DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMA ANÁLISE DE TRELIÇAS ESPACIAIS

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1 TRABALHO FINAL DA DISCIPLINA CE2 Estabilidade das Construções II DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMA ANÁLISE DE TRELIÇAS ESPACIAIS Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. Prof. Douglas Pereira Agnelo São Paulo 2014

2 SUMÁRIO 1 OBJETIVO GRUPO ENTREGA PRIMEIRA PARTE (ENTRADA DE DADOS) SEGUNDA PARTE (REARRANJO DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DAS BARRAS) TERCEIRA PARTE (MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA ESTRUTURA E CRIAÇÃO DAS SUBMATRIZES K11, K12, K21 E K22) QUARTA PARTE (SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO F = K Δ E DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS E DELOCAMENTOS LOCAIS) RESULTADOS FINAIS EXEMPLOS... 25

3 CE2 ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II PROF DOUGLAS PEREIRA AGNELO TRABALHO FINAL DA DISCIPLINA Consonante com os objetivos, ementa e conteúdo programático presentes no plano de ensino, o trabalho final da disciplina será realizado a partir dos conhecimentos adquiridos nas aulas 18 até aula OBJETIVO Desenvolver, a partir da Análise Matricial de Estruturas, rotina de cálculo para simular o comportamento estrutural espacial através de linguagens computacionais ou programas comerciais tais como Microsoft Excel, Microsoft VBA, AutoCAD Visual LISP, HP User-RPL, JavaScript, C++ ou qualquer linguagem/programa que o grupo preferir. 2 GRUPO O trabalho deve ser feito em grupo de três a seis alunos. 3 ENTREGA Serão realizadas quatro entregas por arquivos digitais contendo todos os elementos referentes ao desenvolvimento do trabalho (planilhas/rotinas/arquivos executáveis, etc.). Os arquivos devem ser compactados e enviados em um único arquivo no formato *.zip nomeado com o número do grupo e a respectiva parte. Ex.: G5 Parte III.zip Serão realizadas quatro entregas sempre aos domingos até as 20 horas no douglas@tecnocalc.com.br conforme cronograma: Objetivo PARTE I PARTE II PARTE III PARTE IV Data limite 12/out 19/out 26/out 02/nov CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 3

4 Cada entrega tem valor de 12,5% da nota do total trabalho. A não entrega de alguma parte não anula as demais. Após a entrega final, dois alunos serão selecionados para explicar o trabalho (fórmulas, rotinas, etc.) e a explicação oral tem valor de 50% do trabalho. 4 PRIMEIRA PARTE (ENTRADA DE DADOS) desconsiderados. A entrada de dados deve ser desenvolvida pelo grupo. Trabalhos iguais serão 4.1 ENTRADA DE NÓS Criar no mínimo 20 variáveis para alocar as coordenadas espaciais de cada nó. Em VBA, HP User-RPL e demais linguagens, cada variável pode alocar os três elementos referentes às coordenadas x, y e z do sistema global da estrutura. Em Excel pode ser criado uma linha ou coluna com as propriedades de cada nó. 4.2 ENTRADA DAS BARRAS Com a definição dos nós, os cálculos dos cossenos de x, y e z é automatizado a partir da definição do nó inicial e final (criação do eixo local). Permitir a entrada do Módulo de Elasticidade e das propriedades geométricas de cada barra (área, inércia, etc.). Deve ser permitida a entrada de no mínimo 60 barras. CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 4

5 4.3 GRAU DE LIBERDADE DOS NÓS Cada nó deve ter sua indicação dos Índices dos Graus de Liberdade. Essa rotina nos programas de análise estrutural é automatizada e dispensada (STRAP, FTool, etc.), pois os graus de liberdade estão vinculados à criação dos nós. Neste trabalho deve ser realizada a definição dos índices dos graus de liberdade, os quais devem ser vinculados ao nó escolhido pelo usuário. 4.4 CONDIÇÕES DE CONTORNO (APOIOS/RECALQUES) A definição dos apoios e dos recalques (translação forçada) está diretamente relacionada com a restrição do grau de liberdade (GL), portanto deve ser permitida a restrição do grau de liberdade. É a matriz-coluna de deslocamentos globais da estrutura. CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 5

