Método dos Deslocamentos

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1 Método dos Desocamentos formuação matemática do método das forças e dos desocamentos é bastante semehante, devendo a escoha do método de anáise incidir num ou noutro conforme seja mais vantajoso O método dos desocamentos pode ser apicado quer as estruturas isostáticas quer a hiperestáticas sendo especiamente úti na anáise das segundas, nomeadamente, quando o grau de indeterminação estático é eevado Este método é mehor adaptáve à programação automática que o método das forças, porque neste todos desocamentos são restringidos ao contrário do que acontece no método das forças em que apenas agumas iberações são introduzidas para se obter a estrutura isostática Mas antes de se proceder a descrição do método vejamos o que se entende por grau de indeterminação cinemática - Noção de indeterminação cinemática Designaremos por indeterminação cinemática o número de restrições (víncuos) necessárias para eiminar os desocamentos dos nós da estrutura or outras paavras, diremos que o grau de indeterminação cinemática é a soma dos graus de iberdade (rotações e transações) independentes, de todos os nós da estrutura, incusive os apoios (não é mais do que o número de graus de iberdade da estrutura) Refere-se que um sistema de desocamentos dos nós é independente se cada desocamento puder variar arbitrariamente e independentemente de todos os outros Vejamos aguns exempos eucidativos do grau de indeterminação cinemática : grau (D, D e D ) ou grau (D e D ) se desprezada a deformação axia

2 grau (D, D, D e D ) ou grau (D e D ) desprezados os efeitos dos esforços normais - Descrição do método a) Numa primeira fase determina-se o grau de indeterminação cinemática e

3 escohe-se um sistema de coordenadas de modo a poder-se identificar a posição e a direcção dos desocamentos dos nós Em seguida são introduzidas forças de restrição (em número igua ao grau de indeterminação cinemática) que impedem os desocamentos dos nós (as forças são do mesmo tipo, sentido e direcção dos desocamentos impedidos) b) Depois determinam-se as forças de restrição somando as forças de fixação dos extremos das barras convergentes nos nós (um a um) Tais forças devem impedir os desocamentos para quaquer tipo de acção externa quer sejam cargas, variações de temperatura, pré-esforços, etc) Estas acções podem ser consideradas separadamente ou em conjunto Se na estrutura que está a ser anaisada existir aí agum desocamento prescrito, por exempo, um assentamento de apoio, as forças de restrição correspondentes ao impedimento deste(s) desocamento(s) devem ser considerados nesta etapa Determina-se ainda nesta fase os esforços internos nas barras correspondentes as forças de restrição (nos impedidos de movimentarem-se) c) estrutura considerada deformada de ta modo que numa das coordenadas generaizadas o desocamento seja aí unitário e nuo em todas as outras s forças necessárias para evar a estrutura a esta configuração são então cacuadas sendo o procedimento repetido para cada uma das restantes coordenadas as generaizadas (restrições impostas iniciamente) d) Os desocamentos necessários para eiminar as forças de restrição (obtida em b)) são determinados apicando a sobreposição dos efeitos para os diversos desocamentos impostos e iguaando às forças de restrição e) Os esforços na estrutura origina são obtidos adicionando aos esforços na estrutura restringida os esforços originados peos desocamentos determinados em d) robema : Determinar os esforços nas barras da estrutura representada na figura devido a acção combinada ) da carga extrema e ) do aongamento no comprimento da barra (motivado por acréscimo de temperatura nesta barra)

4 Resoução O grau de indeterminação estático é, as transações segundo os eixos xx e yy de sentidos positivos arbitrários ara ) o desocamento do nó é impedido introduzindo em uma força igua e oposta a, de componentes F e F nas direcções e (o segundo índice indica a causa, neste caso )) ara ) o aongamento da barra pode ser impedido por uma força ta que apicada em origina na barra um encurtamento da mesma grandeza O vaor da força de compressão correspondente será serão (o segundo índice indica o caso ) E cujas componentes nas direcções e F F E E cos sin

