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1 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Curso de Engenharia Civil Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1 Código: ECIV018 Professor: Eduardo Nobre Lages Equilíbrio de Corpos Rígidos Maceió/AL

2 Objetivo Estudo do equilíbrio de sistemas de forças não concorrentes.

3 Background F 2 M 1 F 1 M 2 F 3 R M

4 Equilíbrio de um Corpo Rígido Quando o sistema força-binário equivalente de todas as ações atuantes no corpo, em relação a qualquer ponto de referência, é nulo, o corpo está em equilíbrio. Para um corpo em equilíbrio, o sistema de forças não causa qualquer movimento translacional ou rotacional ao corpo considerado. Algebricamente o equilíbrio corresponde a R r = 0 r M r = 0 r e que em termos dos componentes retangulares pode ser expresso como juntamente com R = 0, R = 0 e R = 0 x y R z M = 0, M = 0 e = 0 x y M z

5 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido A maioria dos problemas que tratam do equilíbrio de um corpo rígido se enquadra em duas categorias: Verificação: quando todas as ações que atuam no corpo rígido são conhecidas e se deseja saber se a condição de equilíbrio é ou não atendida. Imposição: quando algumas das ações que atuam no corpo rígido são desconhecidas, normalmente as reações de apoio, e se deseja saber quem são essas ações desconhecidas que garantem a condição de equilíbrio. i

6 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Para identificação da situação física real do problema de equilíbrio faz-se um esboço conhecido como diagrama espacial. Alguns problemas podem ser estabelecidos: Quão resistentes devem ser os pilares? Quão resistente deve ser a viga?

7 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Para os problemas que envolvem o equilíbrio de um corpo rígido, escolhe-se se uma porção SIGNIFICATIVA e traça-se um diagrama separado, denominado de diagrama de corpo livre, mostrando essa porção, todas as ações que atuam sobre ela e as cotas (necessárias no cálculo dos momentos das forças).

8 Equilíbrio de um Corpo Rígido em Duas Dimensões Consideração possível quando todas as forças atuantes no corpo apresentam um plano comum para suas linhas de ação, assim como os binários, existindo, estão na direção perpendicular desse mesmo plano. Tomando-se o plano das forças como o plano cartesiano xy, todas as forças apresentam componente z nula. Qualquer binário presente no sistema só apresenta componente z não nula. Para construção do sistema força-binário i equivalente, tomando-se um ponto de referência qualquer no plano das forças, só as equações Rx = 0, R y = 0 e M z = 0 precisam ser verificadas/impostas.

9 Reações de Apoio em Duas Dimensões Diagrama Espacial Roletes Suporte Superfície sem basculante atrito Diagrama de Corpo Livre Força com linha de ação conhecida (perpendicular à direção de deslizamento)

10 Reações de Apoio em Duas Dimensões Diagrama Espacial Cabo curto Haste curta Diagrama de Corpo Livre Força com linha de ação conhecida (na direção do cabo/haste)

11 Reações de Apoio em Duas Dimensões Diagrama Espacial Cursor sobre haste sem atrito Pino deslizante sem atrito Diagrama de Corpo Livre Força com linha de ação conhecida (perpendicular à direção de deslizamento) 90º

12 Reações de Apoio em Duas Dimensões Diagrama Espacial Pino sem atrito ou articulação Superfície rugosa Diagrama de Corpo Livre Força de direção desconhecida ou

13 Reações de Apoio em Duas Dimensões Diagrama Espacial Engaste Diagrama de Corpo Livre Força de direção desconhecida e binário ou

14 Estaticidade de um Arranjo Estrutural Hipostática: O arranjo apresenta uma insuficiência na vinculação, permitindo movimentos globais de corpo rígido, possibilitando o equilíbrio apenas de sistemas de forças particulares.

15 Estaticidade de um Arranjo Estrutural Isostática: O arranjo apresenta uma vinculação mínima suficiente para impedir qualquer movimento global de corpo rígido, sendo as reações de apoio determinadas exclusivamente através das equações globais de equilíbrio. 3 componentes das 3 componentes das reações de apoio

16 Estaticidade de um Arranjo Estrutural Hiperestática: O arranjo apresenta uma vinculação mais do que o suficiente para não permitir movimentos globais de corpo rígido, não sendo possível a determinação de todas as reações de apoio exclusivamente através das equações globais de equilíbrio. 4 componentes das reações de apoio

17 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo: B 30º A 20 m Uma estrutura em arco treliçado é fixa ao suporte articulado no ponto A, e sobre roletes em B num plano de 30º com a horizontal. O vão AB mede 20 m. O peso próprio da estrutura é de 100 kn. A força resultante dos ventos é de 20 kn, e situa-se a 4 m acima de A, horizontalmente, da direita para a esquerda. Determine as reações nos suportes A e B.