6 4.5 FORÇAS A definição das forças nos nós está diretamente relacionada com os índices do grau de liberdade (GL). É a matriz-coluna de forças globais da estrutura. 5 SEGUNDA PARTE (REARRANJO DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DAS BARRAS) Conforme exposto em aula, a dimensão da matriz de rigidez de cada barra é igual ao grau de liberdade da estrutura. A matriz de rigidez global da barra de uma treliça espacial é: Deve-se atentar que cada elemento da matriz k está vinculado ao índice do grau de liberdade (GL) em relação aos eixos globais x, y e z, no nó inicial e no nó final da barra. Portanto cada elemento k m,n da matriz k (onde m, n são os índices dos graus de liberdade) devem ser rearranjados na matriz esparsa k com dimensão igual ao grau de liberdade da estrutura. CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 6

7 Exemplo: GL = 4 GL = 8 Vamos considerar os seguintes dados de entrada: - Uma treliça espacial qualquer possui 4 nós, portanto 12 graus de liberdade; - A barra 3 tem nó inicial 3 e nó final 1; - Propriedades da rigidez axial da barra: E = 200GPa e Área = 0,0025 m² - O nó 3 tem os seguintes graus de liberdade: em x GL = 7; em y GL = 12; em z - O nó 1 tem os seguintes graus de liberdade: em x GL = 1; em y GL = 3; em z De forma automatizada os cossenos e comprimento são calculados: Matriz k: Os graus de liberdade são carregados de forma automatizada, pois estão vinculados ao nó inicial e ao nó final, os quais já foram informados para orientação do eixo local. CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 7

8 Matriz k (rearranjada a partir dos índices dos graus de liberdade adotados): kn/m. O elemento k 4,3 (linha com GL 4 e coluna com GL 3) da matriz k é igual a 5396 Na matriz rearranjada, o elemento k 4,3 está alocado na linha 4 coluna 3: O rearranjo é realizado com todos os elementos de forma automatizada. CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 8

9 Para segunda parte do trabalho é solicitado que a matriz de rigidez de uma barra (matriz não rearranjada com a dimensão 6x6) seja automaticamente rearranjada para a matriz com dimensão igual ao grau de liberdade da estrutura. 6 TERCEIRA PARTE (MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA ESTRUTURA E CRIAÇÃO DAS SUBMATRIZES K 11, K 12, K 21 E K 22 ) Todas as matrizes de rigidezes globais das barras foram rearranjadas e apresentam a mesma dimensão (igual grau de liberdade total da estrutura). Assim todas as matrizes de rigidezes das barras devem ser somadas para obter a matriz de rigidez global da estrutura: n i n K = k 1 + k k n = k i barra i número total de barras i=1 A matriz-coluna de forças globais (F) e a matriz-coluna de deslocamentos globais (Δ) da estrutura já estão definidas, portanto para determinar as forças e deslocamentos desconhecidos basta resolver o sistema linear: F = K Δ O sistema linear apresentará o número de equações igual ao grau de liberdade total da estrutura. Por exemplo, se uma treliça espacial apresenta 6 nós, terá 18 graus de liberdade e o sistema linear final apresentará 18 equações lineares. Existem dois tipos de equações: Equações com Forças desconhecidas e Deslocamentos conhecidos; Equações com Forças conhecidas e Deslocamentos desconhecidos. Uma das alternativas para solução é a divisão da solução F = K Δ em submatrizes baseadas nos coeficientes dos tipos equações apresentados acima. Ou seja, dividir as matrizes-colunas em duas submatrizes e a matriz de rigidez em quatro submatrizes. CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 9

