Determinação dos esforços solicitantes em barras de pórtico plano, considerando-se a não linearidade geométrica por meio de um método simplificado.

Transcrição

1 recebido: 15/04/2014 aprovado: 25/07/2015 Volume 4. Número 2 (agosto/2015). p ISSN Determinação dos esforços solicitantes em barras de pórtico plano, considerando-se a não linearidade geométrica por meio de um método simplificado. Samuel Leopoldino Pinto 1 e Valdir Pignatta Silva 2 1 SLP Engenharia e Consultoria, Rua Alberto da Costa, 381 Jardim Paulista CEP Jundiaí-SP. samuel@slpengenharia.com.br 2 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, Av. Prof. Almeida Prado, trav2, nº271, Cidade Universitária CEP São Paulo. valpigss@usp.br Determination of internal forces in plane frames, considering geometric Resumo nonlinearity by a simplified method. A análise de estruturas de aço conforme ABNT NBR 8800:2008 requer que a estrutura seja analisada considerando os efeitos de não linearidade geométrica por meio de análises mais precisas e também permite a utilização do método simplificado conhecido como método B 1 -B 2. O objetivo deste artigo é avaliar um novo método simplificado, como alternativa ao método B 1 -B 2, comparando os resultados obtidos aos métodos convencionais já existentes. Para a comparação do método simplificado proposto ao método P-, foi utilizado o programa computacional MASTAN2. Palavras-chave: aço, não linearidade geométrica, P-, Método B 1 -B 2, MASTAN2. Abstract The analysis of steel structures according to ABNT NBR 8800:2008 requires that the structure be analyzed considering the effects of geometric nonlinearity through more accurate analysis and allows the use of the simplified method known as B1-B2 method. The objective of this paper is to evaluate a new simplified method, as an alternative to B1-B2 method, comparing the results with existing conventional methods. To compare the proposed simplified method with the P- method, the software MASTAN2 was used. Keywords: Steel, geometric nonlinearity, P-, Method B1-B2, MASTAN2. * Autor correspondente 114

2 Lista de símbolos B 1 B 2 B M B P Fator de amplificação de esforços entre nós considerados fixos de uma barra Fator de amplificação de esforços de uma barra com nós móveis Fator de amplificação dos momentos fletores Fator de amplificação das forças axiais M lt Momento fletor solicitante de cálculo, obtido por análise elástica de primeira ordem devido à translação lateral da estrutura (deslocamentos horizontais dos nós) M nt Momento fletor solicitante de cálculo, obtido na análise elástica de primeira ordem, assumindo não haver translação lateral da estrutura. M Rd Momento fletor resistente de cálculo M Sd Momento fletor solicitante de cálculo M Sd,0 Momento fletor solicitante de cálculo obtido na análise de primeira ordem N c,rd Força normal resistente de cálculo N c,rk Força normal resistente de característica N lt Força normal solicitante de cálculo, obtida por análise elástica de primeira ordem devido à translação lateral da estrutura (deslocamentos horizontais dos nós) N nt Força normal solicitante de cálculo, obtida na análise elástica de primeira ordem, assumindo não haver translação lateral da estrutura. N Sd Força normal solicitante de cálculo N Sd,0 Força normal solicitante de cálculo obtida na análise de primeira ordem γ a1 λ p Coeficiente de ponderação da resistência Força-limite plástica ϕ Resultado da equação +,, +,, 115

