Pró-Reitoria Acadêmica Curso de Engenharia Civil Trabalho de Conclusão de Curso

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1 1 Pró-Reitoria Acadêmica Curso de Engenharia Civil Trabalho de Conclusão de Curso ANÁLISE DA NÃO LINEARIDADE FÍSICA EM PÓRTICO PELA RELAÇÃO MOMENTO-NORMAL-CURVATURA Autores: Eduardo Ascenso Reis Ribeiro Jheisson Luiz Pereira da Silva Orientador: Prof. Msc. Carlos Henrique de Moura Cunha Brasília - DF 2015

2 2 Brasília 2015 Artigo de autoria de Eduardo Ascenso Reis Ribeiro e Jheisson Luiz Pereira da Silva, intitulado ANÁLISE DA NÃO LINEARIDADE FÍSICA EM PÓRTICO PELA RELAÇÃO MOMENTO-NORMAL-CURVATURA, apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel em Engenharia Civil da Universidade Católica de Brasília, em 9 de Junho de 2015, defendido e aprovado pela banca examinadora abaixo assinada: Prof. Msc. Carlos Henrique de Moura Cunha Orientador Curso de Engenharia Civil UCB Prof. Msc. Luis Alejandro Pérez Peña Examinador Curso de Engenharia Civil UCB

3 3 ANÁLISE DA NÃO LINEARIDADE FÍSICA EM PÓRTICO PELA RELAÇÃO MOMENTO-NORMAL-CURVATURA EDUARDO ASCENSO REIS RIBEIRO & JHEISSON LUIZ PEREIRA DA SILVA RESUMO Este trabalho propõe-se a analisar uma estrutura em pórticos planos de concreto armado, composta por seis pavimentos e submetida à ação do vento. O procedimento consistirá em determinar rigidezes variadas ao longo das vigas e dos pilares dos pórticos, a partir da construção de relações momento-normal-curvatura. Definidos os valores de rigidez, determinar-se-ão as deformações nos pórticos, de forma mais realística. Em seguida, serão analisados os deslocamentos horizontais obtidos no topo dos pilares, comparando-se os resultados obtidos com aqueles observados a partir da consideração aproximada da não linearidade física, conforme prescrito pelo item da NBR 6118:2014. Por fim, será empregado o coeficiente z, visando a avaliar a influência da variação de rigidez ao longo das peças estruturais na estabilidade global da estrutura. Palavras-chave: Não linearidade física. Momento-normal-curvatura. Ação do vento. Estabilidade global.

4 4 1. INTRODUÇÃO O concreto armado apresenta boa resistência à maioria das solicitações, possui elevada trabalhabilidade e, se bem executado, é durável (CARVALHO, 2013). Entretanto, o emprego de peças mais esbeltas culminou na necessidade do desenvolvimento de métodos mais rigorosos de análise da estabilidade. O conceito de estabilidade estrutural está relacionado à influência de ações verticais e horizontais, ao estado limite último da perda de equilíbrio e aos efeitos gerados pela não linearidade física e geométrica. O item da NBR 6118:2014 permite que a não linearidade física seja considerada de forma aproximada a partir da adoção de rigidezes secantes equivalentes. A norma também admite, no item , que tal consideração seja feita através da construção da relação momento-normal-curvatura para cada seção, com armadura suposta conhecida. Neste trabalho, realiza-se a análise de estabilidade global de uma estrutura em pórticos planos de concreto armado, submetida à ação do vento, comparando-se os resultados obtidos, tanto pela adoção de rigidezes secantes equivalentes, conforme prescrito pela norma, como pela aplicação de rigidezes variadas ao longo das vigas e dos pilares a partir da construção de relações momento-normal-curvatura.

