FESP Faculdade de Engenharia São Paulo. CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo Duração: 85 minutos

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Theodoro Faria Jardim
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1 FESP Faculdade de Engenharia São Paulo Avaliação: A1 Data: 12/mai/ 2014 CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo Duração: 85 minutos Nome: Matrícula ORIENTAÇÕES PARA PROVA a b c Os símbolos a, b e c são os três últimos algarismos da matrícula no formato xxabc e devem ser utilizados nas dimensões (das cargas, elementos, comprimentos, etc.) para resolução das questões da prova. Para a = 0 adotar a = 10; para b = 0 adotar b = 10; para c = 0 adotar c = 10; a = b = c = 1 a QUESTÃO (valor: 3,5 pontos) Analise a estrutura abaixo. i) Determine a rotação nos apoios A e B e faça um esboço a viga deformada. (1,5 ponto) ii) Se desejássemos anular a rotação no apoio A, qual deve ser o valor do momento? (1,0 ponto) iii) O valor do momento que anula a rotação em A, encontrado no item ii, também anula a rotação em B? Justifique sucintamente. (1,0 ponto) Dados: Perfil W 410x60,0 Módulo de elasticidade NBR 8800 (ABNT, 2008) item a: Ix = cm⁴ E = MPa 1

2 Solução: Primeiramente deve ser analisado separadamente o deslocamento gerado por cada carregamento na viga. Rigidez flexional: i) Rotação em A: EI = ( kn/m 2 ) ( m 4 ) = knm² Substituindo os valores temos: Rotação em B: Substituindo os valores temos: θ A = ql3 24EI + ML 3EI (10 b) (5 + a θ A = 2 )3 (50 c) (5 + a + 2 ) θ B = + ql3 24EI ML 6EI (10 b) (5 + a θ B = + 2 )3 (50 c) (5 + a 2 ) (1) (2) O esboço da viga deslocada poderá apresentar três formatos por se tratar da soma das linhas elásticas dos dois tipos de carregamento. Se a rotação resultante for positiva em A e negativa em B a parábola será para cima, se a rotação resultante for negativa em A e positiva em B a parábola será para baixo. Se as rotações resultantes forem ambas positivas significa que há um ponto de inflexão na linha elástica. ii) Basta igualar a equação (1) a zero para obtermos o valor do momento que satisfaz essa equação: 0 = ql3 24EI + ML 3EI 0 = ql3 24EI + 8ML 24EI 2

3 0 = ql 3 + 8ML O valor do momento que anula a rotação em A é: ql 3 = 8ML M = ql2 8 (10 b) (5 + a M = 2 )2 8 iii) O momento encontrado no item anterior deve ser aplicado na equação (2) para verificação da rotação em B: θ B = + ql3 24EI (ql2 8 ) L 6EI θ B = + ql3 24EI ql3 48EI θ B = + 2qL3 48EI ql3 48EI θ B = + ql3 48EI Portanto a rotação em B não será nula, isso pode ser observado através do diagrama da linha elástica gerada pelo momento no apoio A. O diagrama não é simétrico, portanto o momento que anula a rotação em A não anula a rotação em B. 3

4 2 a QUESTÃO (valor: 3,5 pontos) Você foi contratado como engenheiro responsável para dimensionar a diagonal de uma treliça isostática com um painel. Pergunta-se: i) Deve-se dimensionar uma barra diagonal entre nós AD (OPÇÃO I) ou entre nós BC (OPÇÃO II) para obter o menor deslocamento vertical? (1,5 ponto) ii) Em qual nó ocorre o deslocamento máximo da opção escolhida no item a? (1,0 ponto) iii) Qual o valor do deslocamento máximo da opção escolhida no item a? (1,0 ponto) Dados: Módulo de elasticidade NBR 8800 (ABNT, 2008) item a: E = MPa As barras trastejadas representam as duas opções não simultâneas para as diagonais, portanto deve-se escolher qual diagonal (AD ou BC) torna a estrutura mais eficiente pelo Critério dos Deslocamentos Excessivos. FORMULÁRIO Equação para determinação do deslocamento em treliças pelo trabalho virtual interno: δ n N L E A deslocamento esforço virtual interno esforço interno comprimento módulo de elasticidade área da seção transversal δ = nnl EA 4

