APLICAÇÃO DA TEORIA DE PLACAS NA ANÁLISE DE ESTRUTURAS OFFSHORE. Bruno Nery Souza Bernardino

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1 APLICAÇÃO DA TEORIA DE PLACAS NA ANÁLISE DE ESTRUTURAS OFFSHORE Bruno Nery Souza Bernarino Projeto e Grauação apresentao ao Curso e Engenharia Civil a Escola Politécnica, Universiae Feeral o Rio e Janeiro, como parte os requisitos necessários à obtenção o título e Engenheiro. Orientaores: Gilberto Bruno Ellwanger Ricaro Valeriano Alves Rio e Janeiro Março e 016

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3 Bernarino, Bruno Nery Souza Aplicação a Teoria e Placas na Análise e Estruturas Offshore/ Bruno Nery Souza Bernarino. Rio e Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 016. XV, 77 p.: il.; 9,7 cm. Orientaores: Gilberto Bruno Ellwanger e Ricaro Valeriano Alves Projeto e Grauação UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso e Engenharia Civil, 016. Referências Bibliográficas: p Teoria e Placas.Moelo Analítico 3.Estruturas Offshore 4.Estabiliae e placas. 5.Moelo Computacional. I. Bruno Ellwanger, Gilberto, et al. II. Universiae Feeral o Rio e Janeiro, Escola Politécnica, Curso e Engenharia Civil. III. Titulo. iii

4 Porque Dele e por Ele, e para Ele, são toas as coisas (Versículo Bíblico - Rm. 11:36) iv

5 AGRADECIMENTOS Primeiramente, a Deus. Pela sua ireção, proteção, e graça manifestaa ao longo e toa a caminhaa. Aos meus pais, Rosilene e José Carlos, pelo apoio e investimento aos com muito esforço para que eu puesse ter uma eucação e qualiae e um futuro melhor. Vocês fazem parte esta conquista. Aos meus familiares, que sempre me apoiaram. Aos meus orientaores, Gilberto Bruno Ellwanger e Ricaro Valeriano Alves, pela paciência e eicação, tanto para a elaboração este trabalho, quanto ao longo e toa a minha formação acaêmica. Esteno também um agraecimento a toos os professores a UFRJ que contribuíram para a minha formação como engenheiro. Ao Programa e Recursos Humanos (PRH-35) a Agência Nacional o Petróleo (ANP) pelo apoio financeiro e incentivo à pesquisa. Aos meus amigos e faculae, pela companhia e aprenizao nas horas e estuo, e pelos momentos e iversão. Foi um prazer estar com vocês. v

6 Resumo o Projeto e Grauação apresentao à Escola Politécnica/ UFRJ como parte os requisitos necessários para a obtenção o grau e Engenheiro Civil. APLICAÇÃO DA TEORIA DE PLACAS NA ANÁLISE DE ESTRUTURAS OFFSHORE Bruno Nery Souza Bernarino Março/016 Orientaores: Gilberto Bruno Ellwanger Ricaro Valeriano Alves Curso: Engenharia Civil RESUMO Este trabalho se propõe a estuar o comportamento estrutural e placas, sem enrijeceores e com enrijeceores, submetias a iversos tipos e carga, utilizano conceitos e teorias isponíveis, a saber: Teoria e Kirchhoff e e Vón Kármán. Para este fim, foram aplicaas soluções em séries uplas (Navier), e o métoo e Rayleigh-Ritz, baseao no princípio a energia potencial total estacionária. Para efeito e comparações e e aprenizao, as placas analisaas foram aina moelaas em programas computacionais, via Métoo os Elementos Finitos. Com o objetivo e avaliação e carga crítica e flambagem, foram realizaas análises e estabiliae estrutural e placa com métoo analítico, solução via Métoo os Elementos Finitos, e a norma DNV-RP-01. Também foi eterminaa a carga última para a mesma placa, utilizano somente moelagem computacional e solução analítica. Palavras-chave: Teoria e Kirchhoff, Teoria e von Kármán, Rayleigh-Ritz, Comportamento e Placas, Estabiliae e Placas. vi

7 Abstract of Unergrauate Project presente to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the egree of Engineer. APLICATION OF PLATES THEORY IN THE ANALYSIS OF OFFSHORE STRUCTURES Bruno Nery Souza Bernarino March/016 Avisors: Gilberto Bruno Ellwanger Ricaro Valeriano Alves Course: Civil Engineering ABSTRACT This project aime to stuy the structural behavior of plates with an without stiffeners, subjecte to various types of loa, using concepts of available theories, namely: Theory of Kirchhoff an von Kármán. To this en, solutions have been applie in ouble series (Navier), an the Rayleigh-Ritz metho, base on the principle of stationary potential total energy. For purposes of comparison an learning, the plates analyze were yet moele in computer programs using the Finite Element Metho. With the objective of evaluating critical buckling loa, structural stability analysis plate were performe with analytical metho, solution employing the Finite Element Metho, an DNV-RP-01 stanar. It was also etermine to the ultimate loa to the same plate, using only computational moeling an analytical solution. Keywor: Theory of Kirchhoff, Theory e von Kármán, Rayleigh-Ritz, Behaviour of plates, Stability of plates. vii

8 Sumário 1 INTRODUÇÃO OBJETIVO MOTIVAÇÃO ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO... REVISÃO DE CONCEITOS E ESTRUTURAS OFFSHORE FORMAS DE ANÁLISE ESTRUTURAL Análise Linear Elástica Análise Não Linear Geométrica PLACAS EM ESTRUTURAS OFFSHORE Casco e Navio Estruturas Topsie TEORIA DE PLACAS APRESENTAÇÃO PRINCIPAIS TEORIAS TEORIA DE KIRCHHOFF Relação Deformação-Deslocamento Relação Deformação-Curvatura Relação Tensão-Deformação Solicitações Equações e Equilíbrio Força Cortante Efetiva Reação e Canto Conições e Boro MÉTODO DE NAVIER FORMULAÇÃO POR ENERGIA Energia e Deformação Energia Potencial e Cargas Energia Potencial Total Métoo e Rayleigh-Ritz ANÁLISE DE PAINEL Soluções Analíticas Moelagem Computacional Resultaos Comparativos viii

9 3.6.4 Conclusão Parcial PLACAS ORTOTRÓPICAS RELAÇÕES FUNDAMENTAIS Relação Tensão-Deformação Solicitações Determinação as Rigezas MÉTODO DE NAVIER MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ ANÁLISE DE PAINEL ORTOTRÓPICO Soluções Analíticas Moelagem Computacional Estuo Comparativo entre Rigezas Resultaos Comparativos Conclusão Parcial PLACAS COM CARGAS LATERAIS EQUAÇÃO FUNDAMENTAL ESTUDO DE FLAMBAGEM Imperfeições Geométricas Iniciais Carga Crítica e Flambagem Carga Crítica com Imperfeições Iniciais VERIFICAÇÃO PELA DNV-RP-C ANÁLISE DE PAINEL SUBMETIDO A CARGA LATERAL Conclusão Parcial TEORIA DE VON KÁRMÁN EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS FORMULAÇÃO POR ENERGIA ESTUDO DE FLAMBAGEM TENSÃO ÚLTIMA SOB CARGA LATERAL Conclusão Parcial CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS ix