3 1. Introdução Os métodos tradicionais de análise de estruturas com base na Resistência dos Materiais têm por hipótese que as deformações dos elementos não afetam os esforços internos e a distribuição de tensões. Esse método é conhecido como análise de primeira ordem, onde a estrutura é analisada na posição indeformada. Porém, em estruturas esbeltas e de maior flexibilidade, a análise considerando-se a posição deformada pode encontrar esforços adicionais significativos que não podem ser ignorados. As normas, tanto a brasileira como as estrangeiras, propõem vários métodos para se levar em conta esses esforços adicionais por meio de análises simplificadas e, para casos especiais, análise rigorosa. Este trabalho objetiva divulgar e ampliar os estudos para validação de um método simplificado para se levar em conta os efeitos de não linearidade geométrica e do material em estruturas de aço de pequena ou média deslocabilidade apresentados por ELHOUAR (2012), como forma alternativa a métodos mais precisos e ao método aproximado B 1 -B 2 proposto pelas normas brasileira, ABNT NBR 8800:2008, e norteamericana, ANSI/AISC 360 (2010). Inicialmente serão abordados diversos tipos de análise estrutural, uma descrição do método aproximado exposto no anexo D da norma ABNT NBR 8800:2008, o método B 1 -B 2, e será apresentado um novo método simplificado. Em seguida, serão feitas diversas análises de várias configurações de estruturas com alturas de até 18 m e distância entre pavimentos de 4,50 m. Em todas as análises serão considerados pórticos sem contraventamentos e lajes maciças nos pavimentos. Para realizar todas essas análises será utilizado o programa de computador MASTAN2 V3.3 desenvolvido por ZIEMIAN (2000) e que serviu de base para calibrar o método de análise direta da norma americana ANSI-AISC-360 (2010). Com a elaboração deste trabalho espera-se que sejam abertas novas discussões para um método aproximado de análise, como alternativa ao método B 1 -B 2, especificamente para edificações de pequeno porte. 116

4 2. Métodos de análise Nesta seção serão abordados vários tipos de análise estrutural, considerando-se ou não a não linearidade geométrica, considerando-se ou não a não linearidade do material, e prover as hipóteses que estão em cada método. Análise primeira ordem (linear) considerando material de comportamento elásticolinear: É o método de análise mais básico onde o material é considerado em regime elástico-linear e o equilíbrio da estrutura é feito na condição indeformada. Como resultado, os deslocamentos e as ações são proporcionais. Análise geometricamente não linear considerando material de comportamento elástico: Os materiais continuam no regime elástico-linear, mas o equilíbrio da estrutura é resolvido na posição deformada. Para a maioria das estruturas a relação entre o carregamento e o deslocamento deixa de ser linear e passa a ser curvilínea. Isso é obtido aplicando-se uma análise não linear geométrica exata ou aproximada. De forma pouco precisa, essa análise aproximada é, às vezes, chamada de segunda ordem. O limite da estabilidade elástica calculado por uma análise não linear incremental distingue-se da força crítica elástica (P cr ) calculada pela análise de estabilidade clássica (ou autovalor). A diferença nos dois limites surge pela razão de que a força-limite de estabilidade elástica corresponde ao equilíbrio na configuração deformada, enquanto que a força crítica elástica é aquela que causa bifurcação na trajetória de equilíbrio força x deslocamento para a geometria indeformada. As forças críticas elásticas são usualmente calculadas para condições idealizadas que, geralmente, não representam um carregamento real. Análise de primeira ordem considerando material de comportamento elastoplástico: Nesses modelos, o equilíbrio é verificado considerando a geometria indeformada da estrutura (linearidade geométrica) e o comportamento elastoplástico do material. Esse tipo de análise inclui os efeitos de plastificação das barras, que podem ser representados desde os modelos simples de rótulas plásticas até modelos mais detalhados que consideram a propagação da plastificação no interior das mesmas. Quando o material é elastoplástico perfeito, a resposta da curva força x deslocamento de uma análise elastoplástica de primeira ordem aproxima-se assintoticamente da 117

5 força-limite plástica λ p, calculada por análise de mecanismo plástico. Trata-se de uma análise linear geométrica considerando-se a não linearidade do material. Análise não linear geométrica considerando material de comportamento elastoplástico: Nesses modelos são considerados a perda de rigidez decorrente da plastificação dos elementos e às grandes deformações. A estrutura tem o seu equilíbrio formulado na sua posição deformada (não linearidade geométrica) e considera-se o comportamento não linear do material. A força-limite obtida pela análise elastoplástica não linear geométrica é a que mais se aproxima da capacidade resistente real, sendo essa a análise que melhor representa o verdadeiro comportamento de um pórtico. Trata-se de uma análise não linear geométrica considerando-se também a não linearidade do material. A Figura 2.1 mostra, esquematicamente, as curvas força x deslocamento horizontal de um pórtico plano submetido ao carregamento estático indicado. Figura Erro! Nenhum texto com o estilo especificado foi encontrado no documento..1. Tipos de análises Fonte: ZIEMIAN (2010) adaptado 2.1. Processo P-Delta O chamado processo P-Delta é um método de análise não linear geométrica. 118

