5 Exemplos Numéricos do Caso Linear

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1 56 5 Exemplos Numéricos do Caso Linear Neste capítulo apresenta-se uma série de exemplos numéricos como parte de um estudo paramétrico para avaliar e validar a exatidão do método aproximado perante a solução analítica exata, tanto da formulação que considera simetria na resposta, quanto da solução que considera assimetria. Isto com a finalidade de demonstrar que o método aproximado apresenta as condições necessárias para ser usado na análise não-linear do problema Comparação Entre a Solução Exata e a Solução Aproximada Simétrica Comparação entre as funções de aproximação para uma viga com carga concentrada estática Nesta seção é feita uma comparação entre a solução analítica para uma viga infinita submetida à ação de uma carga concentrada estática, i. e., considerando V=0, para avaliar a convergência da solução aproximada simétrica, considerando os três tipos de funções de aproximação definidas nos itens , e , com a finalidade de escolher a mais eficiente. Definem-se na Tabela 5-1 os parâmetros usados para os exemplos desenvolvidos nesta seção: Tabela 5-1 Parâmetros do sistema Parâmetro Símbolo Unidade Valor Rigidez à flexão EI knm Massa linear m kg Rigidez da fundação elástica k kn/m x10 3 Coeficiente de amortecimento Crítico Cr kns/m 300 x10 3 Carga concentrada Q kn -40

2 57 Sabe-se que, para uma viga submetida a uma carga concentrada estática, a resposta dos deslocamentos está dada por: Q ( λη ) w ( η) = e ( sen( λη) + cos( λη)) (5.1) 2k onde: k λ = 4 (5.2) 4EI Influência do número de funções de aproximação N A seguir mostra-se, através da Figura 5.1, a influência do número de funções de forma quando os demais parâmetros são mantidos constantes, considerando os três tipos de funções de aproximação para o caso simétrico D e s lo c a m e n to v e rtic a l (m m ) Analítico Galerkin (N=2) Galerkin (N=5) Galerkin (N=10) Figura 5.1 Comparação entre a resposta exata e resposta aproximada simétrica usando os modos de viga bi-engastada: C = 0.01Cr, L = 2.5m, V = 0.

3 Deslocamento vertical (mm) Analítico Galerkin (N=2) Galerkin (N=5) Galerkin (N=7) Figura 5.2 Comparação entre a resposta exata e resposta aproximada simétrica usando polinômios de Legendre: C = 0.10Cr, L = 2.5m, V = Deslocamento vertical (mm) Analítico Galerkin (N=2) Galerkin (N=5) Galerkin (N=10) Figura 5.3 Comparação entre a resposta exata e resposta aproximada simétrica usando modos de viga bi-apoiada: C = 0.1Cr, L = 2.5m, V = 0. Nas Figuras 5.1, 5.2 e 5.3 observa-se que, à medida que o número de funções N aumenta, a solução aproximada converge para a resposta exata quando se usa funções de aproximações na forma dos modos de vibração de vigas biengastadas e bi-apoiadas. Já a aproximação por polinômios de Legendre não

4 59 apresenta a mesma velocidade de convergência e a resposta para N = 7 é pior que aquela obtida com N = Influência do comprimento de integração L a) Deslocamento vertical (mm) Analítico Galerkin (L=2.5) Galerkin (L=5) Galerkin (L=10) b) Deslocamento vertical (mm) Analítico Galerkin (L=2.5) Galerkin (L=5) Galerkin (L=10) c) Deslocamento vertical (mm) Analítico Galerkin (L=2.5) Galerkin (L=5) Galerkin (L=10) Figura 5.4 Comparação entre a resposta exata e resposta aproximada simétrica: a) modos de viga bi-engastada; b) polinômios de Legendre; c) modos de viga bi-apoiada; C = 0.01Cr, V = 0, N = 7.

5 60 Na Figura 5.4 observa-se que, para os três casos, à medida que o comprimento de discretização L aumenta, a resposta aproximada se afasta da solução analítica exata quando se considera o número de funções de interpolação constante, no caso N = 7. À medida que L aumenta, deve-se aumentar paralelamente o número de funções de interpolação para manter o mesmo nível de aproximação Convergência da aproximação para uma viga com carga concentrada estática Analisa-se agora a convergência mantendo fixo o comprimento de discretização do domínio com um valor de L = 2.50m, e variando o número de funções no cálculo do deslocamento vertical máximo, que se encontra no ponto de aplicação da carga. Tabela 5-2 Convergência do método de Galerkin no cálculo do deslocamento máximo. Modos de Vibr. Polinomios de Modos de Vibr. Exato Bi-engastado Legendre Bi-apoiado N d máx d máx d máx d máx %erro %erro %erro %erro (mm) (mm) (mm) (mm) NC NC NC NC NC NC NC: Não foi possível calcular Deslocamento vertical Máximo (mm) Exato bi-apoiada Pol. de Legendre bi-engastada Número de Funções (N ) Figura 5.5 Convergência do deslocamento máximo.

6 61 Na tabela 5-2 e na Figura 5.5, observa-se que o comportamento da aproximação por modos de vibração de viga bi-apoiada e de viga bi-engastada apresentam uma boa convergência. Já a aproximação por polinômios de Legendre apresenta uma convergência mais lenta e, para um número de funções de aproximação maior que sete, não foi possível calcular a resposta, provavelmente por causa de algum mal condicionamento das equações, já que a resolução para este caso é feita por integração numérica das equações de movimento, e, tratandose de funções polinomiais, elas tendem a apresentar problemas numéricos quando seu grau é elevado Escolha do tipo de função de aproximação para o caso simétrico Com base nos resultados mostrados nos itens ; e 5.1.2, tomase como função de aproximação para a solução aproximada simétrica os modos de vibração de viga bi-apoiada, já que estas funções apresentam uma boa convergência e rapidez no cálculo. Elas serão usadas daqui em diante em todos os exemplos desenvolvidos para a comparação com a solução analítica exata quando houver simetria na resposta Análise paramétrica para viga com carga móvel distribuída de magnitude constante Nesta seção é feita uma análise comparativa entre a solução exata e a aproximada para a mesma viga analisada na seção anterior (Tabela 5-1), mas considerando agora um carregamento uniformemente distribuído móvel de amplitude constante. Além disso, a viga encontra-se submetida à ação de uma força axial P. Na Tabela 5-3 são mostrados os parâmetros que caracterizam o carregamento distribuído: Tabela 5-3 Parâmetros de carregamento distribuído. Parâmetro Símbolo Unidade Valor Resultante da Carga FR kn Intensidade de carga q kn/m Comprimento da extensão da carga a m 0,1525

7 Influência do raio de giração Na Figura 5.6 se mostra a comparação entre a solução exata e a solução aproximada na fase permanente do movimento, para distintos valores de raio de giração: 0.50 Deslocamento vertical (mm) Analítico(FFT, r=0.0m) Galerkin (r=0.0m) Analítico(FFT, r=0.08m) Galerkin (r=0.08m) Analítico(FFT, r=0.113) Galerkin (r=0.113m) Figura 5.6 Deslocamento vertical na fase permanente, solução analítica e Galerkin: C = 0.01Cr, V = m/s, P = -2MN, N = 15, L = 3m. A Figura 5.6 mostra que o aumento do raio de giração da seção da viga, r, associado à parcela de inércia rotacional, se traduz em um aumento no valor dos deslocamentos. Os resultados também mostram que a análise pelo método de Galerkin reproduz com precisão as respostas obtidas mediante a solução analítica da viga infinita usando a transformada de Fourier Influência da rigidez da fundação Apresenta-se agora na Figura 5.7 a influência que tem na resposta permanente do sistema a variação do valor da rigidez da fundação elástica, k.

8 Deslocamento vertical (mm) Analítico(k=60MPa) Analítico(k=240MPa) Analítico(k=120MPa) Analítico(k=360MPa) Galerkin(k=60MPa) Galerkin(k=120MPa) -1.2 Galerkin(k=240MPa) Galerkin(k=360MPa) Figura 5.7 Resposta na fase permanente para distintos valores de k: C = 0.01Cr, V = m/s, P = 0, N = 50, L=5m, r = 0.0 m. Observa-se na Figura 5.7, que, como esperado, a resposta do sistema apresenta menores deslocamentos quando se aumenta o valor de k. Observa-se também que o método de Galerkin reproduz com boa precisão o comportamento da viga. Na Figura 5.8 se mostra como varia o deslocamento máximo do sistema na fase permanente com a variação da rigidez da fundação, para três valores distintos de raio de giração. Observa-se que os deslocamentos crescem de forma quase exponencial quando se diminui a rigidez da fundação elástica Deslocamento vertical Máximo(mm) Analítico (r=0.0m) Analítico(r=0.10m) Analítico(r=0.15m) Galerkin (r=0.0m) Galerkin (r=0.10m) Galerkin (r=0.15m) Fator de Rigidez da fundaçao "k" (GN/m) Figura 5.8 Deslocamentos máximos para distintos valores de k e r: C = 0, V = m/s, P = 0, N = 50, L = 5m.

9 64 Também se pode observar na Figura 5.8 que, quando o raio de giração aumenta, aumenta o valor dos deslocamentos máximo para um mesmo valor de k. No entanto, a diferença diminui à medida que o valor de k cresce até praticamente desaparecer quando o valor de k é elevado. Esta diferença no valor do deslocamento com a variação do raio de giração deve-se à ação da velocidade da carga, já que no caso estático o raio de giração não tem efeito algum Influência da velocidade do carregamento Analisa-se agora a influência da velocidade do carregamento na resposta do sistema para distintos valores de rigidez de fundação Analítico (V=50m/s) Analítico(V=100m/s) Analítico(V=150m/s) Deslocamento vertical Máximo(mm) 2.00 Galerkin (V=50m/s) Galerkin (V=100m/s) Galerkin (V=150m/s) Fator de Rigidez da fundaçao "k" (MPa) Figura 5.9 Deslocamentos máximos para distintos valores de k e V. C = 0, r = 0.08 m, P = 0, N = 50, L = 5m. Na Figura 5.9 observa-se que, para um mesmo valor de rigidez de fundação k, o deslocamento máximo aumenta à medida que aumenta o valor da velocidade do carregamento. Observa-se também que, à medida que o valor da rigidez da fundação k aumenta, todas as curvas convergem para um mesmo valor de deslocamento máximo. Novamente, a solução aproximada coincide com a solução analítica. Analisa-se agora a flecha máxima da viga quando a velocidade do carregamento varia desde valores baixos até altos valores, mantendo-se constantes os demais parâmetros.

10 65 Na Figura 5.10 apresenta-se a variação do valor do deslocamento máximo da viga em função da velocidade do carregamento, calculados com a solução analítica e aproximada considerando simetria na resposta, para dois valores do raio de giração Galerkin(r=0.08m) Analítico(r=0.08m) Galerkin(r=0.0m) Analítico(r=0.0m) Deslocamento vertical máximo (m) Velocidade(m/s) Figura 5.10 Deslocamento máximo em função de V para distintos valores de r: C = 0.05Cr, P = -2MN, N = 50, L = 8m. Na Figura 5.10 pode se observar que os valores dos deslocamentos máximos na resposta exata aumentam com a velocidade do carregamento até atingir um valor máximo, após o qual a flecha máxima diminui com o aumento da velocidade. Este valor de velocidade onde o sistema atinge o máximo deslocamento é denominado velocidade crítica. Observa-se também que, quando o valor do raio de giração aumenta, a velocidade crítica diminui e o deslocamento máximo aumenta. Este comportamento foi observado anteriormente por Kim (2005). A solução por Galerkin considerando simetria aproxima de forma adequada a resposta exata para valores de velocidade menores que a velocidade crítica. No entanto, conforme o valor da velocidade se aproxima do valor crítico, o método de Galerkin considerando simetria se afasta da resposta exata, tendendo a flecha