5 5 2. MATERIAL E MÉTODOS 2.1. LANÇAMENTO DOS PÓRTICOS NO FTOOL A estrutura analisada consiste em um edifício de seis pavimentos, a saber, térreo mais cinco pavimentos-tipo. A estrutura possui quatro pilares, de dimensões 25 x 25 cm. As vigas possuem dimensão 20 x 40 cm e a distância entre eixos é de seis metros. As lajes são quadradas, tendo 580 cm de largura e 12 cm de espessura. O pé-direito é de três metros, totalizando uma superestrutura de 15 metros de altura. Considerou-se classe de agressividade ambiental II. Ilustra-se na Figura 1 a planta da estrutura. Figura 1: Planta baixa da estrutura

6 6 Figura 2: Corte A-A Os vãos efetivos das vigas são de 594 cm, e os das lajes, de 587 cm. As propriedades dos materiais empregados e os carregamentos são descritos nas Tabelas 1 e 2. Tabela 1: Propriedades dos materiais Concreto - C25 Propriedade Unidade Valor Resistência característica à compressão - f ck MPa 25 Resistência de cálculo à compressão - f cd MPa 17,86 Resistência média à tração - f ct,m MPa 2,56 Módulo de deformação tangente inicial - E ci MPa

7 7 Aço - CA-50 Propriedade Unidade Valor Resistência característica - f yk MPa 500 Resistência de cálculo - f yd MPa 434,38 Módulo de deformação - E s MPa Tabela 2: Carregamentos na estrutura Carregamento Unidade Valor Lajes Permanente kn/m² 3,5 Acidental kn/m² 2,0 Vigas Peso próprio kn/m 2,0 Parede kn/m 5,7 Pilares Peso próprio kn 4,7 Ação do vento kn/m² 0,85 Pavimento-tipo 5 kn 4,0 Pavimentos-tipo restantes kn 8,0 Utilizou-se a combinação última normal referente ao esgotamento da capacidade resistente para elementos estruturais de concreto armado, descrita na Tabela 11.3 da NBR O cálculo das solicitações foi realizado conforme a seguinte formulação: F d = γ g F gk + γ εg F εgk + γ q (F q1k + Σψ 0j F qjk ) + γ εq ψ 0ε F εqk (1) Onde: F gk Ações permanentes diretas F gk Ações permanentes indiretas F qk Ações variáveis diretas, das quais F q1k é escolhida principal F qk Ações variáveis indiretas Devido à não consideração de ações indiretas, tais como efeitos de retração e fluência do concreto, a combinação reduziu-se à equação a seguir: F d = γ g F gk + γ q (F q1k + Σψ 0j F qjk ) (2) Determinadas as características da estrutura, geraram-se os pórticos no Ftool. A estrutura consiste em quatro pórticos planos isolados, dois em cada eixo, os quais foram dispostos em série, formando um pórtico associado para cada eixo. A ligação entre os pórticos isolados foi feita por elementos rígidos com nós articulados, representando as lajes.

8 8 Figura 3: Pórticos associados 2.2. DIMENSIONAMENTO As armaduras de flexão adotadas para vigas e pilares são visualizadas na Figura 4. Figura 4: Seções transversais-tipo

9 MOMENTO-NORMAL-CURVATURA Considerando as barras retas axialmente comprimidas, verifica-se experimentalmente que, sob a ação de carregamentos crescentes, pode ser atingido um estado limite a partir do qual a forma reta de equilíbrio é instável. A carga correspondente a esse estado limite é dita carga crítica (F crit ) ou carga de flambagem. No regime elástico, para cargas F > F crit, a forma estável de equilíbrio passa a ser a configuração fletida (FUSCO, 1981). Com a intenção de ilustrar a possibilidade da existência de uma configuração de equilíbrio, fletida e estável, para as barras originalmente retas e que foram comprimidas axialmente, é admitido que, após a flambagem, exista uma linha elástica senoidal, que ocorre com o aumento progressivo do carregamento. Figura 5: Linha elástica senoidal Aumentando-se o carregamento, ocorre o aumento das deformações da barra, o que, consequentemente, aumenta os momentos fletores atuantes (M ext ), dados por: M ext = F y (3) Os momentos fletores atuantes são considerados momentos externos, pois são determinados pelas ações externas (F) e os correspondentes braços de alavanca, os quais são determinados pelos deslocamentos (y) da barra. Logo, cada posição da linha elástica

