7 Exemplos Numéricos do Caso Não-Linear

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1 84 7 Exemplos Numéricos do Caso Não- Neste capítulo é apresentada uma série de exemplos numéricos mostrando a influência da não-linearidade da fundação na resposta do sistema, tanto para o caso de resposta simétrica (baixas velocidades), quanto para o caso de resposta assimétrica (altas velocidades), desenvolvendo para isto, um estudo paramétrico similar ao realizado no Capítulo Influência da Não-linearidade da Fundação no Caso simétrico, Para Carga Distribuída Constante Nesta seção analisa-se a influência da não-linearidade da fundação para o caso de velocidades inferiores à velocidade crítica. Apresentam-se na Tabela 7- os parâmetros adimensionais presentes na equação (6.6) que são considerados nos exemplos a seguir. A integração é feita considerando um comprimento de 2.5m a cada lado do centro do carregamento i.e.: L = 2.5m (7.) Tabela 7- Parâmetros adimensionais para análise do comportamento simétrico. Parâmetro Adimensional Símbolo Valor Parâmetro de massa Τ Parâmetro de amortecimento crítico C cr Parâmetro de rigidez da β fundação elástica linear Parâmetro de intensidade de Q carga Parâmetro de extensão da carga α

2 Influência do sinal do parâmetro de rigidez não-linear da fundação O sinal positivo ou negativo do parâmetro adimensional de rigidez nãolinear β se reflete respectivamente em um ganho ou perda de rigidez do sistema. A seguir, estuda-se a variação do deslocamento máximo (centro do carregamento) em função da intensidade da carga estática Q para diversos valores de β, sendo estes resultados comparados com o caso linear, i.e., β nulo Deslocamento vertical máximo NL Não, linear β B=000B = β NL Série, β = 500β NL Série4, β = 250β Q Figura 7. Variação de deslocamento máximo em função da carga para valores positivos de β : ζ = 0, C = 0.05C cr, f = 0, P = 0, ρ = 0, N=5. Na Figura 7., observa-se a variação do deslocamento máximo para valores positivos de β. A flecha máxima decresce à medida que β cresce e o sistema vai se tornando cada vez mais rígido até se tornar insensível a incrementos de β. A Figura 7.2 mostra um comportamento não-linear da relação carga-deslocamento para valores negativos de β. Neste caso a flecha máxima cresce à medida que β cresce, tornando-se o sistema cada vez mais flexível.

3 Deslocamento vertical máximo NL, β = 50β Não linear B=000B NL, β = 00β Série NL, β = 50β Série Q Q Figura 7.2 Variação de deslocamento máximo em função da carga para valores negativos de β, (ζ=0), C =0.05C cr, f =0, P =0, ρ=0 N=5. Nos próximos exemplos são usados valores negativos de β, já que isto representa o comportamento da maioria dos solos Influência na fase transiente. Analisa-se nesta seção a influência da não-linearidade da fundação na resposta transiente da viga. Considera-se um fator de velocidade baixo, o que garante a simetria na resposta. Deslocamento Vertical Não- t(s) Figura 7. Fase transiente do deslocamento em ζ=0. C = 0.0C cr, f = 20, 8 P = 0, ρ = 0, N = 5 e β = x0.

4 87 A Figura 7. mostra como a consideração de um parâmetro não-linear influencia a fase transiente do movimento. Observam-se no caso não-linear picos maiores que no caso linear. Ambas as respostas são rapidamente amortecidas. No entanto, convergem para valores distintos. Como esperado, o caso não-linear converge para um deslocamento superior ao deslocamento da análise linear, em virtude da perda de rigidez no sistema, conseqüência do sinal negativo de β Influência na configuração deformada na fase permanente. Na Figura 7.4 é analisada a influência da não-linearidade da fundação no campo dos deslocamentos verticais da viga em coordenadas móveis adimensionais na fase permanente do movimento. Considera-se a presença de força axial e baixa velocidade de deslocamento da carga. 0. Deslocamento vertical Adimensional (x0^) ζ Não Figura 7.4 Deslocamentos adimensionais na fase permanente: f = 40, ρ = 0, 8 C = 0.05C cr, P = -.748, N = 5, β = x0.

