Caso zero de carregamento: No caso zero de carregamento, aplicamos à isostática o carregamento da hiperestática.

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Caso zero de carregamento: No caso zero de carregamento, aplicamos à isostática o carregamento da hiperestática."

Bruna Andrade Martini
7 Há anos
Visualizações:

1 Módulo 4 - Resolução de estruturas uma vez hiperestáticas externamente e com todas as suas barras solicitadas por momento fletor, sem a presença de torção, através do Processo dos Esforços. O Processo dos Esforços considera os esforços externos aplicados à estrutura como as ações (causas), sendo os deslocamentos na estrutura os efeitos dessas ações. Seguindo o que se coloca nas normas de cálculo estrutural, nas quais o carregamento é o conjunto das ações na estrutura, chamaremos carregamento, portanto, ao conjunto dos esforços externos ativos aplicados à estrutura. Observamos que, nas normas, as ações podem incluir deslocamentos impostos e variação de temperatura. Na resolução de estruturas hiperestáticas pelo Processo dos Esforços, vamos escrever equações adicionais àquelas fornecidas pela Estática, visando a determinação dos esforços. Tais equações adicionais, chamadas equações de compatibilidade de deslocamento, expressam deslocamentos conhecidos da estrutura (em geral, deslocamentos que sabemos ser nulos) em termos de esforços. Entre esses esforços das equações adicionais (equações de deslocamento nulo), estarão incógnitas de esforços que queremos determinar, que chamaremos incógnitas hiperestáticas, indicadas pela letra X. Neste módulo trataremos das estruturas uma vez hiperestáticas (com grau de hiperestaticidade igual a um), sendo, ainda, estas hiperestáticas de grau (um) estruturas externamente hiperestáticas. Isto quer dizer que teremos uma única incógnita, que será um esforço de reação de apoio (esforço externo), e uma única equação de deslocamento nulo, adicional às equações da Estática. Neste processo, primeiramente obtemos uma estrutura isostática (isostática fundamental), através da liberação de um deslocamento em hiperestática. Note que, no presente módulo, liberamos sempre um único deslocamento, pois as estrutura que vamos tratar são uma vez hiperestáticas, sendo que esta liberação do deslocamento é feita em um apoio, pois a estrutura é externamente hipeestática. ssim, retiramos do apoio, com essa liberação de deslocamento, uma incógnita de reação de apoio, que passa ser a nossa incógnita hiperestática X. Consideramos, então, que a isostática fundamental irá se comportar exatamente como a hiperestática que a originou, isto é, nela teremos os mesmos efeitos (deslocamentos) da hiperestática, se nela, isostática, aplicarmos o carregamento (conjunto dos esforços externos aplicados ou ações) da hiperestática, e mais a reação de apoio retirada, como se fosse parte do carregamento. O esforço de reação retirado torna-se uma ação na isostática fundamental, juntamente com os esforços aplicados que constituem o carregamento da hiperestática. Interessa-nos, em particular, um efeito do carregamento, que deve ser exatamente igual na hiperestática e na isostática, quando na isostática aplicamos o carregamento descrito: O deslocamento que liberamos na hiperestática, para criarmos a isostática fundamental, deve ser nulo (zero) na isostática sujeita aos mesmos esforços acima descritos, exatamente como acontece na hiperestática Dividimos, em seguida, o carregamento (conjunto de ações) aplicado à isostática, acima descrito, em dois casos de carregamento, aplicados também à isostática: Caso zero de carregamento: No caso zero de carregamento, aplicamos à isostática o carregamento da hiperestática. Caso um de carregamento: plicamos à isostática apenas o esforço de reação retirado (incógnita hiperestática X). Para formular melhor a equação que iremos escrever adiante, consideramos, ainda, esse carregamento como um carregamento de um único esforço unitário adimensional, que é multiplicado por nossa incógnita hiperestática (reação), à qual chamaremos X (e não H, ou M, por exemplo) para generalizar a formulação. Obs. Esse carregamento de esforço unitário é o nosso caso de carregamento. Tal carregamento é idêntico ao caso barra de carregamento, que usaremos para calcular deslocamentos mais adiante. Pelo Princípio da Superposição, sabemos que o deslocamento liberado, mas igual igual a zero na isostática se nela temos o carregamento da hiperestática + reação retirada, pode ser obtido pela soma do deslocamento liberado na isostática na qual aplicamos o caso zero de carregamento mais o deslocamento liberado na isostática submetida ao esforço adimensional unitário ( caso um de carregamento) multiplicado por X (reação retirada). O caso barra usado para calcular o deslocamento liberado na isostática é idêntico ao caso de carregamento, tanto no cálculo desse deslocamento no caso zero como no caso.

2 Para estrutura sujeita apenas à solicitação por momento fletor, por exemplo, os deslocamentos são dados por: u 0 Em nossos cálculos, porém, será sempre válida a igualdade abaixo, uma vez que o caso barra de carregamento é igual ao caso de carregamento: M M Para o caso zero, o deslocamento liberado na hiperestática será dado por: = M M M M M 0 0 u0 Para o caso, o deslocamento que foi liberado na hiperestática será: = M M M M M M u O deslocamento total, na isostática com os esforços da isostática, que é igual ao deslocamento da hiperestática (portanto, igual a zero), é, pela superposição dos efeitos (deslocamentos) nos casos zero e : 0 M M M u x. 0 u u 0 Da expressão acima, x que é a nossa incógnita (reação), é dado por: x 0 M E para estruturas constituídas de barras prismáticas de material homogêneo (): M M M M M M x M Para os próximos exemplos vamos utilizar a expressão: x M0M M s integrais podem ser calculadas utilizando o resultado atribuído a Vereschagin:

3 integral do produto de duas funções em um trecho (intervalo) = área, no trecho, do gráfico (diagrama) da primeira função, multiplicado pelo valor da segunda função na posição do C.G. do gráfico (no trecho) da primeira função. Ou utilizar as expressões: a L b x L L 3 = a.l b a (área da parábola)

4 Exemplos resolvidos: - Determinar a reação vertical do apoio da barra prismática. 0 kn.m Solução: Isostática fundamental adotada Caso zero de carregamento 0 kn.m Caso de carregamento 0 M 0 (kn.m) 4 M (m) M0M 4x0x x( 4) 60kN.m³ 4x4 M x x4,33m³ ,33 V x 7,5kN M

5 - Determinar a reação horizontal no apoio da estrutura. 6 tf.m Isostática fundamental adotada: Caso zero de carregamento Caso de carregamento 6 tf.m H 0 = 0 V 0 =,5 tf V = 0 V 0 =,5 tf V = M 0 (tf.m) M (m)

6 4x6 M0M 0 x x3 4tf.m³ 3 3x3 4x3 M x x3 x x3 9 m³ H x,43tf H,43tf (para a esquerda) M reação H ter resultado negativa significa que o sentido de H é contrário ao sentido adotado do esforço unitário. Exercícios propostos: 3 - Determinar a reação M de momento no engastamento da barra prismática. 0 kn/m 4m Resposta: M = 0 kn.m, sentido horário 4 - Determinar a reação vertical V do engastamento em da barra prismática. 0 kn/m Resposta: V = 37,5 kn para cima

7 5 - Determinar a reação de momento no engastamento deslizante da seção. 0 kn.m m Resposta: M = 4 kn.m sentido horário 6 - Determinar o a reação vertical do apoio móvel da seção. 6 tf.m 4 tf.m C m m Resposta: tf para cima 7 - Determinar a reação de momento no engastamento deslizante da seção C. 40 kn.m 80 kn.m C m Resposta: M C = 0kN.m, sentido horário 8 - Determinar a reação horizontal no engastamento da seção.. tf/m Resposta: H = 3,75 tf, para a esquerda.

Documentos relacionados

Módulo 4 - Princípio dos trabalhos virtuais. Método do esforço unitário. Deslocamentos em vigas com e sem articulações. Exemplos.

Módulo 4 - Princípio dos trabalhos virtuais. Método do esforço unitário. Deslocamentos em vigas com e sem articulações. Exemplos. ódulo 4 - Princípio dos trabalhos virtuais. étodo do esforço unitário. Deslocamentos em vigas com e sem articulações. Eemplos. O Princípio dos Trabalhos Virtuais (P.T.V.), para os corpos sólidos deformáveis