10 10 representa uma certa distribuição de momentos fletores na barra. Em cada seção, atua o momento interno (M int ), dado por: M int = 1 r EI (4) Para atender a condição de equilíbrio da barra, os momentos internos e externos devem equilibrar-se, sem que, com isso, sobrevenha a ruptura do material. Diferentemente dos materiais que seguem a proporcionalidade entre a força aplicada e a deformação verificada, conforme a lei de Hooke, no caso do concreto este efeito proporcional não é válido, por conta das características do material. Isso porque os efeitos de fissuração e fluência, o escoamento das armaduras, bem como outros fatores de menor importância lhe conferem um comportamento não linear (PINTO; RAMALHO, 2002). Essa propriedade recebe o nome de não linearidade física. A NBR 6118:2014 adota dois métodos de consideração da não linearidade física do concreto armado: consideração aproximada, descrita no item , e relações momentonormal-curvatura, descritas no item Na consideração aproximada admitida pela norma, adotam-se rigidezes secantes equivalentes, as quais permitem a obtenção, de forma aproximada, de uma relação linear entre tensões e deformações da estrutura. A análise da não linearidade física pela construção de relações momento-normal-curvatura, por sua vez, consiste em determinar produtos de rigidez para diversos intervalos ao longo das seções longitudinais das peças, a partir de suas seções transversais, com armadura suposta conhecida e para o valor da força normal constante. Figura 6: Gráfico momento-curvatura. Fonte: NBR 6118:2014

11 11 O procedimento de construção da curva momento-normal-curvatura requer a implementação de método iterativo, cuja solução é realizada computacionalmente. Portanto, desenvolveu-se uma planilha eletrônica de cálculo, adaptada a partir de planilha criada por Cunha. A entrada gráfica da planilha pode ser vista no Apêndice A. Os dados de entrada do programa são as propriedades dos materiais, as características geométricas da seção e o esforço normal solicitante na peça. Em relação ao concreto, deve-se definir a resistência à compressão característica (f ck ), o coeficiente de ponderação da resistência ( c ) e as deformações específicas do encurtamento no início do patamar plástico ( c2 ) e na ruptura ( cu ). Quanto ao aço, devem ser definidos a resistência ao escoamento (f yk ), o coeficiente de ponderação da resistência ( s ), a deformação de cálculo ao escoamento ( yd ) e o módulo de elasticidade (E s ). Para a seção transversal, determinam-se as dimensões e as áreas de armadura longitudinal por camada. Na planilha, há uma tabela denominada Cálculos iniciais, na qual é feita a discretização da seção transversal por meio de lamelas, conforme a Tabela 3. Tabela 3: Cálculos iniciais Cálculos iniciais Lamelas y i (cm) i ( ) i (MPa) N Rd,i (kn) M Rd,i (kn.m) 1 2 0,625 1,875 3,26 2,77 19,64 19,64 61,38 61,38 7,29 6,52 3 3,125 2,29 19,64 61,38 5,75 A s,sup 4,000 1,95 410,15 164,06 13,95 4 4,375 1,81 19,46 60,82 4,94 5 5,625 1,32 17,40 54,38 3,74 6 6,875 0,84 13,05 40,78 2,29 7 8,125 0,36 6,40 20,00 0,88 8 9,375-0,13-2,54 0,00 0, ,625-0,61-13,78 0,00 0, ,875-1,09-27,32 0,00 0, ,125-1,58-43,15 0,00 0, ,375-2,06-61,27 0,00 0, ,625-2,54-81,69 0,00 0, ,875-3,03-104,41 0,00 0, ,125-3,51-129,42 0,00 0, ,375-3,99-156,72 0,00 0, ,625-4,48-186,32 0,00 0,00 A s,inf 21,000-4,62-970,47-388,19 33, ,875-4,96-218,22 0,00 0, ,125-5,44-252,41 0,00 0, ,375-5,93-288,89 0,00 0,00 Total: 136,01 78,36 A coluna y i refere-se à altura do centro de cada lamela, em relação à altura da seção. Em i, é definida a deformação por lamela, conforme a Equação 5.