18 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo (continuação): y Diagrama de Corpo Livre 20 kn 60º B 100 kn A V A H A 44 m x R B 10 m 20 m

19 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo (continuação): Imposição do Equilíbrio no Ponto B R x = B A o 0 R cos60 + H 20 = 0 R y R y M z = B A o 0 R sin V = = A V = 0 0 M z B R x 0,5 R B + H = A 20 0,866 R B +V V = VA = 920 A H A V A R B = 11,2 kn = 46,0 kn = 62,4 kn

20 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo: 0,39 m Lanchonete do CTEC Um letreiro é pendurado por duas correntes no mastro AB. O mastro é articulado em A e é sustentado pelo cabo BC. Sabendo que os pesos do mastro e do letreiro são 1000 N e 800 N, respectivamente, determine a tração no cabo BC e a reação na articulação em A.

21 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo (continuação): Diagrama de Corpo Livre 2,52 m H A T BC 8,8º 1,26 m V A A 1000 N B 036m 0,36 1,41 m 800 N

22 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo (continuação): Imposição do Equilíbrio no Ponto A R R x y o = 0 H + T cos171,2 = 0 A BC o = 0 V T sin171,2 = A BC 0 R y o M z = , ,41+ T BC cos8,8 0,36 + T BC o sin 8,8 2,52 = 0 M z A R x H A 0,988 T = BC 0 V A 0,153 T = BC TBC 0,741 = 2388 H A V A T BC = 3184,0 N =1306,9 N = 3222,7 N

23 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo: Pr B&J 5ª ed. rev. θ P L Uma barra delgada AB, de peso P, está presa a dois blocos A e B que se movem em guias lisas, como ilustrado. A constante da mola é k, e a mola não está esticada quando AB está na horizontal. Desprezando o peso dos blocos, deduza uma equação para θ, P, L e k que deve ser satisfeita quando a barra está em equilíbrio.

24 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo (continuação): Diagrama de Corpo Livre F M F M θ V B H A L/2 P L F M = kl ( cosθ + sinθ 1)

25 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo (continuação): Imposição do Equilíbrio no Ponto A R x = 0 HA FM = 0 R y = 0 FM P + VB = 0 R y M L = 0 P cosθ + F Lsinθ + V Lcosθ 0 A M B 2 z = Isolando V B da segunda equação, substituindo o resultado na terceira e trazendo o valor de F M chega-se a P 2 cosθ + kl M z ( cosθ + sinθ 1)( sinθ cosθ) = 0 R x

26 Situações Particulares de Equilíbrio em Duas Dimensões Corpo sujeito à ação de duas forças: B Q r A M R r = 0 B Q P A P A B Q r r B M R = 0 P A Se um corpo sujeito à ação de duas forças está em equilíbrio, as duas forças devem ter igual intensidade, igual linha de ação e sentidos opostos.

27 Situações Particulares de Equilíbrio em Duas Dimensões Corpo sujeito à ação de três forças: P A Q S r C B D r D M R = 0 P A Q B D C S A condição necessária para que um corpo sujeito à ação de três forças esteja em equilíbrio é que as linhas de ação das três forças sejam concorrentes.

28 Situações Particulares de Equilíbrio em Duas Dimensões Exemplo: Uma chave é utilizada para girar um eixo. Um pino ajusta-se no furo A, e uma superfície plana e sem atrito apóia-se no ponto B do eixo. Se uma força P de 250 N de intensidade for aplicada ao ponto D da chave, determine as reações do eixo sobre a chave nos pontos A e B.

29 Situações Particulares de Equilíbrio em Duas Dimensões Exemplo (continuação): P F A H B

30 Situações Particulares de Equilíbrio em Duas Dimensões Exemplo (continuação): tan α = o 75sin cos 50 o o = 7,7 P F A α H B

31 Situações Particulares de Equilíbrio em Duas Dimensões Exemplo (continuação): F A α H B α = o 7,7 Equilíbrio do ponto material H B = 1849,0 N P = 250 N F A = 1865,9 N 7,7º

32 Situações Particulares de Equilíbrio em Duas Dimensões Exemplo: S C B h A L Uma haste delgada de comprimento L e peso W é mantida em equilíbrio tal como mostra a figura, com uma extremidade apoiada sobre uma parede sem atrito e a outra presa a uma corda de comprimento S. Deduza uma expressão para a distância h em termos de L e S. Mostre que essa posição de equilíbrio não existe se S>2L.

