ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS COM ORIENTAÇÃO A OBJETOS

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1 ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS COM ORIENTAÇÃO A OBJETOS Luiz Fernando Martha Capítulo 0 Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUC-Rio Departamento de Engenharia Civil Rua Marquês de São Vicente, 5 - Gávea CEP Rio de Janeiro, RJ Tel.: () Fax: () lfm@tecgraf.puc-rio.br URL:

2 0. OBTENÇÃO DE RESULTADOS DE ANÁLISE O capítulo anterior tratou da montagem do sistema de equações globais de equilíbrio resultante da formulação discreta do método da rigidez direta para modelos de pórticos planos. Conforme salientado na Seção 9.3, esse sistema de equações pode ser interpretado como imposição do equilíbrio isolado de todos os nós do modelo. A solução desse sistema de equações resulta na determinação dos valores das deslocabilidades, isto é, valores das componentes de deslocamentos e rotações nodais livres (não restritas por apoios), que são as incógnitas do método da rigidez direta. Os resultados de uma análise estrutural de modelos reticulados (formados por barras) vão além da determinação dos valores das deslocabilidades. Os resultados mínimos típicos de uma análise, conforme mencionado na Seção.3 do Capítulo, são, além dos deslocamentos e rotações nodais, as componentes de reações de apoio e os esforços internos nas extremidades das barras. Este capítulo mostra procedimentos para determinação das reações de apoio, que correspondem aos valores das componentes de forças e momentos nos graus de liberdade restritos por suporte, e para determinação dos esforços internos nas extremidades das barras, que devem ser apresentados nas direções dos eixos locais das barras, pois correspondem aos esforços normais, esforços cortantes, momentos fletores etc. das barras. A exposição é feita para modelos de pórticos planos. Procedimentos análogos são realizados para o caso de modelos de grelhas. 0.. Determinação de reações de apoio A Seção 9.4. apresentou uma metodologia para a consideração de condições de apoio a partir do particionamento do sistema de equações de equilíbrio. Tal metodologia possibilita uma determinação formal das reações de apoio da estrutura, como indica a Equação 9.5. Entretanto, muitas vezes, para minimizar o uso de memória do computador ou para evitar cálculos desnecessários, a segunda partição do sistema de equações de equilíbrio, dada pela Equação 9.3, não é implementada. Quando isso ocorre, a segunda parcela do vetor do lado direito do sinal de igual da Equação 9.4 é determinada junto com a montagem da matriz de rigidez global. Dessa forma, o vetor [K lf] {D f} não é montado explicitamente. A alternativa é montar um vetor local [k lf] {d f} para cada barra adjacente a um grau de liberdade com recalque imposto e superpor esse vetor, precedido de um espalhamento, no vetor global no lado direito do sinal de igual da Equação 9.4. Observe que isso só é necessário se o valor imposto ao grau de liberdade for não nulo, isto é, quando existe um recalque de apoio. Quando essa estratégia de solução é adotada, ou quando se considera as condições de apoio das maneiras mostradas nas Seções 9.4. e 9.4.3, é necessário algum procedimento para determinar as reações de apoio. Um procedimento simples, usado com frequência, baseia-se nas forças generalizadas finais que atuam nas barras da estrutura. A Figura 0. é utilizada para explicar esse conceito. Considere, a título de exemplo, duas barras com carregamento arbitrário convergindo em um nó com um engaste. As forças generalizadas finais que atuam na barra são provenientes da solução local do estágio I e da solução global do estágio II, como apresentado na Seção..

