Princípios de Modelagem Matemática Aula 04

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1 Princípios de Modelagem Matemática Aula 04 Prof. José Geraldo DFM CEFET/MG 09 de abril de 2014

2 1 Análise dimensional

3 Análise dimensional A análise dimensional permite encontrar relações entre variáveis e parâmetros de um modelo sem resolvê-lo; obter relações de escala entre variáveis e parâmetros. É uma ferramenta limitada.

4 O teorema π de Buckingham fornece um algoritmo para se estabelecer relações adimensionais entre parâmetros e variáveis de um modelo. A ideia básica consiste no seguinte: Suponha que um modelo matemático possua um total de N variáveis e parâmetros (escalares). Suponha que estas N variáveis e parâmetros envolvam m dimensões fundamentais. Então é possívem obter N m relações adimensionais envolvendo tais parâmetros e variáveis.

5 Theorem a Considere um sistema de N variáveis e parâmetros envolvendo m dimensões fundamentais. Então, N m quantidades adimensionais π i podem ser definidas como produtos e quocientes das variáveis e dos parâmetros originais. Cada equação escalar f (x 1,..., x k, p 1,... p l ) = 0 envolvendo as variáveis x 1,..., x k e os parâmetros p 1,... p l de um modelo matemático podem ser trocados por uma relação correspondente entre os π i : f (π 1,... π N m ) = 0. a E. van Groesen, J. Molenaar, Continuum Modeling in the Physical Sciences (SIAM, Philadelphia, 2007).

6 Exemplo: Considere o pêndulo simples, na ausência de forças dissipativas. As variáveis e os parâmetros de interesse são o comprimento do pêndulo l, o módulo da aceleração da gravidade g, a massa do pêndulo m, o período de oscilação τ, a amplitude angular θ M e a tensão na corda T. Vamos aplicar o teorema π de Buckingham para obter quantidades adimensionais envolvendo estas variáveis e parâmetros.

7 Quantidades derivadas Dimensão comprimento do pêndulo l L aceleração da gravidade g LT 2 massa do pêndulo m M período de oscilação τ T amplitude angular θ M 1 tensão na corda T MLT 2 Tabela: Variáveis e parâmetros de interesse para o modelo do pêndulo sem fricção.

8 Da tabela anterior nota-se que há seis variáveis e parâmetros como quantidades ou grandezas derivadas. Estas grandezas envolvem apenas três dimensões fundamentais, L, T e M. Portanto, de acordo com o teorema, podemos construir três relações adimensionais envolvendo estas variáveis e parâmetros. Escolhemos, então, três das quantidades derivadas como quantidades primárias. Vamos escolher l, g e m para representar este papel. Sobram τ, T e θ M.

9 Os três grupos adimensionais são π 1 = l a 1 g b 1 m c 1 τ, π 2 = l a 2 g b 2 m c 2 T, π 3 = l a 3 g b 3 m c 3 θ M. Os expoentes a i, b i e c i devem ser determinados de modo que os π i sejam adimensionais.

10 Exemplo: Considere o pêndulo simples, na ausência de forças dissipativas. As variáveis e os parâmetros de interesse são o comprimento do pêndulo l, o módulo da aceleração da gravidade g, a massa do pêndulo m, o período de oscilação τ, a amplitude angular θ e a tensão na corda T. Vamos aplicar o teorema π de Buckingham para obter quantidades adimensionais envolvendo estas variáveis e parâmetros.

11 Quantidades derivadas Dimensão comprimento do pêndulo l L aceleração da gravidade g LT 2 massa do pêndulo m M período de oscilação τ T amplitude angular θ M 1 tensão na corda T MLT 2 Tabela: Variáveis e parâmetros de interesse para o modelo do pêndulo sem fricção.

12 Escolhemos l, g e m como quantidades primárias. Sobram, então, τ, T e θ M. Os três grupos adimensionais são π 1 = l a 1 g b 1 m c 1 τ, π 2 = l a 2 g b 2 m c 2 T, π 3 = l a 3 g b 3 m c 3 θ M. Os expoentes a i, b i e c i devem ser determinados de modo que os π i sejam adimensionais.

13 Para π 1, tem-se a 1 = 1/2 = b 1, e c 1 = 0. Logo, g π 1 = τ l. Isto já era esperado pois, como já vimos, τ = 2π l/g. Portanto, π 1 = 2π.

14 Para π 2, tem-se a 2 = 0, e b 2 = c 2 = 1. Logo, π 2 = T mg. (1) O teorema estabelece que o módulo da tensão T é diretamente proporcional ao módulo da força peso mg. Mas a constante de proporcionalidade π 2 não é constante!

15 Para ver isto, considere o modelo do pêndulo simples sem fricção. A força-peso e a tensão são as únicas forças a agir sobre o pêndulo. A força-peso é sempre constante ao longo do movimento: tem o mesmo módulo e sempre aponta na direção vertical para baixo. E quanto à tensão?