5 88 Observa-se, como previsto, um incremento nos deslocamentos com respeito à analise linear, com um aumento mais pronunciado no centro do carregamento (ζ=0). Comportamento similar foi encontrado por Nguyem & Duhamel (2008) na sua análise de um trilho de comprimento infinito submetido à ação de uma carga concentrada móvel, usando o método dos elementos finitos e a teoria de Euler- Bernoulli Influência da não-linearidade e da inércia rotacional nos deslocamentos na fase permanente. Estuda-se agora o comportamento do sistema quando, além da nãolinearidade da fundação, é considerada a inércia rotacional. Na Figura 7.5 é mostrada uma comparação entre a configuração da viga na fase permanente para dois valores distintos do parâmetro de inércia rotacional ρ D eslocamento vertical A dimensional (x0^) , ρ=0 NL, ρ=0, ρ=0.04 NL, ρ= ζ Figura 7.5 Influência da não-linearidade e da inércia rotacional da viga nos deslocamentos na fase permanente: C = 0.05C cr, f = 40, P = -.748, N = 6 5, β = x0.

6 89 A Figura 7.5 mostra que, tanto para o caso linear como para o não-linear, há um incremento no valor dos deslocamentos à medida que ρ aumenta. A Figura 7.6 mostra a variação do deslocamento máximo para o caso linear e não-linear em função da variação do parâmetro adimensional de inércia rotacional ρ D e s lo c a m e n to v e r tic a l A d im e n s io n a l m á x im o (x 0 ^ ) Nao Diferença (x 0) ρ Figura 7.6 Deslocamento máximo em função de ρ: C = 0.05C cr, f = 40, 8 P = -.748, N = 5, β = x0. A Figura 7.6 mostra que, além do incremento no deslocamento máximo, à medida que ρ aumenta, a diferença entre o deslocamento máximo linear e nãolinear cresce de forma exponencial com o aumento de ρ. A curva tracejada mostra a diferença entre os deslocamentos lineares e não-lineares. Na Figura 7.6 a diferença está multiplicada por dez para melhor visualização.

7 Influência da Não-linearidade da Fundação para Altas Velocidades e Carga Distribuída de Amplitude Constante. Nesta seção é analisada a influência da não-linearidade da fundação para os casos de assimetria na resposta que, como visto na análise linear, corresponde a valores de velocidade próximos ou maiores que velocidade crítica. Também é importante salientar que a configuração do campo dos deslocamentos para essas velocidades tem valores significativos em uma zona mais extensa que no caso de baixas velocidades, onde a deformação da viga é importante em apenas uma zona muito próxima da carga. Em virtude disso, é necessário adotar um trecho de integração maior para conseguir descrever de melhor maneira o comportamento do sistema submetido a altas velocidades da carga móvel. Portanto, nos exemplos analisados nesta seção adota-se o seguinte comprimento de discretização: L=8m (7.2) Definem-se na Tabela 7-2 os parâmetros adimensionais presentes na equação (6.6) que são considerados nos exemplos desta seção. Tabela 7-2 Parâmetros adimensionais para análise do comportamento assimétrico. Parâmetro Adimensional Símbolo Valor Parâmetro de massa Τ.8 Parâmetro de amortecimento C cr crítico Parâmetro de rigidez da fundação β elástica linear Parâmetro de rigidez não-linear β x0 0 da fundação elástica Parâmetro de intensidade de carga Q Parâmetro de extensão da carga α Definidos os parâmetros adimensionais é possível agora realizar a análise paramétrica que permita conhecer a influência da não-linearidade da fundação quando se tem altas velocidades. Para isto são usadas as expressões apresentadas no item 6..2.

