ESTABILIDADE GLOBAL 1. INTRODUÇÃO NOTAS DE AULA

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1 1 1. INTRODUÇÃO Relembrando RM: Flecha = deslocamento de um ponto da viga em relação à sua posição inicial. Flecha é calculada em função da equação do momento fletor (Resist. dos Mat.) ESTABILIDADE GLOBAL 2 d v(x) M(x) 2 dx E I v (x) x Realizando as integrações, temos que: NOTAS DE AULA v M E I (x) ( x) dx dx C1 x C2 Prof. Dr. José Luiz Pinheiro Melges Maio de 2012 Observação: C1 e C2 são constantes obtidas a partir das condições de contorno da viga, ou seja, de que modo a viga está vinculada à chapa terra. (Este material foi desenvolvido a partir de notas de aula elaboradas pelos Professores Doutores José Samuel Giongo e Libânio Miranda Pinheiro, da EESC USP, e pelo Eng. Alio Kimura, da TQS Informática, a quem presto meus agradecimentos).

2 2 2. EFEITOS DE 2ª ORDEM GLOBAL 3 Exemplo retirado do material didático do Eng. Alio Kimura:

3 4 Mas se diagrama de momento fletor mudou, então o valor da flecha no topo também vai mudar... E se a flecha no topo mudar, então diagrama de momento fletor vai mudar novamente... OU SEJA: teremos um processo iterativo! 5 3. DESLOCABILIDADE HORIZONTAL Nos edifícios, os pilares associados às vigas formam os pórticos que resistem, não só às ações verticais, mas também às ações horizontais Pórtico formado por vigas e pilares (GIONGO, 2002) As ações horizontais (vento, desaprumo) geram deslocamentos horizontais. Esses deslocamentos, quando associados às ações verticais vão gerar os efeitos de 2 a ordem global. Quando o aumento nos esforços decorrentes dos efeitos de 2 a ordem global for inferior a 10%, esses efeitos podem ser desprezados. Para melhorar o comportamento da estrutura com relação às ações horizontais (ex.: vento), outros elementos estruturais podem ser associados aos pórticos, para dar maior rigidez à estrutura. Os principais são os pórticos entreliçados, as paredes estruturais e os núcleos rígidos, estes, em geral, situados no contorno da abertura para os elevadores.

4 6 Exemplo 01) Lousa 7 Núcleo Pórtico entreliçado Parede estrutural Elementos de contraventamento(fusco, 1986) OBSERVAÇÃO: Podemos considerar que as lajes possuem rigidez praticamente infinita no plano horizontal, ou seja, são incompressíveis ( encurtam muito pouco ) quando comprimidas. Portanto, as lajes travam o conjunto, e distribuem os esforços de modo proporcional à rigidez de cada elemento do conjunto. FTool: considerar lajes como elementos bi-articulados e rígidos. O comprimento das lajes pode ser arbitrado pelo usuário.

5 4. CLASSIFICAÇÃO Efeito de 2ª ordem GLOBAL 4.2. Efeito de 2ª ordem LOCAL 4.3. Efeito de 2ª ordem LOCALIZADO

6 10 5. GRAU DE DESLOCABILIDADE As estruturas dos edifícios podem ser classificadas, segundo sua rigidez, em contraventadas e não-contraventadas. As estruturas contraventadas são as que os nós apresentam pequenos deslocamentos horizontais. Nesse caso, podemos dispensar a consideração dos efeitos globais de segunda ordem e a estrutura é dita indeslocável ou de nós fixos. Nesse caso, apenas o efeito de 2ª ordem local é que deve ser considerado. Já as estruturas não-contraventadas, também conhecidas como estruturas deslocáveis ou de nós móveis, possuem pouca rigidez com relação às ações horizontais e os efeitos de 2 a ordem global devem ser obrigatoriamente considerados. Nesse caso, tanto os efeitos de 2ª ordem local e global precisam ser considerados. As estruturas não contraventadas são estruturas flexíveis, que necessitam que se leve em conta a não-linearidade física e a não-linearidade geométrica no cálculo de seus deslocamentos e esforços. A não-linearidade física representa o fato do concreto comprimido plastificar (devido ao módulo E não ser constante) e o fato do concreto tracionado fissurar (devido à sua baixa resistência à tração). A não-linearidade geométrica implica em dizer que, não sendo os deslocamentos horizontais desprezíveis, o equilíbrio da estrutura deve ser calculado para a sua posição final e não mais para a sua posição inicial. Destaca-se que a consideração dessas não-linearidades torna o problema consideravelmente mais complexo. Como critérios que podem ser usados para separar as estruturas de nós fixos das estruturas de nós móveis têm-se os parâmetros e z PARÂMETRO ALFA () H. (E N k I cs c ) eq 1 H = altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um N k = nível pouco deslocável do subsolo; é a somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de característico. H), com seu valor (E cs I c ) eq = rigidez de um pilar hipotético (ou equivalente ), engastado na base Observação: e livre no topo, que é igual à rigidez do sistema de contraventamento da estrutura. Ou seja, aplicando-se uma força unitária no topo da estrutura e no topo do pilar hipotético (ou equivalente ), os dois devem ter o mesmo deslocamento nesse ponto. Para calcular o deslocamento no topo da estrutura, a norma recomenda que: o momento de inércia dos pilares e vigas deve ser calculado considerando-se a seção bruta dos mesmos; o valor do módulo de elasticidade a ser usado é o do módulo de deformação tangencial inicial, é dado pela NBR 6118:2003 como sendo igual a: Eci 5600 f ck ( com Eci e fck dados em MPa) Observação: Quando a estrutura de contraventamento for composta por um (1) pilar-parede, por exemplo, então a rigidez equivalente (E cs I c ) eq será igual ao produto (E ci. I c ) desse pilar-parede. ; onde :