12 12 Figura 7: Deformação na seção ε i = ε sup - y i (ε sup- ε inf ) h Em i, calcula-se a tensão resistente de cada camada. Para as lamelas de concreto, segue-se a formulação apresentada na Equação 6. (5) Figura 8: Diagrama tensão-deformação idealizado do concreto. Fonte: NBR 6118:2014 Se ε i < 2, σ i = 1,1 f ck γ c [1- (1- ε 2 i ) ] ε c2 (6) ε i 2, σ i = 1,1 f ck { γ c O coeficiente 1,1, denominado γ f3, pondera a resistência do concreto e leva em conta as aproximações feitas em projeto. Esse valor é obtido a partir da majoração da tensão de pico do concreto em 30% (0,85f cd 1,30 1,10f cd ), de maneira a uniformizar a condição das seções ao longo de toda a peça no estado limite último, uma vez que seria exagerado considerar que, no momento de perda de estabilidade, seria atingido o esgotamento da capacidade de todas as seções da peça simultaneamente. A avaliação feita com 1,10f cd se destina exclusivamente a avaliar a deformabilidade da peça (KIMURA, 2008 apud CHAVES, 2013).

13 13 Para as camadas de armadura longitudinal, o cálculo da tensão, demonstrado pela Equação 7, se dá conforme o diagrama tensão-deformação simplificado do aço. Figura 9: Diagrama tensão-deformação simplificado do aço. Fonte: NBR 6118:2014 ε i < ε yd, σ i = E s ε i Se ε i ε yd, σ i = f (7) yk { γ s A coluna N Rd,i determina o esforço normal resistente de cada lamela. Para o concreto, o cálculo é dado pela seguinte expressão: ε i > 0, N Rd,i = (y i+1 - y i ) b σ i Se { ε i 0, N Rd,i = 0 (8) Para as camadas de armadura longitudinal, segue-se a formulação a seguir: N Rd,i = A s σ i (9) Por fim, na coluna M Rd,i, tem-se o momento resistente de cada lamela, determinado a partir da Equação 10. Figura 10: Momentos na seção

14 14 M Rd,i = N Rd,i ( h 2 - y i ) (10) Os somatórios de esforços normais e momentos fletores das lamelas e das camadas de armadura de flexão equivalem ao esforço normal e ao momento fletor resistentes da seção, respectivamente. O processo iterativo do programa se dá por meio de uma integração numérica que visa a equilibrar os esforços normais resistentes e solicitantes na seção. O cálculo é feito para diversas deformações da fibra mais comprimida ( sup ). Para cada sup, obtém-se a deformação da fibra mais tracionada ( inf ), a curvatura multiplicada por um fator igual a mil, o momento resistente da seção e a rigidez. Tabela 4: Tabela de iteração Para: N d = 136,0 kn sup ( ) inf ( ) 1000(1/r) M d (kn.m) EI (kn.m 4 ) 3,50-6,168 38, , ,00 0,197-0,7867-5, ,25-0,057 1,2294 8, ,50-0,521 4, , ,75-1,088 7, , ,00-1,661 10, , ,25-2,230 13, , ,50-2,772 17, , ,75-3,286 20, , ,00-3,768 23, , ,25-4,218 25, , ,50-4,643 28, , ,75-5,047 31, , ,00-5,435 33, , ,25-5,807 36, , ,50-6,168 38, , A deformação inf corresponde à solução da integração numérica do programa. Já a curvatura é calculada a partir do ângulo de rotação da seção transversal da peça. tg θ = 1 r = ε sup- ε inf h (11) A rigidez, por sua vez, é calculada pela equação a seguir: EI = M d ( 1 r ) -1 (12)

15 EI (kn.m 4 ) M d (kn.m) 15 Pelos valores de curvatura, momento fletor e rigidez, são obtidos os diagramas de momento-curvatura e rigidez-curvatura, apresentados nas Figuras 11 e /r (10-3 m -1 ) Figura 11: Momento-curvatura /r (10-3 m -1 ) Figura 12: Rigidez-Curvatura A partir dos diagramas e dos momentos fletores médios por intervalo, obtiveram-se novos valores de rigidez para as seções das peças, conforme a Figura 13. Figura 13: Intervalos de rigidez para pilares e vigas

16 16 A partir da razão entre os produtos de rigidez e os momentos de inércia das seções brutas, foram definidos diferentes módulos de deformação, que foram aplicados às seções das peças dos pórticos planos da estrutura. Os valores dos produtos de rigidez aplicados aos diversos intervalos de vigas e pilares são descritos no Apêndice B. Realizada a modelagem de pórticos com rigidezes variadas ao longo das seções longitudinais das peças, empregou-se o coeficiente z, a fim de verificar a estabilidade global da estrutura, tanto pelo modelo com rigidezes variadas como pelo modelo definido a partir da consideração aproximada da não linearidade física do concreto armado. O coeficiente z de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem globais, descrito no item da NBR 6118:2014, é válido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Sua determinação é feita a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, para cada caso de carregamento, conforme a Equação 13. γ z = 1 1- M d,tot M 1d,tot (13) Onde: z M tot,d M 1d,tot Coeficiente z de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem globais Soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem Momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura

17 Z (m) RESULTADOS E DISCUSSÕES A consideração da não linearidade física do concreto armado nos pórticos planos resultou no aumento dos deslocamentos horizontais ao longo das prumadas dos pilares. Dentre os pilares, o que mais se deslocou horizontalmente no topo foi o pilar P1. Já o que menos se deslocou foi o pilar P4. Devido à simetria dos pórticos, os deslocamentos nesses dois pilares foram os mesmos em relação aos eixos X e Y. Nas Figuras 14 e 15, veem-se as prumadas dos pilares P1 e P4, com seus respectivos deslocamentos horizontais, calculados por análise estático-linear, análise com consideração aproximada da não linearidade física e análise com rigidezes variadas, definidas a partir da construção de relações momento-normal-curvatura. Os valores dos deslocamentos horizontais no topo de cada pilar são apresentados nas Tabelas 5 e 6. 15,0 12,0 9,0 6,0 3,0 0, d h (mm) Indeformada Estático-linear Não linearidade aproximada Rigidezes variadas Figura 14: Deslocamentos horizontais no pilar P1 Tabela 5: Deslocamentos horizontais no topo do pilar P1 Análise Eixo X (mm) Eixo Y (mm) Estático-linear 10,5 10,5 Consideração aproximada da não linearidade física 16,7 16,7 Rigidezes variadas 22,3 22,3

18 Z (m) 18 15,0 12,0 9,0 6,0 3,0 0, d h (mm) Indeformada Não linearidade aproximada Estático-linear Rigidezes variadas Figura 15: Deslocamentos horizontais no pilar P4 Tabela 6: Deslocamentos horizontais no topo do pilar P4 Análise Eixo X (mm) Eixo Y (mm) Estático-linear 10,3 10,3 Consideração aproximada da não linearidade física 16,4 16,4 Rigidezes variadas 22,0 22,0 Os deslocamentos horizontais obtidos ao longo de todas as prumadas da estrutura podem ser visualizados no Apêndice C. A estabilidade global da estrutura foi avaliada a partir do coeficiente z. Tal avaliação foi realizada para a análise com consideração aproximada da não linearidade física e para a análise com rigidezes variadas e seus resultados são descritos na Tabela 7. Tabela 7: Coeficiente z Método Eixo X Eixo Y Consideração aproximada da não linearidade física 1,04 1,04 Rigidezes variadas 1,05 1,05 Os resultados obtidos revelaram que a estrutura estudada é menos estável, sob o aspecto global, quando consideradas rigidezes variadas ao longo das vigas e dos pilares, a partir da construção de relações momento-normal-curvatura, fato evidenciado pelos resultados obtidos pelo coeficiente z.

19 19 4. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES A consideração da não linearidade física do concreto armado influencia de forma direta a análise de estabilidade global das estruturas. Tal relação se deve à obtenção de rigidezes mais realísticas das seções das peças estruturais e, portanto, de deslocamentos mais próximos aos observados na prática. A consideração aproximada da não linearidade física, prescrita pelo item da NBR 6118:2014, baseia-se na adoção de rigidezes médias específicas para lajes, vigas e pilares, aplicadas ao longo da seção longitudinal de cada peça estrutural. A consideração de rigidezes variadas, porém, garante uma discretização maior da modelagem, pois leva em consideração não apenas uma rigidez equivalente para toda a peça, mas diversas rigidezes ao longo de toda a seção longitudinal, definidas a partir da relação momento-normal-curvatura aplicada às seções transversais. A estrutura estudada neste trabalho mostrou-se menos estável, sob o aspecto global, quando consideradas rigidezes variadas ao longo das seções longitudinais de vigas e pilares. Vale ressaltar, contudo, que os resultados obtidos não configuram uma solução geral, de modo que, para estruturas com características distintas, é possível que a adoção de rigidezes variadas resulte em maior estabilidade global. Neste trabalho foram estudadas as deformações imediatas. Para o seguimento do tema abordado, sugere-se a consideração da fluência do concreto nas deformações diferidas ao longo do tempo, suas implicações nos deslocamentos horizontais e, por conseguinte, na estabilidade global da estrutura.

