilíbrio: γ r Gγ r t ( X) t t(x) X ( X)... Euaro Nobre ages CEC/UFA

10 Estratégias e Solução t ( X) Problemas Isostáticos r Gγ Problemas Hiperestáticos γ r t ( X) Euaro Nobre ages CEC/UFA

11 Barra Prismática sob orção Por se tratar e um problema isostático, o momento torsor poe ser facilmente eterminao por alguma estratégia apresentaa em eoria as Estruturas ou pela integração a EDO. Assim, Conição t e contorno ( ) Constante e integração De posse o momento torsor constrói-se a tensão e cisalhamento como ( X) 0 ( X) C ( X,r) ( ) C X r r 0 ( X) 0 X X e 0 r R Euaro Nobre ages CEC/UFA

12 Barra Prismática sob orção Fazeno uso a relação constitutiva tem-se γ ( X,r) ( X, r) G r 0 X e 0 r R Da relação cinemática tem-se Conição e contorno γ r ( X ) X + C ( 0 ) 0 Constante e integração C 0 Rotação a seção final a barra: ( X) X ( ) Euaro Nobre ages CEC/UFA

13 Otimização a Seção y ransversal z r max c R r max v Φ Φ c v λ 3 4 e A A c v 3 4 ( λ ) λ A A c πr y R z λr πr c πr 4 πr 4 ( λ ) ( λ ) v v 4 R / r Φc / Φ v Ac / A v Euaro Nobre ages CEC/UFA

14 Otimização a Seção y ransversal z r Φ c Φ R r v max v max c λ 4 4 e A A c v + λ λ A A c πr y R z λr πr c πr 4 πr 4 ( λ ) ( λ ) v v 4 R / r max / v / max c A / A c A v Euaro Nobre ages CEC/UFA

15 Exemplo Consiere agora a barra formaa por ois trechos prismáticos e mesmo material X X G, G, Para escrever os campos as variáveis e estao o problema evemos ientificar intervalos e análise a partir os trechos one há muança na escrição o momento torsor e/ou a rigiez à torção. O problema em pauta exige a consieração e ois intervalos e análise, por exemplo 0 X < e 0 < X Euaro Nobre ages CEC/UFA

16 Exemplo Por se tratar e um problema isostático: γ ( X) 0 C ( X ) 0 C ( ) ( 0) e ( ) ( X) ( X ) ( X ) r ( X ) r G r r ( X) X + D ( X ) X γ G ( ) 0 e ( ) ( 0) 0 r r ( X ) X + D ( ) X X + Euaro Nobre ages CEC/UFA

17 Princípio a Superposição os Efeitos A rotação total a seção livre a barra o exemplo anterior, aa por ( ) + também poe ser eterminaa fazeno-se uso o Princípio a Superposição os Efeitos, ese que se conheça a rotação e um trecho prismático e mesmo material e momento torsor constante, aa por one essa rotação é iretamente proporcional ao inverso o momento polar e inércia. Com isso + 0 rígio G, G, rígio 0 Euaro Nobre ages CEC/UFA

18 Exemplo Consiere agora a barra prismática e mesmo material solicitaa por um torsor uniformemente istribuío X G, t O problema em pauta exige a consieração e um único intervalo e análise, por exemplo 0 X Euaro Nobre ages CEC/UFA

19 Exemplo Por se tratar e um problema isostático: t γ e ( ) X r () tr ( X, r) G 0 ( X) t tr ( X) ( X) t( X) t ( X) e ( 0) 0 ( X) ( X X ) Rotação a seção final a barra: ( ) t Euaro Nobre ages CEC/UFA

20 Exemplo O giro total a seção livre a barra, anteriormente encontrao, ( ) t também poe ser euzio a partir e um arranjo one se tem o torsor resultante o torsor istribuío posicionao no centróie a figura e representação esse carregamento, ou seja, G, / t Essa conclusão poe ser estenia a qualquer lei e variação o torsor istribuío, ese que esse esteja atuano num trecho prismático e mesmo material. Euaro Nobre ages CEC/UFA

21 Exemplo Hiperestático Consiere agora a configuração prismática hiperestática e mesmo material e com a consieração o torsor istribuío. X G, t O problema em pauta exige a consieração e um único intervalo e análise, por exemplo 0 X Euaro Nobre ages CEC/UFA

22 Exemplo Hiperestático Por se tratar e um problema hiperestático, tem-se t t X + C t X X + CX + ( ) C ( 0 ) 0 ( ) 0 C 0 t C t t ( X) X + X Conhecio o campo e rotações chega-se a qualquer outra variável e estao e interesse manipulano aequaamente a relação cinemática e a relação constitutiva. Euaro Nobre ages CEC/UFA

23 Exemplo Hiperestático Este mesmo problema também poeria ser resolvio com o auxílio o métoo as forças, que visa eterminar os hiperestáticos impono-se uma equação e compatibiliae. G, t G, + B ( B ) 0 t B Euaro Nobre ages CEC/UFA

24 Exemplo Hiperestático Para quantificar a rotação na extremiae ireita a barra faz-se uso o Princípio a Superposição os Efeitos, usufruino-se o fato e que já que se conhece o efeito e caa ação isolaa, ou seja, B t B + B B 0 t B t B B B B De posse o hiperestático o momento torsor passa a ser conhecio, poeno-se seguir o proceimento já iscutio para problemas isostáticos. t Euaro Nobre ages CEC/UFA

25 ensões e Direções Principais Consiere o estao e tensão em um ponto material qualquer a barra sob torção r Para garantir a simetria o tensor e tensão, a tensão e cisalhamento na ireção circunferencial na face a seção transversal é equilibraa pelo componente e cisalhamento na ireção longituinal a face raial. Euaro Nobre ages CEC/UFA

26 ensões e Direções Principais Caa ponto material encontra-se em estao e cisalhamento puro As tensões principais, e mesma intensiae em móulo, estão inclinaas e 45º em relação ao eixo longituinal Euaro Nobre ages CEC/UFA

27 ensões e Direções Principais Materiais úcteis apresentam falha em superfície e corte perpenicular ao eixo a barra. Euaro Nobre ages CEC/UFA Materiais frágeis apresentam falha em superfície e corte perpenicular às tensões principais e tração.

28 Energia Específica e Deformação Para um ponto qualquer e uma seção transversal os únicos componentes não nulos os estaos e tensão e e eformação, em coorenaas cilínricas, são aos por r e γ r Com isso a energia específica e eformação é aa simplesmente por U 0 γ r r r que varia quaraticamente com a istância o ponto ao centro a seção circular cheia ou vazaa. Euaro Nobre ages CEC/UFA

29 Energia e Deformação Para gerar a energia e eformação acumulaa numa barra sob torção, eve-se integrar a energia específica e eformação ao longo o volume a mesma, ou seja, U V U 0 V Desmembrano a integração no volume a barra através a seção transversal e ao longo o comprimento a mesma tem-se U A U0Ax A r A r Ax Ax x x Euaro Nobre ages CEC/UFA

30 Barras Não Circulares As seções transversais e barras não circulares sofrem empenamento, não mais permaneceno planas. Porém, para pequenas eformações, a projeção a seção empenaa num plano perpenicular ao eixo a barra gira como uma seção rígia. Soluções analíticas para seções não circulares são construías com base na eoria a Elasticiae. Euaro Nobre ages CEC/UFA