8 Influência da não-linearidade da fundação na configuração deformada da fase permanente Nesta seção é analisada a influência da não-linearidade da fundação no campo dos deslocamentos verticais da viga em coordenadas móveis adimensionais, na fase permanente do movimento D e s lo c a m e n to v e rtic a l A d im e n s io n a l (m /m x 0 ^ ) Não ζ Figura 7.7 Deslocamento vertical adimensional para velocidade crítica: C = 0.04C r, f = 25.25(f = f cr ), P = -5.69, N = 5, ρ = 0. A Figura 7.7 mostra a diferença no campo de deslocamentos verticais obtidos pela análise linear e não-linear para o caso em que a velocidade da carga móvel é igual ao valor crítico linear. Pode-se observar que a influência da nãolinearidade se reflete em um aumento no valor do deslocamento máximo assim como em um ligeiro deslocamento do mesmo para a esquerda. Observa-se também que à esquerda da origem os deslocamentos não-lineares possuem maiores amplitudes de onda que nos deslocamentos lineares.

9 92 Agora é analisada a influência da não-linearidade da fundação para um valor de velocidade superior ao valor crítico linear, considerando os mesmos parâmetros do exemplo mostrado na Figura Deslocamento vertical Adimensional (m/m x0^) Não ζ Figura 7.8 Deslocamento adimensional para velocidade superior à crítica: C = 0.04C cr, f = 25.0 (f =.2 f cr ), P = -5.69, N = 5, ρ = 0. A Figura 7.8 mostra que a não-linearidade adotada, para um fator adimensional de velocidade f =.2f cr, tem pouca influência nos deslocamentos Influência da não-linearidade e variação de velocidade Neste item é analisada a influência da não-linearidade da fundação e da velocidade de deslocamento da carga no valor do deslocamento máximo. A Figura 7.9 mostra a variação do deslocamento máximo em função da variação da velocidade, considerando presença de força axial compressiva e a influência da inércia rotacional no sistema. Observa-se que a influência da não-linearidade é importante na zona próxima à velocidade crítica. Para baixas velocidades e para

10 9 velocidades muito maiores que a crítica, as respostas lineares e não-lineares são praticamente coincidentes. A diferença entre o deslocamento máximo linear e não-linear, indicada pela curva tracejada, reflete tal comportamento. Isto é esperado já que a não-linearidade torna-se mais importante à medida que os deslocamentos vão aumentando. É importante salientar que estes resultados estão condicionados ao coeficiente de rigidez não-linear da fundação usado neste exemplo. Deslocamento vertical Adimensional (m/m x0^2) Não Diferença (x0) Figura 7.9 Deslocamento máximo em função da velocidade. C = 0.04C cr, P = -5.69, N = 5, ρ = 0.0. ff 7.. Análise Não- com Carga Harmônica Nesta seção é analisada a influência da não-linearidade da fundação para o caso em que a amplitude da carga varia de forma harmônica com o tempo. A influência de uma carga harmônica foi estudada no caso linear por Kim (2005) e no caso não-linear por Nguyem & Duhamel (2008).

11 94 Nesta seção é apresentada uma análise paramétrica mostrando a influência da não-linearidade da fundação em conjunto com a freqüência de excitação da carga harmônica, seguindo uma metodologia similar à usada pelos autores acima citados. A análise divide-se em duas partes. Inicialmente considera-se uma carga harmônica estacionária (V = 0), e a seguir, estuda-se o caso de uma carga harmônica movendo-se com uma velocidade constante. O carregamento harmônico na forma adimensional é definido por: α α [ H( ζ + ) H( ζ )] sen( ω ) q( ζ, t) = Q 2 2 t (7.) onde ω é a freqüência circular de excitação da carga dada em rad/s, ou: α α [ H( ζ + ) ( ζ )] q( ζ, t) = Q 2 H 2 sen(2πf.t) (7.4) em que f é a freqüência da excitação da carga. A equação (7.4) define a função adimensional de carregamento que é usada nos exemplos desenvolvidos nesta seção Análise não-linear com carga harmônica estacionária Para o caso da uma carga harmônica estacionária uniformemente distribuída a resposta é sempre simétrica. Portanto, podem ser usadas as expressões deduzidas no item 6... que correspondem à formulação não-linear considerando simetria nos deslocamentos. Para os exemplos desenvolvidos nesta seção, a integração no espaço é feita considerando L=0m e os parâmetros adimensionais apresentados na Tabela 7-. Tabela 7- Parâmetros adimensionais para análise de carga harmônica estacionária. Parâmetro Adimensional Símbolo Valor Parâmetro de Massa Τ Parâmetro de Amortecimento Crítico C cr Parâmetro de Rigidez linear da β fundação elástica Parâmetro de Rigidez Não-linear β da fundação elástica x0 0 Parâmetro de intensidade de carga Q Parâmetro de extensão da carga α