11 66 máxima para infinito na vizinhança da velocidade crítica. Isto porque a resposta do sistema perde simetria quando o valor da velocidade de carregamento se aproxima da velocidade crítica. Para entender esta perda de simetria na resposta mostra-se na Figura 5.11 a configuração da viga para distintos valores de velocidade. Figura 5.11 Comportamento da deformada solução analítica para distintos valores de velocidade, quando C = 0.05Cr, P = -2MN e r = 0.08m. Na Figura 5.11 pode-se observar que a configuração da deformada é simétrica com respeito ao carregamento para uma velocidade igual a 80% da velocidade crítica. Já para uma velocidade igual à velocidade crítica a resposta perde simetria, localizando-se o deslocamento máximo à esquerda da origem, i.e., após a passagem do carregamento. Para um valor de velocidade superior à velocidade crítica (1.6Vcr), a resposta perde totalmente a simetria. Resposta similar foi encontrada por Frýba (1972). Assim, para analisar sistemas submetidos a altas velocidades, é necessário utilizar funções que consigam representar a assimetria da resposta Comparação Entre a Solução Exata e a Solução Aproximada com Formulação Assimétrica Como foi visto na seção anterior 5.1., a solução aproximada pelo método de Galerkin considerando simetria na resposta consegue reproduzir de forma

12 67 adequada a resposta exata para valores de velocidade abaixo da velocidade crítica. Nesta seção são analisados exemplos numéricos onde a velocidade do carregamento atinge e/ou ultrapassa o valor crítico, usando a formulação aproximada com séries de Fourier e polinômios de Legendre, deduzidas no Capítulo 4. Da mesma forma que para o caso de resposta simétrica, faz-se uma comparação da eficiência das funções de aproximação a fim de se eleger o tipo de função de aproximação mais eficiente. Para tal fim, analisa-se o sistema submetido a uma carga concentrada móvel com velocidade de deslocamento igual ou superior à velocidade crítica Comparação entre as funções de aproximação para uma viga com carga concentrada móvel Nesta seção é feita uma comparação entre a solução analítica para uma viga infinita submetida à ação de uma carga concentrada móvel com velocidade de carregamento igual ou maior que a velocidade crítica, a fim de avaliar a convergência da solução aproximada assimétrica para os dois tipos de funções de aproximação definidas nos itens e Isto com a finalidade de escolher a mais eficiente. Os parâmetros usados para os exemplos desenvolvidos nesta seção são os definidos na Tabela Influência do número de funções de aproximação N para velocidade igual à velocidade crítica A seguir, se mostra uma comparação da influência do número de funções de aproximação quando os demais parâmetros são mantidos constantes, para os dois tipos de funções de aproximação, e para uma velocidade do carregamento igual à velocidade crítica.

13 D eslocam ento v ertica l (m m ) Galerkin N=5 Galerkin N=7 Analítico Figura 5.12 Comparação entre a resposta exata e resposta aproximada assimétrica por polinômios de Legendre: C = 0.05Cr, L = 5m, V = 170m/s (V/V cr = 1), r = Deslocamento vertical (mm) Galerkin N=5 Galerkin N=7 Galerkin N=9 Analítico Figura 5.13 Comparação entre a resposta exata e resposta aproximada assimétrica por séries de Fourier. C = 0.05Cr, L = 5m, V = 170m/s(V/V cr = 1), r = 0. Nas Figuras 5.12 e 5.13 observa-se que a aproximação por séries de Fourier é mais eficiente que a aproximação por polinômios de Legendre, já que converge com maior velocidade. Cabe salientar que, no caso da aproximação por

