DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS DE VIGAS DE SEÇÃO RETANGULAR

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1 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS DE VIGAS DE SEÇÃO RETANGULAR Prof. Henrique Innecco Longo LN ε cu l α c f c C h M A S ε s b T Departamento e Estruturas Escola Politécnica a Universiae Feeral o Rio e Janeiro Abril e 2017

2 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo 1 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Innecco Longo longohenrique@gmail.com 1. Diagramas para o imensionamento No Estao Limite Último, a istribuição as tensões e compressão no concreto poe ser feita por um iagrama parábola retângulo. A figura 1 mostra o iagrama e eformações e o iagrama e tensões no concreto para uma seção retangular submetia a uma fleão simples. Nesta figura poese observar que o iagrama e tensões é retangular no trecho superior até a eformação 2,0 %0 e parabólico no trecho inferior ε cu 3,5%0 σ c LN ε c2 2%0 C h M A S ε s T b Diagrama e Deformações Diagrama e Tensões Fig. 1 - Diagrama e eformações e e tensões para o imensionamento As letras usaas no imensionamento são as seguintes: b largura a viga h altura a viga altura útil a viga (istância o boro superior até o centro e graviae a armaura A s ) istância entre a o centro e graviae a armaura A s e o boro inferior a viga LN linha neutra - posição a linha neutra ε cu - eformação específica e encurtamento o concreto na ruptura ε c2 - eformação específica e encurtamento o concreto no início o patamar plástico ε s - eformação específica o aço a armaura na ruptura σ c - tensão à compressão no concreto e cálculo M momento fletor solicitante e cálculo (M 1,4 M) A s - área a seção transversal a armaura longituinal e tração C resultante as tensões e compressão no concreto T resultante as tensões e tração no aço braço e alavanca (istância entre as resultantes C e T )

3 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo 2 Diagrama retangular e tensões no concreto A NBR-6118(2014) permite aotar para o concreto um iagrama e tensões retangular simplificao e profuniae igual a l, seno a posição a linha neutra, conforme figura 2. LN ε cu l α c f c C h M A S ε s b Fig. 2 Diagramas para o imensionamento com armaura simples T Valores e l l 8 l 8 (f c 50) / 400 para f c 50 MPa para f c > 50 MPa Valores a tensão máima no concreto σ c σ c a C f c no caso a largura a seção, meia paralelamente à linha neutra, não iminuir a partir esta para a bora comprimia no caso contrário σ c 9 a C f c a C 85 a C 85 {1,0 (f c 50) / 200} concretos e classes até C50 concretos e classes e C50 até C90 Na fleão simples, as seções poem estar subarmaas, normalmente armaas ou superarmaas (fig.3), seno que para o aço CA-5 a eformação e escoamento vale: ε y 2,07 %0 Seção Subarmaa (omínio 3) Seção Normalmente Armaa Seção Superarmaa (omínio 4) ε cu 3,5 %0 ε cu 3,5 %0 ε cu 3,5 %0 ε s ε y ε s ε y ε s < ε y Fig.3 Tipos e ruptura na fleão simples no Estao Limite Último

