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1 Disciplina: Sistemas Estruturais Disciplina: Sistemas Estruturais Assunto: Estruturas Isostáticas Prof. Ederaldo Azevedo Aula 5 ederaldoazevedo@yahoo.com.br

2 Disciplina: Sistemas Estruturais 5. Estruturas Isostáticas 5.1 Conceito de Estruturas Isostáticas Os vínculos restringem os graus de liberdade de movimento da estrutura, provocando forças reativas conhecidas como reações de apoio. Nas estruturas isostáticas as reações de apoio só aparecem quando existem forças ativas (cargas aplicadas). As cargas aplicadas são dadas ou facilmente determináveis e as reações de apoio são as forças procuradas ou as incógnitas.

3 Disciplina: Sistemas Estruturais 5. Estruturas Isostáticas 5.1 Conceito de Estruturas Isostáticas Nas estruturas isostáticas, o número de vínculos é o essencialmente para impedir a mobilidade da estrutura, e as reações de apoio, que surgem em função das cargas aplicadas, são em número igual aos movimentos restringidos. As reações de apoio são, portanto, forças com ponto de aplicação e direção conhecidos. O conjunto, cargas aplicadas mais reações de apoio, forma um sistema de forças em equilíbrio.

4 Disciplina: Sistemas Estruturais 5. Estruturas Isostáticas 5.2 Esquemas, representações e simplificações de cálculo. As estruturas não são analisadas como elas ficarão depois de serem concebidas, assim, a fim de estabelecer um esquema de cálculo, ou modelo matemático, algumas simplificações tornam-se necessárias, e estão em geral associadas: à geometria: representação da estrutura por barra, que representa o meio de seu eixo do elemento; ao sistema de forças: forças e momentos concentrados e distribuídos; à análise numérica a ser efetuada: planas e espaciais; à representação dos apoios.

5 Disciplina: Sistemas Estruturais 5. Estruturas Isostáticas 5.3 Unidades de Força e Momento. unidade de força e unidade de comprimento Ex.: tf/m; kn/m; N/cm; e outros. 10 KN/m unidades de força distribuída

6 Disciplina: Sistemas Estruturais 5. Estruturas Isostáticas 5.3 Unidades de Força e Momento. unidade de momento unidade de comprimento tfm/m; knm/m; Ncm/cm; e outros.

7 Disciplina: Sistemas Estruturais 5. Estruturas Isostáticas 5.4 Resultantes dos carregamentos De acordo com a disposição dos esforços as forças distribuídas podem ser representadas através de figuras geométricas como: retângulos, triângulos, trapézio e outros. A resultante de uma carga(força) distribuída ao longo de um comprimento L, é determinado pela área delimitada do intervalo(representado pela figura) sendo o ponto de aplicação da resultante R coincidente com o centro de gravidade do diagrama(figura abaixo).

8 Disciplina: Sistemas Estruturais 5.4 Resultantes dos carregamentos

9 Disciplina: Sistemas Estruturais 5. Estruturas Isostáticas 5.5 Vigas Isostática Cálculo das Reações Nas estruturas isostáticas constituídas por uma única chapa, o número de equações de equilíbrio disponíveis é igual ao número de incógnitas, possibilitando o cálculo das reações de forma muito simples. VIGAS ISOS: Nº DE EQUAÇÕES = Nº DE INCÓGNITAS

10 Disciplina: Sistemas Estruturais 5. Estruturas Isostáticas 5.5 Vigas Isostática Cálculo das Reações Assim, supondo a estrutura no plano xy(planas), as condições de equilíbrio é dado pelas equações: (Fx=0) (Fy=0) (M=0) Onde Fx e Fy são as componentes das forças aplicadas em relação aos eixos x e y, respectivamente e; M o módulo do momento das forças em relação a um ponto qualquer do plano.

11 Disciplina: Sistemas Estruturais 5. Estruturas Isostáticas 5.5 Vigas Isostática Cálculo das Reações Poderão ser usadas, nos problemas práticos, também como condições de equilíbrio, três equações de momentos, desde que relativas a pontos não pertencente à mesma reta(pontos não colineares): Equações de Momentos : Ma=0 Mb=0 Mc=0 Onde a, b e c são não colineares.

