U IVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS DEPARTAME TO DE E GE HARIA CIVIL

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1 U IVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS DEPARTAME TO DE E GE HARIA CIVIL Estabilidade em Estruturas de Aço Trabalho apresentado ao departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de São Carlos como requisito para a obtenção do grau de Engenheira Civil. Michelle Magalhães Paulin Orientador: Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza São Carlos Junho de 2007

2 1 SUMÁRIO Resumo Introdução Justificativa Objetivos Estrutura do Trabalho Conceitos Básicos Procedimentos ormativos BR 8800: BR 8800: Tipos de análise estrutural Classificação da estrutura segunda a NBR 8800: Análise de segunda ordem Exemplo: BR 6118: Parâmetro de instabilidade α Coeficiente γ z Análise das estruturas de nós fixos Análise de estruturas de nós móveis Análise não-linear com 2ª ordem Consideração aproximada da não-linearidade física Exemplo Cálculo do coeficiente γ z : Metodologia Os modelos Pórtico piloto Pórticos Simples Pórticos de dois tramos Programa MASTA...49

3 2 5 Resultados Pórtico Piloto Pórtico Pórtico Pórtico Pórtico Conclusões Referências Bibliográficas...69

4 3 Í DICE DE FIGURA Figura 1 Dois tipos de efeito de segunda-ordem: P-δ e P Figura 2: Resposta da estrutura em função do modelo de análise Figura 3: RISA-3D P- Análise Figura 4: Modelo de pórtico para cálculo de Mnt e Mlt Figura 5: Modelo Piloto Figura 6: Pórtico com as combinações das ações Figura 7: Deslocamento de Primeira Ordem Figura 8: Estrutura para análise de 2ª ordem simplificada considerando imperfeições geométricas e de material Figura 9: Deslocamento de 2 a ordem simplificado devido às imperfeições geométricas e de material Figura 10: Pórtico indeslocável (com apoios fictícios) Local e Pórtico deslocável Global Figura 11: Diagrama de Momento Local Figura 12: Diagrama de Momento Global Figura 13: Estrutura para análise de gama z considerando a não-linearidade física e majorando os esforços horizontais Figura 14: Deslocamento devido as imperfeições geométrica e de material pelo método Gama Z Figura 15: Pórtico Piloto Figura 16: Pórtico Simples 5 pavimentos Figura 17: Pórtico Simples 11 pavimentos Figura 18: Pórtico dois tramo 5 pavimentos Figura 19: Pórtico dois tramos 11 pavimentos... 48

5 4 Í DICE DE TABELA Tabela 1: Parâmetro de Classificação de Estrutura segundo BR 8800: Tabela 2: Imperfeições a ser consideradas Tabela 3: Classificação da estrutura B2 - Pórtico Piloto Tabela 4: Cálculo de B 1 Pórtico piloto Tabela 5: Determinação de M sd Pórtico Piloto Tabela 6: Classificação segundo BR 6118: Coeficiente γ z Tabela 7- Estrutura que necessitam de análise de 2ª ordem - BR 6118: Tabela 8: Deslocamento devido ao momento de 1ª Ordem Tabela 9- Momento 2 a ordem- gama z Tabela 10 Pórticos Analisados Tabela 11: Cálculo do γ z Pórtico Piloto Tabela 12: Classificação da estrutura B2 - Pórtico Piloto Tabela 13: Momentos Fletores - Pórtico Piloto Tabela 14: Deslocamentos - Pórtico Piloto Tabela 15: Cálculo do γ z 1 tramo 5 pavimentos Tabela 16- Classificação da estrutura B2-1 tramo 5 pavimentos Tabela 17: Momentos Fletores - 1 tramo 5 pavimentos Tabela 18: Deslocamentos - 1 tramo 5 pavimentos Tabela 19: Cálculo do γ z 1 tramo 11 pavimentos Tabela 20- Classificação da estrutura B2-1 tramo 11pavimentos Tabela 21: Momentos Fletores - 1 tramo 11pavimentos Tabela 22: Deslocamentos - 1 tramo 11pavimentos Tabela 23: Cálculo do γ z 2 tramo 5 pavimentos Tabela 24- Classificação da estrutura B2 2 tramo 5 pavimentos Tabela 25: Momentos Fletores - 2 tramo 5 pavimentos Tabela 26: Deslocamentos - 2 tramo 5 pavimentos Tabela 27: Cálculo do γ z 2 tramo 11pavimentos Tabela 28- Classificação da estrutura B2 2 tramo 11pavimentos Tabela 29: Momentos Fletores - 2 tramo 11pavimentos Tabela 30: Deslocamentos - 2 tramo 11pavimentos... 66

6 5 Resumo Este trabalho de conclusão de curso tem como objetivos analisar a estabilidade e os efeitos de 2ª ordem em edifícios de múltiplos andares em aço. Pretende-se avaliar os métodos para análise da estabilidade global apresentados no texto de revisão da NBR 8800:2007 e da NBR 6118:2003, alem de verificar os softwares existentes para este tipo de análise. Modelos representativos de estruturas de edifícios com 5 e 11 pavimentos e serão analisados segundo as normas supracitadas, e os resultados comparados entre si e com análises exatas de 2ª ordem realizadas no programa MASTAN. As comparações permitirão avaliar os limites de aplicabilidade dos procedimentos simplificados, como também a sensibilidade aos efeitos de 2ª ordem das estruturas analisadas em função da altura.