4 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo 3 2. Dimensionamento as armauras O imensionamento as armauras consiste em eterminar as áreas as armauras e tração para um eterminao momento fletor atuante na seção transversal a viga. Este imensionamento poe ser feito por fórmulas ou por tabelas. Posição a linha neutra () A posição a linha neutra poe ser obtia pelo equilíbrio o momento fletor atuante e o momento fletor resistente. De acoro com a figura 2, temos: M C Substituino os valores a figura 2, obtemos: M α f λ b ( 0, 5 λ ) C c Resolveno esta equação o seguno grau, obtemos o valor e. Valores limites a linha neutra A capaciae e rotação os elementos estruturais é função a linha neutra no ELU. Quanto menor for a relação /, maior será essa capaciae e rotação. Para melhorar a utiliae em vigas e lajes, a posição a linha neutra no ELU eve obeecer a certos limites. A utiliae é a capaciae e plastificação a estrutura que garante a sustentação e cargas, mesmo com granes eformações. De acoro com a NBR-6118(2014), estes limites são: / 45 / 35 para concretos com f c 50 MPa para concretos com 50 MPa < f c 90 MPa De acoro com a NBR-6118 (2014), estes limites poem ser alteraos se forem utiliaos etalhes especiais e armauras. Braço e alavanca () Pela figura 2, poemos obter o valor e : 5 λ Área as armauras e tração A área a armaura e tração é obtia em função a força e tração: M T. Para os omínios 2 e 3, o aço a armaura vai escoar e a área a armauras vai ser igual a: M AS f y A bitola as armauras e a quantiae e barras comerciais são escolhias pela tabela 2 o aneo esta publicação. Desafio Determine a área as armauras e tração a viga (15cm40cm) para um momento fletor atuante igual a M50Nm. Verifique a posição a linha neutra, efina a bitola e a quantiae e barras estas armauras. Concreto C40 aço CA-50

5 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo 4 3. Coeficientes as tabelas e imensionamento As tabelas e imensionamento são elaboraas em função e coeficientes aimensionais. Coeficiente para a efinição a linha neutra ( X ) Por semelhança e triângulos o iagrama e eformações a figura 2, temos: Faeno Obtemos: ε εcu + ε CU ε S CU X ε CU + ε S X Conforme mostrao anteriormente, / eve ser limitao para que a ruptura aconteça com escoamento a armaura. Assim: / 45 / 35 para concretos com f c 50 MPa para concretos com 50 MPa < f c 90 MPa Coeficiente para a efinição o braço e alavanca ( ) O braço e alavanca é obtio em função a posição a linha neutra, conforme figura 2: 5 l Substituino o valor e : 5l. (1 5l ) Faeno 1 5 l, o braço e alavanca poe ser escrito por: Z Coeficiente e entraa a tabela ( m ) Pelo equilíbrio e momentos a figura 2: M α f.λ. b C c. Substituino e pelas equações anteriores: Faeno: Seno: M m α C c f c α λ.. M m. λ( ). b.( ). b. M m 2. b. fc 2. f c

6 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo 5 Coeficiente em função e m Substituino o na equação e m, obtemos: m α λ..( 1-5 λ. c ) Esta equação poe ser escrita por: 2 2 5λ αc λαc + m 0 Diviino esta equação por 2 5λ α temos: c 2 ( 2 / λ) + 2m /( λ αc) 0 Resolveno esta equação e seguno grau: α λ m c Coeficiente em função e Depois e obter, eterminamos o coeficiente pela equação (2): Área a armaura 1 5 l A S M. f y Em ve estas fórmulas, o imensionamento fleão simples também poe ser feito pela tabela e HAMPSHIRE (2103), mostraa no aneo 1. Valores limites os coeficientes a) Para f c 50MPa, temos l 8 e ma 45: Coeficiente ZMAX Consierano Z 1 5. λ. Substituino ZMAX ( ) ZMAX 82 Coeficiente mmax Consierano m λ. X. Zα mmax mmax 251 c X

7 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo 6 b) Para 50MPa, f c 90 MPa temos l 8 (f c 50) / 400 e ma 35: ZMAX Coeficiente Consierano Z ( 1 5. λ. X ) ( 1 5. λ. 35) ZMAX ZMAX ( 1 175λ) Coeficiente mmax m λ. X. Zαc λ. 35. mmax ZMAX mmax 35λ.( α λ). α Dimensionamento usano a tabela e imensionamento Determinação o coeficiente m M m 2. b. f Com este coeficiente calculaa por: A S c C C mmax m, obtemos na tabela o valor e e a área as armauras poe ser M. f y O que acontece quano o valor e m é maior o que o valor máimo? É possível imensionar uma viga no omínio 4? O que eve ser feito para evitar que aconteça uma ruptura o concreto sem eformação o aço? Momento máimo com armaura simples O momento fletor máimo e cálculo que esta seção resiste com armaura simples será: M mmax b. 2. f c Desafio a) Determine a área as armauras a viga (15cm40cm) o esafio anterior para M50Nm, usano a tabela e imensionamento. b) Obtenha o valor e a tabela e etermine a posição a linha neutra. c) Calcule o momento máimo que esta seção transversal esta viga com armaura simples. Concreto C40 aço CA-50

