Resolução dos Exercícios de Resistência dos Materiais. Lista 1 (Lei de Hooke)

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1 Resolução dos Exercícios de Resistência dos Materiais Lista 1 (Lei de Hooke) O texto que se segue trata se da resolução da primeira lista de exercícios do professor Marcio Antonio Ramalho. Outras listas resolvidas podem ser encontradas no site Leandro Lima Rasmussen 10/2/2009

2 Solução do Exercício 1) A variação total do comprimento da barra pode ser dado pela soma do encurtamento ocorrido na parte BC com o alongamento da parte CD. Calculando: Equação a ser utilizada: Para a parte BC, temos: Para a parte CD, temos: Concluindo, a variação total é a soma das duas variações acima: Solução do Exercício 2) Primeiro, devemos calcular as solicitações nas barras EC e FC. Devido à simetria do problema -além, claro, da compatibilidade no ponto C-, podemos facilmente deduzir que ambas as forças devem ser iguais em valor numérico. Vamos, então, equacionar a condição de equilíbrio da estrutura, para que possamos encontrar o valor dessas forças: Força Normal em EC = Força Normal em FC = R= kn Agora que já são conhecidas as forças internas das barras EC e FC, podemos calcular o deslocamento do ponto B, dado pelo deslocamento da barra CB somado da componente vertical do alongamento de uma das duas barras que a segura -tanto faz qual das barras será escolhida, já que o deslocamento vertical de ambas serão iguais-. Variação vertical de comprimento da barra CF = Deslocamento de b

3 Solução do Exercício 3) Inicialmente, a treliça deve ser resolvida por meio dos métodos da estática. Utilizando o aplicativo Ftools, chegamos no seguinte resultado: Como é notado, as barras 13 e 32 são as que apresentam as maiores forças normais. Então, devemos dimensionar as barras baseando-se no valor destas. Sabendo que a tensão máxima permitida é de 15 kn/cm 2, torna-se possível calcular a área mínima da seção pela equação da tensão: Para finalizar, calcula-se o deslocamento do ponto 1. Tal deslocamento pode ser dado considerando somente o alongamento da barra 12. Os outros alongamentos não precisam ser considerados, já que todos devem ser iguais devido à compatibilidade no apoio móvel. Equação a ser utilizadas: ΔL = Solução do Exercício 4) De cara, sabemos que as forças de reação nos engastes são de natureza normal e iguais em módulo, já que não existe nenhuma outra força sendo aplicada sobre a estrutura. Então, toda a estrutura sofrerá o efeito de uma mesma solicitação normal. Dessa forma, o diagrama de Normal será apenas uma reta contínua. Porém, para calcularmos o valor numérico desta força, devemos considerar a compatibilidade no ponto C, montando o equacionamento de seu deslocamento. Esse equacionamento, igualado a 0, nos fornecerá as reações procuradas. Equações a serem utilizadas: Dilatação por variação térmica / Variação de comprimento / Resolvendo para R / R= kn Para finalizar, fica faltando somente calcular as tensões em cada uma das barras:

4 Solução do Exercício 5) Para dimensionarmos a barra, devemos conhecer as tensões internas oriundas das forças aplicadas. Começaremos desenhando o diagrama de normal da estrutura: Sendo R as forças de reação nos engastamentos. Então, para se calcular R, devemos resolvê-lo através do equacionamento de compatibilidade no ponto de contato da estrutura com o engastamento à direita, sendo o mesmo igualado a 0 -é importante denotar, aqui, que também seria obtido o mesmo resultado caso tivesse sido usado o outro engastamento da esquerda-. ATENÇÃO: O valor do módulo de elasticidade e da área da seção pouco importam. Pois, se tratando de constantes, podem ser eliminadas com um pouco de operação algébrica. Disso, chegamos que R = kn Finalizando, podemos notar que as seções mais solicitadas serão aquelas entre as forças aplicadas de 40 kn. Então, vamos utilizá-las para calcular a área mínima da barra. 40K =σmáx$amín = 15$Amín Conclusão: Área Mínima = cm 2 Solução do Exercício 6) Este exercício é bem semelhante ao anterior. Novamente, esquematizemos o diagrama de normal da estrutura: E calculemos R por meio da equação compatibilidade no ponto do engastamento à direita igualado a 0. Disso, obtemos R = 8 kn Agora, a tensão de cada segmento da estrutura pode ser calculado pelo quociente da força normal pela respectiva área da mesma.

5 Solução do Exercício 7) Letra a) Letra b) Utilizando os métodos da estática, resolve-se o diagrama de normal da estrutura: A variação total de comprimento da chapa pode ser dada pela soma das variações de comprimento de cada segmento da estrutura separadamente. Olhando para o diagrama de normal, vemos que são 3 segmentos que apresentam esforço normal que seguem a lógica da equação de uma reta. Dessa forma, podemos aplicar a integral em cada uma delas separadamente, resultando na soma de 3 variações de comprimento. Solução do Exercício 8) Inicialmente, não são conhecidos os valores das reações nos apoios. Então, o diagrama de normal inicial fica como: Entretanto, tais valores podem ser encontrados ao resolvermos o equacionamento da compatibilidade no ponto C. Antes, apliquemos uma regra de 3 para encontrar o valor de x: E, depois, calculemos a soma das variações de comprimento -substituindo as integrais por cálculo de áreas de triângulos- que deve ser igual a 0. Com os valores das reações determinados, podemos voltar e finalizar o diagrama de normal: A equação do deslocamento do ponto D pode ser resolvida tanto pelo alongamento da metado superior do corpo quanto pelo encurtamento da metade inferior, já que ambas as variações devem ser iguais em módulo devido à compatibilidade.

