Cap. 5 ANÁLISE ESTRUTURAL: Estruturas, Máquinas e Cabos

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1 01 Estruturas e máquinas: Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia Civil Cap. 5 NÁLISE ESTRUTURL: Estruturas, Máquinas e Cabos Material didático adaptado/modificado das obras de: - Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, p. - Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 005, 50p. - Christoforo,. L. Notas de ula. - Rodrigues, L. E. M. J. Notas de ula. Prof. ndré Luis Christoforo christoforoal@ahoo.com.br (máquina) - Estruturas e máquinas são dois tipos de estruturas normalmente compostas de membros multiforça conectados por pinos. - Estruturas são idealizadas para suportar carga. (estrutura) - s máquinas possuem partes móveis e são projetadas para transmitir e alterar os efeitos das forças s forças que agem nos nós das estruturas e máquinas podem ser obtidas separando as partes integrantes, com os respectivos diagramas de corpolivre, e utilizando-se das equações de equilíbrio da estática para CD membro. (ação) (reação) - 6 incógnitas ao todo - 6 equações 1

2 0 (Motor) 05 (cabo ) (cabo 1) (ação) (reação) (Elevador) (força peso) 06 Eercícios: 1) Determine as componentes horizontal e vertical da força que o pino em C eerce no elemento CB da estrutura mostrada. 07 (único cabo)

3 08 09 ) viga da figura abaio está conectada por um pino em B. Determine as reações em seus apoios. Despreze o peso e a espessura da viga. Solução do sistema de equações: ) Determine a tração nos cabos e também a força P necessária para sustentar a força de 600N usando o sistema de polias sem atrito da figura abaio. 10 ) O homem de 75kg tenta erguer a viga uniforme de 0kg do apoio de rolete em B. Determine a tração desenvolvida no cabo preso em B e a reação normal do homem sobre a viga quando isso está a ponto de ocorrer Polia : - Polia B: - Polia C:

4 1 1 5) estrutura da figura abaio sustenta o cilindro de 50kg. Determine as componentes horizontal e vertical da reação em e a força em C. - Diagrama de corpo livre da polia: - Diagrama de corpo livre do homem: - Diagrama de corpo livre da viga: - solução do sistema de equações: 1 6) Se uma força de F=500N é aplicada perpendicularmente ao cabo do grampo articulado, determine a força de prensagem resultante em (N ) Diagrama de corpo livre da polia: - Diagrama de corpo livre do membro D: F C 0,50 NEB + 50 C,50 NEB 50 F C + 0,866 NEB,01 C = + 0,866 NEB,01

5 16 Cabos Fleíveis: 17 MC 0,866 NEB ,500 NEB ,5 +,01 (70 + 8,157) NEB = 678, 5N C = 1589,6 N C = 75,59 N - Combinam resistência com leveza e são utilizados para suportar e transmitir cargas de um membro para outro; - O peso próprio do cabo é considerado no dimensionamento de linhas aéreas de distribuição de energia elétrica (e outros similares). Quando utilizado como elemento de sustentação, o seu peso passa a ser desprezível quando comparado com o peso da estrutura (ou elemento) sustentada; - Os cabos são aqui considerados como perfeitamente fleíveis (não resistente à curvatura) e inetensíveis (indeformável); cabos cabos M D 5 N 1589,6 0 N,880 N - Um caso será analisado: 18 Eercícios: 07) Determine as forças de tração nos segmentos do cabo da figura abaio Cargas Concentradas: Nove incógnitas: - Forças reativas: ; ; B ; B - Forças normais de tração: N C ; N CD ; N DB - Cotas na condição de equilíbrio: C ; D - Tratar o problema como equilíbrio de ponto material (nos nós) e de corpo rígido (seccionando o cabo e avaliando uma das partes), especificando uma das flechas ( C ou D ) ao invés do comprimento (L) do cabo. 5