7 6 1 Introdução Os projetos de estruturas em geral são tradicionalmente desenvolvidos considerandose a estrutura perfeita, sem imperfeições iniciais e utilizando uma análise elástica linear. Essa é uma situação confortável para o projetista, pela facilidade de modelagem e avaliação estrutural que, no entanto, não reflete a condição real. Portanto para o dimensionamento de estruturas não basta apenas analisar a estrutura, tem-se que analisar sua estabilidade, e com a evolução de hardware e software tornou possíveis análises estáticas e dinâmicas de estruturas espaciais muito sofisticadas, possibilitando a utilização de modelos refinados que melhor representam o comportamento real das estruturas. Isto se torna especialmente importante em regiões com presença de intensas atividades sísmicas, e/ou outras solicitações dinâmicas, como algumas situações de carregamento de vento. Em estruturas metálicas, na maioria dos casos a instabilidade é o modo de falha predominante, logo faz-se necessário a análise da instabilidade da estrutura. A análise da estrutura pode ser realizada em primeira ordem ou em segunda ordem sendo que esta última é mais apropriada para a verificação da estabilidade. A análise em primeira ordem pressupõe, para o cálculo de esforços e deslocamentos, o equilíbrio da estrutura em sua posição inicial indeformada. Ao contrário, a análise em segunda ordem estabelece o equilíbrio da estrutura na posição deformada, gerando esforços adicionais devido à ação das forças aplicadas sobre os deslocamentos. Em estruturas de edifícios de múltiplos andares ocorrem efeitos de 2ª ordem globais (denominados P- ) e locais nos elementos constituintes (denominados P-δ). Esses efeitos são oriundos dos deslocamentos que geram esforços adicionais e alteram os próprios deslocamentos; caracterizando um comportamento geometricamente não-linear. As análises de segunda ordem podem ser análise exata ou simplificada, sendo que a primeira é uma análise trabalhosa e exigem programas computacionais específicos, já o procedimento simplificado são tratados em normas. A revisão da norma NBR 8800:2007 apresenta em seu conteúdo o método da método da amplificação dos esforços solicitantes, e a NBR 6118:2003 o método do coeficiente γ z., um método simplificado que considera a instabilidade da estrutura.

8 7 1.1 Justificativa A escolha do tema deve-se pelo interesse pessoal da aluna em estruturas metálicas e pela continuação de um estudo realizado na bolsa de iniciação cientifica cujo tema foi estudo das ações e solicitações do vento em estrutura de concreto. Além de haver poucos estudos acadêmicos relacionados a esse tema. Ressaltar a importância do tema para as estruturas, e destacar que esses procedimentos estão sendo incluídos na norma nova e não eram tratados na antiga, pois a NBR 8800:1986 é omissa e desatualizada, o projeto de revisão da NBR 8800:2007 é mais completa e está em aprovação. 1.2 Objetivos Apresentar e discutir os conceitos básicos sobre análise de estabilidade estrutural, métodos de análise de segunda ordem, e os critérios de estabilidade para estruturas metálicas apresentados na nova norma brasileira NBR 8800:2007. Aplicar os procedimentos da norma a pórticos com diferentes configurações e comparar os procedimentos simplificados com a analise aproximadas incluindo a não linearidade geométrica, além de fazer uma comparação com a NBR 6118:2003, verificando se o método do coeficiente γ z pode ser aplicável a estrutura metálica. 1.3 Estrutura do Trabalho Este trabalho é apresentado em 6 capítulos. No capítulo 1 uma breve apresentação com introdução, justificativa e objetivo. No capítulo 2 apresentam-se conceitos básicos sobre a estabilidade dos pórticos planos de aço, visando ao entendimento do comportamento global dessas estruturas. São apresentados alguns conceitos fundamentais importantes que envolvem o estudo da estabilidade dos pórticos, incluindo as definições teóricas das análises de 2ª ordem utilizadas no cálculo das estruturas, a classificação das estruturas aporticadas, uma revisão das análises de 2ª ordem exatas, analise de 2ª ordem aproximada e análise de 2ª ordem simplificada. No capítulo 3 são abordados os procedimentos normativos. Primeiramente comparando as normas NBR 8800:1986 e a NBR 8800:2007 o que era aplicável e como esse assunto é tratado hoje. Posteriormente o método da amplificação dos esforços solicitantes (B1- B2) que a NBR 8800:2007 traz, e o método do Coeficiente γz, adotado pela NBR 6118: 2003.

9 8 No capítulo 4 são apresentados diversos casos de pórticos planos de aço, nãocontraventados, de vários andares, utilizando-se os métodos aproximados apresentados no capítulo anterior. No capitulo 5 analisa-se os comportamento global dos pórticos planos, de forma qualitativa, por meio de gráficos e tabelas com o objetivo de avaliar a consistência e precisão desses métodos aproximados. Finalmente, no capítulo 6 são apresentadas as conclusões do trabalho, onde os métodos aproximados de análise são avaliados e comparados com os resultados de uma análise rigorosa em 2ª ordem, obtidos pelo programa MASTAN2v3.

10 9 2 Conceitos Básicos O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações na estrutura, visando efetuar verificações de estados limites últimos e de serviço. A análise deve ser feita com um modelo estrutural realista, que permita representar a resposta da estrutura e dos materiais estruturais. Para o dimensionamento de estruturas não basta apenas uma análise linear de primeira ordem para determinar os esforços provenientes dos carregamentos verticais é necessária fazer uma verificação de segunda ordem. Esta analise de segunda ordem verifica a estabilidade de uma estrutura. As análises estruturais realizadas na prática da engenharia, em geral têm como base a análise elástica em 1ª ordem. A característica principal de uma análise estrutural em teoria de 1ª ordem é aquela que define que o equilíbrio da estrutura deve ser feito considerando-a na sua posição indeslocada. Está implícito nesta definição que os deslocamentos não afetam o equilíbrio da estrutura, ou seja, eles são pequenos e, necessariamente, vale a hipótese de pequenos deslocamentos. A análise elástica em 1ª ordem, para alguns casos pode ser suficientes, como para algumas estruturas onde sua rigidez é alta, no caso de concreto, mas para estruturas metálicas que tem sua rigidez muito menor, pode ser uma estimativa pobre dos esforços e deslocamentos. Na análise em teoria de 2ª ordem, a característica principal é aquela que define que o equilíbrio deve ser feito considerando a estrutura na sua posição deslocada. Neste caso está implícito que os deslocamentos afetam o equilíbrio da estrutura, entretanto, esta análise pode ser feita tanto em regime de pequenos quanto de grandes deslocamentos. É importante enfatizar que o estudo da estabilidade da estrutura só pode ser feito em teoria de 2ª ordem. LOPES et al.(2005) afirmam que efeitos de segunda ordem pode ser ocasionado, por exemplo pela ação do vento que propiciam o surgimento de deslocamentos horizontais. Segundo SIMÕES (2005), na análise de primeira ordem os esforços internos e deslocamentos são obtidos a partir da geometria inicial indeformada da estrutura, e a análise de segunda ordem os esforços internos são influenciados pela configuração deformada da estrutura. Numa estrutura porticada, com elementos submetidos a esforços axiais, pelo menos dois tipos de efeitos de 2ª ordem podem ser identificados.