6 Segundo Lopes (2005), na literatura há diversos meios para se aplicar esse processo, tais como: método da força lateral equivalente, método de dois ciclos iterativos e método da rigidez negativa. Neste artigo será explanado o método da força lateral equivalente Método da força lateral equivalente Esse método também é conhecido como P-Delta iterativo. Inicialmente, realiza-se uma análise linear na estrutura, ou seja, de primeira ordem. Em seguida, seguem-se iterações até que se chegue à posição de equilíbrio da estrutura. Para cada iteração obtém-se uma nova força lateral fictícia. Com essa nova força, repete-se o processo até atingir a posição de equilíbrio. A Figura 2.2 mostra esse processo aplicado a edifícios de múltiplos andares. Figura Erro! Nenhum texto com o estilo especificado foi encontrado no documento..2. Forças horizontais fictícias em edifícios de múltiplos andares Fonte: GAIOTTI (1989). 119

7 Para explicar melhor a Figura 2.2, serão consideradas algumas etapas, sendo a primeira a de aplicação de carregamento vertical, surgindo, logo após, os esforços horizontais fictícios (cortante fictícia, V, e força lateral fictícia, H ). Os esforços fictícios são definidos conforme a equação 2.1. =.( ) eq.2.1 A força lateral fictícia H de um andar (i) pode ser obtida subtraindo-se a força cortante fictícia desse andar (i) do valor relativo ao andar inferior (i 1), conforme equação 2.2. = eq.2.2 Na Figura 2.3, observa-se a estrutura na posição indeformada e deformada, esta representada pela linha mais escura. Figura Erro! Nenhum texto com o estilo especificado foi encontrado no documento..3. Deslocamento dos pavimentos Na Figura 2.4 são mostrados os deslocamentos horizontais interpavimentos. 120

8 Figura Erro! Nenhum texto com o estilo especificado foi encontrado no documento..4. Deslocamento horizontais entre os pavimentos Com a aplicação das forças verticais, como mostrado na figura 2.4(a), surgirão momentos, decorrentes dos deslocamentos horizontais entre os pavimentos. Por exemplo, utilizando-se os deslocamentos entre os pavimentos da figura 2.4(b), ter-seia o momento igual a Pi.( ). Dividindo-se cada parcela pela respectiva altura h i, obtém-se o binário de forças cortantes fictícias, o qual é representado pela equação 2.1. Subtraindo-se a força cortante V' i de V' i-1, mostrada na Figura 2.4(b), obtém-se a equação 2.2, anteriormente mostrada, para a força lateral fictícia H i. Figura Erro! Nenhum texto com o estilo especificado foi encontrado no documento..5. Esquema de forças verticais (a) e horizontais fictícias (b) 121

9 Vale ressaltar que na Figura 2.5(b) ainda estão aplicadas as forças verticais, que não foram indicadas, para permitir melhor visualização das forças horizontais fictícias. Para a obtenção do momento final não linear global, devem-se realizar algumas iterações até que se chegue à posição de equilíbrio, devendo-se verificar a convergência do processo Método B 1 -B 2 Na norma brasileira ABNT NBR8800:2008, como no ANSI/AISC 360 (2010), é apresentado um método aproximado de análise não linear. O método aproximado de amplificação de esforços solicitantes, aqui denominado de B 1 -B 2, permite amplificar os momentos de primeira ordem pelos fatores de majoração B 1 e B 2. Essa metodologia tem sido adotada por várias normas técnicas e é discutida por diversos autores tais como: LeMESSURIER (1977), CHEN (1991) e CHEN & WANG (1999). A utilização dos fatores de amplificação tem por base a semelhança entre o modo de instabilidade de pórtico e sua configuração deformada. CHEN (1991) apresenta as bases para a determinação dos fatores de amplificação ressaltando suas vantagens para o uso prático, porém alertando para os limites de aplicabilidade. Segundo o ANSI/AISC 360 (2010), em estruturas calculadas com base na análise elástica, os momentos fletores solicitantes M Sd, devem ser determinados por uma análise elástica não linear geométrica exata ou aproximada conforme a equação 2.3. =. +. eq. 2.3 O coeficiente B 1 amplifica o momento fletor solicitante na barra, levando em conta o efeito da combinação da força axial de compressão e do momento fletor solicitante em decorrência da deformação da barra. Assume-se que não há translação lateral relativa entre as extremidades da barra. Esse procedimento é denominado efeito P-δ. O coeficiente B 2 leva em conta a não linearidade geométrica da estrutura, ou seja, o deslocamento dos nós da estrutura. Esse procedimento é denominado efeito P-, que deve ser verificado em estruturas contraventadas ou não. 122

