ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

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1 ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME-350 MECÂNICA DOS SÓLIDOS II Prof. R. Ramos Jr. 1 a Prova 13/09/01 Duração: 100 minutos 1 a Questão (5,0 pontos): A viga indicada na figura possui comprimento tota 3 e rigidez fexiona EI (constante). A viga encontra-se engastada em sua extremidade esquerda e presa a moas ineares de constantes k e k t em sua extremidade direita. Considerando que um carregamento inearmente distribuído, e de intensidade máxima q o (em N/m), atua apenas sobre a parte intermediária da viga (como indicado na figura), pede-se: a) o diagrama de corpo ivre da viga (arbitre ivremente os sentidos das reações de apoio); b) o carregamento distribuído q(x), para 0 3, com base nos esforços indicados no diagrama de corpo ivre da viga, utiizando as funções de singuaridade (dipoo unitário, ( ), impuso unitário ( ), e degrau unitário ( )); c) as distribuições de forças cortantes, V(x), e de momentos fetores, M(x), ao ongo da viga, ou seja para 0 3, utiizando as mesmas funções de singuaridade apontadas em (b); d) no que tange à determinação da inha eástica, indique caramente quantas e quais são as incógnitas do probema, bem como as equações a serem utiizadas para a determinação das incógnitas apontadas (obs: as incógnitas devem estar expicitamente indicadas nas equações fornecidas, mas não é necessário resover o sistema de equações!!). y q o x k t k Formuário: EI 4 d v x ( ) = q( x) 4 dx EI d v x ( ) = M ( x) dx dm ( x) V ( x) = dx Convenção de sinais para q(x), V(x) e M(x) (sentidos positivos): dv ( x) q( x) = dx 1

2 ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME-350 MECÂNICA DOS SÓLIDOS II Prof. R. Ramos Jr. 1 a Prova 13/09/01 Duração: 100 minutos a Questão (5,0 pontos): Considere, como iustra a figura, um vaso de pressão ciíndrico de parede espessa, de raio interno a e raio externo b. O vaso de pressão é fechado por duas caotas hemisféricas de mesma espessura ( = ). Admita que o materia exiba comportamento inear-eástico, caracterizado por seu móduo de easticidade, E, e por seu coeficiente de Poisson, ν. A pressão externa é nua e a presssão interna ao vaso é p. Pede-se: b a L a) Obter a expressão para o desocamento radia dos pontos externos do corpo ciíndrico ( ()) em função dos parâmetros fornecidos (considere que ta desocamento seja cacuado em regiões do corpo ciíndrico afastadas das extremidades); b) Considerando a soução para vaso esférico de parede espessa, submetido a pressões uniformemente distribuídas sobre as superfícies interna e externa, determine agora a expressão para o desocamento radia dos pontos externos das caotas hemisféricas ( ()) em função dos parâmetros fornecidos; c) Compare as expressões obtidas nos itens anteriores e faça comentários a respeito dos esforços internos que devem surgir nas regiões próximas às junções entre o corpo ciíndrico e as caotas do vaso (ex: De que tipo são? Direções e sentidos em que atuam?). Para simpificar a comparação, considere apenas o caso em que a espessura do vaso é pequena quando comparada aos raios (de modo que: ). Formuário: Vasos Ciíndricos: =. + = = + 1. = = = = Vasos Esféricos: =. + = = + 1. = = = =

3 PME-350 Mecânica dos Sóidos II 1 a Prova 13/09/01 Gabarito Soução: 1 a Questão GABARITO a) A figura abaixo iustra o diagrama de corpo ivre da viga ABCD: (0,5 ponto) y q o M A M D A B C D x V A V D b) Utiizando as funções de singuaridade teremos a seguinte expressão para o carregamento apicado à viga no intervao 0 3 : = 3 3 Ou, utiizando as funções de Macauay: = É importante observar que, para exprimir usando as funções de Macauay, a seguinte superposição de efeitos (para a carga distribuída) deve ser considerada para recompor o carregamento indicado no probema (as cores indicadas em cada componente correspondem às mesmas cores indicadas na equação de ): (1,0 ponto) y q o q o x q o c) A distribuição de forças cortantes é obtida da reação: Resutando: = = (0,5 ponto) + 3 3

4 PME-350 Mecânica dos Sóidos II 1 a Prova 13/09/01 Gabarito E a distribuição de momentos fetores é obtida da reação: Resutando: = = (0,5 ponto) Aternativamente, utiizando as funções de Macauay, teremos: e = = d) Da reação entre momento fetor e curvatura teremos: Resutando, após a 1ª integração: = + e, após a ª integração: = + = () (0,5 ponto) Ou, aternativamente, utiizando as funções de Macauay, teremos: e =

