TUTORIAL 3 TRELIÇA ISOSTÁTICA ESPACIAL

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1 TUTORIAL 3 TRELIÇA ISOSTÁTICA ESPACIAL Verificar qual perfil tubular comercial, dentre os relacionados na Tabela.??, atende o limite de deslocamento máximo de mm na extremidade livre da treliça espacial, indicada na figura abaixo. Considerar o perfil mais econômico e todas as barras têm a mesma área de seção transversal. Dado: módulo de elasticidade do aço E=00 GPa. Tabela.?? Conversão em unidades consistentes no SI FORÇA COMPRIMENTO MOD.ELASTIC N 000 mm 3000 mm MPa BARRA RÍGIDA Z (a) m m 3m X Y 00kN 3m 3 Z (b) X Y Figura.?? Esquema estático (a) vãos, condições de contorno e de carregamento (b) numeração adotada para os nós da treliça Material didático registrado Jan, 003 Direitos autorais reservados

2 Tabela.?? Propriedades geométricas de eixos circulares ocos [PFEIL, 000] d (mm) t (mm) A (mm ) I (mm ) d t A π d ( d t) = I = π d ( d t) Figura.?? Seção transversal tubular de aço e fórmulas das propriedades geométricas apresentadas Material didático registrado Jan, 003 Direitos autorais reservados

3 3 Roteiro de comandos do ANSYS 7.0 Programas > ANSYS Release 7.0 > Ansys Interactive Preferences > Structural >>> Foram adotadas as unidades: N, mm, MPa <<< Preprocessor Element Type > Add-Edit-Delet > Add... > Link Spar 3D >>> Escolher o elemento de treliça 3-D <<< Real Constants > Add-Edit-Delet > Add... > Choose element type (Link8) Real Constant set number: Cross-sectional área: 99 >>> valor em mm (d=80mm e t=0mm) <<< Ok Close Material props > material models > Structural > linear > Elastic > isotropic Ex=00000 >>> valor em MPa <<< Modeling > create > nodes > in active CS Node number: X, Y e Z locaton in active CS: 0, 0, 0 Apply Node number: X, Y e Z locaton in active CS: 0, 0, 000 Apply Node number: 3 X, Y e Z locaton in active CS: 000, 0, 000 Apply Node number: X, Y e Z locaton in active CS: 000, 0, 0 Apply Node number: X, Y e Z locaton in active CS: 3000, 000, 0 Ok >>> A ordem de entrada e numeração dos nós é totalmente aleatória <<< Modeling > create > elements > elem attributs > type= mat= real= >>> Clicar em dois nós que definem o elemento e dar APPLY <<< Modeling > create > elements > auto numbered > thru nodes Loads > define loads > apply > structural > displacement > on nodes >>> Clicar no nó do modelo e selecionar ALL DOFS <<< Loads > define loads > apply > structural > displacement > on nodes >>> Clicar no nó do modelo e selecionar UX e UY <<< Loads > define loads > apply > structural > displacement > on nodes >>> Clicar no nó 3 do modelo e selecionar UY <<< Loads > define loads > apply > structural > force/moments > on nodes >>> Clicar o nó onde será aplicada a carga de <<< Direction of force: FZ value: Material didático registrado Jan, 003 Direitos autorais reservados

4 Solution Solution > solve > current LS Ok Solution is done Ok >>> Fechar a caixa que foi aberta <<< Postprocessor General Postproc > >>> Digitar na linha de comando <<< PLNS,U,Z >>> plota os deslocamentos verticais dos nós (comando nativo) <<< FN >>> plota as forças normais nas barras (macro) <<< SN >>> plota as tensões normais nas barras (macro) <<< >>> As macros devem ser instaladas no diretório de trabalho da análise <<< Forças externas reativas Inicialmente, deve-se obter as forças externas reativas, por meio das equações de equílibrio estático e, em seguida, se obter pelo Método dos Nós as forças normais em todas as barras da treliça espacial. Assim, a partir do equilíbrio dos esforços indicados na Figura.??(a), tem-se: Fx = 0 F + F = 0 (.??) Fy = 0 F + F + F = 0 (.??) Fz = 0 F3 = (.3??) Mx = 0 (F ) + (F ) + (00 ) = 0 F + F = 00 (.??) My = 0 (F ) (00 3) = 0 F = (.??) Substituindo-se (.??) em (.??), tem-se: Mz = 0 F = 0 (.??) F = 7kN Substituindo-se (.??) em (.??) e, sucessivamente, em (.), chega-se a: F = e F = Deve-se notar que os sentidos impostos arbitrariamente às forças F e F devem ser corrigidos, conforme indicado na Figura.??(b). Material didático registrado Jan, 003 Direitos autorais reservados