10 3. Método simplificado proposto 3.1. Desenvolvimento do método Segundo ELHOUAR (2012) uma maneira de simplificar o método de análise é eliminar a necessidade de duas análises para se obterem os coeficientes de amplificação B 1 e B 2, executando-se apenas uma análise para obtenção dos coeficientes de amplificação dos esforços B P e B M. Isso se torna simples para estruturas em que um dos efeitos é dominante sobre o outro, porque, para essas estruturas, os efeitos das forças amplificadas podem ser diretamente relacionados aos efeitos das forças totais sem haver a necessidade de distinção entre o nível de amplificação de elementos ou da estrutura, desde que a amplificação venha de uma mesma fonte. Com base em tais observações e com o objetivo de simplificar o procedimento para estruturas de pequeno porte, ELHOUAR (2012) propôs um procedimento para o qual foi realizado grande número de análises a fim de se obterem dados suficientes para validar o novo método. ELHOUAR (2012) analisou diversas estruturas de pórticos para as quais obteve os valores de N c,rd, M Rd,M nt, M lt, N nt, N lt, B 1 e B 2. Com base nesses valores foi feita uma análise paramétrica. Para as estruturas analisadas, os valores de B 1 foram próximos de 1,00 e os de B 2 variaram entre 1,01 e 1,29. Com base nesses dados e para estruturas dimensionadas pelo método B 1 -B 2, foi possível adotar um único coeficiente para cada esforço, conforme equações 3.1 e 3.2. B = ( ) =, eq. 3.1 B = ( ) =, eq. 3.2 Os coeficientes resultantes das equações 3.1 e 3.2 foram aplicados ao sistema estrutural em análise e verificado seu efeito em função de: número de andares, número de baias, largura da baia, nível do elemento e posição do elemento. Nível do 123

11 elemento refere-se ao andar que o pilar pertence. Posição do elemento refere-se a se o pilar é interno ou externo ao andar. Conforme ELHOUAR (2012), a análise paramétrica mostrou que a amplificação dos momentos e da força axial foi principalmente afetada pelo nível do elemento e o número de andares no sistema estrutural e menos afetada pelo número de baias. A posição do elemento dentro do pórtico teve mais efeito sobre o coeficiente de amplificação dos momentos B M, mas sem importância ao coeficiente de amplificação das forças axiais B P. No entanto, o objetivo do estudo de ELHOUAR (2012) era chegar a um método simplificado de amplificação dos esforços. Para isso, foi imperativo obter uma simples variável que contemplasse esses coeficientes, pois utilizando nível do elemento, número de níveis e número de baias na estrutura não resultaria em resultados práticos. O resultado das análises indicaram que existe uma correlação entre a magnitude da força axial a que o pilar está solicitado e os coeficientes de amplificação das forças axiais e momentos fletores. Para investigar isso, uma variação de B P e B M com ( + )/, foi examinada. Essa relação foi escolhida porque incorpora não somente as forças aplicadas, mas também a geometria e as propriedades do material do pilar afetado. Um estudo inicial revelou um intervalo de valores de B P e B M que pode ser associado a um simples valor de ( + )/,. Isso ocorre porque os dados representam uma variedade de pilares que podem ser afetados pelo efeito P- Delta em diferentes graus. Uma aproximação conservadora foi analisada para correlacionar os máximos valores de B P e B M com ( + )/,. A Figura 3.1 mostra a variação de B P máximo em função de ( + )/, e linhas de tendência linear e quadrática. A Figura 3.2 mostra a variação de B M máximo com ( + )/, e as linhas de tendência linear e quadrática. Segundo ELHOUAR (2012) a aproximação linear é adequada para validação do coeficiente simplificado. 124