6 0 1 6

7 01 Tipos de trito: Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia Civil - trito Fluido: quando as superfícies de contato estão separadas por uma lâmina de fluido (e. processo de usinagem com fluido de corte). Cap. 6 TRITO Prof. ndré Luis Christoforo christoforoal@ahoo.com.br Material didático adaptado/modificado das obras de: - Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, p. - Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 005, 50p. - trito Seco: ocorre entre superfícies de corpos em contato na ausência de fluidos lubrificantes (e. liadeira, ferramentas de corte em geral). Neste curso são investigados problemas de equilíbrio (ponto material ou corpo etenso) envolvendo apenas a condição de atrito seco. 0 nálise de equilíbrio: 0 Características do atrito seco: (Força peso) - O peso se distribui ao longo da superfície de contato irregular, dando origem à componente da força normal em um ponto ( N n ) e à componente de força adjacente (atrito) ao ponto ( F n ). (Força de atrito estático máima) (Força de atrito cinético) (Força de atrito) (Força normal) Fm = µ sn (coeficiente de atrito estático) Fk = µ k N (coeficiente de atrito cinético) µ k 0.75µ s F < Fm; P < F F = Fm; P = F (repouso) P > Fm ; F = Fk (movimento) (eminência de movimento) 1

8 Valores de µ e : variam em função da classe do material envolvido (0 ~ 1). - Às vezes é conveniente substituir a força normal N e a força de atrito F por sua resultante R: Contato µ e Metal metal 0,15 0,60 Metal madeira 0,0 0,60 Metal pedra 0,0 0,70 Madeira madeira 0,5 0,50 Terra-terra 0,0 1,00 Pedra pedra 0,0 0,70 Borracha concreto 0,60 0,90 ço concreto 0,0 0,50 (Sem atrito) (Sem movimento) s (movimento iminente) Fm µ s N tg φ s = = N N tg φ = µ s (movimento) Fk µ k N tg φk = = N N tg φ = µ k k Consideremos um bloco de peso W em repouso sobre uma prancha com ângulo de inclinação θ variável. - Se o elemento da figura abaio for considerado corpo etenso, além da força F ser no máimo igual a força de atrito estático máima (eminência de repouso), devemos garantir também que o corpo não gire. Para tanto: M0 W = P h P h = W a (sem atrito) (sem movimento) (movimento iminente) (movimento)

9 Tipos de Problemas de trito: Nenhuma iminência de movimento aparente: - Os problemas nessa categoria são estritamente problemas de equilíbrio, em que o número de incógnitas do diagrama de corpo-livre é igual ao número de equações de equilíbrio. F F M α F F M α Iminência de movimento em todos os pontos de contato: - Neste caso, o número de incógnitas se igualará ao número de equações de equilíbrio disponíveis mais o número total de equações de atrito disponíveis. (5 incógnitas) (barras uniformes com peso de 100N) (6 Equações de Equilíbrio e 6 incógnitas) Depois de calculadas as incógnitas, a condição de equilíbrio (repouso) do sistema ocorrerá apenas se se F 0,0 N e F C 0,50 N C. F F Mα (5 equações) F = µ N FB = µ B NB Iminência de movimento em alguns pontos de contato: - Para problemas desta natureza, estipula-se inicialmente uma condição de movimento (hipótese de movimento) e verifica-se a validade de tal hipótese formulada. P má? F F M α 10 F F M α Cunhas: 11 (7 incógnitas) - Hipótese 1: Desliza primeiro em : F,0 N suposição de F,0 N juntamente com as 6 Equações de Equilíbrio possibilitam o cálculo das 7 incógnitas do problema. Para satisfazer tal hipótese, o valor de F C encontrado da condição de equilíbrio deve ser 0,50 N C. Em caso negativo, o valor da força P deve ser encontrado com a imposição da hipótese de que o sistema desliza primeiro em C (F C,50 N ), e F calculado das condição de equilíbrio deverá ser 0,0 N - Cunhas máquinas simples utilizadas para suspender cargas. - força necessária para suspender um bloco é consideravelmente menor que o peso do bloco. - O atrito mantém a cunha no lugar. - Deseja-se encontrar a força P necessária para suspender o bloco.

