PME-2350 MECÂNICA DOS SÓLIDOS II AULA #6: SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA GERAL DA TEORIA DA ELASTICIDADE CLÁSSICA (TEC) 1

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1 PME-235 MECÂNICA DOS SÓLIDOS II AULA #6: SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA GERAL DA TEORIA DA ELASTICIDADE CLÁSSICA (TEC) Introdução O objetivo destas notas é apresentar, de forma um pouco mais detalhada, quais são as incógnitas de interesse na solução de problemas da teoria da elasticidade clássica (abreviadamente, TEC) também denominada teoria da elasticidade linear além de apresentar as equações de que dispomos para a determinação destas incógnitas. Ressaltamos que, a título de exemplo, as incógnitas e equações aqui apresentadas serão referentes ao sistema de coordenadas cartesianas, sendo que outros sistemas de coordenadas (a exemplo das coordenadas cilíndricas, esféricas, ou outras coordenadas curvilíneas) podem naturalmente ser empregados, conforme a conveniência. Antes de dar prosseguimento, é importante lembrar que as hipóteses geralmente admitidas na solução de problemas da TEC são: Continuidade do meio material; Homogeneidade do meio material; Isotropia do meio material; Elasticidade linear; Linearidade geométrica Incógnitas do problema Em geral, as incógnitas de interesse na solução de um problema estrutural são: (i) o campo de deslocamentos dos pontos da estrutura, (ii) o campo de deformações dos pontos da estrutura e (iii) o campo de tensões dos pontos da estrutura. Com relação ao campo de deslocamentos temos, no caso mais geral, três funções do espaço e do tempo a serem determinadas, a saber: = (,,, ): componente de deslocamento segundo eixo Ox; = (,,, ): componente de deslocamento segundo eixo Oy; = (,,, ): componente de deslocamento segundo eixo Oz. 1 Notas de Aula preparadas pelo Prof. Dr. Roberto Ramos Jr., rramosjr@usp.br Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 1

2 Naturalmente, em alguns casos particulares, simplificações decorrentes de hipóteses cinemáticas podem reduzir consideravelmente as incógnitas associadas ao campo de deslocamentos, como por exemplo: Na teoria clássica de placas, os deslocamentos e ficam ligados às derivadas de 1ª ordem dos deslocamentos transversais () do plano de meia espessura; Em problemas de estado plano de deformação, o deslocamento, medido na direção longitudinal da estrutura, é considerado nulo em todos os pontos; Em problemas de estruturas axissimétricas, sob carregamento axissimétrico, o deslocamento na direção circunferencial é nulo em todos os pontos e em todos os instantes (,,, = ); Na teoria de torção uniforme, que será estudada mais adiante, todas as componentes de deslocamentos (, e ) são consideradas proporcionais ao ângulo de giro por unidade de comprimento (β) da barra. Com relação ao campo de deformações temos, no caso mais geral, seis funções do espaço e do tempo a serem determinadas, a saber: = (,,, ): alongamento das fibras segundo o eixo Ox; = (,,, ): alongamento das fibras segundo o eixo Oy; = (,,, ): alongamento das fibras segundo o eixo Oz; = (,,, ): distorção associada a um par de fibras alinhadas segundo os eixos Ox e Oy; = (,,, ): distorção associada a um par de fibras alinhadas segundo os eixos Ox e Oz; = (,,, ): distorção associada a um par de fibras alinhadas segundo os eixos Oy e Oz. Deve-se observar que conhecer as seis componentes de deformação descritas acima é equivalente a dizer que o tensor das deformações é conhecido em cada ponto do sólido e em cada instante de tempo e, portanto, que é possível determinar o alongamento de qualquer fibra passando por qualquer ponto do sólido, em qualquer instante de tempo, bem como determinar a distorção entre quaisquer duas fibras (inicialmente ortogonais entre si) passando por qualquer ponto do sólido, em qualquer instante de tempo. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 2

3 Também, aqui, em decorrência de eventuais simplificações no campo de deslocamentos, poderá haver uma redução no número de incógnitas. Como exemplos, citamos: Em problemas de estado plano de deformação, veremos que tanto o alongamento quanto as distorções e são nulos nos pontos do sólido, em qualquer instante de tempo considerado; Em problemas de estruturas axissimétricas, sob carregamento axissimétrico, as distorções e resultam nulas em todos os pontos e em todos os instantes. Finalmente, com relação ao campo de tensões temos, no caso mais geral, seis funções do espaço e do tempo a serem determinadas, a saber: = (,,, ): tensão normal atuando no plano yz; = (,,, ): tensão normal atuando no plano xz; = (,,, ): tensão normal atuando no plano xy; = (,,, ): tensão cisalhante entre os planos xz e yz; = (,,, ): tensão cisalhante entre os planos xy e zy; = (,,, ): tensão cisalhante entre os planos yx e zx. Deve-se observar que o conhecimento das seis componentes de tensão descritas acima significa conhecer o tensor das tensões em cada ponto do sólido, em cada instante de tempo e, portanto, que é possível determinar as componentes (tensão normal e cisalhante) do vetor tensão associado a qualquer ponto do sólido, em qualquer instante de tempo, segundo qualquer plano inclinado de normal unitária Equações disponíveis para a solução Do exposto no item anterior, verificamos a existência de 15 campos escalares que precisam ser obtidos. A solução do problema deve envolver, necessariamente, os seguintes tipos de equações: Equações diferenciais de movimento (ou de equilíbrio); Relações deformações-deslocamentos; Equações constitutivas. O primeiro conjunto de equações, formado pelas equações diferenciais de movimento (ou de equilíbrio), conforme visto anteriormente, fica expresso no sistema de coordenadas cartesianas pelas três equações seguintes (válidas para qualquer meio contínuo): Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 3