14 69 polinômios de Legendre, não foi possível calcular resultados para valores de N superiores a 7. A solução por série de Fourier consegue representar de forma adequada a assimetria da resposta. Já a aproximação por polinômios de Legendre, além de ter menor velocidade de convergência, não consegue representar um comportamento assimétrico para os números de funções testados Influência do comprimento de discretização L para velocidade maior que a velocidade crítica Mostra-se agora uma comparação da influência do comprimento de discretização L quando os demais parâmetros são mantidos constantes, para os dois tipos de funções de aproximação usados no método de Galerkin considerando assimetria na resposta e considerando a velocidade igual à velocidade crítica D e s lo c a m e n to v e rtic a l (m m ) Galerkin L=3 Galerkin L=4 Galerkin L=10 Analítico Figura 5.14 Comparação entre a resposta exata e resposta aproximada assimétrica por polinômios de Legendre. C = 0.05Cr, N = 6, V = 170m/s, r = 0.

15 70 Figura 5.15 Comparação entre a resposta exata e resposta aproximada assimétrica por séries de Fourier: C = 0.05Cr, N = 15, V = 170m/s(V/V cr = 1), r = 0. As Figuras 5.14 e 5.15 mostram a influência do comprimento L na resposta aproximada. Nestes gráficos pode-se verificar que a aproximação por séries de Fourier é mais rápida quanto à convergência, já que para um valor fixo de termos N = 15, as respostas para L = 5m, e L = 10m são muito próximas da resposta analítica. Já para um comprimento L = 20m, a resposta afasta-se da solução exata. Entretanto, a solução por polinômios de Legendre não apresenta uma convergência para os valores testados de L e N. Pode observar-se também na Figura 5.14 que, quando L = 3m, a solução aproximada por polinômios de Legendre apresenta deslocamentos maiores que a resposta analítica e não apresenta comportamento assimétrico Escolha do tipo de função de aproximação para o caso assimétrico Com base nos resultados obtidos nos exemplos testados em e , nos quais foram analisadas as aproximações por séries de Fourier e polinômios de Legendre, pode se constatar que as aproximações por séries de Fourier apresentaram um bom desempenho. Já os polinômios de Legendre não apresentaram bons resultados para os exemplos analisados. Isto provavelmente pode ser explicado por um problema de mal condicionamento numérico pelo alto grau dos polinômios, de forma similar que no caso simétrico. Na presente

16 71 dissertação, daqui em diante, emprega-se a aproximação por séries de Fourier para a análise de exemplos que impliquem em possibilidade de assimetria na resposta Análise paramétrica, para viga com carga móvel distribuída e assimetria na resposta Influência do número de funções de aproximação N para velocidade maior à velocidade crítica Como visto no item , quando a velocidade do carregamento atinge o valor crítico a resposta torna-se assimétrica e a aproximação por séries de Fourier é capaz de representar tal assimetria. É analisada agora a influência do número de funções de aproximação N para uma velocidade do carregamento maior que a velocidade crítica, considerando o carregamento distribuído uniforme definido na Tabela 5-3. Figura 5.16 Comparação entre a resposta analítica e a resposta aproximada assimétrica por séries de Fourier: C = 0.05Cr, L = 15m, r = 0m, P = -2MN, V = 180m/s(V/V cr = 1.1). Na Figura 5.16 se observa que, quando a velocidade do carregamento é maior que a velocidade crítica, a resposta torna-se assimétrica. Neste caso o método de Galerkin consegue uma boa aproximação com a resposta analítica para

17 72 um valor de N = 50. Também se pode observar que os deslocamentos máximos ocorrem após a passagem da carga Influência da velocidade do carregamento e raio de giração, nos deslocamentos máximos No item observa-se que, a formulação considerando simetria não consegue reproduzir a resposta de forma adequada na vizinhança da velocidade crítica e para velocidades superiores a esta, tal como mostrado na Figura Mostra-se agora a influência da velocidade no cálculo dos deslocamentos máximos para dois valores distintos de raio de giração, usando a formulação aproximada com séries de Fourier que considera a não-simetria na resposta Deslocamento vertical máximo (m) Galerkin(r=0.08m) Galerkin(r=0.0m) Analítico(r=0.08m) Analítico(r=0.0m) Velocidade(m/s) Figura 5.17 Deslocamentos máximos em função da Velocidade para distintos valores de r: C = 0.05Cr, P = -2MN, N = 50, L = 8m. Na Figura 5.17, observa-se que o método de Galerkin usando séries de Fourier consegue representar com boa precisão a zona de deslocamentos máximos na vizinhança da velocidade crítica e superiores a esta. Também é observado que o valor dos deslocamentos máximos aumenta e que o valor da velocidade crítica diminui com o aumento do raio de giração. Nota-se também que, para velocidades muito baixas ou muito altas, o raio de giração tem pouca influência nos deslocamentos máximos.

