3TRU022: Mecânica II Prof.: Roberto Buchaim Exercícios resolvidos

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1 Eercícios de Vigas Isostáticas TRU: Mecânica II Prof.: Roberto Buchaim Eercícios resovidos º Eercício - Determinar para a viga bi-apoiada abaio as reações de apoio, e os diagramas dos esforços soicitantes. Usar as euações indefinidas de euiíbrio. Dados 9KN / m 8m º passo: Determinação da função ( Conforme a figura, por semehança de triânguos tem-se ( ( Ou ainda, pode-se partir da euação gera da reta ( a b, com as ( a. b b condições: donde ( a. a (, como antes. UEL CTU, Departamento de Estruturas, TRU Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim

2 º passo: Cácuo das reações de apoio Estas são obtidas através das euações de euiíbrio, cacuando-se antes o tota de carga apicada na viga, bem como sua posição na viga. Q ( d d ( (esta epressão também é igua à área do carregamento da viga, um triânguo de base e atura. Posição da resutante Q (iguaa-se os momentos estáticos em reação ao ponto A da carga resutante e da carga distribuída ao ongo da viga: [ ] Q. CG ( d ou CG d Isoando CG tem-se: CG d [ ] CG (posição do centro de gravidade de um trianguo retânguo de base e atura Cácuo das reações de apoio UEL CTU, Departamento de Estruturas, TRU Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim

3 Ma R B. Q R B Q R B R Fy RA RB Q R A donde R A º passo: Determinação da força cortante ( euiíbrio: dv ( ( d Integrando de a temos: ( d C V V ( C V pea euação indefinida de B Cácuo do vaor da constante C : para tem-se C C V ( RA V ( V ( V ( ou ainda, denominando ξ a abscissa adimensiona, tem-se V ( ξ ξ UEL CTU, Departamento de Estruturas, TRU Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim

4 UEL CTU, Departamento de Estruturas, TRU Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim 4 4 A força cortante se anua para ξ ξ Ou 577. (um pouco aém do meio do vão. Conferindo, no apoio B ou ξ R B V ( ξ OK 4º passo: Determinação do momento fetor ( M pea euação indefinida de euiíbrio: ( ( V d dm Integrando os dois ados, tem-se: ( C M ( C M ( C M ( C M Cácuo da constante C : para tem-se ( C C M ( M ou [ ] ( ξ ξ ζ M (paráboa cúbica Conferindo: para ( M. OK O momento máimo, ma M, ocorre para V. Logo, ξ. Substituindo na euação de (ξ M, obtém-se: ma M 85, 5,588

5 5 5º Passo: Gráficos, com 9KN m e 8m ( m ξ ( V ( ξ ξ ξ KN ( M ( ξ ξ[ ξ ] 9ξ [ ξ ] ( KN. m,5,475,85,5 9,75,5,75,975,975 4,5 4.,5774 M ma.954 5, -,5,55,75-8,5,5 7,875-5,55 9, UEL CTU, Departamento de Estruturas, TRU Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim 5

6 Viga Isostática, Carga Trianguar: Força Cortante 8 Força Cortante V(, [KN] V( -4 Abscissa (m Viga Isostática, Carga Trianguar: Momento Fetor Momento Fetor M(, [KNm] M( -4 Abscissa (m OBS: Os vaores do momento fetor estão com sina contrário, porue o Ece desenha ordenadas positivas acima do eio das abscissas, o ue é contra a convenção de momento fetor. UEL CTU, Departamento de Estruturas, TRU Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim

7 7 º Eercício- Determinar para a viga bi-apoiada da figura as reações de apoio e os diagramas dos esforços soicitantes. Usar as euações indefinidas de euiíbrio. (Obs.: Esta carga é usada em estruturas de pontes. Dados 9KN / m 8m º Passo: Determinação da função ( ( B ( A. sen condições de contorno: ( ( A.sen ( B Como sen( B A ou B B Para sen A.sen A.sen., resuta (.sen resuta ( A º Passo: Cácuo das reações de apoio. E como No caso, por causa da simetria, as reações de apoio são iguais à metade da carga tota apicada Q, ue vae: Q ( d sen. d Q sen cos.... d UEL CTU, Departamento de Estruturas, TRU Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim 7

8 8 A variáve está no intervao [,]. Mudando a variáve para.. variáve estará no intervao, [, ] Q [ cos( cos( ] Q [ ], donde., esta nova Q.,,57 Logo R A R B Q º passo: Determinação da força cortante ( euiíbrio: dv (. ( sen d Integrando os dois ados tem-se: V pea euação indefinida de. V ( sen d C. V ( cos C. V ( sen d C. V ( cos C Cácuo do vaor da constante C : para tem-se V ( R A V 78 ( cos( C C Logo V ( cos. Conferindo para V V ( RB cos( ( 78 cos cos 4º passo: Determinação do momento fetor ( euiíbrio: dm (. V ( cos d M pea euação indefinida de UEL CTU, Departamento de Estruturas, TRU Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim 8

9 9 Integrando os dois ados tem-se:.. M ( cos d C. M ( cos d C. M ( sen d C Cácuo do vaor da constante C : para tem-se 4748 M ( sen( C C Logo: M ( sen. O máimo momento fetor, M ma, ocorre para V, o ue se dá na abscissa. Substituindo na euação de M (, vem: M ma sen 9,87 5º Passo: Gráficos, com 9KN m e 8m.. V 8 rad (* ( m ( KN ( cos cos ( M. KN. m. 8 ( sen 58,sen (,98,5,9,4779,857,97,78,8,5,589 9,559,4,7854,57 4,75,5,987,77 48,554,78 8,775 5,985,5,744 4,47 57,9 4,578 M ma 58, 5,95-8,775 5,985,5 -,57 4,75 7,7489 -,78,8 8,4 -,98 (*: Notar ue o ânguo, na cacuadora, deve ser posto em radianos. UEL CTU, Departamento de Estruturas, TRU Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim 9

10 Viga Isostática, Carga Senoida: Força Cortante 5 Força Cortante V(, [KN] V( Abscissa (m Viga Isostática, Carga Senoida: Momento Fetor Momento Fetor M(, [KNm] M( Abscissa (m OBS: O momento fetor está indicado com sina contrário, pois o Ece desenha ordenadas positivas para cima, contrariando a convenção adotada de desenhá-o no ado em ue as fibras são tracionadas. UEL CTU, Departamento de Estruturas, TRU Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim

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