10 Lista e Figuras Figura 1.1- Navio FPSO (PETROBRÁS, 016)... 1 Figura.1- Seção transversal o casco e um navio (BARROS, 015)... 5 Figura.- Moelo representativo e um móulo e proução (SÁ, 015)... 5 Figura 3.1- Teorias esenvolvias... 8 Figura 3.- Sistema Referencial... 9 Figura 3.3- Configuração Deformaa... 9 Figura 3.4-Curvatura a placa no plano xz Figura 3.5-Convenção e sinais para tensão num elemento infinitesimal e placa Figura 3.6-Distribuição e tensões e sentios positivos as solicitações e momento.. 14 Figura 3.7-Distribuição e tensões e sentios positivos as solicitações e cortante Figura 3.8- Forças e momentos em um elemento infinitesimal e placa Figura 3.9- Torsor substituío por forças equivalentes e as resultantes Figura Resultante no canto o elemento infinitesimal e placa Figura Boros ilustraos com conições geométricas e/ou cinemáticas... 0 Figura 3.1- Diagrama e Tonti... 1 Figura 3.13-Placa eformaa... 4 Figura 3.14 Moelo simplificao a placa em análise... 6 Figura Gráfico a função w1(x)... 7 Figura Gráfico a função w(x)... 7 Figura Gráfico a função w(y)... 7 Figura Gráfico a função w1(y)... 7 Figura Malha a placa no programa AutoCAD... 8 Figura 3.0- Definição geométrica a placa... 9 Figura 3.1- Moelo estrutural a placa no programa SAP000 v Figura 3.-Deslocamentos transversais no meio a placa (ireção y) Figura 3.3- Momento Mx no meio a placa Figura 3.4- Momento My no meio a placa Figura 3.5- Momento Mxy no boro a placa... 3 Figura 3.6- Tensão normal x no meio a placa... 3 Figura 3.7- Tensão cisalhante xy no boro a placa Figura 3.8- Reação e canto na placa Figura 4.1-Estruturas ortotrópicas e suas rigezas (UGURAL, 1981) Figura 4.- Moelo consierao (SZILARD, 004) Figura 4.3- Móulo e processamento-vista geral (SÁ, 015)... 4 Figura 4.4- Perfil metálico as vigas enrijeceoras Figura 4.5- Representação esquemática em planta a estrutura. Uniaes em metro Figura 4.6- Representação esquemática em corte e parte a estrutura. Uniaes em milímetro Figura 4.7- Malha a placa no programa AutoCAD Figura 4.8- Aplicação a ligação rígia entre os nós a viga e a placa Figura 4.9- Ligação rígia entre toos os nós a placa e a viga Figura Aplicação as proprieaes geométricas na placa no programa SAP000 v Figura Moelo estrutural a placa no programa SAP000 v x

11 Figura 4.1- Vista frontal a seção retangular fictícia consieraa. Uniaes em milímetro Figura Deslocamentos a placa utilizano as rigezas propostas por SZILARD (004) Figura Deslocamentos a placa utilizano rigezas propostas por UGURAL (1981) Figura Comparação entre as metoologias para eslocamentos transversais (ireção x) Figura Momento Mx no meio a placa Figura Momento Mx no meio a placa... 5 Figura Momento My no meio a placa... 5 Figura Momento My no meio a placa Figura 4.0- Momento Mxy no boro a placa Figura 4.1- Tensão cisalhante xy no boro a placa Figura 5.1- Vista em planta e um elemento infinitesimal e placa Figura 5.- Vista frontal o elemento infinitesimal e placa Figura 5.3- Estabiliae estrutural e placas esbeltas (TRAHAIR & BRADFORD, 1988 e SILVA, 006) Figura 5.4- Efeito as imperfeições iniciais na estabiliae e placas esbeltas (MAQUOI, 199 e SILVA, 006) Figura 5.5- Placa simplesmente apoiaa submetia a carga lateral em seu plano méio Figura 5.6- Relação k x r Figura 5.7- Fatores e carga para conições e contorno usuais em placas (SALMON & JOHNSON, 1990 e SILVA, 006) Figura 5.8- Placa retangular submetia a carregamento lateral Figura 6.1- Comportamento pós-flambagem e placas esbeltas (TRAHAIR & BRADFORD, 1988 e SILVA, 006) Figura 6.- Largura efetiva e placas simplesmente apoiaas em ambas as boras longituinais (Fakury, 1989 e SILVA, 006) xi

12 Lista e Tabelas Tabela 4.1- Fator numérico Tabela 4.- Dimensões a placa o piso... 4 Tabela 4.3- Dimensões as vigas enrijeceoras Tabela 4.4- Proprieaes físicas o material Tabela 5.1- Tensão crítica e compressão e moos e flambagem Tabela 6.1- Tensão última e compressão xii

13 Lista e Siglas CAD Computer Aie Design DNV Det Norske Veritas FPSO Floating, Prouction, Storage an Offloaing FS Fator e Segurança MEF Métoo os Elementos Finitos SACS Structural Analysis Computer System SAP Structural Analysis Program TLWP Tension Leg Wellhea Platform UFRJ Universiae Feeral o Rio e Janeiro xiii

14 A Área e um ponto na placa A Ponto na placa eformaa Lista e Símbolos B Ponto na placa B Ponto na placa eformaa a,b C D E fy G k m,n M Dimensões nas ireções x e y, respectivamente Constante Rigiez flexional a placa Móulo e Elasticiae Tensão e escoamento o material Móulo e Elasticiae Transversal Fator e carga axial para placas elgaas na compressão Número e meias-onas nas ireções x e y, respectivamente Momento fletor por uniae e comprimento Mx, My Momentos fletores por uniae e comprimento atuantes na face x e ireção aaaaaaaaaaa y, e face y e ireção x Mxy Momento volvente por uniae e comprimento atuante na face x N Ncr Força normal por uniae e comprimento Força crítica e flambagem por uniae e comprimento Nx, Ny Forças normais por uniae e comprimento atuantes nas faces x e y, aaaaaaaaaaaa respectivamente Nxy O P Força cortante por uniae e comprimento atuante na face x e ireção y Centro o eixo cartesiano Força concentraa Qx, Qy Forças cortante por uniae e comprimento atuantes nas faces x e y, na aaaaaaaaaaaa ireção z, respectivamente q R r rx, ry rxy Intensiae a carga transversal istribuía por área Reação e canto Raio Raios e curvatura o plano méio nos planos xz e yz, respectivamente Raio e curvatura o plano méio no plano xy xiv

