CONSTRUMETAL 2010 CONGRESSO LATINO-AMERICANO DA CONSTRUÇÃO METÁLICA São Paulo Brasil 31 de agosto a 2 de setembro 2010

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1 CONSTRUETAL CONGRESSO LATINO-AERICANO DA CONSTRUÇÃO ETÁLICA São Paulo Brasil de agosto a de setembro ANÁLISE DE SEGUNDA ORDE E EDIFICIOS ODELADOS TRIDIENSIONALENTE: APLICAÇÕES, DIFICULDADES E RECOENDAÇÕES. Fábio A. Nardi, Ricardo Ficanha, Zacarias. Chamberlain Pravia RESUO As normas mais modernas para análise e dimensionamento de estruturas de aço, dentre elas a ABNT NBR 88:8 e até a proposta da AISC 6 prevista para, prescrevem a avaliação da deslocabilidade lateral de edificações, através da análise de segunda ordem. Neste trabalho é apresentado um exemplo com resultados de um modelo de análise que é aplicado a diversos casos de projeto desenvolvidos na ETASA, usando um software comercial e mostrando as dificuldades apresentadas, assim como as recomendações para projetos analisados em três dimensões, já que as recomendações encontradas na literatura estão relacionadas a modelos em duas dimensões. Palavras Chave: Análise estrutural, segunda ordem INTRODUÇÃO As normas mais modernas para dimensionamento de estrutura de aço, dentre elas ABNT NBR 88:8 e AISC 6 prevista para, prescrevem a avaliação da deslocabilidade horizontal de edificações, através da análise de segunda ordem. A análise de primeira ordem pressupõe para o cálculo de esforços e deslocamentos, o equilíbrio da estrutura em sua posição inicial indeformada. Ao contrario a análise de segunda ordem estabelece o equilíbrio da estrutura na posição deformada, gerando esforços adicionais devido as forças aplicadas sobre os deslocamentos. Este trabalho foi desenvolvido com exemplos e aplicações de análise de ª ordem em um edifício tridimensional, demonstrando que este efeito é Eng. ecânico Setor de Engenharia ETASA S/A fansc85@gmail.com Acadêmico de Eng. ecânica Setor de Engenharia ETASA S/A ficanha.ricardo@gmail.com D.Sc., Professor Titular FEAR/UPF zacarias@upf.br Pag.

2 apenas perceptível em estruturas com esbeltez elevada e somente aplicável a estruturas principais, pois os modelos de analises contendo elementos secundários apresentam problemas de não convergência numérica devido a alta deslocabilidade local. ANÁLISE ELÁSTICA DE PRIEIRA ORDE Um corpo elástico é aquele que retorna a configuração original quando cessadas as solicitações que o deformavam, que também está vinculado com a lei de Hook que é a relação entre as tensões e deformações em cada ponto da estrutura linear. Este tipo de analise, usualmente utilizado no meio profissional é um problema de Elasticidade Linear, e três conjuntos de equações devem ser satisfeitas: - Equações de Equilíbrio (relacionam as forças internas e as forças externas atuantes); - Equações de Compatibilidade (relacionam deslocamentos com as deformações); - Equações Constitutivas (relacionam tensões com deformações). Estas equações de equilíbrio são formuladas na posição indeformada da estrutura onde as barras estão, também, em sua posição indeformada. O conjunto de equações pode ser considerado como o sistema de equações de equilíbrio da estrutura, expressas em função dos deslocamentos. A solução desse sistema fornece os deslocamentos nodais. De posse destes deslocamentos nodais, obtêm-se as solicitações nos extremos das barras. O conjunto deslocamentos-solicitações é o resultado dessa análise. A figura mostra o princípio analítico da análise de primeira ordem. Figura - Análise Elástica Linear - estrutura e barras na posição indeformada. Pag.