5 Solução: Rigidez axial: EA = ( kn/m 2 ) (0,03 0,07 m 2 ) = kn Esforço interno das barras: Diagramas virtuais dos nós da OPÇÃO I: No nó A temos restrição de deslocamento vertical, portanto diagrama virtual nulo. Nó B Nó C Nó D Diagramas virtuais dos nós da OPÇÃO II: No nó A temos restrição de deslocamento vertical, portanto diagrama virtual nulo. Nó B Nó C Nó D 5

6 Deslocamentos verticais da OPÇÃO I Sem necessidade de calcular todos os deslocamentos, pode-se observar quando comparamos os diagramas de esforços virtuais, que o nó com maior deslocamento da OPÇÃO I é o nó B, já que ambos os diagramas B e D apresentam os mesmos valores exceto pela adição da parcela devido ao esforço da barra BD. Nó A: EA δ A = 0 Nó B: EA δ B = (1,414) (1,414 (P1 + P2)) (1,414 L) + ( 1) ( P1 P2) (L) + ( 1) ( P1) (L) Nó C: EA δ C = 0 Nó D: EA δ D = (1,414) (1,414 (P1 + P2)) (1,414 L) + ( 1) ( P1 P2) (L) Deslocamentos verticais da OPÇÃO II Sem necessidade de calcular todos os deslocamentos, pode-se observar quando comparamos os diagramas de esforços virtuais, que o nó com maior deslocamento da OPÇÃO II é o nó D, já que ambos os diagramas B e D apresentam os mesmos valores exceto pela adição da parcela devido ao esforço da barra BD. Nó A: EA δ A = 0 Nó B: EA δ B = (1) (P1 + P2) (L) + ( 1,414) (1,414 ( P1 P2)) (1,414 L) + (1) (P1 + P2) (L) Nó C: EA δ C = (1) (P1 + P2) (L) Nó D: EA δ D = (1) (P1 + P2) (L) + ( 1,414) (1,414 ( P1 P2)) (1,414 L) + (1) (P1 + P2) (L) +(1) (P2) (L) Resposta: Comparando os valores máximos de deslocamento da OPÇÃO I e da OPÇÃO II, é observado que a OPÇÃO II no nó D apresenta o valor adicional de (2*P2*L)/(EA) em comparação à OPÇÃO I no nó B, portanto a melhor opção será sempre a OPÇÃO I (item i) e o maior deslocamento desta opção ocorre no nó B (item ii). Item iii) EA δ B = (1,414) (1,414 (P1 + P2)) (1,414 L) + ( 1) ( P1 P2) (L) + ( 1) ( P1) (L) 6

7 3 a QUESTÃO (valor: 3,0 pontos) Para o pórtico abaixo, determine através do Princípios dos Trabalhos Virtuais: i) Deslocamento horizontal em A e o sentido (esquerda ou direita). (1,0 ponto) ii) Deslocamento vertical em A e o sentido (para cima ou para baixo). (1,0 ponto) iii) Rotação em A e o sentido (horário ou anti-horário). (1,0 ponto) Dados: Perfil W 610x174,0 Ix = cm⁴ Módulo de elasticidade NBR 8800 (ABNT, 2008) item a: E = MPa Obs.: Considerar apenas o efeito flexional da estrutura e desconsiderar o efeito do peso próprio. Formulário: Deslocamento obtido com trabalho virtual: 7

8 Solução Rigidez flexional: EI = ( kn/m 2 ) ( m 4 ) = knm 2 Primeiramente deve-se obter o diagrama de momento fletor. para: (10 c) a < 50 b para: (10 c) a > 50 b Diagrama do momento fletor devido às cargas virtuais no nó A: a) Deslocamento horizontal em A EI δ ha = 1 2 (1 + a 2 ) ( (1 + a 2 )) ( (10 c) a) (1 + a 2 ) ( (1 + a ) (2 + a)) 2 b) Deslocamento vertical em A ( (10 c) a + 50 b) EI δ va = 1 3 (a) ( a) ( (10 c) a) + (1 + a 2 ) ( a) ( (10 c) a) + (1 + a 2 ) ( a) c) Rotação em A ( (10 c) a + 50 b) EI θ A = 1 2 (a) ( 1) ( (10 c) a) + (1 + a 2 ) ( 1) ( (10 c) a) + (1 + a 2 ) ( 1) ( (10 c) a + 50 b) 8

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