12 Figura Erro! Nenhum texto com o estilo especificado foi encontrado no documento..6.variação do máximo de B P com ( + )/, Fonte: ELHOUAR (2012) Figura Erro! Nenhum texto com o estilo especificado foi encontrado no documento..7. Variação do máximo de B M com ( + )/, Fonte: ELHOUAR (2012) 3.2. Método de análise proposto O procedimento proposto por ELHOUAR (2012) para se levar em conta os efeitos das não linearidades geométricas global e local para edificações de pequeno porte tem a sua metodologia baseada na força crítica dos pilares do andar, = ( ), a qual 125

13 não depende do deslocamento interpavimentos (drift) como parâmetro no cálculo de amplificação do parâmetro B 2. Segue a apresentação do método. Analisar a estrutura para todas as combinações de ações para se obter a maior força axial e o maior momento fletor de cálculo, N Sd,0 e M Sd,0, respectivamente. Cálculo do coeficiente B p, conforme equação 3.3. =, +1 eq. 3.3 Cálculo do coeficiente B M, conforme equação 3.4. =, +1 eq. 3.4 Cálculo de N Sd e M Sd, conforme equações 3.5 e 3.6. =, eq. 3.5 =, eq Aplicação numérica Será feita uma aplicação numérica para validar o que foi proposto por ELHOUAR (2012), com resultados comparados aos obtidos por meio do método descrito na ABNT NBR 8800:2008. Na análise foi considerada uma edificação de geometria retangular com altura entre pavimentos de 4,50 m. Os pórticos foram considerados formados por uma a quatro baias, com espaçamento de 7,00 m, conforme Figura 4.1. Para cálculo das forças atuantes em cada pórtico analisado foi admitido que o espaçamento entre pórticos vale 8,00 m. Todos os modelos foram analisados como um pórtico plano de um a quatro andares. No modelo foi considerada uma largura constante de 40,00 m. Os pilares foram considerados articulados na base e com um travamento na metade da altura no sentido da menor inércia. As ações solicitantes consideradas nos modelos são provenientes da ação permanente, composta pelo peso próprio da estrutura de aço e peso próprio da laje maciça de concreto com espessura de 20 cm, gerando um carregamento de 5 kn/m 2 e sobrecarga para escritórios no valor de 2 kn/m 2. Para as ações horizontais foi considerado um vento referente à cidade de São Paulo com velocidade básica de 40 m/s. Para 126

14 simplificação do modelo foi adotada uma força-padrão de vento calculada na Categoria IV e Classe B. Para as análises foram consideradas duas combinações de cálculo aqui nomeadas de C1 e C2, combinação da carga permanente mais sobrecarga e combinação de carga permanente com o vento, respectivamente. Nas estruturas analisadas, os pilares são do tipo W com altura entre 250 e 530 mm. Com relação às vigas adotou-se perfil do tipo W com altura de 530 mm. Na modelagem da estrutura todos os nós foram considerados rígidos, para os pilares foi mantida a seção constante em toda a sua extensão e foi criado um nó intermediário a fim de se obter os efeitos locais (P-δ). Figura 4.1. Pórtico Típico Para as análises, os modelos foram nomeados da seguinte maneira: 1B1F7, onde o primeiro conjunto (1B) indica número de baias, o segundo conjunto (1F) o número de andares e o número 7 no final indica o vão entre baias. Todos os modelos foram analisados pelo método da ABNT NBR 8800:2008 (coeficientes B 1 e B 2 ), pelo método simplificado proposto (coeficientes B P e B M ) e, por meio do programa MASTAN2, considerando-se a não linearidade geométrica por meio do procedimento P-, sem redução do módulo de elasticidade (coluna E da Tabela 4.1) e considerando a não linearidade do material por meio da redução de 20% do módulo de elasticidade (coluna F da Tabela 4.1). 127

15 Os resultados serão apresentados por meio de tabelas. Na tabela 4.1, pode-se ver os fatores de amplificação dos esforços, para todos os métodos, calculados no pilar P1 indicado na Figura 4.1. Tabela 4.1. Fatores de amplificação para diversos tipos de análises. Modelo Combinação Método B1-B2 Método Proposto B 1 (A) B 2 (B) B P (C) B M (D) 1B1F7 C1 1,17 1,15 1,03 1,12 1B1F7 C2 1,18 1,14 1,03 1,12 1B3F7 C1 1,14 1,30 1,04 1,17 1B3F7 C2 1,14 1,29 1,04 1,17 1B4F7 C1 1,13 1,28 1,05 1,19 1B4F7 C2 1,14 1,31 1,05 1,20 2B1F7 C1 1,00 1,36 1,03 1,11 2B1F7 C2 1,00 1,35 1,03 1,11 2B3F7 C1 1,00 1,30 1,10 1,39 2B3F7 C2 1,00 1,30 1,08 1,33 2B4F7 C1 1,00 1,31 1,09 1,36 2B4F7 C2 1,00 1,34 1,07 1,30 3B1F7 C1 1,00 1,66 1,08 1,30 3B1F7 C2 1,00 1,43 1,07 1,29 3B3F7 C1 1,00 1,32 1,10 1,38 3B3F7 C2 1,00 1,31 1,07 1,29 3B4F7 C1 1,00 1,35 1,11 1,45 3B4F7 C2 1,00 1,39 1,08 1,34 4B1F7 C1 1,00 1,73 1,08 1,31 4B1F7 C2 1,00 1,45 1,07 1,29 4B3F7 C1 1,00 1,33 1,10 1,38 4B3F7 C2 1,00 1,34 1,09 1,37 4B4F7 C1 1,00 1,18 1,09 1,36 4B4F7 C2 1,00 1,39 1,09 1,35 Método P-D (MASTAN2) D2/D1 (E) 1,11 1,10 1,15 1,17 1,15 1,17 1,26 1,25 1,18 1,16 1,18 1,18 1,44 1,30 1,20 1,19 1,21 1,21 1,47 1,25 1,22 1,18 1,22 1,19 D2/D1(0,8E) (F) 1,14 1,10 1,21 1,21 1,24 1,21 1,34 1,32 1,22 1,23 1,19 1,23 1,62 1,36 1,24 1,27 1,26 1,27 1,68 1,37 1,26 1,26 1,28 1,29 Para o cálculo dos esforços solicitantes as estruturas foram processadas conforme o seu grau de sensibilidade aos deslocamentos laterais, podendo ser observado na coluna B da Tabela

16 Para as estruturas de média deslocabilidade, com o valor de B 2 entre 1,10 e 1,40, houve a redução da rigidez em 20% e para estruturas de grande deslocabilidade com B 2 maior que 1,40, foi feita a redução de 20% na rigidez e as forças nocionais decorrentes das forças gravitacionais foram somados aos esforços decorrentes da ação do vento. Após o processamento, com as devidas mudanças, foram elaboradas as Tabelas 4.2 e 4.3 para comparação dos esforços momento fletor de cálculo e força normal de cálculo, respectivamente. Tabela 4.2. Momento Fletor de Cálculo. Momento Fletor (kn.m) Modelo Combinação 1ª Ordem Elástica Método B1-B2 Método Proposto Método P-D (MASTAN2) M Sd (A) M Sd (B) (B/A) M Sd (C) (C/A) M Sd (D) (D/A) 1B1F7 C1 161,7 183,23 1,13 181,53 1,12 179,10 1,11 1B1F7 C2 197,2 223,19 1,13 221,79 1,12 219,40 1,11 1B3F7 C ,88 1,07 147,15 1,17 128,40 1,02 1B3F7 C2 363,2 439,80 1,21 424,66 1,17 421,69 1,16 1B4F7 C1 132,2 139,90 1,06 157,90 1,19 135,90 1,03 1B4F7 C2 484,39 603,49 1,25 582,59 1,20 572,90 1,18 2B1F7 C1 85,05 86,70 1,02 94,43 1,11 85,88 1,01 2B1F7 C ,41 1,10 115,51 1,11 112,50 1,08 2B3F7 C1 19,01 30,14 1,59 26,33 1,39 23,68 1,25 2B3F7 C2 201,6 266,35 1,32 267,25 1,33 249,30 1,24 2B4F7 C1 25,55 44,55 1,74 34,65 1,36 31,13 1,22 2B4F7 C2 297,54 404,37 1,36 386,29 1,30 374,65 1,26 3B1F7 C1 24,43 28,48 1,17 31,78 1,30 27,08 1,11 3B1F7 C2 46,47 57,53 1,24 59,73 1,29 55,42 1,19 3B3F7 C1 25,51 33,16 1,30 35,21 1,38 30,95 1,21 3B3F7 C2 147,64 192,79 1,31 189,80 1,29 183,67 1,24 3B4F7 C1 27,94 48,37 1,73 40,42 1,45 36,88 1,32 3B4F7 C2 210,02 297,52 1,42 280,71 1,34 273,68 1,30 4B1F7 C1 20,68 25,41 1,23 27,06 1,31 24,02 1,16 4B1F7 C2 36,73 45,97 1,25 47,42 1,29 44,18 1,20 4B3F7 C1 24,59 33,90 1,38 33,95 1,38 30,56 1,24 4B3F7 C2 115,2 156,06 1,35 158,25 1,37 145,80 1,27 4B4F7 C1 26,84 42,01 1,57 36,38 1,36 35,62 1,33 4B4F7 C2 161,8 239,44 1,48 218,25 1,35 213,70 1,32 129