10 (cunha como corpo livre) F o o P F cos(6 ) F N sen(6 ) o o P µ s N cos(6 ) µ s N N sen(6 ) o o P µ s N N ( µ s cos(6 ) + sen(6 )) F incógnitas: N 1, N, N e P equações o o N F sen(6 ) + N cos(6 ) o o N µ s N sen(6 ) + N cos(6 ) o o N + N ( µ s sen(6 ) + cos(6 )) (bloco como corpo livre) F : N1 + µ sn F : W µ sn1 + N 1 1 Eercícios: 1) Uma força de 50 N atua sobre um bloco com peso de 1.50 N posicionado sobre um plano inclinado. Os coeficientes de atrito entre o bloco e o plano são µ s,5 e µ k,0. Determine se o bloco está em equilíbrio e encontre a força de atrito. : F 50 N - ( 1.50 N) F : 5 F = 60 N F N - 5 ( 1.50 N) N =1.080 N F µ m = s N Fm F ( ) 70 N N = (o bloco deslizará plano abaio) = F = N real k µ k.0 ( N) F real = 16 N ) O suporte móvel pode ser posicionado a qualquer altura sobre o tubo de 7,5 cm de diâmetro. Se o coeficiente de atrito estático entre o tubo e o suporte é 0,5, determine a distância mínima para a qual a carga W pode ser suportada. Desconsidere o peso do suporte. 1 ) caia uniforme da figura abaio tem massa de 0kg. Se uma força P=80N for aplicada à caia, verifique se ela permanece em equilíbrio. O coeficiente de atrito estático é igual a 0,0. 15 F = µ N,5N B s s F = µ N,5N B B N C (pontos de contato pelo momento gerado) F : N B N F : F + F W 0,5N = W N B = N 0,5N + 0,5N W B B N = N B = W M B : N ( 15 cm) F ( 7,5 cm) W(,75 cm) 15N 7,5( 0,5N ) W +,75W 15( W ) 1,875 ( W ) W +,75W = 0 cm Solução : (não deslizará)

11 16 17 ) escada uniforme de 10kg apoia-se contra a parede lisa em B e a etremidade em no plano horizontal para qual o coeficiente de atrito estático é de 0,0. Determine o ângulo de inclinaçãoθda escada e a reação normal em B se a escada estiver na eminência do deslizamento. Na eminência do deslizamento: Ângulo de inclinação θ: ) viga B está sujeita a uma carga uniforme de 00N/m e está apoiada em B pelo poste BC. Se os coeficientes de atrito estático em B e C foremµ B =0,0 e µ C =0,50, determine a força P necessária para puar o poste de debaio da viga. Despreze o peso dos elementos e a espessura da viga. - Hipótese 1: o poste desliza em B e gira em C: ( Eq. de Equilíbrio) ( incógnitas) + uma equação de atrito, aplicada ao ponto B ou ao ponto C (desliza em C) 5

12 0 1 - Hipótese : o poste desliza em C e gira em B: 6) Os blocos e B possuem massa de kg e 9kg, respectivamente, e estão conectados a ligações com pesos desprezíveis. Determinar o maior valor da força vertical P que pode ser aplicada no pino C sem causar qualquer movimento. O coeficiente de atrito estático entre os blocos e a superfície é de 0,0. OK!!! Este caso ocorre primeiro, pois o valor da força P encontrada (67N) é inferior ao valor da força (0N) do caso anterior. O movimento do sistema pode ser causado pelo deslizamento inicial do bloco ou do bloco B. - Hipótese 1: bloco desliza primeiro: (verificação) hipótese 1 está correta, implicando que o bloco desliza primeiro que o bloco B. 6

13 5 7) viga é ajustada na posição horizontal por meio de um calço localizado em seu apoio direito. Se o coeficiente de atrito estático entre o calço e as duas superfícies é de 0,5, determine a força horizontal P necessária para empurrar o calço para a frente. Despreze o peso e as dimensões do calço e a espessura da viga. NB = 75N F NC cos 0 0, 5NCsen0 75 NC = 87,80N F P 0, 5(75) 0, 5(87,80) cos 0 87,80sen0 P = 69, N M NB(8) 00() NB = 75N - força necessária para mover o calço deverá ser maior que 69,N 7

14 Centro de Gravidade e Centroide: 01 Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia Civil Cap. 7 Centro de Gravidade e Centroide Prof. ndré Luis Christoforo christoforoal@ahoo.com.br Material didático adaptado/modificado das obras de: - Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, p. - Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 005, 50p. Centróide (localização da resultante das forças dw) Centro de Massa: - Necessário para estudar a resposta dinâmica ou movimento acelerado de um corpo. 0 Centro de um volume: 0 - Para um corpo de densidade (ρ) constante (corpo homogêneo): (Coordenadas do cento de massa) (Coordenadas do centróide) (Coordenadas do cento de massa) (Coordenadas do cento de volume) 1