15 t u,v,w U Espessura Deslocamentos nas ireções x, y e z, respectivamente Deslocamento aproximao na ireção z Energia e eformação Vx, Vy Forças cortante efetivas por uniae e comprimento atuantes nas faces x e aaaaaaaaaaaay, na ireção z, respectivamente x,y,z xy, yz, xz x, y, z Coorenaas retangulares e istâncias Distorção Distorções nos planos xy, yz e xz, respectivamente Deflexão Deformação normal Deformações normais às ireções x, y e z, respectivamente Ângulo Curvatura Coeficiente e Poisson Energia Potencial Total Somatório x, y, z 1,, 3 cr u m Tensão normal Tensões normais nas ireções x,y e z, respectivamente Tensões normais principais Tensão normal crítica e flambagem Tensão normal última Tensão méia Tensão cisalhante xy,yz,zx Tensões cisalhantes nas faces x, y e z, paralelas às ireções y,z e x, aaaaaaaaaaaaarespectivamente u x e y Tensão cisalhante última Função e tensão Ângulo no plano xz e yz, respectivamente Energia potencial as cargas xv

16 1 INTRODUÇÃO O constante avanço a exploração e proução e petróleo na região o pré-sal, tem gerao o aparecimento e novas e consistentes tecnologias, que reuzem o tempo e o custo para extração o óleo, e aumenta o nível e segurança exigio nas operações relacionaas ao seu tratamento. E além isto, impulsionam a proução e petróleo prouzio no país. A méia anual a proução operaa na camaa pré-sal em 015 foi a maior a história, atingino uma méia e 767 mil barris por ia, superano a proução e 014 em 56% (PETROBRÁS, 016). E com relação aos custos operacionais e proução, a Petrobrás chegou a um patamar em torno e US$ 8 por barril, quano a méia as granes petrolíferas muniais é e US$ 15 por barril (PETROBRÁS, 016). Para atuar em áreas o pré-sal e o pós-sal, iversas plataformas entraram em operação nos últimos anos, como a P-58, a P-6, os FPSOs Ciae e Mangaratiba e Ciae e Ilhabela, entre outros. No campo e Papa-Terra (Bacia e Campos), foram instalaos o FPSO P-63 e a P-61 (plataforma o tipo TLWP - Tension Leg Wellhea Platform), plataformas que trabalharão integraas, com capaciae e processamento conjunta e 140 mil bp (barris por ia) e óleo e um milhão e m³ e gás por ia. Em 015, também entrou em operação o FPSO Ciae e Itaguaí, ano início à proução o projeto Iracema Norte, no campo e Lula, no pré-sal a Bacia e Santos, na costa o Rio e Janeiro (PETROBRÁS, 016). O projeto e uma uniae petrolífera exige muita atenção e qualificação os projetistas, aliao a um alto nível e segurança. A quantiae e pessoas que trabalham nessas uniaes, o nível e periculosiae as operações realizaas em uma plataforma, e a istância a costa one geralmente é extraío o óleo, são alguns os fatores que confirmam a importância e um projeto seguro e bem elaborao, o ponto e vista estrutural, para essas uniaes. A Figura 1.1 exibe um navio tipo FPSO (Floating, Prouction, Storage an Offloaing, ou uniae flutuante e proução, armazenamento e transferência e petróleo), muito utilizao na explotação e petróleo. Figura 1.1- Navio FPSO (PETROBRÁS, 016) 1

17 1.1 OBJETIVO A proposta este trabalho é analisar o comportamento e estruturas, especificamente, as placas, que são parte componente e estruturas maiores utilizaas na inústria offshore. Através e métoos analíticos, utilizano a Teoria e Placas, e moelagens computacionais, que consieram o Métoo os Elementos Finitos, os eslocamentos previstos, tensões e forças atuantes nas placas são eterminaos e comparaos entre as uas metoologias. Particularmente, a norma a DNV, a DNV-RP-01, é utilizaa para comparação a carga crítica e flambagem obtia através os ois métoos mencionaos. A utilização os métoos analíticos, aborano a formulação e Navier e Energia, tem por meta fornecer ao projetista, em um imensionamento local, bons resultaos para uma análise prévia o comportamento a estrutura, em aição à moelagem computacional. 1. MOTIVAÇÃO Consierano a relevância o projeto e a atenção que é exigia no imensionamento as peças utilizaas nas uniaes petrolíferas, este trabalho visa fornecer ao engenheiro projetista mais ferramentas que o auxilie na análise comportamental estas estruturas, aicionano segurança ao projeto. Além isto, o estuo o comportamento estrutural e placas, seja ela enrijecia ou não, é e extrema importância evio à vasta aplicação esta em muitas estruturas civis e militares. Como por exemplo, em uma laje e ponte, ou laje e um eifício, na fuselagem e um avião, no casco e um navio, entre outros. 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO O presente trabalho é composto por 8 capítulos. Após o primeiro capítulo introutório, o capítulo apresenta uma breve explicação sobre alguns conceitos que são importantes para a análise, e algumas aplicações e placas utilizaas em estruturas offshore. No capítulo 3, após uma breve apresentação as principais teorias e placas, as equações obtias consierano a Teoria e Kirchhoff são apresentaas, e, posteriormente, aplicaas na análise e uma placa. Os resultaos obtios na análise são comparaos com os fornecios pelo Métoo os Elementos Finitos. No capítulo 4, as equações que escrevem o comportamento estrutural e uma placa enrijecia são apresentaas. Uma análise também é feita no final o capítulo visano aplicar as equações mencionaas, e os seus resultaos são comparaos com os obtios via MEF.

18 No capítulo 5, iniciam-se os estuos e flambagem e placas, e são apresentaas equações analíticas capazes e eterminar a carga crítica e flambagem e uma placa. Para aplicá-las, uma análise é realizaa, e os resultaos e carga crítica são comparaos com os obtios via análise computacional, e pela norma a DNV, a DNV-RP-01. No capítulo 6, é introuzia a Teoria e von Kármán, e as equações provenientes esta Teoria são apresentaas. Um estuo e pós-flambagem também é realizao neste capítulo, e a carga última e uma placa é eterminaa utilizano um métoo analítico e o MEF. No capítulo 7, são apresentaas as conclusões para este trabalho, e no capítulo 8, são mostraas as referências bibliográficas utilizaas para realização o mesmo. Por fim, os anexos A, B e C contêm as programações realizaas via MathCa v.14, para os capítulos 3, 4 e 5, respectivamente. 3

19 REVISÃO DE CONCEITOS E ESTRUTURAS OFFSHORE.1 FORMAS DE ANÁLISE ESTRUTURAL.1.1 Análise Linear Elástica A forma mais traicional e se eterminar as solicitações em estruturas é através a análise linear elástica ou análise e 1ª orem, que amite a proporcionaliae entre as ações atuantes e os seus efeitos (PFEIL & PFEIL, 009). Alguns sistemas estruturais em aço apresentam comportamento não linear ecorrente a não proporcionaliae as relações tensão x eformação e/ou a não lineariae geométrica a estrutura (PFEIL & PFEIL, 009). Na análise linear elástica, é vália a Lei e Hooke. O equilíbrio a estrutura é analisao na sua configuração geométrica inicial (ineformaa), amitino uma relação linear entre eformações e os eslocamentos (MACIEL, et al., 011). Além isto, os eslocamentos são consieraos pequenos, e forma que não influenciam na rigiez a estrutura..1. Análise Não Linear Geométrica A consieração o comportamento não linear geométrico e uma estrutura consiste na análise esta a partir e sua configuração eformaa, também chamao e efeitos e seguna orem. Este tipo e análise é mais elaborao, pois leva em conta a não lineariae a relação entre eformação e eslocamento. Além isto, o cálculo os eslocamentos a estrutura eve ser iterativo, consierano que as eflexões assumias, por serem granes, influenciam na rigiez a estrutura.. PLACAS EM ESTRUTURAS OFFSHORE..1 Casco e Navio A utilização e placas enrijecias na composição os cascos os navios é e extrema importância para a estabiliae e resistência o mesmo. A Figura.1 apresenta um moelo simplificao a estrutura interna o casco e navios utilizaos na inústria petrolífera. 4