11 10 São geralmente designados por efeitos P- (efeitos globais) ou efeito P-δ (efeitos locais ao nível do deslocamento) - Figura 1. Figura 1 Dois tipos de efeito de segunda-ordem: P-δ e P- O efeito P-, está relacionado com a estabilidade da estrutura (efeito global), na qual as cargas verticais atuando no deslocamento lateral da mesma produzem momentos de tombamento de 2ª ordem e de acordo com CAMOTIM e REIS (2001), tende a ficar com uma configuração deformada do pórtico a uma linha poligonal definida pelas cordas das varias barras. Estes efeitos de 2 a ordem são provocados pelas cargas verticais aplicadas, são mais preocupantes em pórticos não contraventados e originam diagramas fletores adicionais lineares. Já o P-δ, está relacionado com a estabilidade de cada barra (efeito local), na qual a força normal atuando na deformação barra relativa a sua corda produz o momento de 2ª ordem e segundo CAMOTIM e REIS (2001) estão relacionados com os deslocamentos das configurações deformadas de cada barra comprimida do pórtico em relação à posição da corda. Estes efeitos são provocados pelos esforços de compressão, existindo tanto em pórticos contraventados e não contraventados e originam diagramas de momento fletores adicionais não lineares. Os efeitos locais e globais causam aumento de deformação e, conseqüentemente, de tensão na barra, provocando redução em sua resistência e desestabilização na estrutura. A fim de assegurar um dimensionamento seguro esses efeitos devem ser considerados. Existem diversos métodos de analise linear de segunda ordem, podendo ser dividido segundo LOPES et al.(2005) em analise de 2ª ordem exatas, analise de 2ª ordem aproximadas e analise de 2ª ordem simplificada.

12 11 A análise de 2ª ordem exata ou rigorosos, as equações de equilíbrio são escritas na configuração deformada do pórtico, a qual vai variando à medida que as cargas vão sendo aplicadas. Esta analise são feitas através do método dos elementos finitos e trabalha com a não linearidade geométrica. Esta forma de analise é de grande grau de complexidade e sofisticação. LOPES et al.(2005) apresentaram algumas técnicas para analise de 2ª ordem aproximadas, dentre elas: o método de dois ciclos iterativos, o método da carga lateral fictícia, o método da carga de gravidade iterativa e o método da rigidez negativa. As equações de equilíbrio para a análise aproximada geralmente são escritas na configuração indeformada do pórtico, sendo os efeitos geometricamente não lineares incorporados de uma forma indireta e interativa. O método da carga lateral fictícia, também denominado de processo P- consiste de uma série de análises lineares interativas buscando os deslocamentos finais na estrutura e pode ser resumido nos seguintes passos: - Análise elástica-linear em primeira ordem para determinar os deslocamentos relativos entre pavimentos devido aos carregamentos horizontais; - Determinação das forças horizontais fictícias, ao nível de cada pavimento, equivalentes ao binário resultante do momento gerado pelas forças verticais sobre os deslocamentos horizontais. - Essas forças fictícias são somadas às forças horizontais iniciais e é feita uma nova análise determinando novos valores de deslocamentos e de forças horizontais fictícias, que são novamente somadas às forças horizontais iniciais. - Este processo é repetido até a convergência dos deslocamentos. O processo P- converge rapidamente e os resultados se aproximam satisfatoriamente daqueles obtidos em análises exatas. No entanto, como o processo considera apenas os efeitos de 2ª ordem globais (P- ) em estruturas muito esbeltas ou com muitas linhas de pilares os resultados podem divergir dos obtidos em análises exatas Os métodos simplificados os deslocamentos finais e esforços de 2ª ordem são calculados modificando os esforços e deslocamentos obtidos em uma análise de 1ª ordem, com fatores de modificação. O uso dos coeficientes de modificação é baseado na semelhança entre o modo de instabilidade do pórtico e sua configuração deformada.

13 12 Na Figura 2 apresenta-se a resposta força x deslocamento de uma estrutura segundo vários tipos de análise. Figura 2: Resposta da estrutura em função do modelo de análise Os processos simplificados de análise de 2ª ordem fazem uso dos coeficientes de modificação que são baseados na semelhança entre o modo de instabilidade do pórtico e sua configuração deformada e são tratados nas normas NBR 8800:2007 e NBR 6118:2033. Na NRB 6118:2003 alguns parâmetros de instabilidades podem ser visto, como o Parâmetro de Instabilidade α e o coeficiente γ z e na NBR 8800:2007 método da amplificação dos esforços solicitantes. O primeiro parâmetro de sensibilidade de efeito de 2 a ordem denominado parâmetro α, que tem origem nos estudos de barras de Euler, reúne a influencia do numero de pavimentos da edificação, dos momentos de inércia dos pilares e da carga vertical total nas fundações. O parâmetro de instabilidade, coeficiente γ z é um processo para verificação da estabilidade global menos simplificado do que o parâmetro α, principalmente por considerar em seu calculo os momentos produzidos pelo carregamento incidente na estrutura e não apenas sua geometria e a carga vertical. O parâmetro γ z pode ser determinado a partir dos resultados de uma analise linear de 1 a ordem, para cada caso de carregamento.

14 13 O método da amplificação assume que o comportamento de cada andar seja independente, e que o momento nos pilares decorrente dos efeitos de 2ª ordem seja equivalente aos causados por uma força lateral igual a F v / h (binário do momento causado pelo somatório das forças verticais no andar pelo deslocamento horizontal) pode ser determinada a rigidez de cada pavimento fazendo: R força horizontal F F H H Fv / = = = deslocamento lateral a 1 ordem + total h : Equação 1 Onde - F H : Força horizontal no andar considerado - F v : Forças verticais no andar considerado - a 1 ordem : Deslocamento horizontal de 1ª ordem - h: Altura do pavimento - total : Deslocamento final total incluindo os efeitos de 2ª ordem Resolvendo a equação é possível determinar o deslocamento final = 1 1 = B2 Fv F h H total : Equação 2 total por: Logo os deslocamentos finais, incluindo os efeitos de 2ª ordem globais, podem ser estimados multiplicando-se os efeitos de 1ª ordem por um coeficiente de modificação B 2. Desde que os momentos fletores sejam proporcionais aos deslocamentos laterais, o coeficiente B 2 também pode ser aplicado aos momentos fletores de 1ª ordem para obter os momentos fletores em 2ª ordem. De forma análoga, é possível demonstrar que os esforços finais de 2ª ordem locais, nas barras que compõem a estrutura, podem ser obtidos multiplicando os efeitos de 1ª ordem por um fator de modificação B 1 dado por:

15 14 Cm B = P 1 P 1 : Equação 3 e Onde: - P : Força normal de cálculo - P e : Força normal de flambagem elástica - C m : Coeficiente que considera o efeito da distribuição não uniforme de momento fletor na barra (coeficiente de uniformização de momentos). O coeficiente C m é função das condições de vinculação das extremidades e do carregamento na barra. De forma geral, por este procedimento, ou seja, utilizando coeficiente de amplificação, os esforços finais (momento fletor e força normal), considerando os efeitos de segunda ordem locais e globais podem ser determinados pelas expressões seguintes: M r r = B M P = P nt 1 + nt B P 2 + B M lt 2 lt : Equação 4 Mnt e Mlt. Duas análises elásticas de primeira ordem são necessárias para o cálculo das parcelas Mnt é o momento fletor solicitante de cálculo, assumindo não existir deslocamento lateral na estrutura, ou seja, os nós são impedidos de se deslocar horizontalmente. Essa parcela inclui os momentos de 1ª ordem devido ao carregamento total (forças ou ações verticais e horizontais) da estrutura.para o cálculo de Mnt utiliza-se na análise uma contenção horizontal fictícia em cada andar. Mlt é o momento fletor solicitante de cálculo devido ao deslocamento lateral do pórtico e obtido também por análise elástica de 1ª ordem. Esta parcela inclui os momentos devidos apenas ao efeito dos deslocamentos horizontais dos nós da estrutura (efeito das reações das contenções fictícias aplicadas nos mesmos pontos e em sentido contrário). O método aproximado B1-B2 considera na sua formulação ambos os efeitos P-δ e P- quanto que o método P-Delta e o método do Coeficiente γz consideram apenas o efeito P-, sendo necessário que as equações de interação considerem implicitamente o efeito P-δ.

16 15 Estes parâmetro serão melhor discutidos e analisados no item 3. Procedimentos Normativos. Todos os métodos de analise linear de segunda ordem, citados acima podem servir para a análise de análise de 2ª ordem. Com o grande desenvolvimento da informática, em hardwares e softwares, é possível realizar análises mais rigorosas incluindo efeitos como as imperfeições iniciais dos elementos da estrutura, tensões residuais, ligações semi-rígidas, efeitos térmicos, além de outros efeitos de segunda ordem. LOPES, et al (2005) apresentaram 4 programas comerciais que contemplam esses efeitos de segunda ordem. SAP2000 V.8: É necessária uma análise iterativa para determinar as forças axiais provenientes do efeito P-Delta em estruturas reticuladas. Encontra-se, também, que as forças axiais em cada elemento são estimadas por meio de uma análise preliminar da estrutura. Para determinação dos efeitos P-, está baseado na utilização da matriz de rigidez geométrica e embora seja capaz de analisar os efeitos P- e P δ é recomendável usar o programa para fazer a análise do efeito P- na estrutura, e usar fatores majoradores de momentos para determinar os efeitos P δ nos elementos. A SYS V.5.4: Assumem-se as hipóteses de que as deformações e rotações são pequenas, o efeito da não-linearidade geométrica pode ser considerado adicionando-se à matriz de rigidez elástica uma matriz denominada matriz de rigidez de tensão que é similar a matriz de rigidez geométrica. A matriz de rigidez de tensão é calculada baseada no estado de tensão das equações de equilíbrio. ALTOQI EBERICK V.5: O processo utilizado pelo Módulo Master é o mesmo descrito no Anexo L da NBR 8800 (Projeto e Execução de Estruturas de Aço de Edifícios), que se baseia no estudo do equilíbrio da estrutura deformada após a análise de 1ª ordem. CAD/TQS V : adota o método de Newton-Raphson modificado que é um método de controle de carga com iterações. Nesta formulação podem-se avaliar os efeitos P- e P δ. No trabalho de SCHIMIZZE (2001), são apresentados quatro programas comerciais, RISA-3D, ROBOT Millennium, SAP2000 Plus, STAAD-III.

17 16 Segundo SCHIMIZZE (2001) o programa RISA-3D o calculo de momento de segunda ordem é feito por um processo iterativo. A solução é semelhante ao Método da Força Lateral Equivalente ou Fictícia (P- Delta) na qual do os momentos de segunda-ordem são modelados calculando o cisalhamento secundário, como mostra a Figura 3 Figura 3: RISA-3D P- Análise O procedimento começa resolvendo o modelo com o carregamento original aplicado, em seguida calcula-se o cisalhamento secundário, V, para cada barra do modelo de acordo com a equação: V = P /L Em seguida, calculado o cisalhamento secundário, adiciona-se ao carregamento original e o modelo é resolvido novamente. Compara-se a nova solução com a anterior e este procedimento é repetido até que eles entrem em um nível de tolerância aceitável, normalmente 0,5 %. O programa monitora o processo e pára automaticamente se a solução divergir drasticamente. Quando o deslocamento torna-se mais de 1000 vezes maior do que o deslocamento máximo original, o modelo é considerado instável.

18 17 Esta solução procede apenas para pórticos de efeito global (P- ) e não é capaz de analisar os efeitos locais (P δ). Para mais adequar, deve-se considerar todo efeito de segunda ordem, por isso nós adicionais podem ser inseridos ao longo do comprimento barra, para que estes se desloquem calculando-se feito P-. ROBOT Millennium: O manual do usuário ROBOT apresenta uma teoria básica compreensiva para análise do P-. Para considerar o efeito P-, o programa utiliza um procedimento interativo que atualiza a matriz de rigidez geométrica para cada passo de carregamento. Acrescentando, o programa considera o efeito local (P δ) incorporando funções de estabilidade no processo de análise. SAP2000 Plus: o manual para SAP2000 Plus também traz que uma análise interativa é requerida para determinar as forças axiais P- nos elemento do pórtico. Isto explica que a força axial de cada barra do pórtico é estimada através de análises preliminares da estrutura. Em seguida, considerando essas forças axiais, equações de equilíbrio são resolvidas novamente, o que pode criar diferentes forças axiais nos elementos se a rigidez modificada causar uma força de redistribuição. Interações adicionais são realizadas até que as forças axiais e desvios convirjam, com uma tolerância tipicamente de 0,01. Adicionalmente, o manual explica que apesar do SAP2000 ser capaz de analisar tanto P δ e P- é recomendado usar o programa para determinar o P-, utilizando majoração dos fatores dos momentos aplicáveis para determinar o P δ. STAAD-III: este programa também tem a capacidade de analisar os efeitos de segunda ordem P-. O procedimento de soluções simplificadas utiliza vetor de carga revisado para incluir efeitos secundários. Primeiramente, os desvios são calculados baseados nos carregamentos originais aplicados. Em seguida, os desvios são combinados com o carregamento original aplicado para criar os carregamentos secundários. Baseado no novo carregamento o Vetor do carregamento é revisado para incluir efeitos secundários. Finalmente, o vetor de carregamento revisado é utilizado em uma nova análise de rigidez e novas forças da barra e reações são calculadas baseadas nos novos desvios. Essa solução procede apenas para P- e não é possível avaliar o efeito local P δ. O programa MASTAN2v3 foi utilizado neste trabalho afim de realizar os efeitos de segunda ordem e as análises lineares. MASTA 2v3: Em muitos aspectos o programa semelhante ao de hoje disponível no mercado softwares de funcionalidade

19 18 O processo utilizado pelo programa é conhecido como processo incremental e sua análise linear e da não linearidade baseiam-se nos estudos teóricos e formulações numéricas apresentadas no texto Matrix Structural Analysis, 2nd Edition, por McGuire, Gallagher, e Ziemian (John Wiley & Sons, Inc. 2000). O programa foi escrito em formato modulares, onde o leitor tem a oportunidade de desenvolver e implementar alternativa análise rotinas diretamente dentro do programa Foi desenvolvido pelos professores de engenharia civil Ronald D. Ziemian e William McGuire da universidade de Bucknell e Cornell respectivamente.

20 19 3 Procedimentos ormativos Com a tendência de se projetar estruturas cada vez mais arrojadas, e com o avanço tecnológico a área de engenharia ganha cada vez mais software capaz de representar modelos mais sofisticados, que buscam simular o comportamento de estruturas com a realidade. Com isso as normas estão sempre em constantes revisões em busca do que é mais de atual em calculo de estruturas. Neste item vamos tratar das normas NBR 8800:1986, NBR 8800:2007 e NBR 6118: BR 8800:1986 Em 1986 a NBR 8800 em seu item recomenda que deve ser garantida a estabilidade da estrutura com um todo e a de cada elemento componente devendo também ser considerados os efeitos significativos que resultam da deformação da estrutura ou de seus elementos individuais, que fazem parte do sistema resistente a esforços laterais, incluindo efeitos em vigas, pilares, contraventamentos, ligações e paredes estruturais. Para estruturas até dois andares, as solicitações de cálculo podem ser determinadas por análise plástica, ignorando-se os efeitos de segunda ordem (efeito P- ). Mas não busca explicar como essa análise de ser feita ficando a critério do projetista decidi-la. 3.2 BR 8800:2007 Com as revisões realizadas ao longo do tempo a NBR 8800:2007 trata-se sobre o assunto baseado nos procedimentos AISC: O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações na estrutura, visando efetuar verificações de estados limites últimos e de serviço. A análise estrutural deve ser feita com um modelo realista, que permita representar a resposta da estrutura e dos materiais estruturais.

21 Tipos de análise estrutural A NBR 8800:2007 apresenta em seu item tipos de analise estrutural pode ser classificado de acordo com considerações do material e dos efeitos dos deslocamentos da estrutura Quanto aos materiais: Análise global elástica é sempre permitida, mesmo que os esforços resistentes da seção transversal sejam avaliados considerando-se a plasticidade. A análise global plástica pode ser usada para seções compactas desde que as seções e as ligações possuam capacidade de rotação suficiente. A estabilidade da estrutura deve ser verificada para essa condição. A não-linearidade do material pode ser considerada em alguns casos, de forma indireta, efetuando-se uma análise elástica reduzindo-se a rigidez das barras Quanto ao efeito dos deslocamentos: Os esforços internos podem ser determinados por análise linear (teoria de primeira ordem), com base na geometria indeformada da estrutura e análise não-linear, com base na geometria deformada da estrutura. A análise não-linear deve ser usada sempre que os deslocamentos afetarem de forma significativa os esforços internos. Essa análise pode ter como base teorias geometricamente exata, teorias aproximadas ou adaptações a resultados da teoria de primeira ordem. Nesta norma, os três tipos de análise são denominados de segunda ordem. Os efeitos decorrentes dos deslocamentos horizontais dos nós da estrutura são ditos efeitos globais de segunda ordem (P- ) e os decorrentes da não-retilinidade dos eixos das barras, efeitos locais de segunda ordem (P-δ) Classificação da estrutura segunda a BR 8800:2007 Para NBR 8800:2007, existem estruturas com pequena, média e grande deslocabilidade. Estrutura de pequena deslocabilidade são aquelas deslocabilidade quando, em todos os seus andares, a relação entre o deslocamento lateral do andar relativo à base obtido na análise de segunda ordem e aquele obtido na análise de primeira ordem, em todas as combinações últimas de for igual ou inferior a 1,1, ou seja, B 2 < 1,1.