20 20 REFERÊNCIAS BILBIOGRÁFICAS AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements for structural concrete (ACI ) and commentary. Miami: ACI, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, CARVALHO, R. C; PINHEIRO, L. P. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado. Volume 1. São Carlos, Editora EdUFSCar CARVALHO, R. C; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado. Volume 2. São Paulo, Editora PINI CORRÊA, M. R. S. Aperfeiçoamento de modelos usualmente empregados no projeto de sistemas estruturais de edifícios. Tese (Doutorado) São Carlos, EESC-USP, CUNHA, C. H. M. Deformabilidade das Estruturas de Concreto: Impacto da Variabilidade do Módulo de Elasticidade Secante e da Resistência à Tração, Decorrente das Modificações dos Materiais, Cimentos e Agregados. Dissertação (Mestrado) - São Paulo, EPUSP FRANÇA, R. L. S. Contribuição ao estudo dos efeitos de Segunda ordem em pilares de concreto armado. Tese (Doutorado) - São Paulo, EPUSP, FTOOL Two-dimensional Frame Analysis Tool, version 3.0, FUSCO, P. B. Estruturas de concreto - Solicitações normais. Rio de Janeiro: Editora Guanabara dois KIMURA, A. E. Cálculo de Pilares de Concreto Armado. Associação Brasileira de Engenharia e Consultoria Estrutural. São Paulo, SP apud ANTUNE CHAVES, L. E. Estudo de pilares de concreto armado e pilares mistos de aço e concreto totalmente revestidos. Dissertação (Mestrado) - Programa de pós-graduação em engenharia de estruturas, Universidade federal de Minas Gerais MONCAYO, W. J. Z. Análise de segunda ordem global em edifícios com estrutura de concreto armado. Dissertação (Mestrado) - São Carlos, EESC-USP, PINTO, R. S., RAMALHO, M. A. Não-linearidade física e geométrica no projeto de edifícios usuais de concreto armado. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.19, p , 2002.

21 21 APÊNDICE A PLANILHA MOMENTO-NORMAL-CURVATURA Figura 16: Planilha Momento-Normal-Curvatura

22 22 APÊNDICE B PRODUTOS DE RIGIDEZ Tabela 8: Produtos de rigidez - Pilar P1 Trecho (m) N M x M y (kn) (kn.m) (kn.m) E x I x (kn.m 4 ) E y I y (kn.m 4 ) 14,25 15,00-136,4-28,6-28, ,50 14,25-12,2-12, ,75 13,50 4,2 4, ,00 12,75 20,6 20, ,25 12,00-271,2-13,8-13, ,50 11,25-3,7-3, ,75 10,50 6,3 6, ,00 9,75 16,4 16, ,25 9,00-403,6-14,0-14, ,50 8,25-4,5-4, ,75 7,50 4,9 4, ,00 6,75 14,4 14, ,25 6,00-533,6-12,4-12, ,50 5,25-3,3-3, ,75 4,50 5,8 5, ,00 3,75 14,9 14, ,25 3,00-662,2-9,6-9, ,50 2,25-7,8-7, ,75 1,50-6,0-6, ,00 0,75-4,2-4, Tabela 9: Produtos de rigidez - Pilar P2 Trecho (m) N M x M y (kn) (kn.m) (kn.m) E x I x (kn.m 4 ) E y I y (kn.m 4 ) 14,25 15,00-137,4 31,4-28, ,50 14,25 13,6-12, ,75 13,50-4,2 4, ,00 12,75-22,0 20, ,25 12,00-274,7 20,4-13, ,50 11,25 6,6-3, ,75 10,50-7,2 6, ,00 9,75-21,0 16, ,25 9,00-411,9 24,5-14, ,50 8,25 8,7-4, ,75 7,50-7,1 4, ,00 6,75-23,0 14, ,25 6,00-549,3 26,5-12, ,50 5,25 8,4-3, ,75 4,50-9,7 5, ,00 3,75-27,7 14, ,25 3,00-686,6 23,0-9, ,50 2,25 9,8-7, ,75 1,50-3,5-6, ,00 0,75-16,7-4,