5 PME-350 Mecânica dos Sóidos II 1 a Prova 13/09/01 Gabarito = Temos, portanto, um tota de oito incógnitas a serem obtidas para a determinação competa da inha eástica, a saber: as quatro constantes de integração e as quatro reações oferecidas peos víncuos. As oito equações necessárias para a determinação destas incógnitas são dadas por: i) 0 = 0 = 0 ii) 0 = 0 = 0 iii) 0 = 0 = 0 (ou, se preferir: 0 = = 0 ) iv) 0 = 0 = 0 (ou, se preferir: 0 = = 0 ) v) =. 3 = vi) =. 3 = vii) 3 = viii) 3 = 0 + = = 0 Obs: Note que as duas útimas reações são, respectivamente, equivaentes às equações de equiíbrio de momentos (em reação ao póo D) e de forças verticais na viga. (,0 pontos) 5

6 PME-350 Mecânica dos Sóidos II 1 a Prova 13/09/01 Gabarito Soução: a Questão a) Em uma seção do corpo ciíndrico suficientemente afastada das extremidades podemos considerar que o campo de desocamentos radiais é dado por: () =. + Aém disto, peo fato de termos geometria e carregamento axissimétricos, teremos: = 0 = (, ) E, considerando ainda a hipótese de que seções panas antes da deformação permanecerão panas após a deformação, teremos compementarmente: = () Assim, utiizando agora as reações deformações-desocamentos dadas, virá: = = = = + Substituindo estas reações nas expressões que fornecem as tensões e, virá: = + +. = + +. Porém do equiíbrio de forças ongitudinais (direção z), podemos verificar de imediato que a tensão será: Logo: =. ( ) =. ( ) + ( + ). =. ( ) Eq.(1) E das condições de contorno sobre a superfície atera do vaso ciíndrico vêm: = + +. = Eq.() = = 0 Assim, resovendo o sistema inear formado por Eq.(1-3), teremos: Eq.(3) = = 1 ( ) = (1 + ) ( ) 6

7 PME-350 Mecânica dos Sóidos II 1 a Prova 13/09/01 Gabarito O campo de desocamentos radiais do vaso ciíndrico fica, então, dado por: Ou: () = 1 ( ) + (1 + ) ( ) () = ( ) (1 + ) 1 + Em particuar, para r = b: () = ( ) ( ) (,0 pontos) b) Considerando váida a soução do vaso esférico de parede espessa, temos que o campo de desocamentos radiais é dado por: () =. + E, considerando a simetria do vaso esférico (competo) e do carregamento, podemos considerar que os desocamentos e são ambos nuos. Assim, das reações deformações-desocamentos dadas, virá: = = = = = + Substituindo estas reações na expressão que fornece a tensão radia, virá: () = 3 +. E das condições de contorno sobre a superfície atera do vaso esférico vêm: = 3 +. = Eq.(4) = = 0 Eq.(5) Resovendo o sistema inear formado por Eq.(4) e Eq.(5) para as constantes e, teremos: = 1 ( ) = (1 + ) ( ) O campo de desocamentos radiais para o vaso esférico fica, então, dado por: () = 1 ( ) + (1 + ) ( ) 7

8 PME-350 Mecânica dos Sóidos II 1 a Prova 13/09/01 Gabarito Ou: Em particuar, para r = b: () = ( ) (1 + ) 1 + () = 3(1 ) ( ) (,0 pontos) c) Cacuando a razão entre os desocamentos radiais (do vaso ciíndrico e do vaso esférico) em r = b, virá: Simpificando: () () = ( ) ( ). ( ) 3(1 ) () ( ) = () 3(1 ). ( + + ) ( + ) E, considerando a aproximação de vaso de parede fina ta que:, virá: () ( ) () (1 ) Tomando o coeficiente de Poisson do aço ( = 0,3), apenas a títuo de iustração, teremos: () (),4 mostrando que os desocamentos radiais dos pontos do corpo ciíndrico são seguramente maiores que os desocamentos radiais dos pontos das caotas hemisféricas. Assim, em virtude da junção entre as duas partes, surgirão esforços ocaizados (na forma de tensões cisahantes e tensões normais) que, se integrados ao ongo da espessura resutaram em forças cortantes e momentos fetores (ambos por unidade de comprimento medido na direção circunferencia do vaso). Esquematicamente, representando os esforços apenas para um corte: (1,0 ponto) Observe que as forças cortantes que surgem (associadas às tensões cisahantes ocaizadas) atuam no sentido de compatibiizar os desocamentos radiais na junção, ou seja, procuram diminuir os desocamentos radiais no vaso ciíndrico e aumentar os desocamentos no vaso esférico. Com o surgimento das forças cortantes distribuídas aparecem também os momentos distribuídos cujos sentidos prováveis de atuação estão também indicados (note que, peo princípio da ação e reação, os esforços que a parte ciíndrica exerce sobre a parte hemisférica são contrários aos esforços que a parte hemisférica exerce sobre a parte ciíndrica). 8