10 6.1 DIVISÃO DA MATRIZ-COLUNA DE FORÇAS GLOBAIS DA ESTRUTURA (F) Deve ser dividida em duas submatrizes-colunas de forças globais, sendo: F C F D Submatriz-coluna das forças globais conhecidas Submatriz-coluna das forças globais desconhecidas 6.2 DIVISÃO DA MATRIZ-COLUNA DE DESLOCAMENTOS GLOBAIS DA ESTRUTURA (Δ) sendo: Deve ser dividida em duas submatrizes-colunas de deslocamentos globais, Δ D Δ C Submatriz-coluna de deslocamentos globais desconhecidos Submatriz-coluna de deslocamentos globais conhecidos 6.3 DIVISÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOCAL DA ESTRUTURA (K) Deve ser dividida em quatro submatrizes baseadas no sistema linear: F C = K 11 Δ D + K 12 Δ C F D = K 21 Δ D + K 22 Δ C K 11 linhas das forças conhecidas K 12 das forças conhecidas K 21 linhas das forças desconhecidas K 22 das forças desconhecidas Submatriz com os coeficientes dos deslocamentos desconhecidos nas Submatriz com os coeficientes dos deslocamentos conhecidos nas linhas Submatriz com os coeficientes dos deslocamentos desconhecidos nas Submatriz com os coeficientes dos deslocamentos conhecidos nas linhas CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 10

11 6.4 EXEMPLO Rigidez Axial: EA = 1,0 kn X1 = eixo global x X2 = eixo global y X3 = eixo global z Cargas no nó 4: Na direção x: 10 kn Na direção y: 20 kn Na direção x: -30 Kn CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 11

12 GRAUS DE LIBERDADE ADOTADO PELO ENGENHEIRO PORTANTO A MATRIZ-COLUNA DAS FORÇAS GLOBAIS DA ESTRUTURA (F) É: N 1, N 3, N 4 etc. Entende-se que os valores não informados se referem às forças desconhecidas ESTRUTURA (Δ) É: E A MATRIZ-COLUNA DOS DESLOCAMENTOS GLOBAIS DA desconhecidos δ 2, δ 7, δ 10. Entende-se que os valores não informados se referem aos deslocamentos CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 12

13 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA BARRA 1 (k 1 ): MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA BARRA 2 (k 2 ): MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA BARRA 3 (k 3 ): CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 13

14 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA ESTRUTURA (K): K = k 1 + k 2 + k 3 SUBMATRIZ DAS FORÇAS CONHECIDAS (F C ): SUBMATRIZ DAS FORÇAS DESCONHECIDAS (F D ): CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 14

15 SUBMATRIZ DOS DESLOCAMENTOS DESCONHECIDOS (Δ D ): SUBMATRIZ DOS DESLOCAMENTOS CONHECIDOS (Δ C ): COEFICIENTES DAS LINHAS DAS FORÇAS CONHECIDAS QUE MULTIPLICAM DESLOCAMENTOS DESCONHECIDOS SUBMATRIZ K 11 CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 15

16 COEFICIENTES DAS LINHAS DAS FORÇAS CONHECIDAS QUE MULTIPLICAM DESLOCAMENTOS CONHECIDOS SUBMATRIZ K 12 CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 16

17 COEFICIENTES DAS LINHAS DAS FORÇAS DESCONHECIDAS QUE MULTIPLICAM DESLOCAMENTOS DESCONHECIDOS SUBMATRIZ K 21 CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 17

18 COEFICIENTES DAS LINHAS DAS FORÇAS DESCONHECIDAS QUE MULTIPLICAM DESLOCAMENTOS CONHECIDOS SUBMATRIZ K 22 Com todas as submatrizes definidas é possível resolver as duas equações matriciais abaixo e encontrar Δ D e F D, ou seja, todas as forças e deslocamentos globais que equilibram a estrutura. F C = K 11 Δ D + K 12 Δ C F D = K 21 Δ D + K 22 Δ C CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 18

19 7 QUARTA PARTE (SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO F = K Δ E DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS E DELOCAMENTOS LOCAIS) 7.1 MATRIZES-COLUNA DAS FORÇAS E DESLOCAMENTOS GLOBAIS DA ESTRUTURA Os elementos desconhecidos das matrizes-coluna das forças e deslocamentos globais da estrutura podem ser obtidos pela solução abaixo: Δ D = K 11 1 (F C K 12 Δ C ) F D = K 21 Δ D + K 22 Δ C Com o exemplo da Parte III, os valores de Δ D e F D obtidos são: 120,0838 Δ D = [ 59,9995 ] 45, F D = 13,2366 3, , , , ,0468 6,7633 [ 7,6508 ] CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 19