3 ANÁLISE ELÁSTICA DE SEGUNDA ORDE Uma estrutura carregada com ações verticais e horizontais se deforma lateralmente devidos as ações horizontais, havendo uma interação entre ações verticais e os deslocamentos gerados pelas ações horizontais, acentuando estes deslocamentos. Essa interação é chamada de efeito de segunda ordem. Na figura este efeito pode ser observado. Figura - Análise Elástica de segunda ordem - estrutura e barras na posição deformada. A figura mostra a relação entre carregamento e deslocamento para os diversos tipos de análises que podem ser efetuadas para dimensionamento de estruturas. Figura - Tipos de análise estrutural. Pag.

4 A primeira vez que foi proposto um método simplificado de segunda ordem foi em 977 por Leesurier, por Kanchanalai em 979. Usando um enfoque que incorporava os dois principais efeitos que influenciam a estabilidade de pórticos (força axial no elemento {P-d} e o efeito do deslocamento lateral horizontal {P-D}). Este método hoje é denominado de FO na norma AISC First Order ethod (usam-se duas análises de primeira ordem), e na norma brasileira, étodo da amplificação dos esforços solicitantes (AES). O ÉTODO DA APLIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES Segundo CHEN (99) [], o dimensionamento utilizando como critério a análise de segunda ordem pode ser efetuado de diferentes maneiras, dentre elas podem ser citadas o método da amplificação de esforços através dos coeficientes B e B que são dados por: Onde: nt r B nt + B Pr Pnt + B P lt e P nt, são, respectivamente, o momento fletor e a força axial solicitantes de cálculo, obtidos por análise elástica de primeira ordem, com os nós da estrutura impedidos de se deslocarem horizontalmente. lt e P lt, são, respectivamente, o momento fletor e a força axial solicitantes de cálculo, obtidos por análise elástica de primeira ordem, correspondente apenas ao efeito dos deslocamentos horizontais dos nós da estutura. B e B são dados por: lt () () Onde: B Cm N N sd e () N sd - Força axial de compressão solicitante de cálculo, na barra considerada obtida em análise de ª ordem. Pag. 4

5 N e - Força axial de flambagem elástica com o comprimento real da barra; considerando se for o caso as imperfeições do material. Cm C m - Coeficiente de uniformização de momentos fletores dados por: Quando houver forças transversais entre as extremidades da barra no plano de flexão. C m,6,4 Quando não houver forças transversais entre as extremidades da barra no plano de flexão. É a relação entre o menor e o maior momento fletor nas extremidades da barra que deve ser tomado positivo quando os momentos provocarem curvatura reversa e negativo quando os momentos provocarem curvatura simples. Onde: N sd considerado. H sd B R m h h N H - Somatório de forças normal de cálculo nos pilares do andar - Força cortante no andar considerado produzidas pelas forças horizontais de cálculo. h - Deslocamento relativo entre os níveis superior e inferior de cada andar obtido em análise de ª ordem. h - Altura do pavimento Rm - Coeficiente de ajuste,85 para estruturas aporticadas e para os demais casos. sd sd (4) ANÁLISE INCREENTAL EFEITO P-D (Cargas Fictícias) De acordo com o apêndice 7 dos comentários da norma americana AISC 6-5 [], a análise de estabilidade da estrutura esta baseada na aplicação de cargas nocionais com a utilização do efeito P-delta. Estas cargas nocionais, ou Pag. 5

6 fictícias, são obtidas das cargas gravitacionais multiplicando-as por um coeficiente que equivale a,%. Figura 4 - Análise de estabilidade de vigas ( secu ) wl PL wl AX 8 u u Onde 4EI, 8 ( secu u ) 4 y 5wL 4 5wL AX 4 84EI 5u Onde y AX 84 EI () () Figura 5 - Análise de estabilidade de colunas. tanα PL AX HL α α Onde EI, ( tanα α ) HL () y HL HL AX EI α Onde y EI (4) A NBR 88:8 [], orienta que as cargas horizontais sejam de,% das cargas gravitacionais e a aplicação do efeito P-delta. Segundo LOPES (5) [5], o efeito P-delta consiste em fazer inúmeras iterações atualizando sempre a matriz de rigidez e geométrica em função da carga horizontal e do Pag. 6