8 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo 7 Eercícios 1) A viga (12cm 50cm) biapoiaa está submetia a uma carga uniformemente istribuía. Calcule a área as armauras pelo momento fletor máimo sem usar a tabela e imensionamento e epois compare o resultao usano a tabela. Concreto C30 aço CA-50 20N/m 5m 2) Determine o maior momento que a seção transversal e uma viga (20cm 40cm) com armaura simples com concreto C40 e com concreto C80. aço CA-50 3) Determine a altura mínima que a viga a figura poe resistir com armaura simples. largura a viga b 12cm concreto C30 aço CA-50 30N/m 20N 6m 4) A viga (20cm 60cm) a figura está engastaa em um pilar em uma as etremiaes. 40N/m 3m a) Determine as áreas as armauras para o momento máimo para o concreto nas classes C30 e C80. Analise os resultaos b) Desenhe um esquema as armauras. 5) Eplique o que eve ser feito quano no imensionamento, o valor e m for maior o que o valor máimo.

9 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo 8 4. Verificação o momento resistente para uma aa armaura A verificação o momento resistente para uma armaura aa consiste em eterminar o momento fletor que esta seção resiste sem atingir a ruptura. Nesta verificação, é preciso eterminar a posição a linha neutra, o braço e alavanca para epois obter o momento resistente. Posição a linha neutra A posição a linha neutra é eterminaa através a força e compressão no concreto. Pela figura 2, poemos escrever que esta força e compressão vale: C αcfc.λ. b Done: C α f.λ. b C c Consierano que a força e compressão é igual a força e tração, ou seja: F C C A S. f y Assim seno, obtemos o valor a posição a linha neutra: AS. f y α f. λ. b C c A posição limite a linha neutra eve ser verificaa para que o aço a armaura e tração escoe: LIM Braço e alavanca Pela figura 2, poemos obter o braço e alavanca: 5. λ. Momento resistente e cálculo Também pela figura 2, poemos obter o momento resistente: M T. R Substituino o valor e : M T.( 5. λ. ) R M A.f ( 5. λ. ) R s y Momento resistente e serviço MR MR 1, 4 Desafio Determinar o momento que a seção transversal e uma viga (20cm 40cm) resiste para uma armaura e tração igual a 5 Ф12,5mm concreto C20 aço CA-50

10 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo 9 5. Dimensionamento com armaura upla ( m > m MAX ) Quano no imensionamento, a eformação o aço ε s for menor o que a eformação e escoamento ε y, haverá ruptura brusca por esmagamento o concreto (omínio 4). Neste caso, é conveniente colocar uma armaura e compressão A S e faer o imensionamento como seção normalmente armaa, como na figura 4. A S ε cu 3,5%0 C 2 LN ε' s l a c f c C 1 h Z LIM - M Ma M A S ε s ε y b T 1 T 2 Fig. 4 Dimensionamento com armaura upla O momento e cálculo M é esmembrao no momento máimo M MAX que a seção resiste com armaura simples e no momento M resistio pela armaura e compressão, ou seja: M M MAX + M O momento fletor máimo e cálculo que esta seção resiste com armaura simples será: M MAX mmax b. 2 f c A força e tração corresponente a esta armaura será: M MAX T ZMAX O momento e cálculo resistio pela amaura e compressão é obtio pela equação (23): M M - M MAX A força e tração corresponente a esta armaura e compressão será: M T (- ) A força e tração total é a soma as parcelas: T T 1 + T 2