15 0 05 Centroide de uma área: - Para uma função =f(): Centroide de uma linha: - Para um segmento de linha descrito por uma função =f(): ou (momento de área em torno do eio - M ) Eercícios: ) Localize o centroide do segmento de fio circular da figura a seguir. ) Determine a coordenada do centroide da figura a seguir. (0) = h () = a + b (b)

16 ) Determinar o centro de gravidade CG do retângulo em relação ao eio que passa pela sua base. 08 ) Localize o centroide da área de ¼ de círculo Momento estático: (área de um triângulo) - Coordenada do CG: - Para o eio localizado na posição h/, qual o valor da coordenada baricêntrica? M h/ = d = b d 0 = h/ M CG = 5) Localize o centroide da área da figura abaio ) Localize a coordenada do centroide do paraboloide de revolução. OU

17 1 1 Centroides de algumas figuras planas: Centroides de áreas compostas por várias figuras: - O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras é epresso por: 1 Eercícios: 7) Determinar o centroide da Figura abaio (medidas em centímetros) Para o uso das equações acima faz-se necessário o conhecimento da área e das coordenadas do centróide de cada figura plana que compõe a seção.

18 8) Determinar o centroide da Figura abaio (medidas em centímetros). 16 9) Determinar as coordenadas do centroide da Figura abaio (medidas em centímetros)

19 Centroide de corpos compostos: 0 10) Localize o centroide do fio ilustrado na figura a seguir. 1 Para um corpo com densidade ou peso específico constante, o centro de gravidade coincide com o centroide do corpo. Se W é o peso das partes do corpo tem-se: = R π - Para sólidos: = ɶ W W = ɶ W W z = zɶ W W - Para linhas (comprimento L): = ɶ L L = ɶ L L = ɶ L L 6

20 01 Momentos de Inércia: Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia Civil Cap. 8 Momentos de Inércia Prof. ndré Luis Christoforo christoforoal@ahoo.com.br Material didático adaptado/modificado das obras de: - Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, p. - Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 005, 50p. - Melconian, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. 19 ed. São Paulo, Ed. Erica, O cálculo do momento de uma força distribída que atua perpendicularmente à uma determinada superfície em relação a um eio de interesse envolverá uma quantidade geométrica intitulada de momento de inércia de área. Da placa submersa da figura abaio, o momento da força distribuída em relação ao eio é: p = γ df = P d = γ d dm = df = ( γ d) = γ d γ dm = d γ M = d I = d Na Mecânica dos Sólidos: - Defleão em Vigas: - Flambagem de Colunas: q v( ) = + L L E I Z ( ) 0 L Giro em torno de z I z = d P = cr I Giro em torno de π = E I L z d di = d I = d di = d ( ) I = J = r d = + d = d + d = I + I o J o = I + I (Momento de Inércia Polar) d 1

21 - Torção de Eios: Uma aplicação do momento de inércia polar pode ser vista na obtenção das tensões de cisalhamento máimas em eios submetidos a momentos torçores. [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ I ] ou J L L L [ mm ; cm ; m ;...] τ má T c = J o 0 05 Teorema dos eios paralelos: Sejam e os eios baricêntricos da superfície de área. Para determinar o momento de inércia da superfície em relação aos eios e, paralelos a e, aplica-se o teorema de Steiner que é definido através das seguintes integrais. I = d I d ( ) ( ) = + I = + d d = I d d ( ) I = + d d = d + d d + d d ( ) I = + d d = d + d d + d d Como d e 0 (centro geométrico) concluímos que: d = I = d + d d I = d + d d I = I + d I = I + d Jo = Jo + d (Momento de Inércia Polar segundo o transporte de eios) 06 J i o io = Jo o = Momentos de Inércia de um Retângulo: (Raio de Giração do Momento de Inércia Polar) 07 - Em Relação ao CG: Raios de giração: - O raio de giração de uma superfície plana é calculado pelas equações abaio, muito útil no projeto de colunas (estudo da flambagem de colunas). i = I i = I i = I I i = - nálise dimensional de i: 1/ [ ] [ L] 1/ i = = [ L] ] = [ L] [ L] m; cm; mm;... s unidades de i podem ser: [ ] I = h/ d b h/ I = b d I h/ b h = I = h/ 1