33 Situações Particulares de Equilíbrio em Duas Dimensões Exemplo (continuação): BD BCD = BDBDE h S 2 = 2 h S 2 L 3 2 = 2 L 2 2 h 2 T 2 S D E C B h H A L W

34 Situações Particulares de Equilíbrio em Duas Dimensões Exemplo (continuação): cosθ 1 h 1 S 2 S 2 L 3 S 2 S 2L 2 1 T S D E C θ B h = S L 3 2 H 2 A L W

35 Equilíbrio de um Corpo Rígido em Três Dimensões Para a verificação/imposição do equilíbrio, define-se um diagrama de corpo livre que seja objetivo com o que se deseja calcular e escolhe-se um ponto de referência para construção do sistema força-binário equivalente. Algebricamente o equilíbrio corresponde à verificação/imposição da nulidade desse sistema forçabinário equivalente, ou seja, R r = 0 r M r = 0 r e Em termos dos componentes retangulares tem-se R = 0 R = 0 = 0 x, y, R z M = 0 M = 0 e = 0 x, y M z

36 Reações de Apoio e Conexões em Três Dimensões Diagrama Espacial Esfera Superfície sem atrito Diagrama de Corpo Livre Força com linha de ação conhecida (perpendicular ao plano de deslizamento)

37 Reações de Apoio e Conexões em Três Dimensões Diagrama Espacial Cabo Diagrama de Corpo Livre Força com linha de ação conhecida (na direção do cabo, puxando o objeto vinculado)

38 Reações de Apoio e Conexões em Três Dimensões Diagrama Espacial Rolete sobre superfície rugosa Roda sobre trilho Diagrama de Corpo Livre Forças impedindo os movimentos nas direções perpendiculares ao plano e à direção de deslizamento

39 Reações de Apoio e Conexões em Três Dimensões Diagrama Espacial Superfície rugosa Rótula ou junta esférica Diagrama de Corpo Livre Forças impedindo o movimento em todas as direções

40 Reações de Apoio e Conexões em Três Dimensões Diagrama Espacial Junta universal Diagrama de Corpo Livre Forças impedindo o movimento em todas as direções e binário i impedindo d o giro em torno do eixo perpendicular à cruz da conexão

41 Reações de Apoio e Conexões em Três Dimensões Diagrama Espacial Engaste Diagrama de Corpo Livre Forças e binários impedindo todos os movimento relativos de translação e de rotação

42 Reações de Apoio e Conexões em Três Dimensões Diagrama Espacial Dobradiça sustentando apenas carga radial Mancal sustentando apenas carga radial Diagrama de Corpo Livre Forças impedindo o movimento radial (direção perpendicular ao eixo do arranjo). Podem apresentar binários (não apreciáveis em condições normais de uso)

43 Reações de Apoio e Conexões em Três Dimensões Diagrama Espacial Pino e suporte Dobradiça e mancal sustentando empuxo axial e carga radial Diagrama de Corpo Livre Forças impedindo todos os movimentos relativos translacionais. i Podem apresentar binários (não apreciáveis em condições normais de uso)

44 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo: A barra uniforme AB pesa 60N. Ela tem uma junta esférica em A e está presa por um cabo CD fixo ao ponto médio C da barra. Sabendo que a barra está encostada em uma parede lisa no ponto B, determine a força de tração no cabo e as reações em A e B.

45 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo (continuação): Diagrama de Corpo Livre T CD F BX F AY 60N F AX F AZ

46 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo (continuação): Forças envolvidas r W = ( 0; 60; 0)N r F = A r F B = r T ( F ; F ; F ) CD AX λˆ AY ( F ; 0; 0) = BX T CD CD = AZ ( 0,8T ; 0,48T ; 0,36T ) CD CD CD

47 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo (continuação): Sistema força-binário em relação ao ponto A r R A = ( F + F 0,8T ; 60 + F + 0,48T ; F 0,36T ) AX BX r M A CD AY CD r r r = AC W + AB FB + AC T AC ( r r W T ) r = + CD + AB FB ( r r ) r = AC W + TCD + 2AC FB r r r = AC W + T + 2 ( ) CD F B AZ CD CD

48 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo (continuação): Imposição do equilíbrio r R A = r 0 r M A = r 0

49 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo (continuação): Sistema de equações resultante F AX + F BX 0,8T CD = F + 0,48TCD AY = F 0,36T = 0 AZ CD = 0 108T CD = 0 225F 180T 0 BX CD = F = BX 0

50 Problemas que Envolvem o Equilíbrio de um Corpo Rígido Exemplo (continuação): Reações de apoio F AX = 0 F AY = 30N F AZ = 22,5N AZ F BX = 50N T CD = 62,5N

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