17 Conforme a Tabela 4.2, nota-se que os momentos fletores obtidos pelo método proposto estão a favor da segurança se comparados aos resultantes do procedimento P-. Tabela 4.3. Força Normal de Cálculo. Força Axial (kn) Modelo Combinação 1ª Ordem Elástica Método B1-B2 Método Proposto Método P-D (MASTAN2) N Sd (A) N Sd (B) (B/A) N Sd (C) (C/A) N Sd (D) (D/A) 1B1F7 C1 295,1 295,23 1,00 304,15 1,03 295,30 1,00 1B1F7 C ,98 1,01 309,35 1,03 301,40 1,00 1B3F7 C1 888,8 892,40 1,00 926,10 1,04 889,90 1,00 1B3F7 C2 994,6 1032,27 1, ,67 1, ,00 1,02 1B4F7 C ,64 1, ,69 1, ,00 1,00 1B4F7 C ,83 1, ,85 1, ,00 1,03 2B1F7 C1 240,1 240,47 1,00 246,72 1,03 240,20 1,00 2B1F7 C2 240,8 243,11 1,01 247,46 1,03 242,50 1,01 2B3F7 C ,11 1, ,38 1, ,00 1,00 2B3F7 C ,23 1, ,58 1, ,00 1,00 2B4F7 C ,37 1, ,10 1, ,00 1,00 2B4F7 C ,45 1, ,00 1, ,00 1,00 3B1F7 C ,51 1,00 684,90 1,08 637,50 1,00 3B1F7 C2 620,91 622,05 1,00 665,20 1,07 621,75 1,00 3B3F7 C ,34 1, ,98 1, ,00 1,00 3B3F7 C ,63 1, ,35 1, ,00 1,00 3B4F7 C ,09 1, ,91 1, ,00 1,00 3B4F7 C ,18 1, ,30 1, ,00 1,00 4B1F7 C1 653,1 653,56 1,00 703,45 1,08 653,80 1,00 4B1F7 C2 633,35 634,33 1,00 679,44 1,07 634,00 1,00 4B3F7 C ,06 1, ,17 1, ,00 1,00 4B3F7 C ,55 1, ,13 1, ,00 1,00 4B4F7 C ,35 1, ,03 1, ,00 1,00 4B4F7 C ,18 1, ,46 1, ,00 1,00 130

18 A partir dos esforços solicitantes momentos e forças normais, foi feita uma comparação entre os valores de ϕ obtidos pelos métodos estudados, cujos resultados são apresentados na Tabela 4.4. Tabela 4.4. Comparação entre valores de ϕ. 131