4 + + + = (1) = (2) = (3) O segundo conjunto de equações é formado pelas relações deformações-deslocamentos, as quais, no sistema de coordenadas cartesianas, assumem a forma das seguintes seis equações diferenciais lineares: = = = = + = + = + Eq.(4) Eq.(5) Eq.(6) Eq.(7) Eq.(8) Eq.(9) Deve-se observar que as relações deformações-deslocamentos dadas acima são válidas para qualquer meio contínuo, porém foram estabelecidas para o caso de linearidade geométrica, não podendo ser aplicadas em casos de grandes deformações, ou de grandes deslocamentos ou ainda de grandes rotações do sólido. Finalmente, o terceiro conjunto de equações, formado pelas equações constitutivas, é o que traz as informações acerca do comportamento do material, ou seja, das relações entre o campo de tensões e o campo de deformações. Considerando válidas as hipóteses de homogeneidade, isotropia e elasticidade linear do material, as equações constitutivas assumem a forma mais simples possível (relações lineares entre o campo de tensões e de deformações) que, no sistema de coordenadas cartesianas, ficam expressas pelas seis equações seguintes: Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 4

5 = 1 + = 1 + = 1 + = = = Eq.(1) Eq.(11) Eq.(12) Eq.(13) Eq.(14) Eq.(15) Alternativamente, pode-se utilizar as relações (equivalentes) em que as tensões são expressas em função das deformações, que ficam: = = = = = = Eq.(1a) Eq.(11a) Eq.(12a) Eq.(13a) Eq.(14a) Eq.(15a) Com estes três conjuntos de equações, obtemos um total de 15 equações (algébricas ou diferenciais) que permitem determinar os 15 campos de incógnitas indicados no item anterior. Contudo, as soluções analíticas fechadas são possíveis apenas para alguns casos em que a geometria do sólido e a forma do carregamento são relativamente simples. Para os casos em que a solução analítica não existe ou cuja aplicação se torna muito complicada, deve-se lançar mão de métodos numéricos (como o método dos elementos finitos, ou das diferenças finitas, ou dos elementos de contorno). Deve ficar claro, contudo, que todos estes métodos numéricos de solução trazem, em seu bojo, as mesmas condições de garantia do equilíbrio, de uso das relações deformações-deslocamentos pertinentes e das equações constitutivas do material. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 5

6 Por fim, é importante ressaltar que outros campos poderiam também ter sido acrescentados ao problema, como o caso do campo de temperaturas dos pontos do sólido, cuja determinação é imprescindível na solução de problemas termoelásticos. Neste caso, além dos 15 campos já indicados anteriormente, devemos acrescentar a determinação de (,,, ), que fornece a temperatura em cada ponto do sólido em cada instante de tempo. Se considerarmos que a transferência de calor no sólido seja feita primordialmente por condução, a equação adicional necessária para a solução do conjunto de 16 equações é dada pela equação geral da condução de calor, que fica expressa em coordenadas cartesianas na forma (ver, por exemplo, Simões Moreira [1] ou Incropera e DeWitt [2]): = Eq.(16) Se as hipóteses de homogeneidade e de isotropia do material forem consideradas, a condutividade térmica é constante e Eq.(16) fica simplificada na forma: + = Onde = / é a difusividade térmica do material. Eq.(16a) 6.4. Condições de contorno Além das equações vistas no item 1.3, a solução do problema requer a aplicação das condições de contorno 2. As condições de contorno, como o próprio nome diz, referem-se às condições impostas nos contornos (fronteiras) do sólido e podem ser divididas em três grupos básicos, que seguem a mesma linha de raciocínio de divisão das fronteiras, a saber: 1. Em S u : denomina-se S u a parte da fronteira em que pelo menos uma componente de deslocamento seja prescrita por alguma função conhecida; 2. Em S t : denomina-se S t a parte da fronteira em que pelo menos uma componente de força distribuída (por unidade de área) seja prescrita por alguma função conhecida; 3. Em S c : denomina-se S c a parte da fronteira em que pelo menos uma componente de deslocamento (ou a derivada desta componente) esteja relacionada com pelo menos uma 2 E, em alguns casos, também das condições iniciais, ou seja, deslocamentos e velocidades iniciais prescritos em todos os pontos do sólido no instante inicial: informação essencial para a solução de problemas dinâmicos. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 6