16 A tensão aponta para o centro do movimento circular. Portanto, sua direção varia ao longo do movimento. Mas, o que dizer sobre o seu módulo? Vamos denotar T (θ) o valor do módulo da tensão quando o pêndulo descreve um ângulo θ com a vertical. Para responder isto, sem resolver o modelo, vamos considerar o pêndulo em duas situações: quando está no ponto mais alto de sua trajetória e quando está no ponto mais baixo.

17 No ponto mais baixo de sua trajetória, i.e., quando o pêndulo está alinhado com a vertical, tanto a força-peso quanto a tensão possuem a mesma direção (a vertical), mas sentidos opostos; o módulo da velocidade do pêndulo é máximo (por quê?). Nesta situação a força resultante qua atua sobre o pêndulo tem direção vertical e, por causa do movimento circular, aponta para o centro do movimento. Logo, T (0) mg = F R (0), (2) onde F R (0) denota a força resultante no ponto mais baixo da trajetória, i.e., quando o ângulo θ que o pêndulo descreve com a vertical é nulo.

18 Agora, considere o caso em que o pêndulo está no ponto mais alto de sua trajetória. Considere o ângulo que o pêndulo descreve com a vertical como θ M. Nesto ponto mais alto da trajetória, a força-peso mantém a direção vertical, mas a tensão aponta para o centro do movimento; a velocidade instantânea do pêndulo é nula. Nesta situação, a componente da força resultante que aponta para o centro do movimento é nula (por quê?) e, portanto, T (θ M ) mg cos θ M = 0. (3)

19 Claramente, se compararmos as equações (2) e (3), vemos que T (θ M ) < T (0).

20 Claramente, se compararmos as equações (2) e (3), vemos que T (θ M ) < T (0). Concluímos que o módulo da tensão varia ao longo do movimento do pêndulo.

21 Claramente, se compararmos as equações (2) e (3), vemos que T (θ M ) < T (0). Concluímos que o módulo da tensão varia ao longo do movimento do pêndulo. Portanto, a relação adimensional (1) deve ser mudada para

22 Claramente, se compararmos as equações (2) e (3), vemos que T (θ M ) < T (0). Concluímos que o módulo da tensão varia ao longo do movimento do pêndulo. Portanto, a relação adimensional (1) deve ser mudada para π 2 = T mg

23 Claramente, se compararmos as equações (2) e (3), vemos que T (θ M ) < T (0). Concluímos que o módulo da tensão varia ao longo do movimento do pêndulo. Portanto, a relação adimensional (1) deve ser mudada para π 2 (θ) = T (θ) mg, onde θ é o ângulo que o pêndulo descreve, instantaneamente, com a vertical.

24 Embora a relação adimensional π 2 não seja constante, mas dependa do valor instantâneo de θ, ainda podemos usá-la para obter relações de escala. Por exemplo, para um valor fixo de θ, se o valor da massa do pêndulo aumentar r vezes, espera-se que o valor da tensão T (θ) aumente na mesma razão.

25 Para π 3, tem-se a 3 = b 3 = c 3 = 0. Logo, π 3 = θ M. (4) Isto quer dizer que a amplitude do movimento θ M o máximo valor do ângulo que o pêndulo descreve com a vertical não depende das demais variáveis e parâmetros que entendemos ser de interesse. De fato, θ M só depende das condições iniciais do movimento, i.e., da posição da qual o pêndulo partiu e da sua velocidade neste momento.

26 Exemplo: Um pêndulo de formato esférico oscila imerso em um fluido viscoso. As variáveis e os parâmetros de interesse são o comprimento do pêndulo l, o módulo da aceleração da gravidade g, a massa do pêndulo m, o período de oscilação τ, a tensão na corda T e, além destas, a viscosidade do fluido η, a densidade do fluido ρ f e o diâmetro do pêndulo d. Vamos aplicar o teorema π de Buckingham para obter quantidades adimensionais envolvendo estas variáveis e parâmetros.

27 Para começar, as dimensões da viscosidade do fluido η e da densidade do fluido ρ f são [η] = ML 1 T 1, [ρ f ] = ML 3.

28 Quantidades derivadas comprimento do pêndulo l aceleração da gravidade g massa do pêndulo m período de oscilação τ tensão na corda T viscosidade do fluido η densidade do fluido ρ f diâmetro do pêndulo d Dimensão L LT 2 M T MLT 2 ML 1 T 1 ML 3 L Tabela: Variáveis e parâmetros de interesse para o modelo do pêndulo imerso em um fluido viscoso.

29 Escolhemos l, g e m como quantidades primárias. Sobram, então, τ, T, η, ρ f e d. As relações adimensionais são π 1 = l a 1 m b 1 g c 1 τ, π 2 = l a 2 m b 2 g c 2 T, π 3 = l a 3 m b 3 g c 3 η, π 4 = l a 4 m b 4 g c 4 ρ f, π 5 = l a 5 m b 5 g c 5 d.