22 08 09 I = d b/ I = h d b/ h b/ I h b = I = b/ 1 - Escolha do elemento infinitesimal de área: Determine o momento de inércia da figura a seguir em relação ao eio. - Em relação a um outro sistema de referências: I = I + d (transporte de eios) b h h b h I = + b h I = 1 I = I + d (transporte de eios) h b b I = + b h 1 I h b = - Solução I: 10 - Solução II: 11 - Momento de Inércia da área infinitesimal: (100 ) d di = di + d d di = + d di = d Momento de Inércia da seção plana: 00 I = d 00 I = (100 )d I = (100 )d I = 100 d d 0 00 I mm 0 = - Momento de Inércia da seção plana: I - Momento de Inércia da área infinitesimal: di = di + d d d di = + d 1 7 di = d = d I 100 ( ) / 0 = 00 d I / = d 0 6 I = mm

23 Eercícios: 1) Determine o momento de inércia em relação ao eio dos da área limitada pela curva = 9 e pela reta 1 1 ) Determine o momento de inércia em relação ao eio dos da área limitada no 1º quadrante pela curva = e pela reta. = I d I = (9 ) d OU ( ) I = 9 d 0 I = 18 d d I = = uc I = (9 ) d 0 O momento solicitado é em relação ao eio dos. área elementar: ( ) O produto da área pelo quadrado da distância é: [( ) d] 5 I = = 0 d = 0 d 0 0 r c d r 56 = 6 I 5 c 6 = 5 Resultados de seções usuais: 1 15 b h I = 6 h b I = 6

24 16 17 Momentos de Inércia para Áreas Compostas: Conhecidos os momentos de inércia e a área de cada seção plana em relação ao CG de cada elemento, com o uso do transporte de inércia, o momento de inércia da seção composta pode ser então calculado pela soma dos momentos de inércia de cada seção em relação ao sistema de coordenadas de interesse. - Eemplo: Determine o momento de inércia (em m ) em relação ao eio da seção plana abaio Eercício: ) Determine os momentos de inércia em relação aos eios e [a] e em relação baricêntricos e [b]. Momentos de inércia das seções elementares: a I 1 = 1 π d 1,16m I = =,1 10 m 6 (0,) I1 = = ɶ,1 10 m 1 Momentos de inércia da seção: I = I 1 I = [ I 1 + d1 1 ] [ I + d ] I π (0,0) 5 I = = 7,85 10 m 6 5 = [, (0, ) 0,16] [7, (0, ),1 10 ] = 7, 0 10 m 5

25 [a] 0 OU 1 I = I 1 + I = [ I 1 + d1 1 ] + [ I + d ] I 0 0 = + () (15) 0 = ,67cm 1 1 I = I 1 + I = [ I 1 + d1 1 ] + [ I + d ] I 0 0 = + (10) (10) 0 =.86,67cm 1 1 I = I1 I I = [ I1 + d1 1 ] [ I + d ] [ I + d ] I = + (17) 0 + (15) (15) 8 0 = ,67cm I = I 1 I I = [ I 1 + d1 1 ] [ I + d ] [ I + d ] I = + (10) 0 + () (16) 0 8 =.86,67cm [b] - Coordenadas do CG: i i ( 0) + 10 (0 ) = = = = 10cm i i i ( 0) + 15 (0 ) = = = = 1,80cm i I = I 1 + I = [ I 1 + d1 1 ] + [ I + d ] I 0 0 = + (10, ) ( 6,80) 0 =.978,67cm 1 1 I = I 1 + I = [ I 1 + d1 1 ] + [ I + d ] I = + (0) (0) 0 =.86,67cm 1 1 6

26 ) Conhecidos os momentos de inércia e área da seção transversal dos perfis individuais catalogados, determine o momento de inércia I da composição dos perfis em relação ao eio baricêntrico da seção. Determine também o raio de giração em relação ao eio I = 8,07cm I = 11,09cm = 15cm I =? I =? I,8cm I = 8,cm = 10cm I = I 1 + I + I + I I = 8,07cm I = 11,09cm = 15cm 5 { I,8 cm ; I = 8, cm ; = 10cm I = [ I 1 + d1 1 ] + [ I + d ] + [ I + d ] + [ I + d ] I = [0,8 + () 10] + [8,07 + (0) 15] + [8,07 + (0) 15] + [0,8 + ( ) 10] I = 87,81cm 0 0 I - raio de giração: i = = 87,81 50 =,1cm 7