22 21 Uma estrutura é classificada como de média deslocabilidade quando a máxima relação entre o deslocamento lateral do andar relativo à base obtido na análise de segunda ordem e aquele obtido na análise de primeira ordem, considerando todos os andares e todas as combinações últimas de ações forem superiores a 1,1 e igual ou inferior a 1,4, portanto 1,1<B 2 < 1,4. E de grande deslocabilidade quando a máxima relação entre o deslocamento lateral do andar relativo à base obtido na análise de segunda ordem e aquele obtido na análise de primeira ordem, considerando todos os andares e todas as combinações últimas de ações forem superiores a 1,4, logo B 2 > 1,4. Na Tabela 1 abaixo é possível verificar os parâmetros dos coeficientes B 1 e B 2 Tabela 1: Parâmetro de Classificação de Estrutura segundo BR 8800:2007 Classificação da estrutura Deslocadilidade Critério B2 Pequena B2 < 1,1 Média 1,1< B2<1,4 Grande B2 >1, Análise de segunda ordem. A NBR 8800:2007 traz o método da amplificação dos esforços solicitantes, dado em seu anexo D, que pode ser considerando uma aproximação aceitável para análise de segunda ordem Método da amplificação dos esforços solicitantes. Este método da amplificação dos esforços solicitantes, para execução de análise elástica aproximada de segunda ordem, levando em conta os efeitos global P- e local P-δ. Ao se usar o método, deve-se fazer atuar na estrutura a combinação apropriada de ações de cálculo, constituída por ações verticais e horizontais, quando existentes, considerando-se o efeito das imperfeições geométricas iniciais. O efeito das imperfeições iniciais de material deve também ser considerado. O uso do método se baseia que em cada andar das estruturas analisadas, o momento fletor e a força axial solicitantes de cálculo, MSd e Sd, devem ser determinados pela equação 4, descrita no item 2.0:

23 22 M B M + B sd = Equação 4 1 N = N + nt 2Ml t Sd nt B 2 Nl t Onde: M nt e nt : são, respectivamente, o momento fletor e a força axial solicitantes de cálculo, obtidos por análise elástica de primeira ordem, com os nós da estrutura impedidos de se deslocar horizontalmente; (Figura 4) Figura 4: Modelo de pórtico para cálculo de Mnt e Mlt. Mlt e lt: são, respectivamente, o momento fletor e a força axial solicitantes de cálculo, obtidos por análise elástica de primeira ordem, correspondente apenas ao efeito dos deslocamentos horizontais dos nós da estrutura; B C m 1 Sd1 = N 1 N E 1,0 : Equação 3, (apresentada no item 2 ) e : é a força axial que provoca a flambagem elástica da barra no plano de atuação do momento fletor, calculada com o comprimento real da barra; Sd1 : é a força axial de compressão solicitante de cálculo na barra considerada, em análise de primeira ordem; C m é um coeficiente de equivalência de momentos, dado pela equação 4:

24 23 flexão: - se não houver forças transversais entre as extremidades da barra no plano de M Cm 40 M 1 = 0,60 0, : Equação 5 sendo M 1 / M 2 a relação entre o menor e o maior dos momentos fletores solicitantes de cálculo no plano de flexão, nas extremidades apoiadas da barra, em análise de primeira ordem, tomada como positiva quando os momentos provocarem curvatura reversa e negativa quando provocarem curvatura. - se houver forças transversais entre as extremidades da barra no plano de flexão, o valor de C m deve ser determinado por análise racional ou ser tomado conservadoramente igual a 1,0. B 2 é determinado pela seguinte equação 5. 2 B 2 = 1-1 R m 1 h 1h N H Sd Sd : Equação 6 na qual: Sd : é o somatório das forças axiais solicitantes de cálculo em todos os pilares e outros elementos resistentes a cargas verticais (inclusive nos pilares e outros elementos que não pertençam ao sistema resistente a ações horizontais), no andar considerado; R m : é um coeficiente de ajuste, igual a 0,85 nas estruturas onde o sistema resistente a ações horizontais é constituído apenas por subestruturas de contraventamento formadas por pórticos nos quais a estabilidade lateral é assegurada pela rigidez à flexão das barras e pela capacidade de transmissão de momentos das ligações e igual a 1,0 para todas as outras estruturas; 1h : é o deslocamento horizontal relativo entre os níveis superior e inferior (deslocamento interpavimento) do andar considerado, obtido da análise de primeira ordem. Se 1h possuir valores diferentes em um mesmo andar, deverá ser tomado um valor ponderado para esse deslocamento, em função da proporção das cargas gravitacionais aplicadas ou, de modo conservador, o maior valor; H Sd : é a força cortante no andar, produzida pelas forças horizontais atuantes, usadas para determinar 1h.

25 24 h: é a altura do andar (distância entre eixos de vigas). Determinado o valor de B 2 e classificada a estrutura como citado acima, deve-se determinar os esforços solicitantes para estados limites últimos. Nas estruturas de pequena deslocabilidade e média deslocabilidade, os efeitos das imperfeições geométricas iniciais devem ser levados em conta diretamente na análise por meio da consideração, em cada andar, de um deslocamento horizontal relativo entre os níveis inferior e superior (deslocamento interpavimento). Esses efeitos são considerados por meio da aplicação, em cada andar, de uma força horizontal equivalente igual a 0,3% do valor das cargas gravitacionais de cálculo aplicadas em todos os pilares e outros elementos resistentes a cargas verticais, no andar considerado. Não é necessário somá-las às reações horizontais de apoio. Nas estruturas de média deslocabilidade e grande deslocabilidade, para o os coeficientes B 1 e B 2, além dos efeitos de imperfeições geométricas, os efeitos das imperfeições iniciais de material também deverá ser levados em conta na análise, reduzindose a rigidez à flexão e a rigidez axial das barras para 80% dos valores originais. Nas estruturas de pequena deslocabilidade, esses efeitos não precisam ser considerados na análise. Ainda nas estruturas de grande deslocabilidade, deve ser feita uma análise rigorosa. Na Tabela 2 apresentam-se as imperfeições analisada para cada caso. Tabela 2: Imperfeições a ser consideradas. Deslocabilidade x Imperfeiçoes Deslocadilidade Critério B2 Imperfeições Pequena B2 < 1,1 Geométrica Média 1,1< B2<1,4 Geométrica, Material Grande B2 >1,4 Geométrica, Material Exemplo: A fim de ilustrar o uso dos procedimentos da NBR 8800 apresenta-se a determinação dos esforços para o pórtico da Figura 5 que foi analisado por Simões (2005, p.26) segundo os critérios do Eurocode. Propriedades das seções e do aço: - E =20500 kn/m 2.