7 deslocamento. Quando não há mais deslocamento relativo dos nós da estrutura, a análise então converge e tem-se então o deslocamento total da estrutura. Se a análise não convergir, significa que a estrutura apresenta rigidez insuficiente, i.e., grandes deslocamentos. CLASSIFICAÇÃO QUANTO A DESLOCABILIDADE Segundo a NBR 88:8 [], os resultados da análise de estabilidade podem ser divididos em três classes: - Baixa deslocabilidade quando º ordem, º odem - édia deslocabilidade quando, º ordem, 4 º ordem - Alta deslocabilidade quando º ordem, 4 º ordem A análise de estabilidade é o parâmetro para a utilização da análise de segundo ordem como critério de dimensionamento, pois para estruturas que possuam média e alta deslocabilidade é recomendável que se faça a utilização deste artifício para se obter os esforços nos elementos e conseqüentemente o dimensionamento. No caso de estruturas com média deslocabilidade deve, ainda, ser re-analisada a estrutura com uma redução de % da rigidez, ou seja, fornecendo como módulo de elasticidade,8 de seu valor linear. NORAS QUE PRESCREVE A ANÁLISE DE SEGUNDA ORDE A norma AISC 5 [] recomendava a análise de segunda ordem, agora a AISC define como obrigatório a análise de segunda ordem, e permite como alternativa o uso do étodo de Amplificação dos esforços solicitantes, em inglês FO First Order ethod. A NBR 88 [] exige a análise de segunda ordem, e permite o uso do étodo de Amplificação dos esforços solicitantes. Pag. 7

8 ESTUDO DA HASTE ENGASTADA E LIVRE Figura 6 - odelo de análise da estabilidade para haste. Perfil: W5X8 4 I 99cm L cm mm E. kn cm P 5kN Deslocabilidade através da equação: HL y,5x y EI x.x99 H, 5kN Base : Engastada y,7997cm, 7997mm y máx HL EI α ( tgα α ) α PL EI α 5x.x99 α,7 y máx (,7,7),5x tg xx99,7 y,994cm, 994mm y,7997 y máx máx, y,994 y 7 A Tabela mostra um comparativo entre os resultados oriundos da equação acima em relação ao software comercial de dimensionamento, e também a Pag. 8

9 influencia do número de elementos de uma barra no efeito P-delta da análise não linear de segunda ordem. Tabela - Comparativo entre método e software. Nº Barras Análise de ª ordem (Eq.AISC) Análise de ª ordem (Eq.AISC) Análise de ª ordem (SAP) Análise de ª ordem (SAP),7997,994,794,949,7997,994,794,9489,7997,994,794,947 4,7997,994,794,947 5,7997,994,794,947 Figura 7 - Comparativo entre método e software de análise linear e não linear elasticas. ODELO DE EDÍFICIO DE ULTIPLOS ANDARES O modelo da figura 8 tem o intuito de mostrar a influência que uma estrutura esbelta tem em uma análise de estabilidade e de segunda ordem. O referido modelo possui dois vão de 5m no sentido longitudinal e um vão de m no sentido transversal do edifício. A altura dos seis andares é de 8m sendo que o ultimo patamar possui m de altura, totalizando sete plataformas. A estrutura foi analisada em diversas configurações, invertendo os perfis das colunas nas direções de maior e menor inércia e contraventando a estrutura Pag. 9