20 Figura.1- Seção transversal o casco e um navio (BARROS, 015).. Estruturas Topsie Estruturas topsie são estruturas presentes no convés e navios tipo FPSO, e se referem a um conjunto e móulos que servem e apoio à operação e iversos sistemas presentes na uniae petrolífera. Um móulo e proução, por exemplo, que é parte componente e uma planta e processo a uniae, é um tipo e estrutura topsie. O seu piso é composto e placas com enrijeceores, e poe ser melhor observao na Figura., one um moelo representativo e um móulo e proução é mostrao. Figura.- Moelo representativo e um móulo e proução (SÁ, 015) 5

21 3 TEORIA DE PLACAS 3.1 APRESENTAÇÃO Placas são elementos estruturais biimensionais inicialmente planos, caracterizaos por sua superfície méia e ação e cargas transversais, seno sua espessura bem menor que as emais imensões. Para o estuo e placas sob ação e cargas e qualquer natureza, eve- se consierar o esquema estrutural, proprieaes geométricas e intensiae o carregamento. Assim poe-se assegurar que o comportamento estrutural real a placa possa ser bem representao, seja através e uma moelagem que utilize o Métoo os Elementos Finitos (MEF), ou através e soluções analíticas, que são provenientes a Teoria a Elasticiae. As placas, em geral, poem ser iviias em três grupos: placas esbeltas com pequenos eslocamentos, placas esbeltas com granes eslocamentos e placas espessas. As placas esbeltas são efinias pela relação entre a espessura e a sua menor imensão ser inferior a 1/0 (UGURAL, 1981). As placas com granes eslocamentos são aquelas em que os eslocamentos transversais se aproximam mais o valor a espessura a placa, mas aina são pequenos se comparao com as emais imensões (UGURAL, 1981). Quano a placa possui eslocamentos transversais bem menores que a sua espessura, é classificaa como e pequenos eslocamentos. 3. PRINCIPAIS TEORIAS Existem três principais teorias que são amplamente aplicaas no estuo o comportamento estrutural as placas: Teoria e Kirchhoff, Teoria e Minlin e Teoria e von Kármán. A Teoria e Kirchoff, também chamaa e Teoria Clássica, amite que, na composição os eslocamentos transversais, apenas as eformações por flexão são consieraas, e os efeitos a carga axial normal poem ser analisaos separaamente (KIRCHHOFF,1850 e ALVES, 015). Esta última consieração só é aceitável se a carga axial normal atuante na placa for muito inferior que a sua força crítica compressiva e resistência. Além isto, a Teoria e Kirchhoff é aplicável para placas esbeltas com pequenos eslocamentos, one é possível tratar o comportamento a placa como lineargeométrico. 6

22 Seno assim, a Teoria e Kirchhoff amite as seguintes hipóteses: 1. O plano méio a placa permanece ineformável após a flexão.. Seções planas normais ao plano méio a placa permanecem planas e normais após a flexão. Isto significa que as istorções no plano xz e yz (yz, xz) e a eformação normal z são esprezaas. A eflexão as placas é então ecorrente, exclusivamente, as eformações por flexão. (UGURAL, 1981). 3. A tensão normal na ireção z poe ser esprezaa (z=0). Para placas espessas, one os eslocamentos continuam a ser muito menores se comparao à espessura a placa, a Teoria e Minlin é a mais inicaa. A Teoria consiera que os eslocamentos transversais são compostos pelas eformações por flexão e por cisalhamento, e que os efeitos a carga axial normal poem ser analisaos separaamente (MINDLIN, 1951 e ALVES, 015). Suas principais hipóteses são: 1. O plano méio a placa permanece ineformável após a flexão.. Seções planas normais ao plano méio a placa permanecem planas após a flexão, mas não necessariamente normais ao plano méio. Isto significa que as istorções no plano xz e yz não poem ser mais negligenciaas. 3. A tensão normal na ireção z poe ser esprezaa. A Teoria e von Kármán poe ser aplicaa para placas esbeltas com granes eslocamentos transversais, one a composição os eslocamentos verticais epene as eformações por flexão e a carga axial normal atuante no interior a placa (VON KÁRMÁN, 1910 e ALVES, 015). Isto quer izer que o comportamento a placa passa a ser não linear geométrico. Suas principais hipóteses são: 1. Há eformações no plano méio a placa após a flexão.. Seções planas normais ao plano méio a placa permanecem planas e normais ao plano méio após a flexão. Isto significa que as istorções no plano xz e yz são esprezaas (yz, xz). 3. A tensão normal na ireção z poe ser esprezaa. Soluções a partir a Teoria e von Kármán poem ser aplicaas para análise e estabiliae elástica e placas utilizaas em projetos e estruturas metálicas, frequentemente usaas na inústria naval (OLIVEIRA, 009). 7

23 A Figura 3.1 mostra um resumo as teorias apresentaas neste tópico. A carga crítica e flambagem a placa é representaa por Ncr. Figura 3.1- Teorias esenvolvias Visano aproveitar os conceitos e soluções analíticas que possam ser aplicaos em muitos os problemas e engenharia, e especificamente, na inústria naval, são aboraas as Teorias e Kirchhoff, inicialmente, e a Teoria e von Kármán, posteriormente. 3.3 TEORIA DE KIRCHHOFF Tomano como base as hipóteses preconizaas pela Teoria e Kirchhoff, consiera-se uma placa com geometria qualquer, isotrópica, homogênea e e comportamento linear elástico, conforme mostra a Figura 3.. O plano xy coincie com o plano méio a placa, e o eixo z é perpenicular a esse plano. Os eslocamentos nas ireções x, y e z, são aos por u, v, e w, respectivamente, com o mesmo sentio positivo as coorenaas retangulares. Para as rotações, o sentio positivo acompanha a regra a mão ireita. Quano a placa é submetia a um carregamento transversal, esta assume a configuração eformaa apresentaa na Figura

24 Figura 3.- Sistema Referencial Figura 3.3- Configuração Deformaa 9

25 Partino o princípio que as rotações são pequenas, poe-se escrever que: Assim, a Figura 3.3: Analogamente, para a ireção y:! " # $ " % O campo e eslocamento fica expresso por: Relação Deformação-Deslocamento! " % # " % % Como consequência a hipótese a Teoria e Kirchhoff e a Teoria Linear a Elasticiae, as relações entre eformações e eslocamentos poem ser escritas através e equações geométricas: & '! ' '( '( & $ '# ' '( ' ( & ) ' ' * + $ '! ' '# ', '- ''./01 + ) ' ' '! ' * + $) ' ' '# ' * Estas equações expressam as eformações em qualquer ponto a placa. 10