19 Modelo Combinação Método B1-B2 (A) Método Proposto (B) Método P-D MASTAN2 (C) Relações Observando-se a Tabela 4.4, nota-se que o método proposto conduz a resultados mais conservadores, sem exageros, ao compará-los aos obtidos ou pelo método B 1 -B 2 ou pelo procedimento P-. ϕ ϕ ϕ B/A B/C 1B1F7 C1 0,84 0,84 0,82 1,00 1,02 1B1F7 C2 0,97 0,97 0,96 1,00 1,01 1B3F7 C1 0,55 0,58 0,54 1,06 1,08 1B3F7 C2 0,97 0,95 0,94 0,98 1,01 1B4F7 C1 0,56 0,60 0,56 1,07 1,08 1B4F7 C2 1,02 1,00 0,98 0,98 1,02 2B1F7 C1 0,70 0,75 0,70 1,07 1,08 2B1F7 C2 0,86 0,87 0,85 1,01 1,03 2B3F7 C1 0,82 0,89 0,81 1,08 1,10 2B3F7 C2 1,02 1,07 1,00 1,05 1,08 2B4F7 C1 0,76 0,82 0,75 1,07 1,09 2B4F7 C2 0,95 0,98 0,92 1,03 1,06 3B1F7 C1 0,79 0,86 0,78 1,08 1,10 3B1F7 C2 0,89 0,94 0,88 1,06 1,07 3B3F7 C1 0,81 0,89 0,81 1,09 1,10 3B3F7 C2 0,80 0,84 0,79 1,05 1,06 3B4F7 C1 0,95 1,04 0,94 1,09 1,11 3B4F7 C2 0,97 1,00 0,94 1,04 1,07 4B1F7 C1 0,79 0,85 0,78 1,07 1,09 4B1F7 C2 0,84 0,89 0,83 1,06 1,07 4B3F7 C1 0,81 0,89 0,81 1,09 1,10 4B3F7 C2 0,99 1,07 0,98 1,07 1,09 4B4F7 C1 0,77 0,82 0,75 1,06 1,09 4B4F7 C2 0,97 1,01 0,94 1,04 1,07 132

20 5. Conclusões Neste trabalho apresentou-se e analisou-se o método proposto por ELHOUAR (2012), para determinação dos esforços solicitantes considerando-se as não linearidades geométricas e do material por meio da redução do módulo de elasticidade em 20%. Para atingir o objetivo deste trabalho, analisaram-se diversos pórticos planos pelo método proposto, pelo método da ABNT NBR 8800:2008 e pelo procedimento conhecido como P-, a fim de se verificar a consistência do método. No universo de pórticos aqui analisados, pôde-se concluir que o método proposto conduziu a resultados favoráveis à segurança, sem exageros, ou em relação ao método normatizado (B 1 -B 2 ) ou ao método P-. No método proposto notou-se que a influência da majoração das forças normais é maior do que a dos momentos fletores, se comparado ao método B 1 -B 2. Trata-se de algo que merece ser mais bem pesquisado. É de se destacar, que o método proposto necessita de menor esforço computacional do que o método normatizado. 6. Agradecimentos Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico, CNPq e à Fundação de Apoio à Pesquisa do Estado de São Paulo, FAPESP. 7. Referências bibliográficas AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION.ANSI-AISC Specification for Structural Steel Buildings. Chicago: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8681:2003. Ações e Segurança nas Estruturas. Rio de Janeiro: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8800:2008. Projeto de Estruturas de aço e de Estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Rio de Janeiro:

21 ELHOUAR S.; KHODAIR Y.A simplified approach for evaluating second-order effects in low-rise steel-framed buildings. AISC Engineering Journal.p Second Quarter LOPES, A. P., SANTOS; G. O.; SOUZA, A. L. A. C. (2005). Estudo sobre diferentes métodos de análise p-delta. In: Congresso Brasileiro do Concreto, 47. Olinda. Anais... Instituto Brasileiro do Concreto, São Paulo. MONCAYO, W. J. Z. Analise de segunda ordem global em edifícios com estrutura de concreto armado. Dissertação (Mestrado em Estrutura) Escola de Engenharia de São Carlos USP. São Carlos REIS, M. C. J. Analise não linear geométrica de pórticos planos considerando ligações semirrígidas elastoplásticas. Dissertação (Mestrado em Estrutura) Escola de Engenharia de São Carlos USP. São Carlos SALMON, C. G.; JOHNSON, J. E. Steel structures: design and behavior, 4th Edition, HarperCollins Publishers Co., Inc., 1996 SILVA, R. G. L. Avaliação dos efeitos de 2ª ordem em edifícios de aço utilizando métodos aproximados e análise rigorosa. Dissertação (Mestrado em Estrutura) Universidade Federal de Minas Gerais YURA, J. A. The effective length of columns in unbraced frames. AISC Journal Engineering, V. 8(2), p , April, ZIEMIAN, R. D. Guide to stability design criteria for metal structures, 6th Edition, John Willey & Sons,