CORPOS RÍGIDOS: As forças que actuam num corpo rígido podem ser divididas em dois grupos:

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1 CORPOS RÍGIDOS: As forças que actuam num corpo rígido podem ser divididas em dois grupos: 1. Forças externas (que representam as acções externas sobre o corpo rígido) 2. Forças internas (que representam as forças que mantêm as partículas que forma o corpo rígido)

2 F F De acordo com o principio da transmissibilidade, o efeito de uma força externa num corpo rigido não se altera, se a força for movida ao longo da sua linha de acção. Duas forças actuando num corpo rígido em dois pontos diferentes, têm o mesmo efeito sobre o corpo rígido se tiverem a mesma intensidade, a mesma direcção e a mesma linha de acção. Estas forças dizem-se forças equivalentes.

3 Conceito de Momento de uma força em torno de um ponto O

4 M o O r d A F θ O momento da força F em torno do ponto O é definido como o produto externo vectorial M O = r x F sendo r é o vector posição desenhado do ponto O ao ponto de aplicação da força F. O ângulo entre as linhas de acção de r e F é o ângulo θ. O valor do momento de F em torno de O pode ser dado por M O = r F sen θ = F d onde d é a distância medida na perpendicular de O até à linha de acção da força F.

5 Regra da mão direita: Momento Resultante: Sentido da rotação

6 Convenção de sinais do Momento de uma Força Momento positivo Momento negativo

7 Binário: Duas forças F e -F com a mesma intensidade, linhas de acção paralelas e sentidos opostos formam um binário. O momento de um binário é independente do ponto em torno do qual é calculado; é sempre um vector M perpendicular ao plano das duas forças e com uma intensidade igual a: M = F d.

8 Dois binários que tenham o mesmo valor M dizem-se equivalentes (uma vez que têm o mesmo efeito sobre o corpo rígido):

9 Um binário representado pelo vector M pode ser decomposto vectorialmente.

10 Qualquer força F actuante num ponto A de um corpo rígido pode ser substituída por um sistema Força e Momento num ponto arbitrário O, que consiste numa força F aplicada em O e um momento M O que é igual ao momento da força F em torno da sua posição original - ponto O. O vector força F e o vector momento M O são sempre perpendiculares um ao outro.

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13 F 3 A 3 F 1 M 1 F 3 F1 R r 1 A 1 r 3 O r 2 A 2 O M 2 O M 3 F 2 F 2 M R O Qualquer sistema de forças pode ser reduzido a um sistema Força e Momento num dado ponto O. Em geral, a força resultante R e o vector momento M O não serão perpendiculares entre si.

14 F 3 A 3 F 1 R r 3 r 1 A 1 r 2 A 2 O O F 2 M R O Dois sistemas de forças, F 1, F 2, F 3..., e F 1, F 2, F 3..., são equivalentes se e só se e Σ F = Σ F Σ M o = Σ M o

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16 Exemplo: Determinar os momentos em torno do ponto O para as forças representadas nos seguintes casos:

17 Exemplo: Uma força de F = 90 N é aplicada na barra AB. Sabendo que o comprimento da barra é L = 225 mm, determinar o momento da força em torno de B.

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19 Tipo de apoio Reacções deslizante com pino superfície lisa Pino superfície rugosa Encastramento

20 Tipo de apoio/ligação Reacções ligação a um cabo ligação a uma barra força com direcção conhecida corrediça sem atrito idem força com linha de acção conhecida

21 Outros tipos de apoio caso geral 3D

22 Outros tipos de apoio caso geral 3D (cont.)

23 EQUILIBRIO DE CORPOS RÍGIDOS Para o equilibrio de corpos rígidos, temos Σ F = 0 Σ M O = 0 Para o caso tridimensional, as condições necessárias e suficientes para o equilibrio podem ser expressas pelas seis equações escalares: ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣF z = 0 ΣM x = 0 ΣM y = 0 ΣM z = 0 Estas equações podem ser usadas para determinar forças desconhecidas aplicadas ao corpo rígido ou as reacções exercidas nos suportes, por exemplo.

24 Exemplo: Oito painéis rectangulares idênticos, com 500 mm x 750 mm e com uma massa m = 40 Kg, são suportados num plano vertical de acordo com as figuras. As ligações consistem em pinos sem atrito, apoios fixos, apoios móveis/deslizantes, ou barras de ligação. Em cada caso determinar: (a) Se a placa está devidamente constrangida e indicar se o problema de cálculo das reacções nos apoios é hiperestático, isostático ou hipoestático. (b) Se a placa pode ser mantida em equilíbrio na posição ilustrada, quando possível calcular as reacções nos apoios.

25 Nota: Considere-se o corpo rígido AB sujeito a duas forças F 1 e F 2 Para o equilibrio estático, o somatório de momentos em torno de A tem de ser nulo. Logo, o momento de F 2 tem de ser zero. Resulta que a linha de acção da força F 2 tem necessariamente de passar por A. Similarmente, a linha de acção de F 1 tem de passar por B para que o somatório de momentos em torno de B seja zero.

26 Exemplo 1: Massa da grua: 1000 Kg Diagrama de corpo livre:

27 Calcular a reacção em B resolvendo a equação do equilibrio dos momentos de todas as forças em torno de A: = 0 : + B M A B = kN ( 1.5m) 9.81kN( 2m) 23.5 kn( 6m) = 0 Calcular as reacções em A (segundo x e y) resolvendo as equações de equilibrio das forças horizontais e verticais: F x = 0 : A + B = x 0 A x = 107.1kN F y = 0 : A 9.81kN 23.5 kn = A y y = kn 0

28 Exemplo 2: A estrutura da figura suporta parte de um telhado de um pequeno edificio. A força de tracção no cabo DF é 150 kn. Calcular a reacção no suporte fixo E (encastramento). E x E y M E = 90.0 kn = +200 kn = 180.0kN m

29 Exemplo 3: Considere a grua móvel representada na figura. A grua está a levantar uma carga W=25 kn. O peso próprio do braço da grua ABC, 3 kn, e o peso combinado do condutor e do tractor, 50 kn, estão representados na figura, aplicados nos respectivos centros de massa. Determinar as reacções nas rodas da frente e nas rodas de trás.

30 Exemplo 4: Dois caixotes, cada um com uma massa de 350 Kg, estão colocados sobre a caixa de uma carrinha pick-up que tem uma massa de 1400 Kg. Determinar as reacções no eixo traseiro A e no eixo dianteiro B.

31 Exemplo 5: O sistema representado na figura consiste numa viga horizontal ABC, cujo peso é W=5.4 kn, e uma viga vertical DBE. As duas vigas estão soldadas uma à outra em B. O sistema é usado para levantar um caixote que pesa 16.2 kn. O cabo ADCF é montado com uma pré-tensão por forma a que a força de tracção é de 20 kn. Determinar as forças e o momento de reacção no encastramento E, para as duas posições extremas da carga com x = 0.5 m e x = 7 m.

32 Exemplo 6:

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