MECÂNICA DO CONTÍNUO. Tópico 3. Método dos Trabalhos Virtuais

Transcrição

1 MECÂNICA DO CONTÍNUO Tópico 3 Método dos Trabalhos Virtuais PROF. ISAAC NL SILVA

2 Aspecto físico do equilíbrio Instável Estável P y1 y2 P Indiferente P Aspecto matemático: Eq. Instável d 2 V/dx 2 <0 Eq. Estável d 2 V/dx 2 >0 Eq. Indiferente d 2 V/dx 2 =0

3 Deslocamentos Os pontos de uma peça submetida a um carregamento qualquer ficam sujeitos a estados de tensão e se deformam, consequentemente se deslocam. As estruturas reais, na grande maioria, trabalham em regime de pequenos deslocamentos. Assim, em geral, estes deslocamentos são imperceptíveis ao usuário, com poucas exceções. P A D Viga deformada B

4 Cont... Deslocamento decorrente das deformações não deve ser confundido com deslocamento de corpo rígido devido ao movimento. Condições de Compatibilidade de Deslocamentos Além das condições de equilíbrio, devem ser satisfeitos todos os requisitos de compatibilidade de deslocamento, ou seja, à continuidade dos deslocamentos e vinculação da estrutura nos apoios.

5 Comportamentos dos Materiais: O comportamento físico dos materiais é definido pela relação entre as tensões atuantes e as correspondentes deformações por elas causadas. Linearidade x Não-linearidade Elasticidade x Plasticidade

6 Cont... Deslocamento virtual x Deslocamento real Um deslocamento virtual é qualquer deslocamento materialmente possível imaginado para o sistema frente às restrições determinadas em um especificado instante de tempo t; O deslocamento é dito virtual justamente para se fazer distinção entre o deslocamento real do sistema - que ocorrem em um dado intervalo de tempo dt. No deslocamento real não há nada que impeça que os vínculos e as forças aplicadas também se alterem ao longo da evolução temporal do sistema, encontrando-se tais vínculos e forças contudo por definição essencialmente fixos durante o cálculo de qualquer deslocamento virtual. Nada impede que o deslocamento real a ser seguido pelo sistema encontre-se entre os possíveis deslocamentos virtuais, mas não há obrigatoriedade em tal relação. Fonte: Wikipédia.

7 A força e o deslocamento envolvido (virtual e real ou vice-versa) têm uma relação de correspondência. N dδ (dδ = deslocamento relativo entre as seções extremas do elemento de barra na direção do eixo da barra) M dθ (dθ = rotação relativa entre as seções extremas do elemento de barra no plano da mesma) V dλ (dλ = deslocamento relativo no plano da barra entre as seções extremas do elemento de barra na direção perpendicular ao eixo) T dφ (dφ = rotação relativa entre as seções extremas do elemento em torno do eixo da barra) Fonte: ANÁLISE ESTRUTURAL I

8 Esforços solicitantes num elemento infinitesimal Fonte: ANÁLISE ESTRUTURAL I

9 Princípio da Superposição dos Efeitos Quando uma estrutura tem comportamento linear-elástico, os efeitos produzidos por vários carregamentos podem ser obtidos combinando-se os efeitos produzidos pelos carregamentos atuando individualmente. Isto é conhecido como princípio de superposição dos efeitos, podendo ser aplicado quando o comportamento da estrutura é linear-elástico, ou seja: a) O material segue a Lei de Hooke; b) Deslocamentos e deformações nos pontos da estrutura são pequenos; c) Há linearidade geométrica; d) Há o equilíbrio das forças na posição inicial da estrutura indeformada.

10 Princípio do Trabalho Virtual (PTV) O trabalho virtual é o trabalho produzido em uma das duas situações: Trabalho realizado por forças reais produzindo um deslocamento virtual; Trabalho realizado por forças virtuais produzindo um deslocamento real.

11 Princípio dos trabalhos virtuais - Pode ser usado para resolver problemas independentes de Sfx=0; Sfy=0; SM=0; - Determina as posições de equilíbrio de sistemas mecânicos. A seguir veremos conceitos que levam à formulação do método.