6 Solução do Exercício 9) Antes de mais nada, esquematizemos o diagrama de normal da estrutura: Dele, podemos facilmente calcular o alongamento da barra: Equação a ser utilizada: Deste alongamento, vamos calcular o deslocamento vertical pedido por meio da trigonometria. Primeiro, usamos a lei dos senos para calcular o ângulo que será formado no ponto B para, depois, calcularmos o deslocamento vertical por meio da multiplicação da barra alongada pelo seno deste mesmo ângulo calculado. ATENÇÃO: Certamente, este cálculo final deve apresentar outras formas de ser resolvido. Mas, todas elas devem levar ao mesmo resultado. Deslocamento vertical da extremidade C = Solução do Exercício 10) É de notar que o esforço normal de 500N aplicado irá ser dividido entre os cabos de aço e o pilar de concreto. O que não sabemos, ainda, é exatamente o quanto de força que vai para cada um. No sentido de calcularmos tais forças, devemos calcular a compatibilidade de ambos os materiais, sabendo que eles devem apresentar a mesma variação de comprimento. Equação a ser utilizada: Letras a) e b) A tensão no aço e no concreto podem ser, agora, determinados através do valor da força de compressão que atuam neles divididos pelas suas respectivas áreas. Letra c) O deslocamento vertical do ponto B pode ser dado pela variação de comprimento de qualquer um dos 2 materiais - isso porque, ambos devem ser iguais devido à compatibilidade-. Escolhendo o concreto, obtemos: Deslocamento do ponto B cm para baixo.

7 Solução do Exercício 11) Por ser um exercício hiperestático, devemos recorrer às condições de compatiblidade para podermos encontrar os esforços nas barras. Percebe-se que o deslocamento vertical de todas as barras devem ser iguais, então usaremos esta condição para resolver os esforços. Pela simetria do problema, temos que a força normal na barra inclinada, da esquerda, deve ser igual à da barra inclinada da direita. Com os métodos da estática, podemos tirar já a primeira equação que nos ajudará a encontrar os valores das forças normais: Dessa equação, podemos retirar uma relação entre as forças das barras inclinadas e a do meio: Entretanto, temos ainda 1 equação com 2 incógnitas. A segunda equação, a qual resolverá o problema, poderá ser obtida pela compatiblidade do ponto de contato entre todas as barras. Dessa forma, a variação de comprimento da barra do meio deve ser igual à variação vertical de comprimento de uma das barras inclinadas. Substituindo FMeio e resolvendo para FInclinadas, obteremos: FInclinadas = kn Dessa forma: FMeio = kn Para encerrar o exercício, basta calcular o deslocamento do ponto B por meio da equação da variação de comprimento vertical de qualquer barra (já que serão todas iguais). Utilizando a da barra do meio, chega-se no seguinte resultado: Deslocamento do ponto B = cm para baixo.

8 Solução do Exercício 12) O segredo deste exercício está em perceber que nenhuma barra se rompe. O que ocorre é que, depois de um certo valor de tensão normal, a barra entra em um estado permanente de escoamento, mas, ainda, resistindo ao esforço que vinha sendo aplicado antes. Basta visualizar o gráfico abaixo para tal comportamento ficar claro: Agora, damos início a construção do grafico pedido. Sabendo que o gráfico será composto por 3 retas, temos que uma vai até onde a primeira barra entra em estado de escoamento, a segunda também e a terceira será a de uma reta horizontal, mostrando um estado permanente de escoamento em todo o sistema. Da estática, temos: Nesta equação, FBVert será substituído por 20 kn. Já que, se trata da força máxima que a barra vertical aguenta antes de escoar. Com isso, chegaremos em uma relação entre F e FBInclinada, sendo os valores numéricos de cada um podendo ser encontrados após a montagem do equacionamento de compatibilidade no apoio móvel. Substituindo FBInclinada pela primeira relação obtida acima, tem-se: Encontrado F, podemos encontrar o deslocamento vertical do ponto a partir do gráfico: Estes resultados nos permitem desenhar a primeira reta do gráfico: A segunda reta deve ser desenhada seguindo passos semelhantes aos feitos acima. Do gráfico, a força máxima que a barra inclinada resiste antes de escoar é de 40 kn. Porém, F será maior que isso, já que a barra vertical continua a resistir 20 kn. Portanto, façamos o seguinte equacionamento para encontrar o valor de F que levará a barra inclinada ao seu estado crítico:

9 Para o desenho da reta, fica faltando calcular o deslocamento vertical do ponto de apoio, o qual pode ser obtido pelo gráfico e pelo deslocamento vertical da barra inclinada: cm para baixo Neste instante, já podemos finalizar o desenho do gráfico. Como já temos a segunda reta, a última se tratará de uma horizontal em relação ao eixo x: