O PROCESSO DOS ESFORÇOS (edição beta abril de 2000)

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1 O PROCESSO DOS ESFORÇOS (edição beta abril de 2000) 1. Introdução O Processo dos Esforços, também chamado Método das Forças, é um processo de cálculo para a determinação dos esforços em estruturas hiperestáticas. Este processo, assim como o Processo de Cross e o Processo dos Deslocamentos que serão vistos oportunamente, baseiam-se nas hipóteses de cálculo do Método Clássico, fornecendo portanto os mesmos resultados após a análise. As hipóteses fundamentais do Método Clássico para solução de problemas referentes às estruturas reticulares - formadas por barras - são: 1) Validade das equações de equilíbrio da Mecânica Geral; 2) Continuidade da estrutura, caracterizada pelo fato de não apresentarem pontos angulosos as linhas elásticas das barras cujos eixos também não tenham pontos angulosos (estes, se houver, serão considerados como nós) e de se conservarem constantes os ângulos entre as tangentes às linhas elásticas nos nós; 3) Aplicabilidade das hipóteses da Resistência dos Materiais para materiais elásticos (proporcionalidade entre tensões e deformações, conservação das seções planas); 4) Superposição de efeitos, isto é, o efeito produzido por um conjunto de ações (cargas, temperatura, etc.) é igual a soma dos efeitos destas ações atuando isoladamente. 2. Conceitos fundamentais Estrutura isostática... : é aquela para a qual as equações de equilíbrio da Mecânica Geral são suficientes para a determinação de todos os esforços externos e internos. Estrutura hiperestática... : é aquela para a qual as equações de equilíbrio da Mecânica Geral não são suficientes para a determinação de todos os esforços externos e internos; há necessidade de se estabelecer equações de compatibilidade de deslocamentos. Incógnitas hiperestáticas : são os esforços externos ou internos que existem a mais do que aqueles que podem ser determinados com as equações de equilíbrio. Também recebem o nome de redundantes. Grau de hiperestaticidade: é o número de incógnitas hiperestáticas ou redundantes da estrutura. Hiperestaticidade externa: é o número de reações de apoio superior a três. Hiperestaticidade interna: é o número de incógnitas hiperestáticas supondo conhecidas todas as reações. Ocorre em geral quando um conjunto de barras não todas articuladas entre si, formam uma poligonal fechada. Naturalmente o grau de hiperestaticidade (total) é a soma do externo mais o interno, e é o que influi na solução. 1

2 3. Exemplos de estruturas hiperestáticas 3.1 Treliças Chamando de b o número de barras e n o número de nós, e lembrando que um apoio móvel pode ser substituído por uma barra e o apoio fixo por duas, tem-se a relação (exceto os casos excepcionais): b < 2n sistema móvel ou cadeia cinemática b = 2n treliça isostática b > 2n treliça hiperestática O grau de hiperestaticidade da treliça é o número de barras que supera 2n. Convém recordar aqui que a condição b = 2n é necessária mas não suficiente para que a treliça seja isostática. Assim, podem ocorrer casos excepcionais em que esta expressão é satisfeita mas a treliça não é isostática. A maioria dos casos excepcionais podem ser percebidos intuitivamente, enquanto que os casos mais sutis podem ser determinados por não apresentarem solução, ou o sistema de 2n equações obtido pela aplicação das equações de equilíbrio X = 0 e Y = 0 para cada nó não tem solução definida, isto é, o determinante dos coeficientes é nulo. 3.2 Estruturas aporticadas A maneira mais simples de se determinar o grau de hiperestaticidade de estruturas aporticadas é a técnica da árvore. A árvore é uma estrutura em balanço, ou seja, engastada na terra (engastamento dado através das raízes = três vínculos) e com galhos (barras) ligadas por nós rígidos sem formar anel, isto é, sem fechar. Como a árvore é isostática, deve-se procurar através de trocas e retiradas de vínculos transformar a estrutura em uma ou várias árvores separadas. Quando estiver formando um anel, há necessidade de abrir o anel através de um corte. Uma chapa ao ser cortada perde três barras vinculares, que transmitiam N, Q e M. Uma barra interna articulada nas extremidades ou um tirante ao ser cortado perde apenas uma barra vincular. Cada articulação para se transformar em nó rígido precisa receber mais uma barra vincular. Após transformar a estrutura em uma ou várias árvores, o número de barras vinculares retiradas que não foram repostas para transformar as eventuais articulações em nós rígidos, é o grau de hiperestaticidade. Externamente o grau de hiperestaticidade é o número de barras vinculares que supera três. A figura 3.1 mostra vários exemplos e tipos de estruturas indicando o respectivo grau de hiperestaticidade. 2