23 23 Tabela 10: Produtos de rigidez - Pilar P3 Trecho (m) N M x M y (kn) (kn.m) (kn.m) E x I x (kn.m 4 ) E y I y (kn.m 4 ) 14,25 15,00-137,4-28,8 31, ,50 14,25-12,2 13, ,75 13,50 4,3-4, ,00 12,75 20,8-22, ,25 12,00-274,7-13,7 20, ,50 11,25-3,7 6, ,75 10,50 6,3-7, ,00 9,75 16,3-21, ,25 9,00-411,9-14,0 24, ,50 8,25-4,5 8, ,75 7,50 4,9-7, ,00 6,75 14,4-23, ,25 6,00-549,3-12,5 26, ,50 5,25-3,3 8, ,75 4,50 5,8-9, ,00 3,75 14,9-27, ,25 3,00-686,6-9,5 23, ,50 2,25-7,8 9, ,75 1,50-6,0-3, ,00 0,75-4,2-16, Tabela 11: Produtos de rigidez - Pilar P4 Trecho (m) N M x M y (kn) (kn.m) (kn.m) E x I x (kn.m 4 ) E y I y (kn.m 4 ) 14,25 15,00-138,0 31,2 31, ,50 14,25 13,5 13, ,75 13,50-12,9-12, ,00 12,75-21,8-21, ,25 12,00-277,6 20,5 20, ,50 11,25 6,6 6, ,75 10,50-7,2-7, ,00 9,75-21,1-21, ,25 9,00-419,8 24,5 24, ,50 8,25 8,7 8, ,75 7,50-15,1-15, ,00 6,75-23,0-23, ,25 6,00-564,2 26,4 26, ,50 5,25 8,4 8, ,75 4,50-9,6-9, ,00 3,75-27,6-27, ,25 3,00-710,2 23,1 23, ,50 2,25 9,8 9, ,75 1,50-3,5-3, ,00 0,75-16,8-16,

24 24 Viga N (kn) Tabela 12: Produtos de rigidez - Vigas M z (kn.m) E z I z (kn.m 4 ) V501-25,2-21,8 37,2 58,5 39,8-23, V502-23,5-21,8 37,2 58,5 39,8-23, V503-25,2-21,8 37,2 58,5 39,8-23, V504-23,5-21,8 37,2 58,5 39,8-23, V401 1,6-29,0 27,9 44,2 30,3-30, V402 5,0-29,0 27,9 44,2 30,3-30, V403 1,6-29,0 27,9 44,2 30,3-30, V404 5,0-29,0 27,9 44,2 30,3-30, V301-6,0-23,3 28,5 47,1 32,1-35, V302-2,6-23,3 28,5 47,1 32,1-35, V303-6,0-23,3 28,5 47,1 32,1-35, V304-2,6-23,3 28,5 47,1 32,1-35, V201-6,3-21,5 28,5 46,4 32,4-39, V202-2,9-21,5 28,5 46,4 32,4-39, V203-6,3-21,5 28,5 46,4 32,4-39, V204-2,9-21,5 28,5 46,4 32,4-39, V101 2,9-18,0 29,4 49,8 36,2-37, V102 6,3-18,0 29,4 49,8 36,2-37, V103 2,9-18,0 29,4 49,8 36,2-37, V104 6,3-18,0 29,4 49,8 36,2-37,