26 3.3. Relação Deformação-Curvatura A curvatura e uma superfície é efinia pela taxa e variação a ecliviae a placa em relação a uma eterminaa ireção. Consierano a hipótese e que a inclinação a superfície méia fletia é muito pequena, poe-se amitir que a curvatura, na superfície méia a placa, em seções paralelas aos planos xz, yz e xy, respectivamente, é: ' ' 3' ' $ ' ' 3' ' 45 $ 67 $ 6./, $ ' ' 3' ' 45 $ 5 $ $ 6 one rx, ry, x e y são os raios e curvatura na superfície méia, e os ângulos a placa eformaa nos planos xz e yz, respectivamente, e rxy é o raio e curvatura no plano xy. Assim, as equações (3.1a,b,) e (3.) a relação entre eformação e curvatura poe ser escrita como: & 5 & $ 5 $./. 8 $,5 $ A Figura 3.4 mostra a curvatura e uma placa no plano xz. Figura 3.4-Curvatura a placa no plano xz 11

27 3.3.3 Relação Tensão-Deformação De acoro com a Lei e Hooke generalizaa, para materiais isotrópicos, homogêneos e com lineariae física, tensão e eformação se relacionam através e equações constitutivas. Lembrano que a tensão z poe ser esprezaa, tem-se: 9 : ;< =< $ > 9 $ : ;< $=< > 9 ) : ;=< < $ >./? com: 8 $ A 8 ) A 8 $) A A :,= one E, e G são, respectivamente, o móulo e elasticiae, o coeficiente e Poisson e o móulo e elasticiae transversal o material. Explicitano as tensões a equação (3.4), e, lembrano que as eformações z, xz e yz poem ser negligenciaas, tem-se: < : = -B9 =9 $ C < $ : = -B9 $ =9 $ A8 $ Ou aina, substituino as equações (3.1a,b,) nas equações (3.5), tem-se as tensões em termos os eslocamentos: < : = -E'( '( ='( ' ( F < $ : = -E'- ' - ='- ' $ : = E '- '' F 1

28 A Figura 3.5 mostra a concorância aotaa para tensões e acoro com a Teoria a Elasticiae. As tensões estão inicaas com os sentios positivos. Figura 3.5-Convenção e sinais para tensão num elemento infinitesimal e placa Solicitações As tensões, que são istribuías ao longo a espessura a placa, prouzem momentos fletores, torsores e forças e cisalhamento. Estes momentos e forças por uniae e comprimento também são chamaos e resultantes e tensões (UGURAL, 1981). Integrano as tensões ao longo a espessura a placa, obtém-se: H < H < 6 L 6 M L L $ L $ < $ P6./Q R S S TH ) V6./W $) IJ- KIJ- IJ- KIJ- IJ- < NH O KIJ- IJ- KIJ- É importante ressaltar que as istorções xz e yz são esprezaas, mas as forças cortantes Qx e Qy evem ser consieraas. Os sentios positivos as solicitações e a istribuição e tensões no elemento infinitesimal e placa estão representaos na Figura 3.6 e Figura

29 Substituino as equações (3.6) ou (3.) na (3.7), obtém-se as equações para os momentos por uniae e comprimento em termos a eflexão, ou a curvatura a placa: L XE '- ' - ='- ' -FXBY =Y $ C L $ XE '- ' - ='- ' -FXBY $=Y C./Z L $ L $ X=E '- '' FX=Y $ one Mxy = Myx, e D é a rigiez flexional a placa, aa por: X :[ \,=(./* As tensões x, y e xy poem ser escritas em termos os momentos substituino a equação (3.9) na (3.6), e em seguia, aplicano a equação (3.10): <,L [ \ < $,L $ [ $,L $ [ \ Figura 3.6-Distribuição e tensões e sentios positivos as solicitações e momento 14

30 Figura 3.7-Distribuição e tensões e sentios positivos as solicitações e cortante Consierano a hipótese a Teoria e Kirchhoff, não é possível escrever as expressões para xz e yz utilizano a Lei e Hooke. Seno assim, é necessário escrever as equações iferenciais e equilíbrio para o elemento infinitesimal e placa: '< ' '@ $ ' '@ ) ' * '< $ ' '@ $ ' '@ )$ ' *./, '< ) ' '@ ) ' '@ $) ' * Substituino as equações (3.6) nas uas primeiras equações a (3.1), obtém-se por integração as tensões xz e yz: ),= - E[-? (F]' ' E'( '( '( ' ( F^ $),= - E[-? - F] ' ' E'- ' - '- ' -F^./. É importante lembrar que a eformação e a tensão em z, z e z, poem ser eterminaas, mas conforme preconizao nas hipóteses a Teoria e Kirchhoff, são esprezaas. 15

31 3.3.5 Equações e Equilíbrio A Figura 3.8 mostra os momentos e forças em um elemento infinitesimal e placa submetia a um carregamento transversal istribuío em sua superfície. Uma componente e momento Mx age na face negativa e x (face esquera), e varia e valor com relação ao eixo x até a posição a face positiva e x (face ireita). Esta variação com a posição poe ser expressa pela série truncaa a expansão e Taylor (UGURAL, 1981): L 'L ' 6 Figura 3.8- Forças e momentos em um elemento infinitesimal e placa Verificano o equilíbrio e forças na ireção z, e o equilíbrio e momentos em relação ao eixo x e y, tem-se: Fz=0: 'S ' 'S $ _ *./?0 ' Mx=0: 'L $ ' 'L $ ' S $ *./?` My=0: 'L ' 'L $ ' S *./? 16

32 Utilizano as equações (3.14b) e (3.14c) na (3.14a): '(L '(,'(L $ '' '(L $ ' ( _./D Esta é a equação iferencial e equilíbrio para flexão e placas esbeltas. Escreveno a equação (3.15) em termos e eslocamentos tem-se a equação iferencial bi-harmônica que rege as eflexões para placas esbeltas. 'a ' a, 'a ' - ' ( 'a ' a _ X./G Agora, as equações para as forças cortantes poem ser escritas usano as equações (3.9) nas (3.14b) e (3.14c): S X ' ' E'- ' - '- ' -F S $ X ' ' E'- ' - '- ' -F./Q Força Cortante Efetiva A solução a equação iferencial a placa requer que se aplique conições e contorno essenciais (relativos a eslocamentos e/ou rotações) ou naturais (relativos a forças e/ou momentos). Seno assim, observa-se que nas placas existe a presença os momentos torsores istribuíos ao longo os seus boros. Para consierá-los como parte as conições estáticas, estes são substituíos por um sistema e forças equivalentes (UGURAL, 1981 e ALVES, 015), conforme mostra a Figura

