FESP Faculdade de Engenharia São Paulo. CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo Duração: 85 minutos

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1 FESP Faculdade de Engenharia São Paulo Avaliação: S1 Data: 16/jun/ 2014 CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo Duração: 85 minutos Nome: Matrícula ORIENTAÇÕES PARA PROVA a b c Os símbolos a, b e c são os três últimos algarismos da matrícula no formato xxabc e devem ser utilizados nas dimensões (das cargas, elementos, comprimentos, etc.) para resolução das questões da prova. Para a = 0 adotar a = 10; para b = 0 adotar b = 10; para c = 0 adotar c = 10; a = b = c = 1 a QUESTÃO (valor: 4,0 pontos) Determine pelo Método dos Deslocamentos: i) Momentos finais em A (MAB), em B (MBA, MBC e MBD) e em D (MDB); (0,5 ponto cada momento) ii) Diagrama de momentos (1,0 ponto); iii) Momentos máximos positivos das vigas (0,5 ponto). Rigidez flexional constante. 2 a QUESTÃO (valor: 2,0 pontos) Determine a deflexão em C da estrutura abaixo (EI = knm²). 1

2 3 a QUESTÃO (valor: 4,0 pontos) Determine pelo Método das Forças: i) Reação em C (2,0 pontos); ii) O sentido da reação vertical em A (para cima ou para baixo) (1,0 ponto); iii) Diagrama de momentos da estrutura (0,5 ponto); iv) O valor do momento em B irá variar, caso o apoio C fosse eliminado? Justifique (0,5 ponto). Rigidez flexional constante. TABELA DE MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO (FEM TABLE) E TABELA KURT-BAYER 2

3 GABARITO Questão 1: O nó B da estrutura possui três barras e não tem articulação. Portanto, atende as duas condições para ser admitido como um nó rígido (ter mais que duas barras e não possuir articulação). Desta forma a estrutura possui grau um de indeterminação cinemática. G = 1 Dimensionamento das cargas solicitantes e dimensões da estrutura: Cargas: w = b P = 5 c Dimensões da estrutura: L AB = 2,0 + a 2 L BC = 2,0 + a 2 Sistema básico: L DB = (2,0 + a 2 ) + (2,0 + a ) = 4,0 + a 2 Cálculo do diagrama M 0 : Barra AB: M 0 AB = M 0BA = w L AB² 12 3

4 Barra BC: M 0 BC = w L BC² 8 Barra DB (com referência - nó inicial em D e no final em B): M 0 DB = M 0BD = P L DB 8 Portanto o diagrama de momentos de engastamento perfeito das vigas do sistema básico (M 0 ) é: Cálculo do diagrama M 1 : Momentos de engastamento perfeito das vigas do sistema básico (M 1 ) quando é aplicada rotação de Δ = 1 no nó B: Barra AB: M 1 AB = 2EI L AB M 1 BA = + 4EI L AB 4

5 Barra BC: (Formulário deve ser adaptado) M 1 BC = 3EI L BC M 1 CB = 0 Barra DB (com referência - nó inicial em D e no final em B): M 1 DB = 2EI L AB M 1 BD = + 4EI L AB Portanto o diagrama M 1 é: Coeficientes da matriz de rigidez μ = μ Dir. μ Esq. No nó B devido aos momentos de engastamento perfeito no diagrama M 0 : μ 1,0 = μ Dir. μ Esq. = ( M 0 BC ) (( M 0BA ) + ( M 0BD )) No nó B devido aos momentos de engastamento perfeito no diagrama M 1 : μ 1,1 = μ Dir. μ Esq. = ( M 1 BC ) ((+M 1BA ) + (+M 1BD )) 5

6 Determinação do coeficiente X 1 : μ 1,0 + X 1 μ 1,1 = 0 i) Determinação dos momentos finais: M = M 0 + X 1 M 1 Barra AB Barra BC Barra DB M AB = M 0,AB + X 1 M 1,AB M BA = M 0,BA + X 1 M 1,BA M BC = M 0,BC + X 1 M 1,BC M DB = M 0,DB + X 1 M 1,DB M BD = M 0,BD + X 1 M 1,BD ii) Diagrama de momentos: O valor do M BA pode ser negativo ou positivo de acordo com as dimensões das cargas e das vigas. Para P >>> q Para P <<< q iii) A rotina de cálculo para determinação dos momentos positivos máximos é calculada conforme a teoria da Estabilidade de Construções I ( método prático, viga padrão, cálculo geométrico, cálculo analítico, equações de momentos, etc.). 6

7 Questão 2: Para determinação do deslocamento em C, primeiramente deve ser obtido o diagrama de momentos fletores da estrutura. O diagrama pode ser determinado pelo Método das Forças, pelo Método dos Deslocamentos, ou de forma mais direta, utilizando-se do formulário de momentos de engastamento perfeito da prova (quarta linha segunda coluna da Tabela FEM): Portanto o diagrama de momentos da estrutura é: O diagrama da carga unitária pode ser obtido dividindo o diagrama acima por P, ou aplicando uma carga unitária no ponto C. Com a Tabela Kurt-Bayer podemos obter o valor do deslocamento multiplicando os dois diagramas acima e dividindo pela rigidez flexional. EI δ C = 1 3 (L BC )( L BC )( P L BC ) (2L AB 3 ) ( L BC )( P L BC ) (L AB 3 ) (+ L BC 2 ) (+ P L BC ) 2 7

8 Questão 3: Grau de hiperestaticidade: A estrutura possui quatro reações: R = 4 Não possui quadros fechados: m = 0 Não possui articulações: H = 0 G = R 3 + 3m H = = 1 Portanto, a estrutura possui grau um de hiperestaticidade. Sistema básico A redução do sistema hiperestático para isostático, a qual uma das reações é substituída por uma força externa tem duas alternativas. A alternativa mais rápida para obtenção dos gráficos de momentos fletores é a supressão do apoio C com substituição da reação em C por uma força externa R C de mesmo valor. A outra alternativa para o sistema básico, a qual o engaste em A é substituído por um apoio fixo com aplicação do M A externo, tem mesmo resultado final dos diagramas e reações da estrutura. 8

9 Diagrama de momentos Referência: vigas AB e BC. Diagrama M 0 Diagrama M 1 Coeficientes da Matriz de Flexibilidade O coeficiente δ 1,0 é obtido pela Tabela Kurt Bayer através da multiplicação do triângulo vezes (retângulo mais parábola), ou seja, aplicando distributiva, temos triângulo vezes retângulo mais triângulo vezes parábola. EI δ 1,0 = 1 2 (L AB )(+L AB )(M B ) (L AB )(+L AB )(M A M B ) O coeficiente δ 1,1 é obtido pela Tabela Kurt Bayer através da multiplicação do triângulo por triângulo, portanto: EI δ 1,1 = 1 3 (L AB )(+L AB )(+L AB ) 9

10 Determinação do coeficiente X 1 : δ 1,0 + X 1 δ 1,1 = 0 Cálculo da reação em C i) Com determinação do coeficiente X 1 temos a reação em C pois: R C = X 1 1,0 Somatório de cargas verticais é zero, então para calcular a R va R va + R C = q 1 L AB ii) iii) Se R va for positiva reação é para cima, se negativa reação é para baixo. Diagrama de momentos: O valor do M A pode ser negativo ou positivo de acordo com as dimensões das cargas e das vigas. iv) Não. A influência da supressão do apoio C no momento em B pode ser observada quando calculamos o valor do momento em B da barra CB, partindo do apoio C (ou do balanço em C da situação sem apoio). Pode se observar que momento em B é influenciado apenas pelo carregamento q 2. 10