Prof. MSc. David Roza José -

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Diana di Azevedo
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2 2/22 Introdução Até o momento consideramos que a força de atração exercida pela terra num corpo rígido poderia ser representada por uma única força W, aplicada no centro de gravidade do corpo. O quê realmente acontece é que a força gravitacional atua individualmente em cada uma das partículas que compõem o corpo; e veremos que todas estas pequenas forças podem ser substituídas por uma única força W equivalente. Veremos, também, como determinar o centro de gravidade ou seja onde deve ser aplicada a força W resultante. Nesta primeira aula dois conceitos serão associados com a determinação do centro de gravidade: o centroide de uma área e o primeiro momento de inércia de uma área em relação a um eixo.

3 3/22 Centro de Gravidade de um Corpo 2D Consideremos um corpo plano horizontal. Dividiremos a placa em n elementos pequenos. As coordenadas do primeiro elemento são x 1 e y 1 ; do segundo elemento são x 2 e y 2 e assim sucessivamente. As forças exercidas pela terra nos elementos da placa serão chamadas de ΔW 1, ΔW 2 e assim sucessivamente. Estas forças são direcionadas ao centro da terra, entretanto, para todos os efeitos práticos as consideraremos paralelas. Assim, a resultante delas é uma única força na mesma direção.

4 4/22 Centro de Gravidade de um Corpo 2D Assim, a magnitude W da força peso é obtida através da soma de cada uma das partes: Para se obter as coordenadas do ponto G onde a resultante W deve ser aplicada, escreve-se que a soma dos momentos de W em relação aos eixos x e y devem ser igual ao somatório dos momentos dos pesos de cada elemento:

5/22 Centro de Gravidade de um Corpo 2D Caso aumentemos o número de elementos no qual a placa é dividida ao mesmo tempo em que reduzimos o tamanho de cada elemento no limite obteremos: Estas três

5 5/22 Centro de Gravidade de um Corpo 2D Caso aumentemos o número de elementos no qual a placa é dividida ao mesmo tempo em que reduzimos o tamanho de cada elemento no limite obteremos: Estas três equações determinam o peso W e as coordenadas x e y do centro de gravidade. As mesmas equações podem ser estendidas para um fio sobre o plano xy. Note-se que o centro de gravidade G de um fio normalmente não se localiza sobre o mesmo.

6 6/22 Centroides de Áreas e Linhas No caso de uma placa plana homogênea, a magnitude ΔW do peso de um elemento pode ser expressa como: Tal que ϒ é o peso específico (peso por unidade de volume) do material; t é a espessura e ΔA é a área do elemento. De maneira similar, podemos expressar a magnitude W do peso de toda a placa como: Nas unidades do S.I. o peso específico deve ser expresso em N/m³; a área e espessura em m² e m, respectivamente. Trabalhando as equações anteriores em termos de peso e apresentando-as em termos de área:

7/22 Centroides de Áreas e Linhas Caso aumentemos o número de elementos no qual a área A é dividida enquanto simultaneamente reduz-se o tamanho dos elementos no limite obtém-se: Estas equações

7 7/22 Centroides de Áreas e Linhas Caso aumentemos o número de elementos no qual a área A é dividida enquanto simultaneamente reduz-se o tamanho dos elementos no limite obtém-se: Estas equações definem as coordenadas x e y do centro de gravidade de uma placa homogênea, também são conhecidas como centroide C da área A da placa. Caso a placa não seja homogênea, estas equações não podem ser usadas para se determinar a coordenada do centroide.

8/22 Centroides de Áreas e Linhas No caso de um fio homogêneo, a magnitude ΔW do peso de um elemento pode ser expressa como: Tal que ϒ é o peso específico

8 8/22 Centroides de Áreas e Linhas No caso de um fio homogêneo, a magnitude ΔW do peso de um elemento pode ser expressa como: Tal que ϒ é o peso específico (peso por unidade de volume) do material; a é área da seção transversal e ΔL é o comprimento do elemento. As coordenadas x e y do centroide da linha L são dadas por:

9 9/22 Primeiro Momento de Áreas e Linhas A integral de x da é conhecida como o primeiro momento da área A em relação ao eixo y e é representada pela letra Q y. De maneira similar, a integral de y da é conhecida como o primeiro momento da área A em relação ao eixo x e é representada pela letra Q x. Ao compararmos com as equações anteriores, nota-se que o primeiro momento de área A pode ser expresso como o produto da área e das coordenadas do centroide: Assim, torna-se claro que a coordenada do centroide de uma área pode ser obtido ao se dividir o primeiro momento daquela área pelo valor da área. Este conceito será utilizado futuramente para se determinar as tensões de cisalhamento sob carregamento transversal na disciplina de Mecânica dos Sólidos.