18 Influência da força axial e a rigidez da fundação. Comparam-se nesta seção os deslocamentos máximos calculados com a solução analítica e com a solução aproximada, para distintos valores de k e P, mantendo constante o valor dos demais parâmetros, considerando um valor de velocidade V = 50m/s Analítico (P=0) Analítico(P=-3MN) Analítico(P=-6MN) Galerkin (P=0) Galerkin (P=-3MN) Galerkin (P=-6MN) Deslocamento vertical Máximo(mm) Fator de Rigidez da fundaçao "k" (MPa) Figura 5.18 Deslocamentos máximos para distintos valores de k e P: C = 0, r = 0.08 m, V = 50m/s, N = 50, L = 5m. Na Figura 5.18, observa-se que o valor dos deslocamentos máximos aumenta quando aumenta o valor da força axial, com um comportamento similar ao caso de aumento de velocidade mostrado na Figura 5.8, e ao caso de aumento do raio de giração visto na Figura 5.9. Pode-se também observar que a influência da força axial P é importante para valores pequenos de rigidez da fundação, diminuindo sua influência à medida que o valor de k aumenta. Também neste caso o método aproximado consegue representar adequadamente a resposta do sistema Influência da força axial na velocidade crítica Como visto na Figura 5.18, a presença da força axial compressiva se traduz num incremento do valor dos deslocamentos. Mostra-se agora, na Figura 5-19, a variação da velocidade crítica em função do valor da força axial compressiva.

19 Velocidade Crítica (m/s) Analítico ( r = 0m) Analítico ( r =0.11m) Galerkin (r=0m) Galerkin (r=0.11m) Força Axial (MN) Figura 5.19 Velocidade crítica em função da força axial: C = 0.05C r, N = 50, L = 8m. Como mostrado na Figura 5.19, quando o valor da força axial compressiva aumenta o valor da velocidade crítica diminui até chegar a um ponto onde, para um certo valor de carga axial, a velocidade crítica é nula. Este valor corresponde ao valor da força axial crítica. Isto porque tanto um incremento de velocidade quanto um incremento de força axial compressiva se traduz em uma redução da rigidez do sistema. Neste caso, o método aproximado consegue reproduzir de forma adequada a relação entre a velocidade crítica e a força axial. Ainda na Figura 5.19 se pode observar que a curva para um raio de giração r = 0.08m encontra-se abaixo da curva correspondente a r = 0m. Isto mostra que a consideração do raio de giração diminui a velocidade crítica. No entanto, a influência de r diminui conforme aumenta o valor da força axial. Este comportamento também foi observado por Kim (2005) na sua análise linear de vigas submetidas a cargas móveis com presença de força axial compressiva Considerações Finais da Análise Linear Realizadas as análises lineares paramétricas, tanto para o caso de simetria na resposta quanto para o caso de assimetria da mesma, é possível comprovar o bom

20 75 desempenho do método aproximado de Galerkin, já que este consegue representar adequadamente a resposta nos diversos exemplos analisados. A comparação entre as funções de aproximação para o caso simétrico e não simétrico; permitiu escolher dentre elas as funções que apresentam melhor desempenho. Portanto, têm-se as condições necessárias para realizar agora a análise considerando não-linearidade na fundação, que é formulada para o caso simétrico e assimétrico nos capítulos seguintes.