Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Civil. Mecânica Vetorial ENG01035

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1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Civil EXERCÍCIOS D 2 a. ÁRE Mecânica Vetorial ENG035 LIST DE PROLEMS DE PROV CENTRO DE GRVIDDE 1) peça representada na figura (1) é fabricada empregando-se dois materiais e. Sabendo-se que o peso específico do material vale 7850 kgf/m 3 e o do material vale 5000 kgf/m 3 determine o baricêntro desta peça (mm) 0 Figura (1) 2) Determine as coordenadas do centro de gravidade de um corpo que tem forma de uma cadeira, figura (2), composta de varas de igual comprimento e peso. O comprimento de uma das varas vale 44 cm. z Figura (2)

2 3) Uma chapa com formato de uma semi-parábola é composta por dois materiais, que estão representados na figura (3) pelos números 1 e 2. Os materiais 1 e 2 tem os pesos específicos iguais a 40 kn/m 3 e 50 kn/m 3 respectivamente. Considerando que a chapa é sustentada por dois cabos fiados nos pontos e, determine a força que atua em cada um dos cabos Ø 60 = 0, ) fuselagem de um avião de carga, ilustrada na figura (4), é aproimada por uma circunferência de 2 m de raio. porta do compartimento de carga é representada pelo arco de circunferência e pesa 500 N. Sabendo que esta porta permite um ângulo de abertura de 50 º e que uma mola de torção aplica um momento de 0 Nm na porta do compartimento de carga, determine as reações na rótula e a força que a barra bi-rotulada C eerce na porta do compartimento. 0 Nm 2 m 50 C

3 5) Calcular as reações nos vínculos e da barra curva ilustrada na figura (1). Considere que a barra pesa 232 N = 2 (m) 6) Para o arame fino e homogêneo ilustrado na figura (2), determine o valor do ângulo a para que o centro geométrico do arame esteja localizado na origem do sistema de coordenadas dado. α α r

4 CRGS DISTRIUÍDS 1) Determine as reações nos apoios e para as estruturas representadas nas figuras (1), (2), (3) e (4). 2 kn/m 2 kn/m 1 kn/m (m) 3 m Figura (2) Figura (1) 2 kn/m 1 kn/m 1 kn (m) Figura (3) 2 kn/m 1 m 3 m 0,8 m Figura (4) 2) viga isostática representada na figura (5) está sob a ação de uma carga parabólica que é nula nos etremos da viga e tem valor máimo de 1 KN no centro da viga. Com estes dados determine as reações nos pontos e. 3 m Figura (5) 3) Calcule as reações em para a viga isostática representada na figura (6). 1 kn/m 1,5 m 3,5 m Figura (6) 0,5 kn/m 4) Uma casca elíptica está submetida a uma carga distribuída p (θ ) que é simétrica em relação ao eio, conforme ilustrado na figura ao lado. Eplique como se pode determinar o valor da carga concentrada equivalente. 6 m 4 m 6 m p(θ )

5 5) Calcule as reações para a viga bi-apoiada ilustrada na figura abaio. 4 kn/m 2 m 3 m 6) carga aplicada sobre a placa varia linearmente ao longo dos lados da placa conforme ilustrado na figura abaio. Determine o módulo da força resultante e as coordenadas do ponto onde a linha de ação da resultante intercepta a placa. p 2 kn/m 0,7 m 3 m 7) Calcular as reações nos vínculos e da viga ilustrada na figura abaio. 2 3 kn (m) 3 kn 1,25 2,75

6 8) Transforme as cargas distribuídas em cargas concentradas equivalentes e escreva as equações de equilíbrio necessárias para determinar as reações nos vínculos da estrutura ilustrada na figura (1). 4 kn/m 2 kn/m 2 kn/m 2 m 4 m C 3,5 m 1,5 m 9) Determine as reações no engaste da viga de seção variável ilustrada na figura (2). Considere que a viga é feita de concreto armado com 25 kn/m 3 de peso específico. 1 0,2 2 = 0,2 16 z (m) 0,5 4 ) Transforme as cargas distribuídas em cargas concentradas equivalentes e escreva as equações de equilíbrio necessárias para determinar as reações nos vínculos da estrutura ilustrada na figura (1). 16 kn/m 4 kn/m 2 kn/m 4 m 2 m C Parábola 2 o grau 3,5 m 1,5 m

