2.0 DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM EIXO CIRCULAR

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1 TORÇÃO 1.0 OBJETIVO No estudo da torção serão discutidos os efeitos da aplicação de esforços torcionais em um elemento linear longo, tal como um eixo ou um tubo. Será considerado que o elemento tenha seção transversal circular. Mostraremos como determinar tanto a distribuição de tensão no interior do elemento como o ângulo de torção quando o material comporta-se de maneira linear-elástica, ou seja, obedece à lei de Hooke. 2.0 DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM EIXO CIRCULAR Torque é o momento que tende a torcer o membro em torno do eu eixo longitudinal. Seu efeito é de interesse principal no projeto de eixos ou eixos de acionamento usados em veículos e maquinaria. Fisicamente, podemos ilustrar o que acontece quando um torque é aplicado em um eixo circular, considerando o eixo como feito de um material altamente deformável, como a borracha (figura 1a). Quando o torque é aplicado, os círculos e as retas longitudinais da grelha original marcada no eixo tendem a se distorcer com o padrão mostrado na figura 1b. A torção faz os círculos permanecerem como círculos e cada reta longitudinal da grelha deforma-se em hélice que intercepta os círculos em ângulos iguais. Além disso, as seções transversais do eixo permanecem planas e as retas radiais dessas seções permanecem retas durante a deformação (figura 1b). A partir dessas observações, podemos supor que, se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento do eixo e seu raio permanecerão inalterados. Figura 1a Profº M.Sc. Sérgio Luís de Oliveira. 1

2 Figura 1b A figura acima mostra a deformação do elemento retangular quando a barra de borracha é submetida a um torque. Se o eixo estiver preso em uma extremidade e for aplicado um torque na outra extremidade, o plano sombreado da figura 2 se distorcerá e assumirá uma forma oblíqua como mostrado. Nesse caso, uma linha radial localizada na seção transversal a uma distância x da extremidade fixa do eixo girará por meio de um ângulo φ(x). O ângulo φ(x), Profº M.Sc. Sérgio Luís de Oliveira. 2

3 assim definido, é denominado ângulo de torção. Ele depende da posição x e varia ao longo do eixo como mostrado. Figura FÓRMULA DA TORÇÃO Quando um torque externo é aplicado a um eixo, cria um torque interno correspondente no interior do eixo. Neste item, será mostrada a equação que relaciona o torque interno com a distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal de um eixo ou tubo circular. Se o material for linear-elástico, ocorre uma variação linear na deformação por cisalhamento, o que conseqüentemente leva a uma variação linear na tensão de cisalhamento ao longo de qualquer reta radial na seção transversal. Assim, como a variação tensão-deformação, para um eixo maciço, τ varia de zero na linha de centro longitudinal do eixo a um valor máximo, τ máx, em seu limite externo. Tal variação é mostrada na figura 3, para as faces de um número selecionado de elementos, localizados em uma posição radial intermediária ρ e na extremidade do raio c. Profº M.Sc. Sérgio Luís de Oliveira. 3

4 Figura 3 A tensão de cisalhamento é determinada na distância intermediária ρ e na extremidade do raio do elemento a partir das equações a baixo, que são geralmente chamadas de fórmulas de torção: Tρ Tc τ = τ máx = J J onde: elemento; τ máx : tensão de cisalhamento máxima no eixo, que ocorre na superfície externa do Profº M.Sc. Sérgio Luís de Oliveira. 4

5 T: torque interno resultante que atua na seção transversal; J: momento de inércia polar da seção transversal; ρ: medida intermediária entre o centro do eixo e a extremidade do raio; c: raio externo do eixo. Momento de inércia polar para um eixo sólido: J π = 2 c 4 Momento de inércia polar para um eixo tubular de raio interno c i e raio externo c e : 4 4 ( ) J = π c e c i 2 Existe ainda uma relação entre os valores de τ: τ = ρ c τ máx PONTOS IMPORTANTES O torque também é chamado de momento torçor ou esforço torcional; Quando um eixo que tem seção transversal circular é submetido a um torque, a seção transversal permanece plana enquanto as retas radiais giram. Isso provoca uma deformação por cisalhamento no interior do material que varia linearmente ao longo de qualquer reta radial, indo desde zero na linha de centro do eixo até o máximo no seu limite externo. Profº M.Sc. Sérgio Luís de Oliveira. 5

6 4.0 ÂNGULO DE TORÇÃO Ocasionalmente, o projeto de um eixo depende de limitações na quantidade de rotação ou torção ocorrida quando o eixo é submetido ao torque. Além disso, o cálculo do ângulo de torção do eixo é importante quando se analisam as reações em eixos estaticamente indeterminados. Neste item será mostrada a fórmula para determinar o ângulo de torção φ de uma extremidade do eixo em relação à outra. Supondo que o material se comporte de forma linear-elástica quando o torque é aplicado e desprezando as deformações localizadas que ocorrem em pontos de aplicação dos torques e onde a seção transversal muda abruptamente suas dimensões, temos a seguinte expressão para calcular o ângulo de torção φ: φ = TL JG Onde: Figura 4 φ: ângulo de torção de uma extremidade do eixo com relação à outra, medido em radianos; T: torque interno na extremidade do elemento; J: momento de inércia polar da seção transversal; G: módulo de elasticidade ao cisalhamento do material. Profº M.Sc. Sérgio Luís de Oliveira. 6

7 Se o eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes, ou a área da seção transversal ou ainda o módulo de elasticidade ao cisalhamento mudar abruptamente de uma região para outra, a equação para calcular o ângulo de torção será aplicada a cada segmento do eixo em que essas quantidades sejam constantes. O ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra será, então, determinado pela adição de vetores dos ângulos de torção de cada segmento. Neste caso temos: φ = TL JG A convenção de sinais a fim de aplicarmos a equação anterior, segue a regra da mão direita, pela qual o torque e o ângulo serão positivos se a direção indicada pelo polegar for no sentido de afastar-se do elemento considerado quando os dedos são fechados para indicar a tendência da rotação, figura 5. Figura 5 Profº M.Sc. Sérgio Luís de Oliveira. 7