33 Figura 3.9- Torsor substituío por forças equivalentes e as resultantes Aicionano as resultantes verticais provenientes as forças cortante, tem-se as forças cortante efetivas por uniae e comprimento: b S 'L $ ' X]'c 'c,= 'c '' (^ b $ S $ 'L $ ' X]'\ ' \,= '\ ' - ' ^./W Algumas observações evem ser mencionaas: 1. A substituição os momentos torsores istribuíos por binários, e estes por resultantes verticais, provoca alterações nas istribuições e tensões e eformações somente nas proximiaes o contorno (Princípio e Saint Venant) (UGURAL, 1981 e ALVES, 015).. As reações e apoio (que são iguais às forças cortante efetivas) não são iênticas às forças cortante, caso existam momentos torsores (ALVES, 015). 3. Nos boros livres, a força cortante efetiva se anula, porém, em geral, suas componentes (cortante e torsor), poem apresentar valores não nulos (ALVES, 015). 18

34 3.3.7 Reação e Canto Analisano os binários equivalentes aos momentos torsores em trechos infinitesimais a placa, observa-se que surge uma força concentraa nos cantos (ALVES, 015), conforme poe ser visto na Figura Figura Resultante no canto o elemento infinitesimal e placa com isto:,l $./Z Logo, uma placa retangular plana, com eslocamentos verticais impeios, apresenta uma reação concentraa nos cantos. Se os eslocamentos verticais estão liberaos, os cantos se erguem (ALVES, 015) Conições e Boro Os boros e uma placa poem estar engastaos, simplesmente apoiaos, livres, livres somente para eslizar verticalmente, ou com apoio elástico. Para caa tipo e boro evem ser eterminaas as conições essenciais e/ou naturais a que estão submetios. A Figura 3.11 exibe os boros, paralelos à ireção y, engastaos, simplesmente apoiaos e livres, com suas respectivas conições e contorno. 19

35 Figura Boros ilustraos com conições geométricas e/ou cinemáticas A Teoria e Kirchhoff poe ser apresentaa sob a forma e um Diagrama e Tonti, (físico italiano), conforme ilustrao na Figura 3.1, com toas as principais relações entre eformações, eslocamentos, tensões e forças/momentos. 0

36 One: Relações Conições e Contorno Essenciais Incógnitas Daos w=e ; x=7f ; y=7f $ Deslocamentos e Rotações Eq. Bi-Harmônica Carregamento w(x,y) g a _JX q x e y Equações Geométricas Equações e Equilíbrio & h(i h ( ; 5 h(i h ( hj k hj l _ * ; b S hm kl h h$ h$ & $ hn i ; 5 h$ n $ h(i h$( hm kl hm l S h h$ $ * ; b $ S $ hm kl h + $, hn i h /h$ ; 5 $ h h ohi h$ p hm k h hm kl h$ S * Deformações e Curvaturas Equações Constitutivas Tensões e Solicitações &, & $, + $ < q rks nb9 =9 $ C x, y, xy ; Mx, My, Mxy 5, 5 $, 5 $ < $ q rks nb9 $ =9 C xz, yz ; Vx, Vy & 5, & $ 5 $ A8 $ 8 $,5 $ Con. e Contorno Naturais Mx=Lt ; My=Lt $ ; Vx=bu ; Vy=bu $ Figura 3.1- Diagrama e Tonti Depois que toas as equações para eformação, tensão, forças e momentos foram esenvolvias em função o eslocamento, basta então que esta função seja eterminaa para que o comportamento estrutural e uma placa seja conhecio. Para tanto, são utilizaos os métoos e Navier e e Rayleigh-Ritz, apresentaos a seguir. 1

37 3.4 MÉTODO DE NAVIER O comportamento estrutural e uma placa retangular, submetia a uma carga transversal istribuía por área, poe ser conhecio se encontraa uma função w(x,y) que satisfaça à equação iferencial a placa, e que atena às conição e contorno. Navier, em 180, propôs que a equação e eslocamentos transversais w(x,y) fosse uma solução expania em série upla e Fourier com senos, como apresentao a seguir. Tal solução atene à equação bi-harmônica a placa e às conições e contorno, essenciais e naturais. É importante lembrar que a solução esenvolvia por Navier presta-se apenas para placas retangulares simplesmente apoiaas em toos os seus boros. v * '( '( * '( ' ( } w~r } v 0 wx yz { 0 x~r yz z `./,* * * 0./,0 * * `./,` one amn é uma constante que epene os números inteiros m e n, corresponentes ao número e meias-onas e seno consieraas nas ireções x e y, respectivamente. As imensões a e b são corresponentes aos boros nas ireções x e y, respectivamente. Analogamente, e forma geral, o carregamento transversal poe também ser ecomposto em forma e uma série upla e Fourier com senos: _ v } w~r } v _ wx yz { 0 x~r yz z `./,, one qmn é uma constante que epene os números inteiros m e n, e o tipo e carregamento aplicao à placa, seno expresso por: _ wx 0`H? H _ yz{ 0 yzz ` 66./,. Substituino as equações (3.0) e (3.) na (3.16), e evienciano amn, tem-se: 0 wx _ wx a X o { 0 p- o z`p- -./,? ƒ

38 Assim, a equação o eslocamento vertical a placa poe ser escrita como: } } a X v v _ wx o { 0 p- o z`p- - yz{ w~r x~r 0 ƒ yz z `./,D Com isto, basta que o coeficiente qmn seja eterminao e substituío na equação (3.5) para que os eslocamentos em qualquer ponto a placa sejam conhecios. A partir a equação e eslocamentos w(x,y), é possível conhecer o comportamento estrutural a placa em qualquer ponto aplicano as equações esenvolvias no tópico 3.3 este trabalho. 3.5 FORMULAÇÃO POR ENERGIA Como uma alternativa ao métoo e equilíbrio mostrao na seção 3.3, a análise e eformações e tensões para um sistema estrutural elástico-linear poe ser formulao por energia. Com esta formulação poe-se aina tratar placas com geometrias irregulares, cargas não uniformes, seções transversais variáveis e materiais anisotrópicos (UGURAL, 1981). Inicialmente, a formulação por energia é aplicaa ao problema e placas esbeltas com pequenas eformações transversais Energia e Deformação A energia e eformação é a energia acumulaa num corpo, em regime elásticolinear, evio ao trabalho as forças externas. Esta energia é conservaa e utilizaa, quano a retiraa o carregamento, para fazer o corpo voltar ao seu estao inicial. A energia e eformação para um estao geral e tensões é aa por:, B< & < $ & $ < ) & $8 $@ )8 )@ $) 8 $) C6/6 /6./,G ˆ Consierano as hipóteses a Teoria e Kirchhoff, a tensão z e as istorções xz e yz poem ser esprezaas. Substituino as equações (3.5) na (3.6), obtém-se a energia e eformação em termos as tensões: -, E< < - $,=< < $ : $( F6/6 /6./,Q A 3

39 Em termos e eslocamentos transversais, e supono a espessura a placa constante, usano a equação (3.6) e a rigiez à flexão a placa na equação (3.7), tem-se:, XŠE'- ' - '- ' -F -,= '- ' - ' - ' - E '- - '' F Œ 6/6./,W one A é a área a superfície plana a placa Energia Potencial e Cargas Aotano-se a superfície méia ineformaa como referencial, a energia potencial para uma carga istribuía pela superfície a placa é: Ž _6/ 6./,Z O sinal negativo é explicao pelo fato o referencial ser a posição inicial ineformaa a placa, e os eslocamentos e rotações nas ireções as cargas resultam em pera e energia potencial (ALVES, 015). A Figura 3.13 mostra a posição eformaa e uma placa submetia à ação e uma carga istribuía em sua superfície. Figura 3.13-Placa eformaa 4