12 Disciplina: Sistemas Estruturais 5. Estruturas Isostáticas 5.5 Vigas Isostática Cálculo das Reações de Apoio: Exemplo de Aplicação: As Incógnitas (reações de apoio) são determinadas pelas equações de equilíbrio e como são três equações, normalmente são suficientes. A técnica para cálculo de reações consiste em isolar, a estrutura da terra, mediante a retirada dos apoios, aplicando-se na direção dos movimentos restringidos os esforços incógnitos(encontrar o valor) correspondentes. O método para determinação das reações de apoio adotado segue um roteiro de 04 passos:

13 Disciplina: Sistemas Estruturais 5.5 Vigas Isostática Cálculo das Reações de Apoio: Passo a Passo Exemplo de Aplicação: 1º identificar e destacar dos sistemas os elementos estruturais que serão analisados. Desenhar o modelo estrutural (ME); 2º traçar o diagrama de corpo livre (DCL) do elemento a ser analisado;. O DCL consiste em isolar a estrutura da terra, mediante a retirada dos apoios, aplicando-se na direção dos movimentos restringidos os esforços incógnitos correspondentes.

14 Disciplina: Sistemas Estruturais 5.5 Vigas Isostática Cálculo das Reações de Apoio: Passo a Passo Exemplo de Aplicação: 3º determinar um sistema de referência (SR) para a análise(xy); 4º estabelecer as equações de equilíbrio da estática (EE); Fx=0 Fy=0 M=0.

15 Disciplina: Sistemas Estruturais 5.5 Vigas Isostática Cálculo das Reações de Apoio: Exemplo1: Viga isostática com carga distribuída simétrica.

16 M=0 ; Para se fazer um somatório de momentos, é necessário escolher um ponto fixo, que deverá estar localizado dentro do sistema de referência adotado. Para maior facilidade é necessário conveniente que esse ponto coincida com um ponto localizado sobre o modelo estrutural onde houver maior número de incógnitas. Disciplina: Sistemas Estruturais 5.5 Vigas Isostática Cálculo das Reações de Apoio: Exemplo1: Viga isostática com carga distribuída simétrica. Equações de Equilíbrio (EE): Fx=0 Fy=0 M=0 Fx=0 RH=0 Fy=0 RV1 + RV2 q.l = 0

17 5.5 Vigas Isostática Cálculo das Reações de Apoio: Exemplo1: Viga isostática com carga distribuída simétrica. No exemplo em análise o ponto a ser escolhido é o ponto A. A escolha do ponto para determinação dos momentos é um passo muito importante, pois dependendo do ponto escolhido, a resolução do problema pode ser simplificada ou muito complicada. Assim, Ma=0 Disciplina: Sistemas Estruturais (RH1.0) + (RV1.0) (RV2.L) + (q.l.l/2)=0 q.l²/2- RV2.L=0 (multiplicando 1/L) q.l/2 RV2=0 RV2= ql/2 Substituindo RV2 na equação Fy=0 Fy=0 RV1 + ql/2 ql =0 RV1 = ql/2

18 Cálculo das Reações de Apoio: Exemplo1: Viga isostática com carga distribuída simétrica. Respostas: RV1=qL/2; RV2=qL/2; RH=0 Exemplo 2: Viga isostática com carga concentrada no centro da viga.

19 Cálculo das Reações de Apoio: Exemplo 2: Viga isostática com carga concentrada no centro da viga. Equações de Equilíbrio (EE): Fx=0 Fy=0 M=0 Fx=0 RH=0 Fy=0 RV1 + RV2 P = 0 RV1 = P RV2 Ma=0 (RH1. 0) + (RV1.0) (RV2.L) + (P.L/2) = 0 P.L/2 RV2.L=0 Multiplicando 1/L para simplificar temos RV2=P/2 Substituindo RV2 na equação Fy=0 Fy=0 RV1=P RV2 RV1=P/2 Respostas: RV1= P/2; RV2= P/2; RH=0