25 25 APÊNDICE C DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS Tabela 13: Deslocamentos horizontais - Pilar P1 Trecho (m) Estático-linear Não linearidade Rigidezes variadas (mm) aproximada (mm) (mm) 15,00 10,47 10,47 16,65 16,65 22,34 22,34 14,00 9,41 9,41 14,93 14,93 19,60 19,60 13,00 9,98 9,98 15,66 15,66 20,41 20,41 12,00 9,79 9,79 15,42 15,42 20,10 20,10 11,00 9,20 9,20 14,58 14,58 18,54 18,54 10,00 9,21 9,21 14,46 14,46 17,97 17,97 9,00 8,35 8,35 13,07 13,07 16,40 16,40 8,00 7,35 7,35 11,50 11,50 14,57 14,57 7,00 7,03 7,03 10,86 10,86 13,43 13,43 6,00 5,99 5,99 9,20 9,20 11,33 11,33 5,00 4,84 4,84 7,39 7,39 9,07 9,07 4,00 4,22 4,22 6,31 6,31 7,40 7,40 3,00 2,80 2,80 4,07 4,07 4,62 4,62 2,00 1,07 1,07 1,48 1,48 1,69 1,69 1,00 0,22 0,22 0,29 0,29 0,33 0,33 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tabela 14: Deslocamentos horizontais - Pilar P2 Trecho (m) Estático-linear Não linearidade Rigidezes variadas (mm) aproximada (mm) (mm) 15,00 10,40 10,40 16,50 16,50 22,17 22,17 14,00 11,15 9,36 17,65 14,83 23,78 19,48 13,00 10,08 9,96 16,07 15,64 21,34 20,34 12,00 9,79 9,79 15,44 15,44 20,07 20,07 11,00 9,61 9,20 15,02 14,59 19,58 18,49 10,00 8,45 9,21 13,33 14,45 17,38 17,93 9,00 8,33 8,33 13,04 13,04 16,37 16,37 8,00 8,02 7,34 12,44 11,46 15,32 14,54 7,00 6,46 7,01 10,11 10,82 12,73 13,39 6,00 5,97 5,97 9,17 9,17 11,28 11,28 5,00 5,29 4,83 7,95 7,37 9,50 9,03 4,00 3,35 4,22 5,08 6,31 6,27 7,41 3,00 2,81 2,81 4,09 4,09 4,65 4,65 2,00 2,54 1,08 3,53 1,50 3,54 1,71 1,00 0,96 0,23 1,31 0,30 1,25 0,34 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

26 26 Tabela 15: Deslocamentos horizontais - Pilar P3 Trecho (m) Estático-linear Não linearidade Rigidezes variadas (mm) aproximada (mm) (mm) 15,00 10,40 10,40 16,50 16,50 22,17 22,17 14,00 9,36 11,15 14,83 17,65 19,48 23,78 13,00 9,96 10,08 15,64 16,07 20,34 21,34 12,00 9,79 9,79 15,44 15,44 20,07 20,07 11,00 9,20 9,61 14,59 15,02 18,49 19,58 10,00 9,21 8,45 14,45 13,33 17,93 17,38 9,00 8,33 8,33 13,04 13,04 16,37 16,37 8,00 7,34 8,02 11,46 12,44 14,54 15,32 7,00 7,01 6,46 10,82 10,11 13,39 12,73 6,00 5,97 5,97 9,17 9,17 11,28 11,28 5,00 4,83 5,29 7,37 7,95 9,03 9,50 4,00 4,22 3,35 6,31 5,08 7,41 6,27 3,00 2,81 2,81 4,09 4,09 4,65 4,65 2,00 1,08 2,54 1,50 3,53 1,71 3,54 1,00 0,23 0,96 0,30 1,31 0,34 1,25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tabela 16: Deslocamentos horizontais - Pilar P4 Trecho (m) Estático-linear Não linearidade Rigidezes variadas (mm) aproximada (mm) (mm) 15,00 10,34 10,34 16,35 16,35 22,02 22,02 14,00 11,11 11,11 17,57 17,57 23,67 23,67 13,00 10,07 10,07 16,06 16,06 21,26 21,26 12,00 9,80 9,80 15,48 15,48 20,06 20,06 11,00 9,62 9,62 15,05 15,05 19,63 19,63 10,00 8,45 8,45 13,34 13,34 17,44 17,44 9,00 8,33 8,33 13,02 13,02 16,36 16,36 8,00 8,01 8,01 12,41 12,41 15,31 15,31 7,00 6,45 6,45 10,09 10,09 12,73 12,73 6,00 5,97 5,97 9,15 9,15 11,25 11,25 5,00 5,29 5,29 7,95 7,95 9,48 9,48 4,00 3,36 3,36 5,10 5,10 6,29 6,29 3,00 2,82 2,82 4,12 4,12 4,70 4,70 2,00 2,55 2,55 3,56 3,56 3,58 3,58 1,00 0,96 0,96 1,32 1,32 1,27 1,27 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

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