10 10/22 Primeiro Momento de Áreas Percebe-se também através da equação que se o centroide de uma área está localizado sobre um dos eixos coordenados, o primeiro momento de área em relação àquele eixo vale zero (questão de simetria). Assim, quando uma área A possui um eixo de simetria BB, o primeiro momento de inércia de área em relação a BB é zero; e seu centroide está localizado naquele eixo.

11 11/22 Primeiro Momento de Áreas Outra conclusão lógica é que se uma área possui dois eixos de simetria, o centroide C obrigatoriamente estará localizado na intersecção dos dois eixos. Esta propriedade nos permite determinar imediatamente o centroide de áreas de círculos, elipses, quadrados, retângulos e triângulos equiláteros; entre outras figuras simétricas.

12/22 Primeiro Momento de Áreas Uma área A é dita simétrica em relação a um centro O (centro de simetria) se para cada elemento de área da de coordenadas

E também se conclui que x = y = 0, ou seja, o centroide da área coincide com o centro de simetria O.

12 12/22 Primeiro Momento de Áreas Uma área A é dita simétrica em relação a um centro O (centro de simetria) se para cada elemento de área da de coordenadas x e y existe um elemento da de mesma área com coordenadas -x e -y. Assim pode-se concluir que Q x = Q y = 0. E também se conclui que x = y = 0, ou seja, o centroide da área coincide com o centro de simetria O. Deve estar claro que uma figura que possua um centro de simetria não necessariamente possuirá um eixo de simetria (segunda figura); enquanto uma figura possuindo dois eixos de simetria não necessariamente possuirá um centro de simetria (primeira figura).

13 13/22 Centroides de Formas Comuns

14 14/22 Centroides de Formas Comuns

15 15/22 Centroides de Formas Comuns

16/22 Placas Compostas Em muitos casos uma placa placa pode ser dividida em retângulos, triângulos, e outras formas comuns mostradas anteriormente.

16 16/22 Placas Compostas Em muitos casos uma placa placa pode ser dividida em retângulos, triângulos, e outras formas comuns mostradas anteriormente. A abscissa X do centro de gravidade G pode ser determinada a partir das abscissas x 1, x 2,, x n dos centros de gravidade das várias partes ao se expressas que o momento do peso de toda a placa em relação ao eixo y é igual à soma dos momentos dos pesos das várias partes em relação ao mesmo eixo.

17 17/22 Placas Compostas Caso a placa seja homogênea e de espessura uniforme, o centro de gravidade coincide com o centroide C de área.

18/22 Placas Compostas Cuidado deve ser tomado ao se

O primeiro momento de área, assim como uma força,

O furo de centro A 3 na figura mostrada terá um

18 18/22 Placas Compostas Cuidado deve ser tomado ao se determinar os sinais de cada momento de área. O primeiro momento de área, assim como uma força, pode ser positivo ou negativo. O furo de centro A 3 na figura mostrada terá um primeiro momento de área em relação ao eixo. E a área do furo também deverá ter sinal negativo.

19 19/22 Exemplo 6.1 Para a área mostrada, determine (i) o primeiro momento de inércia em relação aos eixos x e y; (ii) a localização do centroide.

20 20/22 Exemplo 6.2 Localize o centroide da área plana mostrada:

21 21/22 Exemplo 6.3 A figura mostrada é feita de um pedaço fino e homogêneo de fio. Determine a localização do centro de gravidade. Considere todas as medidas em milímetros.

22 22/22 Exemplo 6.4 O membro ABCDE é formado por um único tubo de alumínio. Sabendo que o membro está apoiado em C e que l=2m, determine a distância d para que a porção BCD do membro seja horizontal.

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