10 direção transversal, ou seja, mesma direção de aplicação das cargas horizontais fictícias. O software de análise utilizado foi o SAP vs.4... Figura 8 - Vista Isométrica do modelo. O carregamento foi inserido apenas nas vigas de 5m, ou seja, nas vigas do sentido longitudinal do edifício em todos os andares com uma carga gravitacional distribuída de,kn/mm. Os perfis das colunas são W6X74 laminados e vigas WX.5 laminados. O carregamento horizontal inserido foi de,% da carga gravitacional do andar divido pelo número de nós do andar da fachada de aplicação. Alem das cargas gravitacionais foram inseridas nos nós cargas fictícias laterais que correspondem a,% da carga gravitacional do andar. Por andar temos: kn H, x4x5mm mm H kn x, H H kn Para os 5 primeiros andares as cargas nocionais são de kn. Para o sexto andar a carga horizontal é a seguinte: kn H, xx5mm mm 6x, H H 6kN Para o ultimo andar a carga nocional horizontal é obtida por: Pag.

11 kn H, xx75mm mm x, H H 4, 5kN Figura 9 - Cargas Nocionais. Os elementos de colunas são formados com três barras para a correta aquisição dos deslocamentos e correto funcionamento do efeito P-delta, como mostrado no modelo de coluna no inicio deste trabalho. O modelo com a geometria mostrada nas figuras acima foi analisado com análise linear elástica e análise não linear, com efeito, P-delta nas diversas configurações estruturais citadas anteriormente. Os deslocamentos obtidos e a relação de estabilidade podem ser visualizados nas tabelas a seguir.. Tabela - Edifício de múltiplos andares - Aporticados menor inércia. Andar ordem ordem ordem 66,,9,6 76,8 9,99,4 94,6 49,6,5 4 57, 958,6, ,6 9,46,4 6,7 56,9, 7 66, 657,74,7 ordem Pag.

12 Tabela - Edifício de múltiplos andares - Contraventado menor inércia. Andar ordem ordem ordem 6,7 6,7,4,,7, 9, 9,6. 4 4,5 4,, 5 8,5 8,6, 6,89,98, 7 5,4 5,4, ordem Tabela 4 - Edifícios de ultiplos andares - Aporticado maior inércia. Andar ordem ordem ordem,6,8,76 8,7 9,48,86 6,9 7,9,9 4 4,5 6,69,96 5,86 5,,99 6 8,6 4,54, 7 46,6 5,9, ordem Tabela 5 - Edificio de multiplos andares - Contraventamento maior inércia. Andar ordem ordem ordem 5,6 5,8,4,95,98, 7,78 7,8, 4,89,94, 5 7, 7,9, 6,49,55, 7 45,4 45,, ordem COENTÁRIOS FINAIS O uso de modelos tridimensionais para a elaboração de projetos, com modelagens mais detalhadas e assemelhadas as estruturas reais, permite projetos de melhor qualidade e na maioria dos casos de menor custo. A NBR 88 e a AISC prescrevem o uso de análise direta ou de segunda ordem para avaliar a estrutura e obter os esforços reais da estrutura, usando o valor de k na verificação do dimensionamento. Neste trabalho algumas observações na análise de segunda ordem com um modelo tridimensional foram realizadas, destas análises pode se observar: Pag.

13 É fundamental a disposição das contenções (travamentos) para redução da deslocabilidade lateral, o uso de métodos simplificados com duas análises lineares é viável em qualquer programa de análise de estruturas, porém a análise de segunda ordem precisa de programas específicos, que devem ser usados conhecendo as limitações e aspectos teóricos da análise de segunda ordem. REFERENCIAS [] CHEN, W.F. Design of Beam-Columns ins Steel Frames in the United States. Thin-Walled Structures, 99. [] ABNT NBR88:8; Projetos de estruturas de aço e de estrutura mista de aço e concreto de edifícios; Segunda edição 5.8.8, Válida a partir de 5.9.8; [] AISC ANSI 6:5 American institute of steel construction, LRFD Load Resistance Factor Design, etric Conversion of the Third Edition 5; [4] SOUZA, Alex Sander Clemente de. Análise de Estabilidade de Edifícios de Andares últiplos. São Carlos: 5. [5] LOPES, Pires Arlindo. Estudos sobre diferentes métodos de análise p-delta: Teoria e Prática na Engenharia Civil, 5. Pag.