3 Figura 3.1 Exemplos de graus de hiperestaticidade 3

4 4. Solução de estruturas hiperestáticas pelo Processo dos Esforços A solução de estruturas hiperestáticas utilizando o Processo dos Esforços é feita através de uma superposição de efeitos e estabelecimento de um sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos. O primeiro passos é determinar o grau de hiperestaticidade da estrutura e transformá-la em uma estrutura isostática pela retirada dos vínculos em excesso, definindo-se as incógnitas hiperestáticas. A estrutura isostática obtida é denominada Estrutura Isostática Fundamental (EIF). Vários exemplos serão resolvidos com comentários quando se fizerem necessários para a compreensão do processo que pode ser resumido como segue: Caso se tenha uma estrutura n vezes hiperestática, adota-se n incógnitas hiperestáticas X 1, X 2,..., X n definindo uma Estrutura Isostática Fundamental (E.I.F.). A aplicação conveniente do Princípio de Superposição de Efeitos conduz à equação de superposição: na qual: (r) = problema real (r) = (0) + X 1 (1) + X 2 (2) X n (n) (0) = problema zero: Estrutura Isostática Fundamental (E.I.F.), submetida apenas ao carregamento dado. (1) = problema um: E.I.F. submetida apenas a um esforço unitário na direção e sentido de X 1. (2) = problema dois: E.I.F. submetida apenas a um esforço unitário na direção e sentido de X 2. M (n) = problema ene: E.I.F. submetida apenas a um esforço unitário na direção e sentido de X n. Como a equação de superposição de efeitos (r) = (0) + X 1 (1) + X 2 (2) X n (n) vale para qualquer esforço ou deslocamento, pode-se aplicá-la para os deslocamentos nas direções e sentido das incógnitas hiperestáticas, obtendo-se um sistema linear de equações de grau n, conhecido como sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos: 1real = + 11 X X n X n 2real = X X n X n M nreal = n0 + n1 X 1 + n2 X nn X n Notação: ireal = i0 = deslocamento na direção e sentido de X i no problema real. Em geral igual a zero, exceto se houver recalque correspondente à incógnita X i. deslocamento na direção e sentido de X i na E.I.F. devido ao carregamento (deslocamentos no problema zero). 4

5 ij = deslocamento na direção e sentido de X i na E.I.F. devido a um esforço unitário na direção e sentido de X j (deslocamentos no problema jota) O sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos usando a notação matricial pode ser escrito: [ ij ] {X i } = { ireal - i0 } Os deslocamentos ij são denominados coeficientes de flexibilidade e [ ij ] é a matriz de flexibilidade. Os deslocamentos são calculados através do P.T.V.: M 0M1 cq0q1 N0N1 D = ò ds + ds ds EI ò + GA ò EA M im j cqiq j NiN j d ij = ò ds + ds ds EI ò + GA ò EA Para os casos usuais de estruturas lineares de nós rígidos, as parcelas dos deslocamentos causados pelos esforços cortantes (Q) e forças normais (N) são desprezíveis em face da parcela devido ao momento fletor. As integrais são estendidas a toda a estrutura e o sistema de equações é simétrico, pois ij = ji (teorema da reciprocidade de Maxwell). Após resolvido o sistema [ ij ] {X i } = { ireal - i0 }, os valores dos esforços obtidos para as incógnitas X 1, X 2,..., X n, além do carregamento original, devem ser aplicados na E.I.F. para a solução final dos itens desejados. 5. Exemplo número 1 Determinar os diagramas de M e Q da viga contínua da figura 5.1. O produto de rigidez à flexão EI é constante e como é usual nos cálculos manuais das estruturas reticulares formadas por barras, o efeito do esforço cortante nas deformações será desprezado. Figura 5.1 Exemplo número 1 A viga da figura 5.1 é uma vez hiperestática. Teoricamente existem infinitas alternativas para transformá-la em uma estrutura isostática com a retirada de um vínculo 5