5 F F Z F m m X F F Y 3 m F 3 (a) (b) 3 m Figura.?? Forças externas reativas (a) definição (b) valores obtidos Forças normais nas barras Inicialmente, a partir do equilíbrio do nó (), observa-se na Figura.?? que a componente de N7 ao longo de Y não pode ser equilibrada, logo a força normal N7 é nula. Pelo mesmo motivo apontado as forças normais nas barras N3 e N também o são. Com base no equilíbrio do nó (3), examina-se na Figura.?? que a força normal N9 tem componentes segundo os três eixos ortogonais, porém sua componente em Y não pode ser equilibrada, o que permite afirmar que N9 é nula. Ainda em relação ao nó (3), sendo N3 e N9 nulas, a componente de N ao longo do eixo Z não pode ser equilibrada, o que garante afirmar que as forças normais nas barras N e N são nulas. 3 N N N N 3 N 8 N 9 N 7 N N Figura.?? Forças normais nas barras nomenclatura Material didático registrado Jan, 003 Direitos autorais reservados

6 Enfim, conforme análise anterior, todas as barras que convergem para os nós (3) e () são isentas de tensão, o que permite reduzir o problema a apenas três barras, conforme indicado na Figura.3(a)??. A partir da análise da Figura.3??(b), pode-se afirmar que o equilíbrio de esforços em torno do nó (), na direção vertical, permite constatar que N = (compressão) Por outro lado, do equilíbrio do nó(), pode-se escrever: e 00 N 8 senα = N8 = kn (tração) 00 N = N8 cosα = N = kn (compressão) m N N 8 m kn N m (a) α kn (b) α Figura.3?? Redução do problema (a) dimensões (b) forças normais nas barras tensionadas Solução analítica pelo Método das Forças Virtuais Será utilizado o Princípio dos Trabalhos Virtuais na determinação do deslocamento vertical da treliça espacial, produzido pela ação da carga externa. Admite-se que todos os elementos tenham área de seção transversal constante ao longo do comprimento e de mesmo valor. O princípio da conservação da energia estabelece que o trabalho pelas cargas externas deve ser igual ao trabalho realizado pelos esforços internos. Aplica-se uma força virtual na posição e sentido de um deslocamento real que se deseja conhecer, corridos pelos carregamentos externos atuantes na estrutura. O trabalho realizado por esta força virtual pelo deslocamento real será igual ao trabalho produzido pelas forças internas virtuais pelos deslocamentos internos reais da estrutura, ou seja [HIBBELER, 99]: NL = n EA Material didático registrado Jan, 003 Direitos autorais reservados

7 7 onde é o deslocamento real a ser revelado, NL/EA é o deslocamento real ocorido nos membros da treliça e n são os esforços virtuais internos produzidos pela força virtual externa, que sendo totalmente arbitrária, pode-se tomá-la igual a unidade. Arranjando-se os dados na tabela abaixo, com base no exposto na Figura.?? e adotando-se o princípio da proporcionalidade das ações, tem-se: N N Figura.?? Carregamento externo real e força externa virtual na posição e sentido do deslocamento real desejado BARRA n N L n. N. L, , , , 0, 0 Retomando-se a equação do trabalho virtual para toda a treliça, e se impondo que o deslocamento vertical máximo no nó () seja igual a mm, que é a condição limite dada no enunciado do problema, tem-se: assim: = nnl (00 78,, ) = E A A A 8 mm = = mm Logo, o perfil que mais se aproxima da área especificada é o primeiro da série D=80mm com espessura de parede t=0 mm, totalizando a área de seção transversal A=87mm. Material didático registrado Jan, 003 Direitos autorais reservados

8 8 Validação dos resultados Tabela.?? Comparação entre os resultados analíticos e numéricos para o deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga (extremidade livre) NÓ MÉTODO TRABALHOS VIRTUAIS ANSYS ERRO mm mm 0% Tabela.?? Comparação entre os resultados analíticos e numéricos para as forças normais nas barras tensionadas BARRA MÉTODO DOS NÓS ANSYS ERRO 0% kn kn 0% 8 + kn +0,078 kn 0% Tabela.??? Comparação entre os resultados analíticos e numéricos para as tensões normais utilizando o perfil especificado (D=80mm e t=0mm) BARRA MÉTODO DOS NÓS ANSYS ERRO 3, MPa 3, MPa 0%, MPa, MPa 0% 8 +, MPa +, MPa 0% Material didático registrado Jan, 003 Direitos autorais reservados