7 12 (pilar-parede é quando a maior dimensão da seção transversal é maior que 5 vezes a menor dimensão da seção transversal). Exemplo 02) Lousa Exemplo 03) Lousa 13

8 14 15 Observação: Quando temos pilares-parede de mesma rigidez, podemos associá-los em um único pilar-parede. Portanto: para dobrar a rigidez dobrar a base do momento de inércia; para triplicar a rigidez triplicar a base do momento de inércia; Etc... Exemplo 04) Lousa Observação: Quando temos o sistema de contraventamento sendo realizado por pórticos (pilares associados com vigas), devemos seguir o procedimento mostrado no Exemplo 05). Exemplo 05) Exemplo do cálculo do valor de (E cs I c ) eq, relativo à estabilidade global da estrutura de 3 andares (3 pisos + 1 cobertura = 4 pavimentos), com relação ao eixo x. Portanto: Se 3 1. H a, 3 (E I ) cs c eq então: (E I cs c ) eq 3 1. H 3. a

9 16 17 Observação: Para que os efeitos de 2 a ordem global possam ser desprezados, têm-se a seguinte condição : 1 O valor de 1 depende do número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo (n): Exemplo: Exemplo 06) Para o edifício de 3 andares, verifique a sua estabilidade global através do parâmetro. Dados: fck: 20 MPa; Pilares de canto: 20 cm x 20 cm Ação em cada pavimento: 10 kn/m2 Pilares de extremidade: 20 cm x 40 cm Distância entre os pavimentos: 3 m Vigas: 12 cm x 40 cm Planta de edifício de 3 andares n = 4 H para n 3 1 = 0,2 + 0,1 n para n 4: 1 = 0,7 para contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede 1 = 0,5 quando só houver pórticos 1 = 0,6 para associações de pilares-parede e pórticos É importante destacar que, o edifício pode ter um comportamento de nós fixos em uma direção e ter o comportamento de nós móveis na outra. a) Segundo a direção x Na figura, tem-se a associação dos pórticos na direção x por meio das barras rígidas bi-rotuladas. 4m 4m 4m 4m 4 x 3m = 12 m

10 1 18 a) Esquema da associação b) Pórticos planos 19 Foram fornecidas ao programa as seguintes informações: Módulo de deformação longitudinal do concreto: MPa = 2 504,4 kn/cm 2 ; Características geométricas dos pilares (P1 + P4) e (P3 + P6): Mom. de Inércia = / 12 = cm 4 ; Área = = 800 cm 2 ; Características geométricas dos pilares (P2 + P5): Mom. de Inércia = / 12 = cm 4 ; Área = = cm 2 ; Características geométricas das vigas: Mom. de Inércia = / 12 = cm 4 ; c) Vista superior Para simplificar a análise, quando os pórticos possuem a mesma rigidez, ao invés de associá-los por meio das barras bi-rotuladas, pode-se dobrar a rigidez de um deles conforme mostrado na figura. Área = = 960 cm 2 ; Portanto: a = 0,04945 cm (valor calculado pelo FTool) H = 1200 cm (E cs I c ) eq. = kn.cm 2 Cálculo do parâmetro x : H = 1200 cm H. Nk (E I ) cs c eq a) Esquema a) Vista superior Nk = (10 kn / m 2 / pavimento). (6 m. 8 m). 4 pavimentos = kn (considerar cobertura) n (número de níveis de barras horizontais - andares - acima da fundação) = 4 (E cs I c ) eq. = kn.cm 2 x = 0,49 Para obter o descolamento no topo da estrutura, foi usado um programa para cálculo de esforços em pórticos planos (FTOOL). Limite: Para n 4 1 = 0,5 (contraventamento por pórticos) Portanto x < 1 Estrutura de nós fixos na direção do eixo x.

