IV.5 Solução de Treliça Plana Visando sua Implementação Computacional

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1 Curso de Análise Matricial de struturas IV. olução de Treliça Plana Visando sua Implementação Computacional O exemplo roteirizado a seguir busca a apretação dos passos e metodologias a serem adotados no tratamento de modelos estruturais planos, visando sua solução através da obtenção de seus diagramas solicitantes. eja a treliça plana, cujo modelo analítico é apretado abaixo: Para resolvê-la, serão adotados os seguintes passos: Numerar os nós e elementos do modelo analítico da estrutura; Numerar os graus de liberdade da estrutura no referencial global, seguindo-se o nº dos nós independentemente das condições de contorno;

2 Notas de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão ilho screver as equações de equilíbrio de cada elemento no referencial global; as coordenadas locais podem ser numeradas apenas até (número de L do elemento geral de treliça plana), visto que pelo processo da rigidez direta elas serão utilizadas somente na análise particular de cada elemento. lemento nº : (a) lemento nº segundo as coordenadas globais; (b) lemento nº segundo as coordenadas locais. quação de equilíbrio do elemento: {} [ ] {} u f [ ] {} [ ] [ ] {} u {} [ ] [ ] [ ] {} u {} [ ] [ ] [ ] {} u T onde, [ ] e [ ] L A [ ] L A!!! "!! $! # do [ ] [ ] [ ] [ ] T a matriz de rigidez do elemento no referencial global.,,

3 Curso de Análise Matricial de struturas lemento nº : (a) lemento nº segundo as coordenadas globais; (b) lemento nº segundo as coordenadas locais. Matriz de rotação do elemento: [ ],8,,,8,8,,,8 Matriz de igidez do elemento no referencial global: T [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], A,8 L,,8,8,,8,,,8,,8,8,,8, quação de equilíbrio no referencial global:,,8,,8 A,8,,8, L,,8,,8,8,,8, {} {}

4 Notas de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão ilho lemento nº : (a) lemento nº segundo as coordenadas globais; (b) lemento nº segundo as coordenadas locais. Matriz de rotação do elemento: [ ] Matriz de igidez do elemento no referencial global: [ ] [ ] [ ] [ ] T [ ] L A quação de equilíbrio no referencial global: {} {} L A

5 Curso de Análise Matricial de struturas A partir da contribuição de cada elemento, formar um único sistema de equações de equilíbrio relativo à estrutura. Contribuição do º elemento:,,,, A Ou ainda analisando as contribuições no referencial global apenas na matriz de rigidez elementar:,,,, A Contribuição do º elemento:,,9,,9,9,,9,,,9,,9,9,,9, A Ou ainda,,,9,,9,9,,9,,,9,,9,9,,9, A

6 Notas de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão ilho Contribuição do º elemento:,7,7,7,7 A Ou ainda, analisando as contribuições no referencial global apenas na matriz de rigidez elementar:,,,, A Obtendo-se, por fim, a equação de equilíbrio do sistema global:,8,9,,9,7,9,,9,,,9,,9,9,,9,7,,7,7,, A Aplicar as condições de contorno cinemáticas e estáticas (deslocamentos e forças nodais conhecidas); {} ; {}

7 Curso de Análise Matricial de struturas 7 Assim, o sistema passa a ser:,8,9,,9,7,9,,9,,,9,,9,9,,9,7,,7,7,, A Nota-se que a matriz de rigidez da estrutura, desconsiderando-se as condições de contorno, é singular (não-inversível). Por exemplo, observa-se que a última linha é combinação da ª com a ª linha. Para a imposição das condições de contorno, citam-se dois métodos: a. eordenação das equações: Para facilitar, o sistema pode ser reordenado da seguinte forma:,8,9,,9,7,9,,9,,,,,9,,9,9,,,9,7,7,7 A que corresponde aos dois seguintes sistemas:,,9,9,7,7 A,,9,7,9,, A

8 8 Notas de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão ilho b. Técnica dos Zeros e m: sta técnica utiliza o seguinte artifício numérico que evita a reordenação das direções nodais: para cada equação relativa a uma direção restringida m, faz-se: [ ] n m ; n m, (linha m) [ ] ; m m, (coef. da diagonal principal) [ ] n m ; m n, (coluna m) Desta forma obtém-se o seguinte sistema de equações:,,9,9,7,7 A que corresponde a:,,9,9,7,7 A Cálculo dos deslocamentos globais da estrutura: Os deslocamentos globais podem ser calculados pela solução dos sistemas de equações obtidos pela imposição das condições de contorno, para ambos os métodos apretados:,,9,9,7,7 A,7,,

9 Curso de Análise Matricial de struturas 9 Cálculo dos sforços A partir dos deslocamentos globais, obtém-se os deslocamentos locais pela aplicação das matrizes de rotação dos elementos: {} [ ] {} u Com os delocamentos no referencial local, é possível obter os esforços a partir da equação de equilíbrio: {} [ ] {} u sforços do º elemento:,7,, L A Analisando as coordenadas do elemento nº, verifica-se que, para o carregamento aplicado neste exemplo, o esforço normal é de kn de compressão (-kn): De forma análoga, obtém-se os esforços de 7kN de tração no elemento, e de kn de tração no elemento.

10 Notas de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão ilho 7 Cálculo das reações de apoio Caso tenha sido utilizado o método da reordenação das equações para a imposição das condições de contorno, as reações podem ser obtidas através da substituição dos valores dos deslocamentos globais (já calculados) no sistema de equações obtido: A,7,,,9,9, e o método utilizado for o das técnicas dos zeros e um, as reações não podem ser calculadas diretamente pela perda de informações ocorrida ao se zerar as linhas e colinas restringidas. As reações podem então ser calculadas pela acumulação (num vetor { }) dos esforços locais rotacionados para o referencial global, para cada um dos elementos conexos ao apoio: T {} [ ] {} Os valores das reações são, portanto: kn