7 11) Um arco de circunferência é submetido a dois esquemas ( e ) de carga uniforme conforme figura (2). s forças resultantes equivalentes a essas cargas distribuídas são iguais? Justifique. 2kN/m 2kN/m R m 2kN/m R m 2kN/m 12) Determine as reações nos vínculos e C da ponte em arco parabólico ilustrada na figura (2). Considere que as vigas são feita de concreto armado com 25 kn/m 3 de peso específico e adote a profundidade da viga como 2m. 7 0,9 0,9 C 0,45 (m) 18 13) Calcule o valor da taa de carga q para que a reação vertical no vínculo do pórtico ilustrado na figura (1) seja igual a zero. q 8 kn/m 5 kn/m 2,5 4 3 (m) 3 14) Calcule os valores das taas de carga q 1 e q 2 para que ambas as cargas gerem forças resultantes iguais, mas com sentidos opostos. 1,5 1,8 1 3 kn/m q 1 q 2 (m)

8 15) Determine as reações nos vínculos C e E, bem como as reações na rótula D para a estrutura ilustrada na figura (2). 4 kn/m 3 kn/m 2 kn/m D C 35 Tubo liso 2 m engaste E 1,7 m 2 m 1,6 m 16) Calcule as reações nos vínculos e C do pórtico ilustrado na figura (1), bem como as forças na rótula interna. 4 kn/m 2 kn/m 2 kn/m 4 m 2 m C 3,5 m 1,5 m

9 CÁLCULO DE VOLUMES 1) Uma roda representada na figura (1) é construída com um material de peso específico de 7850 Kgf/m 3. Sabendo que esta peça tem um custo de fabricação de 2 R$/Kgf calcule o custo total de fabricação de 1 roda ) Determine o peso do carvão contido na carvoeira, ilustrada na figura ao lado, quando esta está totalmente cheia. Considere o peso específico do carvão igual a 7,85 kn/m 3 e admita que há % de volume perdido por vazios de ar. proime a curva que define o formato da carvoeira pela parábola indicada na figura. Resolva o problema aplicando o Teorema de Pappus-Guldin. Y 3 m 2 = m X 3) Determine quantos litros de tinta são necessários para cobrir a superfície do tanque de água, ilustrado na figura ao lado, do ponto até o C. Considere que um litro de tinta pode cobrir 12 m 2 9 m m C

10 4) Uma correia circular em V tem um raio interno de 600 mm e a área de seção transversal ilustrada na figura abaio. Determine o volume de material necessário para fabricar a correia (mm) 5) Determine o volume do objeto gerado pela rotação da área ilustrada na figura (3) em torno do eio de rotação. Empregue o teorema de Pappus-Guldinus correspondente R

11 MOMENTOS DE INÉRCI 1) Para o perfil Z representado na figura (1) determine: a) a posição dos eios baricêntricos Xg e Yg paralelos aos eios X e Y indicados na figura (2); b) os momentos de inércia em relação aos eios Xg e Yg; c) localize os eios principais centrais de inércia; d) obtenha os momentos principais centrais de inércia. 2) peça representada na figura (2) é formada por 2 perfis C (250806) mm, dispostos simetricamente em relação ao eio Y, e por uma chapa. lém disso, sabe-se que a área de um dos perfis C vale cm e os momentos de inércia com relação aos eios X1 e Y1 valem 23.2 cm 4 e cm 4 respectivamente. Com estes dados deve-se determinar os momentos de inércia em relação aos eios X e Y ; para toda a peça representada na figura (2). Y X s medidas não são de centro. Espessura = 4 mm (mm) Figura (1) 175 Y Y1 250 X1 X (mm) Figura (2) 3) peça representada na figura (3) é formada por 2 perfis C (250806) mm, dispostos simetricamente em relação ao eio Y, e por uma chapa. Com estes dados deve-se determinar: a) s propriedades geométricas; área, momentos de inércia e respectivos raios de giração; em relação a um par de eios X1 175 Y 175 Y1, que são baricêntricos e paralelos aos eios X e Y, para um perfis C que formam a seção. b) Prove que os eios baricêntricos X1 e Y1 do perfil C são os eios principais centrais de 250 inércia. Y1 X1 (mm) X c) s propriedades geométricas; área, momentos de inércia em relação aos eios X e Y, momento de inércia polar e respectivos raios de giração; para toda a peça representada na figura (2) d) Prove que os eios X e Y são eios Figura (3) principais centrais de inércia. 4) peça representada na figura (4) é formada por 2 perfis cantoneira ( ) mm, dispostos simetricamente em relação ao eio Y. Com estes dados deve-se determinar: a) s propriedades geométricas; área, momentos de inércia em relação aos eios baricêntricos X1 e Y1, momento de inércia polar em relação a intersecção dos eios X1 e Y1, e os respectivos raios de giração; para um dos perfis cantoneira, figura (5), que formam a seção; b) orientação dos eios principais centrais de inércia e os valores dos momentos de inércia máimo e mínimo para a seção da figura (5);