40 3.5.3 Energia Potencial Total A energia potencial total é a soma e toas as energias envolvias no processo e eformação elástica o corpo, representaa pela soma as energias e eformação e potencial as cargas: Ž./.* ou: O X, ŠE'- ' - '- ' -F -,= '- ' - ' - ' - E '- - '' F Œ _P6/6./ Métoo e Rayleigh-Ritz O Métoo e Rayleigh Ritz é baseao no princípio a Energia Potencial Estacionária, que iz que entre toas as configurações cinematicamente amissíveis, aquela que apresentar valor estacionário a Energia Potencial Total correspone a um ponto e equilíbrio (ALVES, 015). Buscano respostas aproximaas para os eslocamentos a placa, uma função aproximaa (x,y) é escolhia e tal forma que atena às conições e boro essenciais. Esta função é então composta por uma família e funções que atenem às conições e contorno essenciais nas ireções x e y a placa. A função (x,y) é assim substituía na equação a Energia Potencial Total, permitino sua extremização. Ao extremizar a Energia Potencial Total, ou seja, buscar a conição e erivaa primeira nula, as constantes presentes na função aproximaa e eslocamentos transversais (x,y) poem ser eterminaas. Com isto, a partir a função aproximaa, o comportamento estrutural a placa poe ser conhecio com a aplicação a função nas equações esenvolvias na seção 3.3 este trabalho. Uma vantagem a aplicação o Métoo e Rayleigh-Ritz em comparação com o Métoo e Navier, é que aquele poe ser aplicao para qualquer conição e boro a placa, bastano que a função aproximaa atena às conições essenciais e boro a estrutura. O Métoo e Navier só poe ser aplicao para placas retangulares simplesmente apoiaas em toos os boros. No tópico seguinte, é esenvolvio um exemplo para aplicação as equações apresentaas na seção 3.3 este trabalho, em conjunto com o uso as formulações propostas por Navier e pelo Métoo e Rayleigh-Ritz. Visano comparar os resultaos, é utilizao o programa SAP000 v.16, que faz uso o Métoo os Elementos Finitos (MEF). 5

41 3.6 ANÁLISE DE PAINEL Com base na Teoria e Kirchhoff, é analisao um painel com boros simplesmente apoiaos submetio a um carregamento uniformemente istribuíos em sua superfície (Figura 3.14), utilizano os Métoos e Navier e e Rayleigh-Ritz. Figura 3.14 Moelo simplificao a placa em análise Os resultaos provenientes as equações analíticas (Métoos e Navier e e Rayleigh-Ritz) são posteriormente comparaos com os resultaos obtios através e uma análise computacional (via programa SAP000 v.16) Soluções Analíticas O métoo e Navier é aplicao utilizano como aos e entraa as proprieaes físicas e geométricas apresentaas na Figura Além isto, a série upla foi esenvolvia consierano 0 termos para caa ireção a placa. Na aplicação o métoo e Rayleigh-Ritz, as funções aproximaas utilizaas para caa ireção são as seguintes: 6

42 Para a ireção x: r 3, , 0 4 a./., one a=1,0m Figura Gráfico a função w 1(x) Figura Gráfico a função w (x) Para a ireção y: r 3, ` , ` 4 a./.. one b=,0m Figura Gráfico a função w 1(y) Figura Gráfico a função w (y) 7

43 Depois e escolhias as funções aproximaas para caa ireção a placa, a função torna-se a seguinte: r / r / r - / r / - \ / - / r a / - / -./.? one C1, C, C3 e C4 são as constantes a eterminar. Too o trabalho algébrico, esenvolvio com o auxílio o programa MathCAD v.14, está apresentao no Anexo A Moelagem Computacional Inicialmente, a malha é moelaa com o auxílio o programa AutoCAD versão 014 (vie Figura 3.19), consierano elementos finitos quaraos e imensões 0,05m por 0,05m. Os elementos são representaos por 3DFACES (o comano cria uma superfície no espaço 3D). Em seguia, o esenho é exportao para o programa SAP000 v.16, e as suas proprieaes físicas e geométricas são efinias, inclusive a consieração e placa fina na efinição a geometria os elementos e placa (Figura 3.0). Depois que o carregamento é aplicao ao painel e as conições e boro são consieraas na estrutura (Figura 3.1), a análise poe ser realizaa. Os resultaos comparativos são apresentaos aiante por meio e gráficos. Figura Malha a placa no programa AutoCAD 8

44 Figura 3.0- Definição geométrica a placa Figura 3.1- Moelo estrutural a placa no programa SAP000 v.16 9

45 3.6.3 Resultaos Comparativos As Figuras a seguir exibem os resultaos para: Deslocamento transversal ao longo a ireção y, quano x=0,5m (Figura 3.); Momentos fletores Mx e My ao longo a ireção y, quano x=0,5m (Figura 3.3 e Figura 3.4); Momento torsor Mxy no boro apoiao, ao longo a ireção x, quano y=0m (Figura 3.5); Tensão normal em x x ao longo a ireção y, quano x=0,5m e z=0,015m (Figura 3.6); Tensão cisalhante xy no boro apoiao, ao longo a ireção x, quano y=0m e z=0,015m (Figura 3.7); Reação e canto (Figura 3.8). $%&%!'(#)!"!# *+, *-./0% 1&!% *-./0%!'3!4 Figura 3.-Deslocamentos transversais no meio a placa (ireção y) 30

46 59%5'(#)!"!# *+, *-./( 1&!% *-./0%!'3! Figura 3.3- Momento Mx no meio a placa 55'(#)!"!# *+, *-./( 1&!% *-./0%!'3! Figura 3.4- Momento My no meio a placa 31

47 5$%%5'(:)!"!# *+, *-./0% 1&!% *-./0%!'3!4 Figura 3.5- Momento Mxy no boro a placa $/% 618;8 7 $/1% '(#)4) *+, *-./0% 1&!% *-./0%!'3!4 7 7!"!# Figura 3.6- Tensão normal x no meio a placa 3

48 $/<!3 '(:)4) !"!: $/!3 618;8 *+, *-./0% 1&!% *-./0%!'3!4 Figura 3.7- Tensão cisalhante xy no boro a placa./(<)) 9%.61 *+, *-./0% 1&!% *-./0%!'3!4 Figura 3.8- Reação e canto na placa 33