20 Cálculo das Reações de Apoio: Exemplo3: Viga isostática com carga distribuída e uma concentrada no centro da viga.

21 Cálculo das Reações de Apoio: Exemplo3: Viga isostática com carga distribuída e uma concentrada no centro da viga. Equações de Equilíbrio (EE) Fx=0 Fy=0 M=0 Fx=0 RH=0 Fy=0 RV1 + RV2 q.l - P = 0 RV1 + RV2= P + ql Ma=0 (RH1. 0) + (RV1.0) (RV2.L) + (q.l.l/2) + (P.L/2) = 0 P.L/2 + q.l²/2 RV2.L =0 multiplicando 1/L para simplificar P/2 + q.l/2 RV2 =0 RV2 = P/2 + ql/2 Substituindo RV2 na equação Fy=0 Fy=0 RV1 + RV2 = P + ql RV1=P/2 + ql/2 Respostas: RV1= P/2 + ql/2; RV2= P/2+ ql/2; e RH=0

22 Cálculo das Reações de Apoio: Análise dos resultados obtidos nos três exemplos anteriores: 1.A reação de apoio horizontal em todos os casos é igual a zero, porque não existe, no modelo em análise, nenhuma força horizontal ativa; 2.Quando uma viga está submetida a uma carga uniformemente distribuída, as reações de apoio são iguais:rv1=rv2=q.l/2 3.Quando a viga está submetida a uma carga concentrada no meio do seu vão, as reações de apoio também são iguais: RV1=RV2=P/2 4.Quando a viga estiver submetida a uma carga uniformemente distribuída e a uma carga concentrada no meio do seu vão, as reações de apoio são iguais ao somatório das reações dos dois casos anteriores: RV1=RV2= ql/2 + P/2, isso acontece devido ao princípio da superposição de efeitos. 5.As cargas uniformemente distribuídas são concentradas a um determinado ponto. Esse ponto deve ser o baricentro da área de atuação da carga. No caso de cargas uniformemente distribuídas de seção constante, o baricentro é exatamente o centro do espaço de

23 Cálculo das Reações de Apoio: Análise dos resultados obtidos nos três exemplos anteriores: 6.Em cargas triangulares, o baricentro está localizado a 1/3 do lado maior.(abaixo);

24 RV2=30 kn Exercícios Resolvidos: 1. Calcule as reações de apoio para a viga de 6m de vão submetida ao carregamento de carga concentrada de 60KN aplicada no seu centro. Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 RH=0 Fy = 0 RV1 + RV2 60 = 0 RV1 + RV2= 60 Ma = 0 (RH1. 0) + (RV1.0) RV2.6 = RV2.6 =0 6RV2=180 RV2=180/6

25 Exercícios Resolvidos: 1. Calcule as reações de apoio para a viga de 6m de vão submetida ao carregamento de carga concentrada de 60KN aplicada no seu centro. Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 60 Respostas: Fy = 0 RV = 60 RV1 = 30 kn RV1= 30 kn; RV2= 30 KN; RH=0

26 Exercícios Resolvidos: 2.Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento submetida ao carregamento de carga uniformemente distribuída, de 8KN/m por todo o vão. Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 RH=0 Fy = 0 RV1 + RV2 (8.6) = 0 RV1 + RV2= 48 Ma = 0 (RH1. 0) + (RV1.0) RV2.6 = RV2.6 =0 6RV2=144 RV2=144/6 RV2= 24 kn Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 48 Fy = 0 RV = 48 RV1 = 24 kn

27 Exercícios Resolvidos: 2.Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento submetida ao carregamento de carga uniformemente distribuída, de 8KN/m por todo o vão. Respostas: RV1= 24 kn; RV2= 24 KN; RH=0

28 Exercícios Resolvidos: 3.Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento submetida ao carregamento de carga parcialmente distribuída, de 6KN/m a partir do primeiro terço do vão. Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 RH=0 Fy = 0 RV1 + RV2 (6.4) = 0 RV1 + RV2= 24 Ma = 0 (RH1. 0) + (RV1.0) RV2.6 = RV2.6 =0 6RV2=96 RV2=96/6 RV2= 16 kn Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 24 Fy = 0 RV = 24

