CAPÍTULO 6 CENTROS DE GRAVIDADE E MOMENTOS ESTÁTICOS

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Stéphanie Benke Cortês
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1 CAPÍTULO 6 CENTROS DE GRAVIDADE E OENTOS ESTÁTICOS CENTRO DE GRAVIDADE DE U CORPO BIDIENSIONAL Considere um corpo bidimensional no plano. A acção da gravidade actua sobre o corpo como uma força distribuída, cuja resultante será o peso do corpo, aqui designado por F r r. z F r R r r F r F i As equações dos momentos serão: Fr i Fi Fr i Fi 1/11 DABP@2009

2 Quando o número de elementos tende para infinito, pode-se escrever: F r df df df CENTRO DE ASSA DE UA PLACA HOOGÉNEA Como a força gravítica é proporcional à massa. F g m g Para uma placa de espessura constante a massa distribui-se uniformemente pela área da mesma. m ρ m V m ρ V ρ A e F g ρ A e g Substituindo na equação dos momentos. ( A ρ e g) ρ A e g i i ( A ρ e g) ρ A e g i i 2/11 DABP@2009

3 Como ρ, e, g são constantes, podemos escrever. ( A ) A i i ( A ) A i Quando o número de elementos tende para infinito. A i A i i OENTOS DE 1.ª ORDE OU OENTO ESTÁTICO O integral é conhecido como momento estático ou momento de 1.ª ordem da superfície A relativamente ao eio (S ). S i e como A i, vem que: S A O integral é conhecido como momento estático ou momento de 1.ª ordem da superfície A relativamente ao eio (S ). S i e como A i, vem que: S A 3/11 DABP@2009

4 Com base nas epressões anteriores conclui-se que as coordenadas do centróide de uma superfície também podem ser calculadas, dividindo os momentos estáticos dessa superfície pela sua área. Sempre que uma figura é simétrica em relação a um eio, o momento estático em relação a esse eio é nulo e o centro de massa da figura pertence a esse eio. 0 - BB BB 0-4/11 DABP@2009

5 CG BARICENTRO DE UA PLACA COPOSTA Quando uma placa tem uma geometria irregular, esta quase sempre pode ser dividida em figuras elementares simples 5/11 DABP@2009

6 3 CG3 2 1 CG1 CG CG As coordenadas do centro de gravidade podem ser obtidas através das seguintes equações, A i Ai A i Ai Caso eista uma abertura ou furo na placa, a área desse vazio é considerada como negativa. 6/11 DABP@2009

7 Figura retirada de [1] TEOREA DE PAPPUS - GULDINIUS Este teorema refere-se a superfícies e corpos de revolução. Superfície de revolução é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eio fio. Da revolução de um semicírculo resulta uma esfera, de um segmento de recta resulta um cone e de uma circunferência resulta um toro. 7/11 DABP@2009

8 Teorema I A área de uma superfície de revolução é igual ao produto do comprimento da curva geratriz pelo caminho percorrido pelo centróide da curva durante o movimento de rotação que gera a superfície. A 2π L (Figura retirada de [1]) Teorema II O volume de um corpo de revolução é igual ao produto da área da superfície geratriz pelo caminho percorrido pelo centróide da superfície durante o movimento de rotação que gera o corpo. (Figura retirada de [1]) 8/11 DABP@2009

9 V 2π A (Figura retirada de [1]) CARGAS DISTRIBUÍDAS SOBRE VIGAS Considere uma carga distribuída sobre uma viga. dw A resultante será dada pelo integral da carga distribuída em ordem ao comprimento da viga, ao que corresponde a área do diagrama de distribuição de carga. w L w 0 d w L 0 A 9/11 DABP@2009

10 Para uma carga distribuída uniforme (diagrama rectangular) o integral pode ser substituído pela área de um rectângulo. F r kN p 10kN / m L 5. 00m No caso de uma carga trapezoidal, esta pode ser considerada como uma carga rectangular com uma carga triangular por cima. F r 50kN F r 2 25kN F r 1 25kN p 10kN / m 2 p 5kN / m 1 L 5. 00m O valor da força resultante é determinado da seguinte forma F r 1 25kN 2 F r kN 2 10/11 DABP@2009

11 F r Fr + Fr 50kN 1 2 O ponto de aplicação é determinado com base na equação dos momentos estáticos. 1 Fr Fr2 F r m BIBLIOGRAFIA [1] Beer, Ferdinand P.; Johnston Jr., E. Russell; "ecânica Vectorial para Engenheiros - Estática"; Seta Edição; cgraw Hill. 11/11 DABP@2009

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