7 componente de força (por unidade de área) através de uma função conhecida (exemplo: condições de contato entre dois corpos deformáveis). De uma forma mais geral, as condições de contorno estabelecem que, em cada ponto da fronteira do sólido, e em cada instante de tempo, três relações envolvendo o campo de deslocamentos (ou suas derivadas) e/ou o campo de tensões sejam conhecidas. O exemplo a seguir ilustra esta afirmação. Exemplo #1: Chapa retangular sob carregamento linearmente distribuído numa face. Consideremos a chapa retangular (de dimensões t h L) indicada na Fig. 1. Consideremos que a chapa esteja engastada na face AB e submetida ao carregamento (linearmente distribuído ao longo do comprimento, mas uniformemente distribuído ao longo da espessura), expresso em N/m 2, aplicado sobre a face BC, e cuja intensidade é dada por: 1 y q(x) B A L x C D h Fig. 1 Chapa retangular sob carregamento distribuído Os contornos do sólido (chapa), neste caso, são as superfícies formadas pelas faces AB, BC, CD e DA. Como veremos, três relações devem ser conhecidas em cada face e, consequentemente, em cada ponto do contorno. Assim, temos: Condições de contorno sobre a face AB: Considerando condições de engaste perfeito, o campo de deslocamentos dos pontos do sólido contidos na face AB deve ser identicamente nulo, de tal forma que: Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 7

8 :,, =, h 2, + h 2, 2, + 2,, =, h 2, + h 2, 2, + 2,, =, h 2, + h 2, 2, + 2 Deve-se observar, porém, que, nesta face, as forças distribuídas são incógnitas do problema. Condições de contorno sobre a face BC: Sobre a face BC, as três componentes de deslocamento são incógnitas do problema, mas temos informações sobre a distribuição de forças na superfície. De fato: : = = =. 1 = Por outro lado, olhando diretamente para a distribuição de forças na chapa, teremos em BC: Logo: =. = () :, h 2, =, h 2, = 1, h 2, = Condições de contorno sobre a face CD: Sobre a face CD, as três componentes de deslocamento permanecem incógnitas do problema, mas, como no caso anterior, também temos informações sobre a distribuição de forças na superfície. De fato: 1 : = = =. = Por outro lado, olhando diretamente para a distribuição de forças na chapa, teremos: = = Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 8

9 Logo:,, = :,, =,, = Condições de contorno sobre a face DA: Finalmente, sobre a face DA, as três componentes de deslocamento continuam sendo incógnitas do problema, mas a distribuição de forças na superfície é conhecida. De fato: : = = =. 1 = Por outro lado, olhando diretamente para a distribuição de forças na chapa, teremos em DA: Logo: = = :, h 2, =, h 2, =, h 2, = 6.5. Problemas da TEC a serem estudados no curso Com base nas equações vistas na formulação geral de um problema da TEC, podemos encontrar a solução analítica fechada de vários problemas de interesse da Engenharia Mecânica, entre os quais veremos: A solução do problema de vasos de pressão cilíndricos de parede espessa sob pressão interna e externa, distribuídas uniformemente sobre as superfícies; A solução do problema de vasos de pressão esféricos de parede espessa sob pressão interna e externa, distribuídas uniformemente sobre as superfícies; A determinação das tensões de contato decorrentes da montagem entre roda e eixo, ou entre dois anéis, através do ajuste por retração; Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 9

10 O problema da concentração de tensões causada pela presença de orifícios circulares em chapas tracionadas; O problema da torção uniforme de barras de seção transversal não-circular; O problema de placas delgadas sob ação de carregamentos transversais ao seu plano. As figuras 2 a 6 ilustram alguns dos casos de interesse citados acima. Fig. 2 Duto sanduíche (pipe-in-pipe) para o transporte de óleo e gás [3]. Fig. 3 Tampo hemisférico de parede espessa [4]. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 1

11 Fig. 4 Cabos umbilicais utilizados na indústria offshore [5]. Fig. 5 Vasos de pressão com tampos hemisféricos: (a) camada única, (b) duas camadas [6] Referências [1] Simões Moreira, J.R., 212, Notas de Aula de PME 2361 Processos de Transferência de Calor, disponível em [2] Incropera, F., DeWitt, D., 22, Transferência de Calor e Massa. Tradução da 5ª edição americana. LTC editora. [3] [4] [5] [6] Zhang, Q., Wang, Z.W., Tang, C.Y., Hu, D.P., Liu, P.Q., Xia, L.Z., 212, Analytical solution of the thermo-mechanical stresses in a multilayered composite pressure vessel considering the influence of the closed ends. Int. J. of Pressure Vessels and Piping, 98, pp Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 11