6 externo ou interno. Naturalmente deve-se procurar uma estrutura isostática básica ou fundamental simples, via de regra simplesmente apoiada ou eventualmente articulada nos nós intermediários. A figura 5.2 mostra quatro opções para a Estrutura Isostática Fundamental (EIF). As opções a) e c) foram obtidas pela retirada de um vínculo externo reações de apoio. As opções b) e d) mantiveram intactas as vinculações da viga, retirando vínculos internos correspondentes ao momento fletor, ou seja, introduzindo articulações. As opções a) e b) são mais aconselháveis por manter a simetria da estrutura. Figura 5.2 Opções para estrutura isostática fundamental Vamos adotar a opção a). Separando o carregamento aplicado da incógnita X 1, podemos aplicar a superposição de efeitos conforme ilustra a figura 5.3. Figura 5.3 Superposição de efeitos Substituindo-se o apoio B pelo valor da reação, que por ser incógnita chamamos de X 1, continuamos a ter a mesma situação do problema real. O sentido adotado para a incógnita define o sentido positivo para os esforços e deslocamentos naquela direção. Assim, os 6

7 deslocamentos 1real, e 11, são medidos na direção da incógnita e serão positivos se estiverem no mesmo sentido adotado para X 1. Convém notar que 1real, ou seja, o deslocamento na direção e sentido de X 1 no problema real é nulo, sendo diferente de zero apenas se houver recalque no apoio B, cujo valor deve ser conhecido. é o deslocamento na direção e sentido de X 1 no problema zero estrutura isostática fundamental submetida ao carregamento dado - e no caso analisado certamente deverá resultar através dos cálculos negativo, pois sabe-se que a elástica da viga do problema (0) se desenvolve para baixo e o sentido positivo do deslocamento, imposto pela orientação adotada para X 1 é para cima. O conhecimento prévio do sentido dos deslocamentos não é necessário, sendo conveniente avaliá-los nos casos simples apenas com o intuito de controle dos cálculos, evitando erros grosseiros. O problema um é a aplicação de uma carga unitária na direção e sentido da incógnita que foi colocada em evidência multiplicando o carregamento unitário. A notação tradicional para os deslocamentos é usar-se letras gregas maiúsculas para os deslocamentos dos problemas real e zero e gregas minúsculas nos outros problemas. Os índices dos deslocamentos seguem o padrão: o primeiro índice indica o local do deslocamento e o segundo a causa (ou problema); em outras palavras (deslocamento) ij é o deslocamento na direção e sentido de X i, no problema j. A equação que retrata a superposição da figura 5.3, é: (r) = (0) + X 1 (1)...(5.1) Esta equação de superposição vale para qualquer esforço ou deslocamento. Aplicando para os deslocamentos na direção da incógnita hiperestática, temos: 1real = + X (5.2) Esta equação recebe o nome de equação de compatibilidade de deslocamento. A única incógnita nesta equação é X 1, pois 1real é nulo neste problema e os deslocamentos e 11 são deslocamentos em estrutura isostática com carregamentos conhecidos, podendo ser determinados através do PTV, utilizando a técnica da carga unitária. Para o cálculo de, o problema (0) é o estado de deslocamento e o estado de carregamento unitário correspondente ao deslocamento é o problema (1). Analogamente, para o cálculo de 11, o problema (1) é o estado de deslocamento e também o estado de carregamento unitário. Assim, será determinado combinando-se M 0 com M 1 e 11 resultará da combinação de M 1 com M 1. A figura 5.4 mostra os diagramas de momento fletor M 0 e M 1, correspondentes aos problemas (0) e (1), respectivamente. 7

8 Figura 5.4 Diagramas de momento fletor A aplicação da técnica da carga unitária fornece, desprezando-se os efeitos da força cortante nas deformações: Ou, ò M 0M1 ds EI M 0 M 1 ds ò D = D = EI M M 1 1 d ds EI M M ds 11 = ò d11 = 1 1 EI ò...(5.3) l pl 5pl EI D =- 2l =-...(5.4) l 5 EI d 11 = 2l = pl...(5.5) A equação de compatibilidade de deslocamentos fica: D 1real =D + X1 d11 0 =D + X1 d11 X1 =...(5.6) d11 X 1 - D 5 = pl...(5.7) 4 Com o valor de X 1 conhecido, qualquer esforço ou deslocamento na estrutura hiperestática real pode ser determinado através da superposição do problema (0) mais X 1 vezes o problema (1): Z r = Z 0 + X 1 Z 1 (Z esforço ou deslocamento qualquer)...(5.8) Alternativamente, pode-se resolver a estrutura isostática fundamental adotada, carregada com as cargas dadas mais a incógnita aplicada como carga externa. Usando este procedimento, tem-se os diagramas de M e Q conforme figura

9 Figura 5.5 Diagramas finais 6. Exemplo número 2 Resolver o pórtico da figura 6.1 de EI constante. Figura 6.1 Exemplo número 2 Trata-se de uma estrutura duas vezes hiperestática. A figura 6.2 mostra três opções para escolha das incógnitas hiperestáticas e as respectivas estruturas isostáticas fundamentais resultantes. Naturalmente o resultado final será o mesmo qualquer que seja a opção escolhida, variando apenas os cálculos durante o desenvolvimento da solução. A incógnita X 1 terá o mesmo valor nas opções a) e c), assim como a incógnita X 2 será igual nas opções a) e b), pois são os valores finais das reações respectivas no problema real. 9

10 Figura 6.2 Opções para estrutura isostática fundamental Adotando-se a opção a), temos o esquema estático ou superposição de efeitos apresentado na figura 6.3, a qual inclui os diagramas de momento fletor dos problemas (0), (1) e (2). Figura 6.3 Superposição de efeitos Os deslocamentos, multiplicados pelo produto EI = constante valem: 1 2 EI D = òm1m 0 ds =- 6 4,5 1=- 9tm 3 1 EI D 20 = òm 2M 0 ds =- 6 4,5 4 =- 36tm 3 3

11 2 1 2 EI d 11 = òm1m1 ds = = 6m EI d 22 = òm 2M 2 ds = = m EI d12 = EI d21 = òm1m 2 ds = = 16 m 2 3 O sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos [ ij ] {X i } = { ireal - i0 }, fica, lembrando que ireal = 0: d d X + d X =- D 6 X X 2 = 9 ou X + d X =- D 16 X /3 X 2 = Resolvendo, temos: X 1 = 1,500 tm X 2 = + 1,125 t A figura 6.4 mostra a estrutura isostática fundamental com o carregamento dado e as incógnitas aplicadas. As reações de apoio foram determinadas e os diagramas dos esforços solicitantes M, Q e N desenhados (exceto para N por ser constante nos trechos), concluindo a solução. 2 Figura 6.4 Resultados finais 11

12 7. Exemplo número 3 variação de temperatura Supondo que o pórtico do exemplo anterior (figura 6.1) ao invés do carregamento sofra um acréscimo de temperatura nas fibras externas de 40 o C, determinar os diagramas de M, Q e N. O coeficiente de dilatação térmica vale 1,2-5 o C -1, o módulo de elasticidade E vale 2 6 tm 2 e a seção transversal das barras é retangular com base b = 0,30m e altura h = 0,50m (h sempre no plano da figura). Adotando-se a mesma estrutura isostática fundamental usada para a solução do exemplo anterior, não haverá alteração na matriz de flexibilidade da estrutura, ou seja, os deslocamentos ij não se alteram, pois os problemas (1) e (2) da superposição são os mesmos. Apenas o problema (0) é alterado; agora os deslocamentos e deformações são devido a uma variação não uniforme de temperatura ao invés do carregamento. A figura 7.1 mostra a superposição de efeitos e os diagramas das deformações no problema (0) e dos esforços solicitantes nos problemas (1) e (2). Figura 7.1 Exemplo número 3 variação de temperatura 12

13 Neste caso, a variação de temperatura média no eixo da barra vale 20 o C e o gradiente de temperatura (dt/h), vale 40/0,5 = 80 o C/m. As deformações diferenciais du e d, na direção da normal e do momento no problema (0) valem respectivamente: du = t médio ds = 24-5 m d = gradiente ds = 96-5 radianos Os deslocamentos e 20 no problema (0) e nas direções de X 1 e X 2 respectivamente, valem: ò D = N du + ò M dj 1 1 ò D = N du + ò M dj Cuidado especial deve ser tomado na avaliação do sinal resultante das integrais acima; elas serão positivas quando as deformações du e d forem concordantes com os esforços correspondentes N e M. Para evitar confusão, na figura 7.1 foram desenhados os diagramas de du - considerado positivo se há aumento de temperatura e portanto alongamento da barra e de d - desenhado do lado da fibra distendida, em concordância com a convenção adotada para o gráfico de M. Assim, os valores de e 20 podem ser avaliados normalmente através das tabelas do produto de duas funções: 1 1 D = = D 20 = (4+ 6) 4 96 = Os valores de 11, 22 e 12 = 21 a menos do produto EI já foram calculados no exemplo anterior. Assim, multiplicando-se os valores de e 20 por EI, tem-se: E = 2 6 t/m 2 I = bh 3 /12 = 3,125-3 m 4 EI = 6250 tm 2 EI d11 X1 + EI d12 X 2 =- EI D 6 X X 2 = 41 ou EI d X + EI d X =- EI D 16 X /3 X 2 = Resolvendo, obtém-se: X 1 = 7,417 tm X 2 = + 0,219 t A figura 7.2 mostra os esforços finais na estrutura e os diagramas pedidos. m m 13

14 Figura 7.2 Resultados finais 8. Exemplo número 4 estrutura atirantada No caso de estruturas atirantadas, a deformação por força normal no tirante naturalmente deve ser considerada, pois é a única que atua nesta peça da estrutura. A figura 8.1 mostra uma viga em balanço AB, de rigidez à flexão EI = 3 tm 2, reforçada por um tirante de rigidez axial EA = 2,5 3 t. A mesma figura ilustra o esquema estático ou superposição de efeitos adotando-se como incógnita hiperestática o esforço normal no tirante. Mostra também os diagramas de momento fletor M 0 e M 1 na barra AB correspondentes aos problemas (0) e (1) e o valor constante da força normal N 1 = 1 no tirante apenas no problema (1), pois no problema (0) o valor do esforço normal N 0 no tirante é nulo. Os efeitos da força cortante e força normal na deformação da viga AB serão desprezados conforme o procedimento usual adotado para as barras com flexão. Os deslocamentos e 11 valem: M 0 M1 D = ò ds ou EI D = M 0 M 1 ds viga EI òviga M N EI EI EA EA = ò ds + ds ou EId11 M1 ds tirante viga ò = + tirante ò l viga d 14

15 Figura 8.1 Exemplo número 4 Estrutura atirantada Efetuando-se os cálculos: 1 3 EI D =- 4 4,8 2, 4 =- 11,52tm EI D 11 = 4 2,4 + 5 = 9,68m 3 3 2,5 2 3 Aplicando-se a equação de compatibilidade de deslocamentos: 1real = + X = 11,52 + X 1 9,68 daí, X 1 = 1,19 t 15

16 A figura 8.2 apresenta os diagramas finais obtidos. Figura 8.2 Exemplo número 4 Resultados finais 9. Exemplo número 5 treliça hiperestática A figura 8.1 mostra uma treliça uma vez hiperestática internamente (b=13, n=6), de barras com rigidez axial EA constante. Como a estrutura é isostática externamente há necessidade de adotar-se como incógnita hiperestática um esforço interno, tendo sido escolhida a força normal na barra 5-6 conforme ilustra a mesma figura, mostrando também a respectiva superposição de efeitos. Os deslocamentos e 11 valem: N N D = å l ou EAD = EA 2 N1 d = å l ou EAd = EA å N N l å A tabela 8.1 organiza os valores necessários para o calculo dos somatórios. - D - EAD - 12,75 dai X t, 1 = = = =- 0,944 d11 EAd11 13,50 Com X 1 determinado, obtém-se N r = N 0 0,944 N 1, conforme consta na tabela 8.1. A figura 8.2 apresenta os resultados finais. N l 16

17 Figura 8.1 Exemplo número 5 - Treliça Tabela 8.1 Barra N 0 N 1 N 0 N 1 N 1 2 N r=n 0 0,944N ,0 + 4, , ,0 + 4,00 + 1,00 + 8,00 + 2,00 + 3, ,0 + 3, , ,5 1, , , , ,00 0, ,5 3, , , , , , ,5 1,25 1,25 + 3, , , ,5 0 1, , , ,5 + 0,75 +0,75 + 0, , ,042 12,75 +13,50 Figura 8.2 Exemplo número 5 Resultados finais 17

18 . Exercícios propostos 01) Para as estruturas das figuras abaixo, traçar M, Q e N (respostas ao lado). 02) 03) 18

19 04) 05) 06) 07) 19

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