12 Influência na fase transiente e fase permanente Analisa-se nesta seção a influência da não-linearidade da fundação na resposta transiente e permanente do movimento. Apresenta-se na Figura 7.0 e na Figura 7. respectivamente a fase transiente e permanente da resposta dinâmica da viga. Nestas figuras mostra-se a variação da flecha em ζ = 0 com o tempo. Deslocamento Vertical (m/mx0) Não Figura 7.0 Fase transiente do deslocamento em ζ = 0, C = 0.0C cr, f = 0, P = 0, N = 20, ρ = 0, f = 70 Hz. Observa-se na Figura 7.0 que, tanto na fase transiente linear quanto na fase transiente não-linear, é possível identificar duas freqüências de vibração claramente diferenciadas, uma de período maior que vai amortecendo com o tempo e que depende das propriedades de rigidez do sistema, e outra, de menor período, que depende da freqüência de excitação. Cabe salientar que na fase transiente o período de vibração não-linear é menor que o período correspondente ao caso linear. Isto devido a influência do coeficiente negativo do fator de rigidez

13 96 não-linear da fundação que torna o sistema mais flexível, portanto com menores freqüências de vibração. Deslocamento Vertical (m/mx0) Não Figura 7. Fase Permanente do deslocamento em ζ = 0: C = 0.0C cr, f = 0, P =0, N = 20, ρ=0, f = 70 Hz. Nas Figuras 7.0 e 7. observa-se o principal efeito da não-linearidade da fundação que é o aumento no valor dos deslocamentos. A Figura 7. mostra que o comprimento das ondas na fase permanente do movimento é de s, que, como esperado, coincide com o período da excitação da carga harmônica que tem freqüência de 70 Hz. Comportamento similar foi encontrado por Nguyem & Duhamel (2008) Influência da freqüência de excitação nos deslocamentos máximos Analisa-se agora o efeito da não-linearidade da fundação no cálculo dos deslocamentos máximos no sistema quando há variação da freqüência de excitação do carregamento harmônico. São considerados dois valores de inércia rotacional.

14 , ρ=0 Não, ρ=0, ρ=0.04 Não, ρ=0.04 Deslocamento vertical Adimensional (m /m x0) Frequência de Excitação f(hz) Figura 7.2 Variação do deslocamento máximo em função de f: f =0, P = 0, C = 0.05C cr, 0 β = 22.8x. 0 Na Figura 7.2, observa-se que, para o caso em que não é considerada a inércia rotacional, i.e., ρ = 0, à medida que aumenta a freqüência da excitação o valor do deslocamento máximo cresce até atingir um máximo correspondente à freqüência crítica, que, para o caso linear, é de 8Hz. No caso não-linear o pico sofre um pequeno deslocamento para a esquerda, com o máximo deslocamento ocorrendo para 77Hz. Observa-se também, ainda na Figura 7.2, que, quando se considera um raio de giração de ρ = 0.04, o pico de ressonância se desloca para a esquerda, ocorrendo o valor máximo para 6 Hz no caso linear e 59 Hz no caso não-linear. Além disto, há um aumento no valor do deslocamento máximo com respeito ao sistema sem inércia rotacional. Também é observada a existência de um pico de menor valor localizado à direita do pico de maior valor. Isto mostra que, para o valor de fator ρ adotado neste exemplo, a inércia rotacional torna-se importante dando origem a uma segunda freqüência de ressonância. Para altas freqüências os deslocamentos máximos do sistema com ρ=0.04 são menores que para o sistema sem inércia rotacional.