30 Temos, novamente, a 1 = 1/2 = b 1, e c 1 = 0 e a 2 = 0, e b 2 = c 2 = 1. Logo, e g π 1 = τ l, π 2 = T mg. Estas relações adimensionais coincidem com aquelas obtidas para o caso sem fricção. A resistência imposta pelo fluido ao movimento não exerce nenhum papel sobre elas?

31 Quanto a π 3, temos a 3 = 3/2, b 3 = 1 e c 3 = 1/2, o que produz π 3 = η l 3 m g. (5) Se multiplicarmos π 1 e π 3, obteremos outra relação adimensional: π = π 1 π 3 = τηl m. (6)

32 Portanto, para sermos honestos, devemos considerar que π 1 e π são funções adimensionais dos parâmetros e variáveis l, g, m, τ, T, η, ρ f e d. Por exemplo, no caso em que a viscosidade do fluido é suficientemente pequena (movimento subamortecido), temos τ = 2π l g ( 1 9π2 d 2 η 2 ) 1/2 l 4m 2, g ou seja, ( π 1 = 2π 1 9π2 d 2 η 2 ) 1/2 l 4m 2. (7) g

33 1 Obtenha, para o modelo do pêndulo com fricção, as demais relações adimensionais π 4 e π 5. 2 O que se pode dizer acerca da dependência da viscosidade do fluido η com o comprimento do pêndulo l, o módulo da aceleração da gravidade g e a massa do pêndulo m? Baseado em sua resposta, o que se pode dizer acerca da relação π 3 obtida para o pêndulo com fricção? 3 Sem conhecer a forma funcional de π 1 para o pêndulo com fricção, é possível obter uma relação de escala entre o período do pêndulo e seu comprimento? 4 Obtenha relações adimensionais para o modelo do pêndulo com fricção usando as quantidades l, η e ρ f como primárias.

34 Em muitas situações, objetos e dispositivos são estudados a partir de suas reproduções em escala (protótipos, maquetes, etc). Espera-se obter, a partir de relações conhecidas entre variáveis e parâmetros do modelo matemático em questão, quantidades associadas ao objeto pelas medidas efetuadas sobre o protótipo.

35 Análise dimensional Exemplo: A frequência natural de vibração ω de uma viga depende de sua densidade de massa ρ, do módulo de elasticidade (propriedade do material) E, do seu comprimento l, de sua profundidade h e da sua seção reta A. Se uma viga e seu protótipo são construídos do mesmo material e todos os seus comprimentos estão na escala 1:5, como as frequências naturais da viga e do protótipo se relacionam?

36 Análise dimensional Quantidades derivadas Dimensão comprimento da viga l L densidade da viga ρ ML 3 frequencia de oscilação ω T 1 módulo de elasticidade E ML 1 T 2 profundidade h L área de seção reta A L 2 Tabela: Variáveis e parâmetros de interesse para o modelo de vibração de uma viga.

37 Nesta situação, vamos definir as seguintes quantidades escalonadas: l = l p /l o = 1/5, ρ = ρ p /ρ o = 1, E = E p /E o = 1, h = h p /h o = 1/5, A = A p /A o = 1/25, ω = ω p /ω o. Os subescritos p e o referem-se ao protótipo e ao objeto (viga).

38 Análise dimensional Escolhemos as quantidades primárias ω, l e ρ.

39 Análise dimensional Escolhemos as quantidades primárias ω, l e ρ. Assim, obtemos as relações adimensionais π 1 = E ω 2 l 2 ρ, π 2 = h/l, π 3 = A/l 2.

40 Análise dimensional Escolhemos as quantidades primárias ω, l e ρ. Assim, obtemos as relações adimensionais π 1 = E ω 2 l 2 ρ, π 2 = h/l, π 3 = A/l 2. Da expressão para π 1 obtemos

41 Análise dimensional Escolhemos as quantidades primárias ω, l e ρ. Assim, obtemos as relações adimensionais π 1 = E ω 2 l 2 ρ, π 2 = h/l, π 3 = A/l 2. Da expressão para π 1 obtemos ω 2 E l 2 ρ

42 Análise dimensional Escolhemos as quantidades primárias ω, l e ρ. Assim, obtemos as relações adimensionais π 1 = E ω 2 l 2 ρ, π 2 = h/l, π 3 = A/l 2. Da expressão para π 1 obtemos (ω ) 2 E (l ) 2 ρ

43 Análise dimensional Escolhemos as quantidades primárias ω, l e ρ. Assim, obtemos as relações adimensionais π 1 = E ω 2 l 2 ρ, π 2 = h/l, π 3 = A/l 2. Da expressão para π 1 obtemos ω 1/l = 5.

44 Deste modo, se supormos que π 1 é constante tanto para o protótipo quanto para a viga, então ω = 5, ou seja, ω p = 5ω o. Qual seria a relação entre as frequências naturais de vibração do modelo de viga de aço e do protótipo caso o protótipo seja construído usando-se material plástico, que tem densidade dez vezes menor que a do aço e módulo de elasticidade mil vezes menor. Todos os comprimentos do protótipo são reduzidos em uma escala 1:5 em relação ao modelo da viga de aço. Como as frequências se relacionam?

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