3 4 Análise matricial de estruturas com orientação a objetos Luiz Fernando Martha ˆf 3 ˆf ˆf ˆf 5 Estágio I: reações de engastamento perfeito no sistema global Estágio II: forças generalizadas provenientes das deformações das barras ˆf f 3 f f ˆf f ˆf 5 f 5 ˆf 4 f 4 ˆf 3 f 3 ˆf f ˆf f f ˆf 4 f 5 f 4 Superposição para obter reações de apoio F y = fˆ + f + fˆ + f 5 5 F x = fˆ + f + fˆ + f M z = fˆ + f + fˆ + f Figura 0. Determinação de componentes de reação de apoio por superposição de forças generalizadas locais que atuam nas barras isoladas (nas direções dos eixos globais). No estágio I, as forças que atuam nas extremidades de cada barra são dadas pelo vetor { f ˆ}, que é o vetor das reações de engastamento de uma barra isolada no sistema global (Seção 9.). Esse vetor é obtido com base nas reações de engastamento { f ˆ } da barra no sistema local (que é uma solução fundamental conhecida), utilizando a transformação da Equação.5. No estágio II, as forças que atuam nas extremidades de cada barra são obtidas pelo vetor { f }, que é o vetor das forças generalizadas de barra, no sistema global, provenientes das deformações sofridas pela barra. Resolvido o sistema de equações de equilíbrio global e determinados os valores dos graus de liberdade livres, chega-se aos valores do vetor das deslocabilidades locais {d} da barra. Pela Equação 7.4, chega-se a { f } = [ k]{ d}. Conforme ilustrado na Figura 0., as componentes das reações de apoio são obtidas superpondo os termos dos vetores { f ˆ} e { f } correspondentes aos graus de liberdade com restrição de apoio, considerando todas as barras que convergem no nó que tem a restrição de apoio. Observe que o sentido das componentes de reação de apoio é o mesmo dos termos dos vetores { f ˆ} e { f } que atuam sobre as barras. Na figura, todos os termos dos dois vetores estão mostrados com seus sentidos positivos. Para complementar, deve-se superpor, às componentes de reações de apoio obtidas, eventuais cargas nodais propriamente ditas aplicadas diretamente nos graus de liberdade restritos por apoio, com sentidos invertidos Determinação de esforços internos nas barras Além dos deslocamentos e rotações nodais, e das reações de apoio, qualquer programa de computador que analisa estruturas reticuladas fornece como resultados os esforços internos (esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores) nas extremidades de todas as barras. Conforme mencionado na Seção.3, esses resultados se referem a direções dos eixos locais, isto é, os esforços internos são fornecidos nas direções das coordenadas generalizadas locais no sistema local de cada barra. Os sinais dos esforços estão associados com os sentidos das coordenadas locais. Portanto, a convenção de sinais utilizada é a do método da rigidez direta (Tabela.). De acordo com a Seção., os esforços internos finais em uma barra descarregada são obtidos utilizando somente os resultados da análise discreta do estágio II. Nessa situação, os esforços internos dependem apenas das deformações que a barra sofre, que são definidas pelas deslocabilidades locais {d}. Nesse ponto da execução do programa de computador, essas deslocabilidades têm valores conhecidos, pois o sistema global de equações de equilíbrio já deve ter sido resolvido. Assim, os esforços internos nas extremidades de uma barra são obtidos em dois passos. No primeiro, calcula-se o vetor das forças generalizadas da barra no sistema global: { f } = [ k]{ d}.