5 força tota de restrição do nó terá as componentes F = F + F ; F = F + F odemos também concuir que quando os desocamentos são restringidos, em ) não há esforços internos em quaquer das barras e em ) aparece somente o esforço de compressão E na barra Representando por { r } os esforços axiais nas barras nas condições de restrição teremos r = r = = r =, r E ; r+ = = rm = Devido ao desocamento unitário de, gera-se na barra genérica i uma força de compressão ie i i cos i e para manter o nó nesta posição teremos de apicar as forças De um modo simiar na hipótese D = e D = teremos de apicar as forças Mas na estrutura rea não existem só forças de restrição, para aém disso sabemos que o nó D experimenta um desocamento determinado de componentes D e D Então a

6 sobreposição das forças de restrição introduzidas e das correspondentes aos desocamentos reais deve ser nua F + D + D = F + D + D = Estas equações podem ser escritas na forma matricia {F} + []{D} = []{D} = {F} em que o vector couna {F} depende do carregamento da estrutura; os eementos da matriz [] são as forças correspondentes a desocamentos unitários e são chamados coeficientes de rigidez matriz [] é a chamada matriz de rigidez Os eementos do vector {D} são os desocamentos desconhecidos {D} = [] {F} Num caso gera de n restrições, a ordem das matrizes {D}, [] e {F} são n, nn e n, respectivamente matriz [] é uma matriz quadrada simétrica O esforço fina em quaquer barra i pode ser obtido por sobreposição do esforço nessa barra nas condições de restrição e dos correspondentes aos desocamentos dos nós i = ri + ( ui D + ui D + + uin D n ) reaização da sobreposição para todas as barras na forma matricia {} m = { r } m + [ u ] mn {D} n onde os eementos de são os esforços finais nas barras; os eementos de r são os esforços nas barras nas condições de restrição e os eementos de u são os esforços nas barras correspondentes aos desocamentos unitários Especificamente os eementos da couna j de [ u ] são os esforços nas barras correspondentes ao desocamento D j =, enquanto todos os outros desocamentos são nuos ara o caso em estudo é fáci de concuir que

7 u E E cos sin E E cos sin me m me m cosm sin m m m Notemos que num pórtico de nós rígidos podemos pretender os esforços em quaquer secção ou as reacções dos apoios or esta razão, consideramos que a rotação representa quaquer acção, podendo ser o esforço axia, transverso, momento fector, torção numa secção genérica ou uma reacção num apoio robema : Trace o diagrama dos momentos fectores na estrutura indicada admitindo que são desprezáveis as variações dos comprimentos da barras devido ao esforço axia Resoução O grau de indeterminação cinemática é correspondente aos desocamentos indicados na figura e as forças de restrição são a soma das forças de fixação nas extremidades das barras

8 F Os vaores dos momentos fectores nas extremidades,,, são r nas condições de restrição Os eementos da matriz de rigidez são as forças necessárias (correspondentes às coordenadas, e ) para manter as deformações a seguir apresentadas

9 ) ( ) ( ) ( ortanto e da equação,5,55,7 D F D É fáci concuir que u O vaor dos momentos finais

10 u O diagrama de momentos virá : robema : Trace o diagrama dos momentos na estrutura indicada desprezando as deformações devidas ao esforço axia e admitindo constante

11 Resoução O grau de indeterminação cinemática é sendo as incógnitas as indicadas, assim como as forças de fixação dos extremos devido às cargas apicadas s forças nas extremidades das barras correspondentes a cada um dos desocamentos unitários dos nós estão indicados nas figuras seguintes

12 Obtidos os eementos da matriz de rigidez, da equação []{D} = {F} 5 57 {D} 5 7 {D} ara traçar o diagrama de momentos fectores precisamos de conhecer os momentos,,, nas extremidades

13 {} Donde o diagrama de momentos fectores robema : Determinar as três componentes da reacção na extremidade da greha horizonta da figura quando submetida a uma carga uniforme q em C Considerar que todas têm a mesma secção e que a reação das rigidezas de torção e de fexão é 5 GY

14 Resoução : O grau de indeterminação cinemática é, correspondente às incógnitas, e indicadas E com faciidade se concui que : 7 q } { ; ; q {F} r Donde : {D} } { de e q {D} r

15 5 {} q q 97 q 5 - náise duma estrutura para diferentes hipóteses de carga Os eementos da matriz de rigidez da estrutura é independente das cargas, depedendo unicamente das propriedades da estrutura (constantes eásticas e geometria) Então para um número p de hipóteses de cargas podemos obter as souções correspondentes a partir da equação matricia [D] np = [] [F] np em que cada couna de [D] e [F] corresponde a uma dada hipótese de carga Vimos já o estudo da estrutura peo método das forças quando as estruturas são submetidas a acções como variações de temperatura, fahas no comprimento das peças, retracção ou pré-esforço, etc equação {D}= [ ][F] é iguamente apicáve no estudo da estrutura submetida a este tipo de acções mas agora {F} representa as forças necessárias para impedir os desocamentos dos nós devido aos efeitos anotados Quando se tratar de um movimento de apoios ainda a referida equação pode ser apicada, mesmo que o movimento de apoio não corresponda a um dos desocamentos desconhecidos da indeterminação cinemática Caro que nesta hipótese é necessário proceder a necessária adaptação robema : Trace o diagrama de momentos fectores quando : () ocorre um assentamento vertica no apoio () ocorre uma rotação no sentido inverso em B

16 Resoução : () O grau de indeterminação cinemática é, correspondentes às incógnitas D e D em B e C s forças de restrição necessárias para manter D = D = Os momentos nas extremidades das barras nas condições de restrição dos nós são : r r r r Os eementos da matriz de rigidez

17 Os momentos fectores nas secções consideradas originados por cada um dos desocamentos unitários (D e D ) são : u Da equação {D}= [] {F} D ou seja : 5 D 5 D forma deformada da viga correspondente ao assentamento : Os momentos correspondentes

18 {} ara o equiíbrio dos nós B e C a soma dos momentos nos extremos que concorrem nesses nós deve ser nuo, donde pode-se utiizar este facto como via de verificação dos resutados O diagrama de momentos será : () Esta hipótese ocorria se a viga BCD estivesse rigidamente igada em B a uma viga transversa horizonta que sofresse uma torção definida peo ânguo em B ara produzir esta rotação deve actuar em B uma força } {F, donde à deformada indicada corresponde as forças externas F } {F

19 Os desocamentos e as forças estão reacionados por : F D D Os eementos da matriz de rigidez já foram determinados em (); D = e D é desconhecido Resovendo : D + D = D = D = Os momentos nos extremos serão obtidos atendendo a que { r } = e a { n } determinado em () 5 5 {} - Efeito de desocamentos prescritos O método usado em () será considerado agora em reação ao caso gera de uma estrutura com um grau de indeterminação cinemática n onde ocorrem m desocamentos,,, m em m pontos Na matriz de rigidez podemos escrever os esforços nas secções correspondentes aos desocamentos conhecidos nas primeiras m inhas e counas

20 m (m) n m (m) n m mm (m)m nm (m) m(m) (m)(m ) n(m ) n mn (m)n nn ou onde os [ ji ] são as submatrizes de [] s ordens de [ ], [ ], [ ] e [ ] são respectivamente mm; m(nm); (nm) m e (nm )(nm) ara produzir desocamentos,,, m devem ser apicadas as forças externas F,, F m nas coordenadas,,, m respectivamente (nas restantes coordenadas não actuam forças) Como consequência daquees desocamentos ocorrem nas restantes coordenadas os desocamentos D m+,, D n equação que reaciona as forças e os desocamentos é : F, {D } {F } {D } {} onde {D } é o vector de desocamentos conhecidos e {D } é o vector de desocamentos desconhecidos D m+,, D n O vector { F } é o vector das forças desconhecidas nas coordenadas,,, m Da ª inha da equação matricia tira-se que : {D } = [ ][ ]{D }

21 Conhecidos os desocamentos das n incógnitas, os esforços em quaquer secção poderão ser determinados por : {} = [ u ]{D} onde {} é quaquer acção e [ u ] é a mesma acção correspondente a um desocamento unitário numa só coordenada Esta equação é a mesma que : {} = { r } + [ u ]{D} com { r } = porque as acções compreendidas são devidas unicamente aos efeitos dos desocamentos {D} s forças { F } são dadas por : {D } {F } equação obtida da ª inha da equação matricia anteriormente escrita entrando com os vaores já determinados de D

, um deslocamento segundo o eixo local l 2. , u l 2. . Para aplicar ou restringir estes deslocamentos aplica-se uma força segundo o eixo local l 1

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