12 c) s propriedades geométricas; área, momentos de inércia em relação aos X e Y e o momento de inércia polar em relação a O; para toda a peça representada na figura (4). d) Demonstre que os eios X e Y, figura (5), são eios principais centrais de inércia. Y1 Y 150 X O 7 X 150 Figura (5) (mm) 150 Figura (4) 150 (mm) 5) Para o perfil cartola representado na figura (6) determine: 160 a) a posição dos eios baricêntricos Xg e Yg paralelos aos eios X e Y indicados em (2); b) os momentos de inércia em relação aos eios Xg e Yg; c) localize os eios principais centrais de inércia; d) obtenha os momentos principais centrais de inércia. Y X s medidas não são de centro. (mm) Espessura = 2 mm Figura (6) ) Calcule a distância a entre dois perfis T, figura (8), para que o valor do momento de inércia do conjunto em torno do eio X seja igual a cm a 8) Para o perfil cantoneira de abas desiguais, figura (9) determine: os momentos de inércia retangular e polar em relação aos eios centrais, a localização dos eios principais centrais de inércia e os valores dos momentos principais centrais de inércia. 15 Figura (9) 0,5 0,6 Figura (8)

13 9) O conjunto representado na figura (11) é formado por 2 perfis cantoneira de dimensões mm. Sabendose que os momentos centrais de inércia de um dos perfis valem I = cm 4 e I = cm 4, e que a área do perfil vale cm 2. Calcule o momento de inércia do conjunto em relação aos eios X c e Y c. Determine também os momentos de inércia máimo e mínimo para o conjunto X Y C Y 4 4 X C 400 Y (mm) Figura (11) X

14 ) Para o conjunto formado por um perfil C e um perfil cantoneira, representado na figura (14), localize os eios centrais de inércia, representando eles no desenho. Calcule os momentos de inércia I e I em relação aos seus eios centrais de inércia. Localizar os eios principais centrais de inércia representando eles no desenho. Calcular os momentos principais centrais de inércia indicando os eios de valor máimo e mínimo Figura (14) ) Escreva as epressões que permitem determinar os momentos principais centrais de inércia para o perfil U ilustrado na figura (15). t h Figura (15) h t b b

15 Elipse 12) Para a peça representada na figura (16) determinar: a) posição do centroíde, indicando no desenho os eios centrais X c e Y c. b) Os momentos centrais de inércia em relação aos eios traçados em a). 30 πab semi elipse =, c = 2 4b 3π c Momentos de inércia em relação aos eios centrais de uma elipse: 50 I π ab = 4 3, I π ba = Momentos de inércia em relação aos eios centrais de um triângulo 3 bh I =, I = 36 3 hb 36 13) O carro ilustrado na figura repousa sobre 4 medidores de força, e nesta posição a leitura para as rodas dianteiras e traseiras é dada por F D e F T. Demonstre como determinar a posição do centro de gravidade do carro sabendo a distância entre eios, o diâmetro da roda e que os elevadores podem posicionar os eios traseiros e dianteiros em alturas distintas. X G Y 40 (mm) Figura (16) 50 16) Para a peça representada na Figura (4) determine: a) posição dos eios centrais; b) Determine os momentos centrais de inércia I e I ; c) Determine o produto de inércia em relação aos eios centrais I ; d) Localize os eios principais centrais de inércia. Represente a orientação destes eios no desenho da figura;

16 e) Determine os momentos principais centrais de inércia. Identifique os eios de momento de inércia máimo e mínimo. 30 Ø R 40 c c 35 (mm) 0 1 c I = I c c π R = 4 4 = = 4R 3π c 1 I 1 = I 1 π R = 16 4 I 1 = 1 4 R 8 c c 3 bh I c =, I c = 36 3 hb 36 I cc 2 h 2 b = 72 17) Calcular os momentos centrais de inércia e o produto de inércia em relação aos eios centrais de um quarto de círculo com a orientação definida na figura (3). Y c C 4R 3π X c 4R 3π