15 Análise não-linear com carga harmônica móvel Nesta seção é analisado o caso de carga harmônica com velocidade de deslocamento não nula. Neste caso a probabilidade de se ter assimetria nos deslocamentos é maior que no caso de carga de amplitude constante, mesmo para baixas velocidades. Portanto, para os exemplos desenvolvidos nesta seção são usadas as expressões deduzidas no item 6..2., que correspondem à análise nãolinear com assimetria na resposta. A integração no espaço é feita considerando os mesmos parâmetros adimensionais da Tabela Influência nos deslocamentos para baixas velocidades Nesta seção é analisada a influência da não-linearidade da fundação na configuração do campo dos deslocamentos verticais na fase permanente do movimento, para um valor de tempo no qual acontece maior amplitude (pico da onda), para o caso de carga harmônica com baixa velocidade de deslocamento. Considera-se neste exemplo uma força axial e a inércia rotacional. 0.5 Deslocamento vertical Adimensional (m/m x0^4) Não ζ Figura 7. Deslocamento vs ζ: C = 0.05C cr, f = 5, P = -8.9, ρ = 0.008, f = 50Hz, t = 0.505s (tempo onde há um máximo de amplitude).

16 99 Na Figura 7., observa-se que, para uma freqüência de excitação de 50 Hz e fator de velocidade f = 5, a configuração do campo dos deslocamentos da viga já possui assimetria, diferente do sistema submetido a uma carga de amplitude constante, onde, para baixos valores de velocidade, a resposta é simétrica. A influência da não-linearidade considerada para este exemplo se reflete num incremento dos deslocamentos na zona próxima ao deslocamento máximo e próximo às primeiras ondas seguintes ao deslocamento máximo, sendo praticamente imperceptível no resto do domínio analisado Influência nos deslocamentos para altas velocidades É analisada neste item a influência da não-linearidade da fundação para o caso de carga de amplitude harmônica com alta velocidade de deslocamento Deslocamento vertical Adimensional (m/m x0^4) Não ζ Figura 7.4 Deslocamento vs ζ: C = 0.05C cr, f = 0, P = -8.9, ρ = 0.008, f = 50Hz, t = 0.506s (tempo onde há um máximo de amplitude). A Figura 7.4 mostra a configuração do campo dos deslocamentos verticais na fase permanente do movimento para um valor de tempo no qual acontece maior

17 00 amplitude. Observa-se que, para uma freqüência de excitação de 50 Hz e fator de velocidade de f = 0, a configuração do campo dos deslocamentos na viga tem uma configuração totalmente assimétrica, similar à configuração do sistema quando a velocidade é superior à velocidade crítica, o que supõe que o valor de f = 0 é superior a f cr. Portanto, o valor de f cr se encontraria entre 5 e 0, havendo uma importante redução no valor do fator de velocidade crítico, f cr, com respeito ao caso de carga de amplitude constante, onde para os mesmos parâmetros adimensionais o valor deste fator de velocidade crítico é de 6. Neste caso a não-linearidade da fundação considerada neste exemplo não tem influência substancial no valor dos deslocamentos, já que estes são praticamente iguais tanto no caso linear quanto no caso não-linear Influência da velocidade nos deslocamentos máximo A Figura 7.5 mostra a relação entre o deslocamento máximo e a velocidade, considerando inércia rotacional e força axial; para uma freqüência de excitação de 50 Hz. Nesta figura pode ser observado que a não linearidade na fundação aumenta os deslocamentos máximos. Em ambos os casos, linear e não linear, destaca-se a presença de dois picos. O maior deles em torno de f = 70 e outro de menor tamanho para um valor de f em torno de 25. Portanto, identificam-se duas velocidades críticas para este caso, isto pela consideração da inércia rotacional. A consideração da não linearidade de sinal negativo traduz-se em um incremento acentuado no valor dos deslocamentos na vizinhança da primeira velocidade crítica.

18 Deslocamento vertical Adimensional (m/m x0) Não f x0 Figura 7.5 Deslocamento máximo em função da velocidade: P = -8.9, C = 0.05Ccr, ρ = 0.008, f = 50Hz.