29 Exercícios Resolvidos: 4. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento submetida ao carregamento de carga distribuída triangular, sobre todo o vão com 6KN/m na extremidade direita. Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 RH=0 Fy = 0 RV1 + RV2 (6.6/2) = 0 RV1 + RV2= 18 Ma = 0 (RH1. 0) + (RV1.0) RV2.6 = RV2.6 =0 6RV2=72 RV2=72/6 RV2= 12 kn Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 18 Fy = 0 RV = 18 RV1 = 6 kn

30 RV1 = - 5 kn Exercícios Resolvidos: 5. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento submetida a um momento externo(carga momento) de 30 knm no sentido horário, aplicado a 2m da extremidade esquerda. Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 RH=0 Fy = 0 RV1 + RV2 = 0 RV1 = - RV2 Ma = 0 (RH1. 0) + (RV1.0) RV2.6 = RV2.6 =0 6RV2=30 RV2=30/6 RV2= 5 kn Substituindo RV2 na equação RV1 = - RV2 Fy = 0 RV1 = -5

31 Exercícios Resolvidos: 5. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento submetida a um momento externo(carga momento) de 30 knm no sentido horário, aplicado a 2m da extremidade esquerda. Respostas: RV1= - 5 kn; RV2= 5 KN; RH=0 Obs.: O sinal negativo de RV1 indica que o sentido correto da reação é o oposto ao inicialmente arbitrado.

32 Exercícios Resolvidos: 6. Calcule as reações de apoio para uma viga em balanço de 4m de comprimento submetida a uma carga concentrada de 20 kn na sua extremidade.

33 Exercícios Resolvidos: 6. Calcule as reações de apoio para uma viga em balanço de 4m de comprimento submetida a uma carga concentrada de 20 kn na sua extremidade. Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 RH=0 Fy = 0 RV1 20 = 0 RV1 = 20 KN Ma = 0 (RH1. 0) + (RV1.0) + Ma = Ma + 80 =0 Ma = - 80 knm Obs.: O sinal negativo de Ma indica que o sentido adotado deste momento foi errado portanto o sentido correto é o anti-horário.

34 Exercícios Resolvidos: 7.Calcule as reações de apoio para uma viga bi-apoiada de 6m de vão, submetida a uma carga distribuída de 8 kn/m, com um balanço de 2m na extremidade esquerda submetida a um momento externo(carga momento) de 20 knm no sentido anti-horário localizado à cinco metros do apoio esquerdo e uma carga concentrada de 10 kn na extremidade.

35 Exercícios Resolvidos: 7. Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 RH=0 Fy = 0 RV1 + RV = 0 RV1 + RV2 = 42 Ma = 0 (RH. 0) + (RV1.0) RV = RV =0 6RV2= RV2=36/6 RV2= 6 kn Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 42 Fy = 0 RV1 + 6 = 42 RV1 = 36 kn

36 Exercícios Resolvidos: 7.

37 Exercícios Resolvidos: 8.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico abaixo:

38 Exercícios Resolvidos: 8.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico abaixo: Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = RH=0 RH= 3 KN Fy = 0 RV1 (4. 4,0)+ RV2 = 0 RV1+ RV2 = 16 KN Mb = 0 + (RV1. 9) + (3.1,5) - (16.7) + Rh.0 + Rv2.0) =0 9RV1 + 4, =0 9RV1=107,5 RV1=11,94 KN Substituindo RV1 na equação RV1 + RV2= 16 Fy = 0 11,94 + RV2 = 16 RV2 = 4,06 kn

39 Exercícios Resolvidos: 9.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de treliça abaixo:

40 Exercícios Resolvidos: 9.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de treliça abaixo: Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 RH=0 RH= 0 Fy = 0 RV RV2 = 0 RV1+ RV2 = 20 KN Mb = 0 + (RV1. 16) - (5.12) - (10.8) (5.4) + Rh.0 + Rv2.0=0 16RV =0 16RV1=160 RV1=10 KN Substituindo RV1 na equação RV1 + RV2= 20 Fy = RV2 = 20 RV2 = 10 kn