17 18) Para a seção transversal formado por um perfil C (30150,81,27) cm e um perfil cantoneira (1,59) cm determinar: - O centróide do conjunto. Indicar no desenho as posições dos eios de referência e do centróide; - Os momentos centrais de inércia em relação aos eios Xc e Yc; - O produto de inércia em relação aos eios centrais Xc e Yc; - Localizar os eios principais centrais de inércia. Indicar a orientação no desenho; - Os momentos principais centrais de inércia. Indicar no desenho o eio correspondente ao momento de inércia máimo e o eio correspondente ao momento de inércia mínimo c C 4,5 c 1,59 C c 4,79 4,79 c Propriedades do perfil C: = 60 cm 2 I Xc = 9247 cm 4 I Yc = 973 cm 4 Propriedades do perfil cantoneira: = 61 cm 2 I Xc = I Yc = 2357,6 cm 4 I XcYc = cm 4 0,8 1,27 19) Calcular o momento central de inércia I Yc da seção representada na figura (3). Y 8 cm 1 2 = cm X ) Calcular o momento central de inércia I Xc para a peça ilustrada na figura (2). Y 2 = 0, X

18 21) Para a seção transversal formada por dois perfis cantoneira (1,59) cm determinar: - O centróide do conjunto. Indicar no desenho as posições dos eios de referência e do centróide; - Os momentos centrais de inércia em relação aos eios Xc e Yc; - O produto de inércia em relação aos eios centrais Xc e Yc; - Localizar os eios principais centrais de inércia. Indicar a orientação no desenho; - Os momentos principais centrais de inércia. Indicar no desenho o eio correspondente ao momento de inércia máimo e o eio correspondente ao momento de inércia mínimo. 70 Propriedades do perfil cantoneira: = 61 cm 2 I Xc = I Yc = 9247 cm 4 I XcYc = cm ,59 c 4,79 C c 4,79 22) Para a peça representada na Figura (4) determine: a) posição dos eios centrais (usar os eios de referência indicados no desenho); b) Determine os momentos centrais de inércia I e I ; c) Determine o produto de inércia em relação aos eios centrais I ; d) Localize os eios principais centrais de inércia. Represente a orientação destes eios no desenho da figura; e) Determine os momentos principais centrais de inércia. Identifique os eios de momento de inércia máimo e mínimo. ref 30 ref

19 23) Para a peça representada na figura abaio determine: a) posição dos eios centrais (usar os eios de referência indicados no desenho); b) Determine os momentos centrais de inércia I e I ; c) Determine o produto de inércia em relação aos eios centrais I ; d) Localize os eios principais centrais de inércia. Represente a orientação destes eios no desenho da figura; e) Determine os momentos principais centrais de inércia. Identifique os eios de momento de inércia máimo e mínimo. ref 55 ref 24) Para a peça representada na figura abaio determine: a) posição dos eios centrais ; b) Determine os momentos centrais de inércia I e I ; c) Determine o produto de inércia em relação aos eios centrais I ; d) Localize os eios principais centrais de inércia. Represente a orientação destes eios no desenho da figura ; e) Determine os momentos principais centrais de inércia. Identifique os eios de momento de inércia máimo e mínimo.. 1,9 3, ,25 18,3 6,4 30 1,9 1,9 1,9 22,5

20 25) Para a peça representada na figura abaio determine: a) posição dos eios centrais ; b) Determine os momentos centrais de inércia I e I ; c) Determine o produto de inércia em relação aos eios centrais I ; d) Localize os eios principais centrais de inércia. Represente a orientação destes eios no desenho da figura; e) Determine os momentos principais centrais de inércia. Identifique os eios de momento de inércia máimo e mínimo. 3,9 11,25 18,3 6,4 26) Para o conjunto ilustrado na figura abaio, formado por dois perfis L determine a localização dos eios principais centrais de inércia, bem como os momentos principais centrais de inércia. 3 c 6 = 11,72 cm 2 I Xc = 87,5 cm 4 I Yc = 122,64 cm 4 I XcYc = - 61,7 cm 4 c ) Para o conjunto ilustrado na figura abaio, formado por dois perfis L determine a localização dos eios principais centrais de inércia, bem como os momentos principais centrais de inércia. 3 c = 11,72 cm 2 I Xc = 87,5 cm 4 I Yc = 122,64 cm 4 I XcYc = - 61,7 cm 4 6 c 2.3 Figura 5