26 25 Seção: - IPE 400: - h= 400 mm - t w = 8,6 mm -A = 84,5 cm 2 - b = 180 mm - t f = 13,5 mm - I xx = cm 4 HEA 260: - h= 250 mm - t w = 7,5 mm -A = 86,8 cm 2 - b = 260 mm - t f = 12,5 mm - I xx = cm 4 Figura 5: Modelo Piloto Onde: AV1 - cargas variáveis 1; AV2 - cargas variáveis 2; AP - cargas permanentes. Para as cargas acima realizou-se a seguinte combinação, sendo esta a combinação mais critica:

27 26 C = 1,35 AP + 1,40 AV2 + 1,50. 0,70. AV1 C = 1,35 AP + 1,40 AV2 + 1,05. AV1 A Figura 6 mostra a pórtico com as os carregamentos correspondentes a combinação. Figura 6: Pórtico com as combinações das ações Classificação da estrutura Para classificar a estrutura é necessário fazer uma análise de primeira ordem. Como apresentado o pórtico na Figura 6 e com o programa MASTAN2v3 realizou-se a análise de primeira ordem. A Figura 7 mostra os deslocamentos da estrutura.

28 27 Figura 7: Deslocamento de Primeira Ordem. De acordo com a equação 6 a Tabela 3 apresenta o valor de B 2 e sua classificação. Tabela 3: Classificação da estrutura B2 - Pórtico Piloto. Cálculo de B 2 Pavimentos R m h (m) δ (cm) 1h Σ F V (kn) F H (kn) B 2 Classificação 1 0,85 5 2,51 2, ,5 65,38 1,16 Média Deslocabilidade 2 0,85 5 4,86 2, ,5 37,38 1,11 Média Deslocabilidade Média 1,13 OBS: 1h é a diferença entre o deslocamento do o pavimento analisado e o inferior. Σ F V e Σ F V - É a somatória das cargas no pavimento + o pavimento inferior. Como a estrutura foi classificada como de média deslocabilidade deve se considera as imperfeições geométricas e do material. Para considerar os efeitos das imperfeições iniciais de material deve-se reduzir a rigidez à flexão e a rigidez axial das barras para 80% dos valores originais. Portanto E = 0,8 E = 0, = kn/cm 2 Os efeitos das imperfeições geométricas iniciais devem ser levados em conta diretamente na análise por meio da consideração, em cada andar, de um deslocamento horizontal relativo entre os níveis inferior e superior, para isso ocorre uma a aplicação, em

29 28 cada andar, de uma força horizontal equivalente, igual a 0,3% do valor das cargas gravitacionais de cálculo aplicadas em todos os pilares e outros elementos resistentes a cargas verticais, no andar considerado. Logo: 1.o pavimento: Fh = 0,3%. 840 = 2,52 kn Cobertura: Fh = 0,3%. 658,5 = 1,97 kn Na Figura 8 abaixo encontra-se a estrutura para análise de 2ª ordem simplificada, sendo que a norma permite o uso das cargas laterais como carregamento mínimo e não toma obrigatoriamente a sua soma com a ação de vento. Figura 8: Estrutura para análise de 2ª ordem simplificada considerando imperfeições geométricas e de material Análise de 2ª. Ordem: Esta analise será feita através do método simplificado, segunda a NBR 8800:2007. Considerando o pórtico mostrado na Figura 8 e com o programa MASTAN determinaram-se os resultados para a análise de 1ª ordem (com imperfeições geométricas e de material). O deslocamento da estrutura encontra-se na Figura 9.

30 29 Figura 9: Deslocamento de 2 a ordem simplificado devido às imperfeições geométricas e de material Para analisar a estrutura segundo a NBR 8800 deve se proceder duas análises em 1ª ordem conforme Figura 10. Sendo uma análise com o pórtico indeslocável (com apoios fictícios), e a segunda com o pórtico deslocável sob a ação das reações de apoio da análise anterior. Figura 10: Pórtico indeslocável (com apoios fictícios) Local e Pórtico deslocável Global.

31 30 Segundo os esquemas da Figura 10 anterior os resultados das análises são apresentados nas Figura 11 e Figura 12 seguintes: Figura 11: Diagrama de Momento Local. Figura 12: Diagrama de Momento Global.

32 31 Os esforços finais de segunda ordem são determinados pela equação Cálculo de B 1 De acordo com a equação 3 apresentada no item a Tabela 4 apresenta os valores de B 1. Tabela 4: Cálculo de B 1 Pórtico piloto Cálculo de B 1 Elementos K L (cm) I (cm 4 ) E (kn/cm 2 ) Cm Ne (kn) N Sd1 (kn) B 1 B 1 - final P1 1, , ,26 715,5 0,93 1,00 P2 1, , ,26 317,8 0,88 1,00 P3 1, , , ,94 1,00 P4 1, , ,26 340,7 0,89 1,00 V1 1, ,82 22,4 1,00 1,00 V2 1, ,82 88,9 1,02 1,02 Com os valores de B 2 e B 1 definidos e com os momentos das duas análises em 1ª ordem (primeira considerando o pórtico indeslocável e a segunda com o pórtico deslocável Figura 10). Calcula-se o M sd de acordo com a equação 4, os valores se encontram na Tabela 5. Tabela 5: Determinação de M sd Pórtico Piloto. Elementos B 1 M nt Mlt Msd B 2 M nt - inicial M nt - final M lt - inicial M lt - final M Sd - inicial M Sd- final P1 1,00 52,75-105,30 1,16-104,70 71,05-68,34-23,13 P2 1,00 166,10-178,00 1,11-39,94 56,37 121,85-115,54 P3 1,00-52,19 104,40 1,16-104,30 70,81-172,82 186,30 P4 1,00-168,30 179,90 1,11-40,06 56,38-212,69 242,37 V1 1,00-271,40-272,60 1,16 111,00-110,90-144,33-402,17 V2 1,02-178,00-179,90 1,11 56,37-56,38-118,99-245, BR 6118:200 Em estruturas de concreto, segundo a NBR 6118:2003 o comportamento linear pode ser desprezado sempre que não apresentarem acréscimo superior a 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura, ou seja, sempre que os esforços de segunda ordem não ultrapassarem em 10% os de primeira ordem.

