FESP Faculdade de Engenharia São Paulo. Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Alfonso Pappalardo Junior

Transcrição

1 FESP Faculdade de Engenharia São Paulo Avaliação: S1 Data: 29/jun/ 2015 CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Alfonso Pappalardo Junior Duração: 85 minutos Nome: Matrícula ORIENTAÇÕES PARA PROVA a b c Os símbolos a, b e c são os três últimos algarismos da matrícula no formato xxabc e devem ser utilizados nas dimensões (das cargas, elementos, comprimentos, etc.) para resolução das questões da prova. Para a = 0 adotar a = 10; para b = 0 adotar b = 10; para c = 0 adotar c = 10; a = b = c = 1 a QUESTÃO (valor: 4,0 pontos) Determine o diagrama de momentos fletores do pórtico abaixo através do Método das Forças (3,0 pontos) e calcule o deslocamento horizontal (1,0 ponto). A rigidez flexional de todas as barras é: = 50 MNm². Deflexão : m M = dx L 2 a QUESTÃO (valor: 3,0 pontos) Determine o diagrama de momentos fletores da viga abaixo pelo Método dos Deslocamentos. Rigidez constante. 1

2 3 a QUESTÃO (valor: 3,0 pontos) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática de inércia constante. (Utilizar ou Método das Forças ou Método dos Deslocamentos) TABELA DE MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFTO (FEM TABLE) E TABELA KURT-BAYER 2

3 GABARITO Questão 1: Para exemplificar usaremos a matrícula Portanto: a = 1 0 b = 0 3 c = 0 9 Temos quatro opções para transformar a estrutura hiperestática em isostática. Qualquer escolha do sistema básico isostático resultará, pelo Método das Forças, o mesmo diagrama final de momentos fletores. Foi adotado destravar a translação horizontal em D. Diagramas M 0, M 1 e m 1 : 3

4 Deslocamentos: δ 1,0 = 1 3 5,0 45 ( 5,0) + 1 5,0 45 ( 5,0) 2 δ 1,0 = 937,5 δ 1,1 = 1 3 5,0 ( 5,0) ( 5,0) + 5,0 ( 5,0) ( 5,0) + 1 5,0 ( 5,0) ( 5,0) 3 δ 1,1 = 208,33 Para deslocamento horizontal no apoio D ser zero, devemos ter: Então o coeficiente de proporcionalidade elástica é: Portanto a reação em D é: δ 1,0 + X 1 δ 1,1 = 0 937,5 + X 1 208,33 = 0 X 1 = 4,5 kn R 1 = 1,0 X 1 = 1,0 4,5 R 1 = 4,5 kn A partir da Teoria de Estabilidade é possível obter as demais reações e desenhar o diagrama de momentos. 4

5 A deflexão horizontal é igual em B ou em C. A deflexão em B é obtida quando aplicamos uma carga virtual horizontal em B. O diagrama final apresentou valores de momentos finais com a carga aplicada em B igual a 9,0 kn (para a matrícula usada no exemplo). Então, para obtermos o diagrama de momentos com a carga virtual em B, basta dividirmos o diagrama de momentos por 9,0 kn. Assim teremos um diagrama de momentos quando é aplicada uma carga virtual em B: Multiplicando M0 por m1 (através da Tabela Kurt Bayer) e dividindo pela rigidez flexional, obtemos o deslocamento em B. δ B = 2 (1 3 5,0 2,5 22, ,5 2,5 22,5) 3 = 0,0056 m δ B = 5,6 mm 5

6 QUESTÃO 2 Para exemplificar usaremos a matrícula a = 0 5 b = 0 7 c = 0 2 Momentos de Engastamento Perfeito do carregamento externo (M 0 ): k 1,0 = 93,75 ( 25) = 68,75 knm Momentos de Engastamento Perfeito da aplicação de uma rotação unitária em B (M 1 ): k 1,1 = 0,3 (+0,3) = 0,6 6

7 k 1,0 + X 1 k 1,1 = 0 68,75 + X 1 ( 0,6) = 0 X 1 = 114,58 Momento em B Pela barra AB: Pela barra BC: M 0,BA + X 1 M 1,BA = 25 + ( 114,58 ) (0,3) = 59,37 knm M 0,BC + X 1 M 1,BC = 93,75 + ( 114,58 ) ( 0,3) = 59,37 knm O diagrama final é obtido através da teoria de estabilidade I: 7

8 QUESTÃO 3 A questão pode ser resolvida pelo Método das Forças ou pelo Método dos deslocamentos. Para exemplificar a solução usaremos a matrícula a = 1 0 b = 0 7 c = 0 4 PELO MÉTODO DAS FORÇAS: A estrutura possui grau de hiperestaticidade igual a 1,0. Portanto para criação do sistema básico basta tornar um dos apoios móveis em apoio fixo, desta forma teremos quatro alternativas de sistema básico: opção (a) opção (b) opção (c) opção (d) Qualquer opção apresenta a mesma metodologia para solução. Usando a opção (a) temos o seguinte diagrama de momentos fletores: 8

9 Momento do vão A-B com x = 0 no apoio A: Momento do vão C-B com x = 0 no apoio C: M 0 (x) = 47,8 x 7 x2 2 M 0 (x) = 32 x 4 x2 2 Com aplicação da força unitária em A, temos: Momento do vão A-B com x = 0 no apoio A: M 1 (x) = m 1 (x) = 0,8 x Momento do vão C-B com x = 0 no apoio C: M 1 (x) = m 1 (x) = 1,0 x 9

10 Deslocamentos δ 1,0 = 0 10 δ 1,0 = m 1 M 0 dx L ( 0,8 x) (47,8 x 7 x2 2 ) ( 1 x2 ) dx + ( 1,0 x) (32 x 4 2 ) ( 1 ) dx δ 1,0 = 5746, ,33 = δ 1,1 = m 1 M 1 dx L 10 δ 1,1 = ( 0,8 x) ( 0,8 x) ( 1 8 ) dx + ( 1,0 x) ( 1,0 x) δ 1,1 = 213, ,67 = ( 1 ) dx Coeficiente de proporcionalidade elástico δ 1,0 + X 1 δ 1,1 = X = 0 X 1 = 23,85 R A,horiz = 23,85 kn Com a determinação da reação horizontal, as demais reações são obtidas a partir do equilíbrio estático da estrutura (teoria de Estabilidade das Construções I). 10

11 PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Travar rotação e determinar momentos gerados pelas cargas solicitantes (M0) e momentos com rotação unitária em B (M1) através da tabela de Momentos de Engastamento Perfeito. Diagrama M0 Diagrama M1 Reações no travamento B: k 1,0 = 32 ( 87,5) = 55,5 knm k 1,1 = 0,375 (+0,3) = 0,675 k 1,0 + X 1 k 1,1 = 0 55,5 + X 1 ( 0,675) = 0 X 1 = 82,22 Momentos M = M 0 + X 1 M 1 Barra A-B M B = 87,5 + 82,22 0,3 = 62,83 knm Barra B-C M B = 32,0 + 82,22 ( 0,375) = 62,83 knm 11

12 Com a determinação do momento em B, as reações são obtidas a partir do equilíbrio estático das barras (teoria de Estabilidade das Construções I). 12