21 28) Para o conjunto ilustrado na figura abaio, formado por um perfil L (2896,35) mm e um perfil I (160806,35) mm determine a localização dos eios principais centrais de inércia, bem como os momentos principais centrais de inércia. Considere as seguintes propriedades para o perfil L: = 11,72 cm 2, I Xc = 87,5 cm 4, I Yc = 122,64 cm 4 e I XcYc = - 61,7 cm 4 correspondentes ao esquema ilustrado abaio. Considere as seguintes propriedades para o perfil I: = 19,51 cm 2, I Xc = 768,8 cm 4 e I Yc = 54,5 cm 4 correspondentes ao esquema ilustrado abaio. 3 c c c 2.3 c ,5 29) Para o conjunto ilustrado na figura abaio, formado por um perfil L (2896,35) mm e um perfil I (160806,35) mm determine a localização dos eios principais centrais de inércia, bem como os momentos principais centrais de inércia. Considere as seguintes propriedades para o perfil L: = 11,72 cm 2, I Xc = 87,5 cm 4, I Yc = 122,64 cm 4 e I XcYc = - 61,7 cm 4 correspondentes ao esquema ilustrado abaio. Considere as seguintes propriedades para o perfil I: = 19,51 cm 2, I Xc = 768,8 cm 4 e I Yc = 54,5 cm 4 correspondentes ao esquema ilustrado abaio. 3 c c c 2.3 c ,8 30) Determinar os momentos principais centrais de inércia para a seção transversal ilustrada na figura ao lado. Indique claramente no desenho as posições dos eios de referência, dos eios centrais e dos eios principais centrais de inércia. Indique no desenho qual eio corresponde ao momento de inércia máimo e qual eio corresponde ao momento de inércia mínimo. 25 0,6 7,5 15

22 31) Determine o momento de inércia da seção transversal da viga ilustrada na figura abaio o 45 o C 45 o 45 c (mm) 25 32) Demonstre que o produto de inércia calculado em relação aos eios principais de inércia é sempre igual a zero. 33) Para a peça ilustrada na figura (4) determinar a localização dos eios centrais de inércia (representar estes eios no desenho), os momentos centrais de inércia, a localização dos eios principais centrais de inércia (representar estes eios no desenho) e os momentos principais centrais de inércia, identificando os eios correspondentes ao momento de inércia máimo e mínimo. ref 2 + = 0,125 3 Obs. Os valores usados na função = 0, devem estar em cm. Figura (4) Ø40 1 (mm) ref

23 34) Deduza a epressão que fornece o momento de inércia central I c de uma barra circular de pequena espessura ilustrada na figura (3). Considere que r>>t. r t 35) Para a área representada na figura (5) determine os momentos principais centrais de inércia. Localize os eios principais centrais de inércia, identificando o eio correspondente ao momento de inércia máimo e o eio correspondente ao momento de inércia mínimo. Calcule os raios de giração máimo e mínimo ) Determine os momentos de inércia e o produto de inércia da área ilustrada na figura (4) em relação aos eios e. R 45 45

24 37) Para a área representada na figura (5) determine os momentos principais centrais de inércia. Localize os eios principais centrais de inércia, identificando o eio correspondente ao momento de inércia máimo e o eio correspondente ao momento de inércia mínimo. Calcule os raios de giração máimo e mínimo ) Determinar os momentos principais centrais de inércia para a seção transversal ilustrada na figura (4). Indique claramente no desenho as posições dos eios de referência, dos eios centrais e dos eios principais centrais de inércia. Indique no desenho qual eio corresponde ao momento de inércia máimo e qual eio corresponde ao momento de inércia mínimo. ref 35 1,7 1,2 1,2 ref 39) Determinar o momento central de inércia em relação ao eio c da área ilustrada na figura (5)

25 40) Deduza a epressão para determinar o momento central de inércia I c da área ilustrada na figura (2). Localize os eios principais centrais de inércia (representar na figura) e identifique os eios correspondentes ao momento de inércia máimo e mínimo. R 41) Determinar os momentos principais centrais de inércia para a seção transversal ilustrada na figura (3). Indique claramente no desenho as posições dos eios de referência, dos eios centrais e dos eios principais centrais de inércia. Indique no desenho qual eio corresponde ao momento de inércia máimo e qual eio corresponde ao momento de inércia mínimo. 7,5 7,5 15 R 5 42) Determine os momentos principais de inércia correspondentes ao ponto O indicado na figura (4). 2 = O 50

26 43) Determine os momentos principais centrais de inércia da área representada na figura (5). Localize os eios centrais e os eios principais representando-os no desenho. 50 R