12 Trabalho (U) de uma força F q U = F.cos (q).d d U = M.q (no caso de momento)

13 Trabalho virtual F F+dF F du du = Fdu u u+du u (deslocamento)

14 Trabalho de uma força real x deslocamento virtual Um corpo rígido está em equilíbrio se a variação de trabalho das forças atuantes externas é nula, para qualquer deslocamento virtual do corpo. Isto é: du 0 du F u ( d Mdq ) d U n i1 ( Fdu M dq ) i ou i i i

15 Regras básicas para a solução de problemas 1) Forças contrárias aos deslocamentos: U (-) 2) Deslocamentos contrários ao sistema de eixos arbitrados: d (-) 3) Coordenadas obedecem ao sistema de eixos cartesianos convencional.

16 Exemplo 1 y P1 A D L L B P2 q q x Xb = L.cos (q) Xa = -L.cos (q) UP1 = P1.(-dXa) -dxa L C L dxb UP2 = P2. dxb

17 Exemplo 2 Na figura (Fonte: um sistema de barras articuladas é usado para comprimir um bloco. Deseja-se saber a força de compressão Cx, em função da força F, do ângulo φ e do comprimento L.

18 Resposta: Essa força de compressão é a reação horizontal C x em C. No ponto B ocorre um deslocamento virtual vertical δy B e no ponto C um deslocamento virtual horizontal δx C. Por relações trigonométricas: y B = L cos φ e x C = 2 L sen φ. Calculamos as diferenciais para obter os deslocamentos virtuais δy B = - L sen φ δφ e δx C = 2 L cos φ δφ.

19 O trabalho virtual é dado por δu = F δy B + C x δx C = 0. As demais forças (A x, A y e C y ) não executam trabalho. Substituindo os valores anteriores: δu = F (- L sen φ δφ) + C x (2 L cos φ δφ) = 0. Resolvendo, C x = (1/2) F tan φ.

20 Trabalho de uma força virtual x deslocamento real : Método da Carga Unitária (MCU) Princípio dos Deslocamentos Reais para Corpos Deformáveis Quando a uma estrutura deformável está em equilíbrio sob a ação de carregamentos, é dada uma pequena deformação virtual compatível, o trabalho virtual realizado pelas forças externas (carregamentos) é igual ao trabalho virtual realizado pelas forças internas (esforços solicitantes). Onde duext du du int ext Pdu b Mdq d Uext ( Q dq) du ( M dm) dq a b a

21 Admitindo-se que a estrutura apresente comportamento linearelástico, isto é, Lei de Hooke (σ = E.ε), apresentando linearidade geométrica. As cargas externas produzem tensões, representadas aqui por suas resultantes, os esforços solicitantes reais N/F, M, V/Q, T e deformações reais dδ, dθ, dλ e d relacionadas entre si pelas expressões: du F EA dx dq M EI dx d Q fs dx GA d T GJ dx Onde: E = módulo de elasticidade longitudinal, G = módulo de elasticidade transversal, A = área da seção transversal, I = momento de inércia da seção transversal, J = constante de torção da seção transversal, fs = fator de forma para cisalhamento; depende da forma da seção transversal e leva em conta a distribuição da tensão de cisalhamento na seção.

22 As grandezas seguintes presentes nos expressões anteriores são relacionadas abaixo como: EA = módulo de rigidez à deformação axial; EI = módulo de rigidez à flexão; GA = módulo de rigidez ao cisalhamento; GJ = módulo de rigidez à torção;

23 Método da Carga Unitária (MCU) Seja calcular um determinado deslocamento Δ, por exemplo o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita a um sistema de cargas qualquer.

24 Tem-se, pelo PTV, δ U ext=δ U int. O trabalho virtual neste caso é devido a forças virtuais e deslocamentos reais. O trabalho virtual externo será dado pela carga virtual unitária, aplicada no ponto em que se deseja obter o deslocamento: δ U= P Δ =1 Δ = Δ Assim: D f du mdq qd td ext ext ext ext Substituindo-se as expressões das deformações nos elementos de barra, dadas anteriormente, na equação geral do MCU acima, tem-se: D ext ff dx EA ext mm EI dx ext fs vv GA dx ext tt d GJ

25 Resumo (MCU) 1. Determinam-se os esforços solicitantes (N, M, V e T); 2. Determinam-se os esforços solicitantes virtuais (n, m, v e t); 3. Esforços reais e virtuais são substituídos na equação geral do MCU; 4. Em alguns casos, são feitas simplificações, desprezando-se os esforços cortantes, em razão da contribuição do momento fletor ter uma contribuição maior nas deformações.