4 Capítulo 0: Obtenção de resultados de análise 43 No segundo passo, transforma-se esse vetor para o sistema local: { f } = [ R] { f }. Alternativamente pode-se determinar o vetor das forças generalizadas de uma barra no sistema local calculando inicialmente o vetor das deslocabilidades da barra no sistema local, utilizando a Equação., e, em seguida, multiplicando pela matriz de rigidez da barra no sistema local, como indica a Equação 7.: { d } = [ R] { d} ; { f } = [ k ] { d }. Para uma barra descarregada, as componentes desse vetor já são os esforços internos nas extremidades da barra. Para uma barra com carregamento no seu interior, também conforme a Seção., além dos esforços internos provenientes das deformações da barra (estágio II), é necessário sobrepor as reações de engastamento { f ˆ } do estágio I no sistema local da barra. A Figura 0. ilustra essa superposição. Nessa figura, N i e N j são os esforços normais nas extremidades inicial e final da barra, respectivamente; Q i e Q j são os esforços cortantes; e M i e M j são os momentos fletores. Na figura, todos os esforços internos estão indicados com sentidos positivos. Estágio I: reações de engastamento perfeito no sistema local Estágio II: forças generalizadas provenientes das deformações das barras Superposição para obter esforços internos nas extremidades ˆf f N i ˆf f Q i ˆf 3 f 3 M i ˆf ˆf 4 ˆf 5 f f 4 M j f 5 Q j N j N ˆ i = f + f Q ˆ i = f + f M ˆ i = f 3 + f 3 N ˆ j = f 4 + f 4 Q ˆ j = f 5 + f5 M f ˆ j = + f Figura 0. Determinação de esforços internos finais nas extremidades de uma barra por superposição de forças generalizadas locais (nas direções dos eixos locais). Observa-se que, nas etapas finais da determinação de reações de apoio e esforços internos, utilizam-se a matriz de rigidez [k] e a matriz de transformação por rotação [R] de cada barra. As duas matrizes são calculadas na etapa anterior de montagem da matriz de rigidez global (Seções 7. e 9.). A questão que surge é se essas matrizes são armazenadas na memória do computador ou se são recalculadas nas etapas finais. A escolha entre as duas alternativas depende de vários fatores. Esse balanço entre uso de memória de computador (matrizes armazenadas para serem utilizadas nas fases finais) e eficiência (não se repetem os cálculos) é constante em qualquer implementação computacional. Deve-se salientar, também, que os procedimentos descritos para determinar reações de apoio e esforços internos são completamente genéricos, isto é, podem ser utilizados para qualquer tipo de barra, com e sem articulação, inclusive para barras com seção transversal variável.

5 44 Análise matricial de estruturas com orientação a objetos Luiz Fernando Martha 0.3. Diagrama sequência do cálculo dos esforços internos nas barras

6 Capítulo 0: Obtenção de resultados de análise Diagrama sequência do cálculo dos deslocamentos no interior das barras 0.5. Considerações finais Este livro apresentou um resumo dos principais conceitos do método da rigidez direta, aplicado para uma análise de pórticos planos, com comportamento estático, linear e elástico. Procurou-se dar um enfoque conceitual sobre o método, sem focar em sua implementação computacional. Apenas alguns detalhes de implementação foram comentados. O que se pretende é que, com os conceitos apresentados, uma pessoa entenda o que é realizado por um programa de computador para uma análise desse tipo, sem precisar entender como ele é implementado. Além disso, a notação matricial utilizada facilita uma generalização dos conceitos para outros tipos de modelos estruturais. Dessa forma, por analogia, pode-se estender a aplicação do método. Os procedimentos subsequentes para a aplicação do método da rigidez direta para treliças planas são análogos aos procedimentos para pórticos planos.

7 4 Análise matricial de estruturas com orientação a objetos Luiz Fernando Martha Todos os outros passos para a análise de uma grelha pelo método da rigidez direta são semelhantes aos descritos para pórticos planos. Pode-se observar que o método é relativamente simples e genérico. A extensão para pórticos espaciais também é direta. Além disso, conforme comentado ao longo da Seção, o método da rigidez direta pode ser generalizado para modelos contínuos, resultando no método dos elementos finitos com formulação em deslocamentos para o problema estrutural. Isso é apenas uma interpretação (bastante simplista) para o método dos elementos finitos, pois este tem uma dedução bem mais geral, baseada em uma formulação variacional e integral. Entretanto, para um estudante ou profissional com formação em engenharia civil ou engenharia mecânica, a interpretação de que o método da rigidez direta é um caso particular do método dos elementos finitos pode facilitar muito o entendimento deste segundo.