20 Os deslocamentos e forças globais desconhecidos que equilibram a estrutura foram determinados, assim as matrizes-coluna globais de deslocamentos e forças da estrutura são: 7.2 MATRIZES GLOBAIS E LOCAIS DAS BARRAS Parte III. Para exemplificar essa seção, usaremos a barra 3 da estrutura do exemplo da Matriz-coluna dos deslocamentos globais da barra (δ i ) A matriz-coluna global de deslocamentos da barra (δ i ) deve ser ordenada a partir dos graus de liberdade referente ao nó inicial e ao nó final da barra i. δ 3 = [ 59, , , ] Matriz-coluna das forças globais da barra (N i ) A matriz-coluna das forças globais da barra (N i ) é obtida a partir da multiplicação da matriz de rigidez global da barra (k i ) pela matriz-coluna global de deslocamentos (δ i ) N i = k i δ i CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 20

21 Matriz de rigidez global da barra 3: Matriz-coluna de deslocamentos globais da barra 3: δ 3 = [ 59, , , ] Resultado da multiplicação: N 3 = k 3 δ Matriz-coluna dos deslocamentos locais da barra (δ i ) Os deslocamentos locais são obtidos pela multiplicação da matriz de transformação de translação espacial (T) pela matriz-coluna de deslocamentos globais da barra. δ i = T i δ i Sendo o versor local na direção y: L xy = cos 2 θ x + cos 2 θ y CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 21

22 A matriz de transformação T é dada por: cosθ x cosθ y cosθ z cosθ y L xy cosθ x L xy T = cosθ x cosθ z L xy cosθ y cosθ z L xy L xy cosθ x cosθ y cosθ z [ cosθ y L xy cosθ x cosθ z L xy cosθ x L xy 0 cosθ y cosθ z L xy L xy ] Para ratificar o cálculo da matriz de transformação pode-se verificar se a sua transposta e a sua inversa são iguais, já que todas as matrizes de transformação são ortogonais. T T = T 1 Para a barra 3 temos a seguinte matriz de transformação: CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 22

23 Usando a matriz de transformação para barra 3, temos: δ 3 = T 3 δ Matriz-coluna das forças locais da barra (N i ) A matriz-coluna das forças locais da barra é obtida pela multiplicação da matriz de rigidez local pela matriz-coluna dos deslocamentos locais: F i = k i Δ i Para treliças temos: N i = k i δ i A matriz de rigidez local das barras de treliças espaciais é dada por: k = EA L [ ] CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 23

24 Portanto para a barra 3 temos: Multiplicando a matriz de rigidez local pelos deslocamentos locais teremos as forças da barra no sentido do eixo local. Para a barra 3 observa-se uma compressão de 26,48 kn. 8 RESULTADOS FINAIS Para facilitar a visualização dos resultados, pode-se capturar os esforços axiais de cada barra. Convenção brasileira utilizada para os esforços locais: + tração e compressão. CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 24

25 9 EXEMPLOS 9.1 EXEMPLO 1: TORRE Definição dos nós CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 25

26 9.1.2 Definição das barras e dos eixos locais BARRA Nó inicial Nó final Cargas adotadas Nó 13: Carga em z de -4,0 kn Nó 18: Carga em z de -3,0 kn Nós 14, 15, 17 e 18: Carga em x de 2,0 kn CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 26

27 9.1.4 Resultados RESULTADOS GL δi GL Ni BARRA N'i , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 27

28 RESULTADOS COM SOFTWARE COMERCIAL ESFORÇOS LOCAIS BEAM RESULTS for load no. 1 (Units: kn, kn*meter) Bm. Node Axial V2 V3 MT M2 M CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 28

29 CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 29

30 MAXIMUM MAXIMUM Beam no. Beam no CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 30

31 9.2 EXEMPLO 2: TRELIÇA ESPACIAL HIBBELER, R. C. Structural Analysis, Pearson 8.ed, 2011, pág. 128 CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 31

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33 9.3 EXEMPLO 3: TRELIÇA PLANA HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais, Pearson 7.ed. São Paulo, 2010, pág 550. CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 33

34 Resposta do deslocamento no GL 15 δ z = 0, m = 0,2813 mm CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 34