33 32 móveis. Para simplificação de cálculo costuma-se definir estruturas de nós fixos e nós As estruturas são consideradas de nós fixos quando os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos, e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais de 2ª ordem. As estruturas nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser obrigatoriamente considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados. Todavia, há estruturas em que os deslocamentos horizontais são grandes e que, não obstante, dispensam a consideração dos efeitos de 2ª ordem por serem pequenas as forças normais e, portanto, pequenos acréscimos dos deslocamentos produzidos por elas; isso pode acontecer, por exemplo, em postes e em certos pilares de pontes e de galpões industriais. O conceito de nós fixos ou de nós moveis, pode ser também aplicado às subestruturas de contraventamento, devido a sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços decorrente dessas ações. Definem-se ainda a NBR 6118:2003 como elementos isolados: - as peças isostáticas; - os elementos contraventados; - os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos; - os elementos das subestruturas de contraventamento de nós moveis desde que, aos esforços nas extremidades, obtidos numa análise de 1ª ordem, sejam acrescentados os determinados por análise global de 2ª ordem. No item 15.5 o texto apresenta as condições para a dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem, sem a necessidade de calculo rigoroso. Têm-se dois processos aproximados: o do parâmetro α e o do coeficiente γ z. Após a determinação dos deslocamentos horizontais, verifica-se a porcentagem do aumento dos momentos de segunda ordem e faz-se a comparação com o parâmetro de

34 33 instabilidade α e o coeficiente γ z e classifica a estrutura como de nós deslocáveis ou indeslocáveis Parâmetro de instabilidade α Uma estrutura reticulada poderá ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade α for menor que o valor α 1 definido a seguir: Onde: = H tot N α = 0,2 0,1.n se n α 1 = 0,6 se n 4 k /(E α : Equação 7 I c c ) n - número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; H tot - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; k -somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de H tot ), com seu valor característico; E c I c -somatória das rigidezes de todos os pilares na direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, permite-se considerar produto de rigidez E c I c de um pilar equivalente de seção constante. O valor de E c pode ser usado como o módulo tangente dado pela NBR 6118:2003 no item e com a expressão: E c = 5600 f ck : Equação 8 O valor de I c é calculado considerando as seções brutas dos pilares. Para determinar a rigidez equivalente a que se refere o item , procede-se da seguinte forma: - calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento horizontal característico;

35 34 - calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura H tot, tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo. O valor limite α 1 =0,6 prescrito para n 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios. Vale para associações de pilares-parede, e para pórticos associados a pilaresparede. Ele pode ser aumentado para 0,7 no caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para 0,5 quando só houver pórticos. Enquanto a norma NB1-80 previa que as ações laterais (e provavelmente os efeitos globais de Segunda ordem) só deviam ser calculadas quando uma edificação apresentasse altura superior a quatro vezes a menor dimensão em planta, ou quando os pórticos em uma direção tivessem menos que quatro pilares em linha, na nova versão o critério se baseia em valores de deformação da estrutura em si Coeficiente γ z O coeficiente γ z é valido para estruturas reticuladas de no mínimo quarto andares, é possível determinar de forma aproximada o coeficiente γ z de majoração dos esforços globais finais com relação aos de primeira ordem. Essa avaliação é efetuada a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, adotando-se os valores de rigidez dados em O valor de γ z é dada na equação 9: Onde: z 1 = M 1 M γ : Equação 9 tot,d 1,av. M 1, tot,d - momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura; M tot,d - soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem.

36 35 Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição γ z 1,1, de nós móveis se fixos 1,1 γ z 1,3 e se γ z 1,30 redimensionar ou fazer outra concepção estrutural.. Na Tabela 6 apresenta a classificação da estrutura de acordo com o critério do coeficiente Tabela 6: Classificação segundo BR 6118: Coeficiente γ z Coeficiente γ z ós γ z > 1,0 Fixo 1,0 < γ z > 1,3 Móvel γ z > 1,3 Redimensionar Análise das estruturas de nós fixos Nas estruturas de nós fixos, de acordo com o item 15.6, permite-se considerar cada elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1ª ordem. A análise dos efeitos locais de 2ª ordem será feita de acordo com o que se prescreve no item Sob a ação de forças horizontais, a estrutura é sempre calculada como deslocável. O fato de a estrutura ser classificada como sendo de nós fixos dispensa apenas a consideração dos esforços globais de 2ª ordem, mas não sua análise como estrutura deslocável Análise de estruturas de nós móveis Nas analise de estruturas de nós moveis, deve-se levar obrigatoriamente em conta os efeitos da não-linearidade geométrica e da não-linearidade física e, portanto, no dimensionamento consideram-se obrigatoriamente os efeitos globais e locais de 2ª ordem Análise não-linear com 2ª ordem A análise não-linear com 2ª ordem deve considerar a não-linearidade geométrica da estrutura e, através de modificações apropriadas da matriz de rigidez da estrutura, a não-

37 36 linearidade física do material. Em estruturas de edifícios, permite-se, para a consideração da não-linearidade geométrica, o emprego do processo P (também conhecido como N - a), tomando-se, para levar em conta a não-linearidade física, os valores estabelecidos em Solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, válida para estruturas regulares, consiste no cálculo do coeficiente γ z do item , permitindo-se a avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) pela multiplicação por 0,95γ z dos momentos de 1ª ordem, desde que γ z 1, 3. Na Tabela 7 são apresentados as estrutura que necessitam de análise de 2ª ordem Tabela 7- Estrutura que necessitam de análise de 2ª ordem - BR 6118:2003 Deslocabilidade x Imperfeições Coeficiente γ z Estrutura de ós Imperfeições γ z > 1,0 Fixo Dispensa analise de 2 a Ordem 1,0 < γ z > 1,3 Móvel Geométrica, Material γ z > 1,3 Redimensionar Consideração aproximada da não-linearidade física No item para a análise dos esforços globais de 2ª ordem, permitem-se considerar a não-linearidade física de maneira aproximada, tomando-se como rigidez das peças os valores a seguir: lajes: ( EI), sec = 0 3 E I c c vigas: ( EI) = 0,4E I para A' s A s e (EI) sec = 0,5 E c I c para A' s = A s sec c c pilares: ( EI) = 0, 8 Sendo: sec E I c c - E c o módulo de elasticidade do concreto dado em e I c o momento de inércia da seção bruta de concreto. Alternativamente, permite-se, quando a estrutura de contraventamento é composta exclusivamente por vigas e pilares e γ z < 1,3, considerar para ambos: (EI) sec = 0,7 E c I c