11 b) Segundo a direção y Na figura a seguir, tem-se a associação dos pórticos na direção y x 3m = 12 m b) Esquema 6m 6m 6m Esquema da associação 1 c) Vista superior Para obter o descolamento no topo da estrutura, foi usado o FTOOL. Foram fornecidas ao programa as seguintes informações: Módulo de deformação longitudinal do concreto: MPa = 2 504,4 kn/cm 2 ; Características geométricas dos pilares (P1 + P4) e (P3 + P6): Pórticos planos Mom. de Inércia = / 12 = cm 4 ; Área = = 800 cm 2 ; Características geométricas dos pilares P2 e P5: Vista superior Para simplificar a análise, como os pórticos formados pelos pilares P1-P4 e P3-P6 possuem a mesma rigidez, ao invés de associá-los por meio das barras birotuladas, pode-se dobrar a rigidez de um deles. Mom. de Inércia = / 12 = cm 4 ; Área = = 800 cm 2 ; Características geométricas das vigas relacionadas ao pórtico formado pelos pilares (P1+P4) e (P3+P6): Mom. de Inércia = / 12 = cm 4 ; Área = = 960 cm 2 ;

12 22 Características geométricas das vigas relacionadas ao pórtico formado pelos pilares P2 e P5: Mom. de Inércia = / 12 = cm 4 ; Área = = 480 cm 2 ; Características geométricas das vigas relacionadas às barras rígidas: os valores que podem ser arbitrados pelo usuário. Optou-se por se adotar uma barra com comprimento igual a 1 metro, de modo que os pórticos não ficassem nem muito próximos um do outro, nem muito afastados. Comprimento das barras: 1 m (valor arbitrado pelo usuário) Área : 1 cm2 (valor arbitrado, pois barra é rígida) Momento de Inércia: 1 cm4 (valor arbitrado, pois barra é rígida) Cálculo do parâmetro y : H = 1200 cm Portanto: a = 0,05154 cm (valor calculado pelo FTool) H = 1200 cm H. (E cs I c ) eq. = kn.cm 2 Nk (E I ) cs c eq Nk = (10 kn / m 2 / pavimento). (6 m. 8 m). 4 pavimentos = kn (considerar cobertura) n (número de níveis de barras horizontais - andares - acima da fundação) = 4 (E cs I c ) eq. = kn.cm 2 23 Limite: Para n 4 1 = 0,5 (contraventamento constituído somente por pórticos) Portanto y < 1 Estrutura de nós fixos na direção do eixo y. 7. AÇÃO DO VENTO (RESUMO) No local da obra, tem-se a velocidade básica do vento v o (mapa das isopletas) Em seguida, calcula-se a velocidade característica v k em função dos parâmetros: fator topográfico (S1) fator estatístico (S3) fator rugosidade (S2) rugosidade do terreno, v k = S1. S2. S3. v o dimensões da edificação Segundo SÁLES et al. (1994), para o caso de edifícios de grande altura é possível dividi-los em várias partes e, a partir daí, calcular a velocidade característica (vk) para essas partes, tomando como altura de referência a cota superior para cada trecho. Conhecendo-se o valor de v k, calcula-se o valor da pressão de obstrução q* (pressão perpendicular à superfície da estrutura). 2 q* = 0,613 v k ( com q em N/m 2, vk em m/s ) ou 2 q* = 0,0613 v k ( com q em kgf/m 2, vk em m/s ) q* q' q'' y = 0,497

13 24 Para transformar essa pressão de obstrução (q*) em uma pressão estática (q), a ser aplicada à estrutura, faz-se necessário conhecer o coeficiente de arrasto. Esse coeficiente é usado para se obter a pressão global (ou mesmo a força global) que o vento exerce na estrutura. 25 q ep = q. 6m 4 x 3m = 12 m q = c a q* q Para complementar este assunto, ver apostila Ação do Vento nas Edificações, dos professores José Jairo de Sales, Maximiliano Malite e Roberto Gonçalves. Para obter os esforços em cada pórtico, pode-se associá-los de modo análogo ao que é feito na verificação da estabilidade global. Ressalta-se que esta associação é possível porque, como as lajes possuem rigidez infinita no plano horizontal, elas permitem que os pórticos e paredes trabalhem de modo conjunto para resistir às ações horizontais. Para representar as lajes fazendo a associação entre os pórticos, utilizam-se barras bi-articuladas, com área infinita. Exemplo: 4m 4m 4m 4m BIBLIOGRAFIA FUSCO, P.B. (1986). Estruturas de Concreto: Solicitações Normais. Rio de Janeiro, Editora Guanabara Dois. GIONGO, J.S. (2002). Concreto Armado: Projeto Estrutural de Edifícios. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. (apostila) KIMURA, A. Material didático TQS informática ltda. SÁLES, J.J.; MALITE, M.; GONÇALVES, R.M. (1994). Ação do Vento nas Edificações. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. (apostila) Coeficiente de arrasto (ca) para edificações com planta retangular Vento de BAIXA turbulência. q

14 26 Coeficiente de arrasto (ca) para edificações com planta retangular Vento de ALTA turbulência. No caso de vento turbulento, geralmente observado em grandes cidades (categoria IV e V), observa-se uma redução no valor do coeficiente de arrasto c a. Uma edificação pode ser considerada em zona de alta turbulência quando sua altura for menor que duas vezes a altura média das edificações nas vizinhanças, estendendo-se estas, na direção e sentido do vento incidente, a distância mínima de: 500 m para uma edificação de até 40 m de altura; m para uma edificação de até 55 m de altura; m para uma edificação de até 70 m de altura; m para uma edificação de até 80 m de altura.