11 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo 10 Assim, consierano as equações anteriores, a área as armauras e tração será: M MAX M A S Z LIM f y (- ) f y A força e compressão C 2 na armaura e compressão vale: M C (- ) A área a armaura e compressão A S será então obtia, iviino-se esta força pela tensão e compressão σ S no aço a armaura e compressão, obtia pelo iagrama tensão-eformação o aço em função a eformação na armaura ε' s : Como geralmente o valor e ` não é muito grane nas vigas usuais e eifício, a eformação a armaura e compressão ε' s é maior o que a eformação e escoamento o aço CA-5 ou seja: ε' s > ε y 2,07%0 (aço CA-50) Deste moo, a tensão σ S e compressão vai ser igual a f y. Roteiro para o imensionamento com armaura upla usano tabelas - Calcular o valor e m : - Se m > mmax o imensionamento eve ser feito com armaura upla -Com o valor e mmax obter Z LIM a tabela e imensionamento - Calcula-se o momento e cálculo resistio pela amaura e compressão M M - M MAX - Área as armauras e tração M A S (- ) σ S M MAX M A S Z LIM f y (- ) f y - Área as armauras e compressão M A S (- ) σ S

12 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo 11 Eercícios 1) Dimensione as armauras a viga (12cm 50cm) pelo momento fletor máimo. Desenhe um esquema as armauras em corte transversal e longituinal. concreto C30 aço CA-50 50N/m 5m 2) Determine a maior carga P que a viga (2060) em balanço resiste com armaura simples Concreto C70 aço CA-50 P 4m 3) Calcule a área as armauras a viga (1540) para o momento fletor igual a 100 Nm usano o concreto C20 e epois para o C90. Analise as uas soluções. aço CA-50 4) Determine o maior momento positivo que a seção transversal a viga resiste com as armauras e tração e e compressão mostraas na figura. concreto C20 aço CA-50 A s 3 Ф12,5 40 cm A s 5 Ф 16 20cm 5) Determine o iagrama e eformações específicas para o eercício anterior e especifique o omínio e eformações no Estao Limite Último.

13 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo Verificação o momento resistente com armaura upla Nesta verificação, é preciso eterminar a posição a linha neutra consierano a eistência a armaura e tração e e compressão, conforme figura 5. A S ε cu 3,5%0 C 2 LN ε' s l a c f c C 1 h - M RD A S ε s b T Fig. 5 Verificação o momento resistente com armaura upla Forças nas armauras Consierano inicialmente que o aço as armauras vai escoar: T C 2 A f S y A f S y Força no concreto É obtia pelo equilíbrio e forças: C1 T C2 Posição a linha neutra A posição a linha neutra é eterminaa através a força e compressão no concreto. Pela figura 5, poemos escrever que esta força e compressão vale: C α f. λ. b 1 C c Done: C 1 α Cfc λ.. b A posição limite a linha neutra eve ser verificaa para que o aço a armaura e tração escoe: LIM

14 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo 13 Braço e alavanca Pela figura 5, poemos obter o braço e alavanca: 5. λ. Momento resistente e cálculo Também pela figura 5, poemos obter o momento resistente: Momento resistente e serviço MR MR 1, 4 MR C 1. + C 2.(-') Referencias bibliográficas ABNT - NBR 6118 Projeto e Estruturas e Concreto Proceimento, FUSCO, P.B. Estruturas e Concreto, Solicitações Normais, Guanabara Dois, HAMPSHIRE, S.C.S.- Os concretos e alta resistência na NBR-6118:2014.revista IBRACON n.73, SÜSSEKIND, J.C. Curso e Concreto, vol.1, E. Globo, 1983.

15 Dimensionamento as Armauras Longituinais e Vigas e Seção Retangular Prof. Henrique Longo 14 TABELA 1 TABELA DE DIMENSIONAMENTO `A FLEXÃO SIMPLES HAMPSHIRE (2013) f c 50MPa 60MPa 70MPa 80MPa 90MPa ε cu e lim23 3, , , , , λ e α c K m K m K m K m K m TABELA 2 ÁREA DAS SEÇOS TRANSVERSAIS DE BARRAS DE AÇO (cm 2 ) valores nominais e cáculo iâmetro a barra (mm) área a seção (cm 2 ) 5 2 6, ,5 1, ,0 20 3, ,0