49 3.6.4 Conclusão Parcial Os resultaos a análise utilizano a equação analítica proposta por Navier, são praticamente semelhantes aos encontraos pelo programa SAP000 v.16. Isto vale para toas as análises realizaas. A solução por Rayleigh-Ritz também obteve resultaos muito satisfatórios para toas as análises, exceto para o My, one nos extremos a placa um momento e 0, kn.m/m é encontrao. A iferença os resultaos para My, comparano a solução por Rayleigh-Ritz frente às emais, eve-se ao fato e que as equações aproximaas consieraas (equações 3.3 e 3.33) não atenem à conição cinemática e contorno (vie Figura 3.11). Entretanto, a utilização estas funções na solução e Rayleigh-Ritz permite istribuir melhor os erros no resultao, pois, caso o momento My fosse nulo nas extremiaes, é possível que as iferenças no meio o vão aumentassem. Para que se obtenha resultaos mais aproximaos, recomena-se que a equação (3.34) seja enriquecia com termos e mais alto grau. Outras funções que poem ser utilizaas, e que atenem às conições geométricas e naturais e contorno, são as trigonométricas. Neste trabalho, estas funções não serão esenvolvias, mas suas aplicações conceem bons resultaos. Por fim, poe-se izer que as soluções propostas por Navier e por Rayleigh-Ritz, para placas finas, se constituem em mais uas aequaas ferramentas, além a solução via MEF, que poem auxiliar o engenheiro na obtenção o comportamento estrutural e placas com este perfil. 34

50 4 PLACAS ORTOTRÓPICAS Até o momento, as placas consieraas neste estuo eram compostas por material homogêneo, em sua estrutura microscópica, e isotrópico, pois suas proprieaes físicas e mecânicas eram iguais em toas as ireções a placa. Entretanto, placas e material anisotrópico também possuem muitas aplicações em estruturas utilizaas na engenharia. Um material anisotrópico apresenta proprieaes iferentes em suas iversas ireções. Um caso especial e anisotropia, é quano o material apresenta iferentes proprieaes ao longo e uas ireções mutuamente ortogonais. Neste caso, o material é ito ortotrópico. Como exemplo e materiais ortotrópicos, tem-se a maeira, chapas e metais corrugaos, materiais compósitos, entre outros. As equações esenvolvias neste capítulo são para flexão e placas esbeltas ortotrópicas com pequenas eflexões, consierano a Teoria e Kirchhoff. 4.1 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS Relação Tensão-Deformação Para a resolução os problemas e flexão e placas esbeltas ortotrópicas, a Lei e Hooke generalizaa eve ser reformulaa, assumino a seguinte forma: & < : & $ < $ : $ = = $ < $ : $ 8 $ A < :?/ one Ex,Ey,x, y e G são os móulos e elasticiae nas ireções x e y, os coeficientes e Poisson nas ireções x e y, e o móulo e elasticiae transversal, respectivamente. Toos os móulos são inepenentes entre si. O móulo e elasticiae transversal é o mesmo para materiais isotrópicos e ortotrópicos. Escreveno as tensões em termos as eformações: < : = = $ B9 = $ 9 $ C 35

51 < $ : $ = = $ B9 $ = 9 $ 8 $ A hipótese a Teoria e Kirchhoff continua vália para flexão e placas ortotrópicas, então, as equações (3.1a-f) prosseguem aplicáveis, e as tensões poem ser escritas em função os eslocamentos transversais a placa: : < E FE '- = = $ ' - = ' - $ ' -F < $ E FE '- = = $ ' - = : $ ' - ' $,A '- '' 4.1. Solicitações As equações para os momentos Mx, My e Mxy poem ser obtias substituino as equações (4.3) nas equações (3.7). Depois a integração ao longo a espessura a placa, tem-se: L EX ' - ' - X ' - $ ' -F ' - L $ EX $ ' - X ' - $ ' -F?/? L $ L $,A $E '- '' F one Dx, Dy e Dxy representam as rigezas à flexão, e Gxy a rigiez torsional e uma placa ortotrópica, e poem ser expressas por: X : [ \, X $ : $[ \, X $ : $[ \, A $ A[\,?/D em que Exy é: : $ : = $ = = $ : $= = = $?/G 36

52 As equações para as forças cortantes poem ser obtias substituino as equações (4.4) nas equações e equilíbrio (3.14b) e (3.14c): S ' ' EX ' - ' - '- ' -F S $ ' ' EX $ ' - ' - '- ' -F?/Q one H é: X $,A $?/W A equação iferencial que rege as eflexões para uma placa ortotrópica poe ser conhecia usano a equação (4.4) na (3.15), logo: X 'a ' a, 'a ' - ' ( X ' a $ ' a _?/Z Determinação as Rigezas Aboragem e UGURAL As rigezas para alguns casos e estruturas ortotrópicas comumente encontraas na engenharia são exibias na Figura 4.1 (UGURAL, 1981). 37

53 Figura 4.1-Estruturas ortotrópicas e suas rigezas (UGURAL, 1981) 38

54 Para a análise que é realizaa na seção 4.4 este trabalho, o caso C a Figura 4.1, one a placa é reforçaa por um conjunto e vigas equiistantes, é o mais aconselhao para aplicação. Então, as rigezas a consierar são: :[ \ X,3 o [ [ p \ 4 r X $ :,A $ X $ *?/* one C é a rigiez torsional a viga enrijeceora, I é o momento e inércia sobre o eixo neutro e uma seção T e largura s (como mostrao na Figura 4.1), G ' xy é a rigiez à torção a placa, sem a viga, e E é o móulo e elasticiae o material utilizao. A incógnita H correspone à rigiez torsional compatibilizaa, e poe ser eterminaa por meio e um caso geral esenvolvio para uma laje nervuraa nas uas ireções (SZILARD, 004). Com a consieração e reforço a placa em apenas uma ireção, e esprezano fatores e reução, a equação para rigiez torsional compatibilizaa a estrutura se reuz a: :[ \,= A, E [ r[ \ F?/ one é um fator numérico epenente a relação (t1-t)/h, como mostra a Tabela 4.1, e G poe ser escrito como: A :,=?/, Tabela 4.1- Fator numérico (t1-t)/h 1,00 1,0 1,50,00,50 3,00 4,00 6,00 8,00 10,00 0,140 0,166 0,196 0,9 0,49 0,63 0,81 0,99 0,307 0,313 0,333 39

55 Aboragem e SZILARD O livro e SZILARD (004) também apresenta valores e rigezas para alguns tipos e estruturas ortotrópicas. A placa que é analisaa na seção 4.4 este trabalho segue a representação o moelo parão consierao por SZILARD (004), que é apresentao na Figura 4.. Figura 4.- Moelo consierao (SZILARD, 004) As rigezas a consierar são: : c X,= - $ : - = - : $ r : c X $,= - $ : $ - = $ - : $ - \ : c,= - $ A $ G E 6 š[ š 6 \ š[ š F?/. r - one xy = = = $ =, Iox e Ioy são os momentos e inércia os enrijeceores em relação ao seus eixos neutro, nas ireções x e y, respectivamente, ex e ey representam a istância os eixos neutro os enrijeceores até o plano méio a placa, c1 e c são as istâncias entre os planos verticais e simetria os enrijeceores, e Gxy é igual ao móulo e elasticiae transversal o material. É importante lembrar que as rigezas eterminaas nas seções e são aproximaas, e que uma análise mais aprofunaa e suas aplicações eve ser realizaa para melhor conhecer o comportamento estrutural e placas ortotrópicas. 40