PME Mecânica dos Sólidos I 5 a Lista de Exercícios

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1 ESCOL POLITÉCNIC D UNIVERSIDDE DE SÃO PULO DEPRTMENTO DE ENGENHRI MECÂNIC PME-00 - Mecânica dos Sóidos I 5 a Lista de Eercícios 1) estrutura treiçada indicada abaio é formada por barras de mesmo materia (com móduo de easticidade E) e com mesma área de seção transversa. Determine o desocamento vertica do ponto de apicação da força F utiizando os teoremas de energia. Indique o resutado em função de F, e E. Sugestão: utiize a simetria da estrutura e do carregamento para cacuar as forças nas barras simétricas uma única vez. Importante: o resutado obtido não está considerando a ação do peso próprio da estrutura. F ) estrutura indicada na figura seguinte (à esquerda) é formada por uma chapa de espessura t constante, disposta num pano horizonta, e que apresenta simetria com reação a um pano vertica passando peo seu eio centra (o eio centra está representado pea inha tracejada indicada na figura e que pertence ao pano médio da chapa). Seja o comprimento do eio centra; P o peso tota da chapa; E o móduo de easticidade do materia da chapa e I m = b.t /1 o momento de inércia da seção transversa junto à etremidade engastada. figura à direita representa um modeo de cácuo para a obtenção dos desocamentos do eio centra da estrutura. Pede-se: a) determinar a variação do carregamento distribuído por unidade de comprimento do eio centra, q(, em função dos parâmetros P e (considere como a distância medida a partir da etremidade ivre da barra até uma seção genérica, 0 ); b) idem ao item anterior com reação à variação dos momentos de inércia das seções ao ongo de ; c) determinar, em função dos parâmetros P,, E e I m, o desocamento vertica do vértice da chapa utiizando o o Teorema de Castigiano. b/ b/ q(=? Obs: Considere apenas a parcea de energia reativa aos momentos fetores atuantes na barra. 1

2 EPUSP - Depto. de Eng. Mecânica PME-00 / Mecânica dos Sóidos I Prof. R. Ramos Jr. ) O tronco de cone indicado na figura abaio tem comprimento e peso tota P. Seja E o móduo de easticidade do materia e I m o momento de inércia da seção junto à etremidade engastada. Pede-se: a) determinar a variação do carregamento distribuído por unidade de comprimento do eio centra da barra, q(, em função dos parâmetros P e (considere como a distância medida a partir da etremidade ivre da barra até uma seção genérica, 0 ); b) idem ao item anterior com reação à variação dos momentos de inércia das seções ao ongo de ; c) determinar, em função dos parâmetros P,, E e I m, o desocamento vertica da etremidade ivre do tronco de cone utiizando o o Teorema de Castigiano. 4) Determine a constante de moa k que surge na reação P = k.δ, para a moa heicoida indicada a seguir. Epresse o resutado em função dos seguintes parâmetros: D = diâmetro médio da moa heicoida; d = diâmetro do fio (admite-se seção transversa circuar cheia); G = móduo de easticidade transversa do materia; e n = número de espiras competas da moa. P P Obs: considere que a inha de ação da força P coincida com o eio da moa e que o ânguo de enroamento do fio, medido com reação a um pano perpendicuar ao eio da moa seja pequeno. dmita ainda que a parcea de energia absorvida pea moa devida às forças cortantes seja desprezíve se comparada à parcea de energia devida à torção. Sugestão: Pesquise a seguinte referência: Juvina, R.C.; Marshek, K.M.; Fundamentas of machine component design, a ed., 1991, cap. 1. 5) viga indicada abaio será conectada a duas counas que distam L entre si. Sabe-se que o perfi utiizado para a viga é um perfi W4 104, cujas propriedades são dadas abaio. dmitindo-se que não haja transmissão de momentos fetores para as counas (ou seja, que a viga esteja simpesmente apoiada nas counas), e que a viga esteja submetida simpesmente a seu peso próprio, pede-se: a) determinar o maior vaor de L para que o máimo desocamento vertica na viga não utrapasse L/100; b) para o vaor de L obtido em (a), obter a rotação na etremidade, considerando o mesmo carregamento. L

3 EPUSP - Depto. de Eng. Mecânica PME-00 / Mecânica dos Sóidos I Prof. R. Ramos Jr. Dados: Propriedades do perfi W4 104: = *10 4 mm, (área da seção transversa) I = 1,9*10 8 mm 4 (momento de inércia da seção) Propriedades do materia (aço): E = *10 5 N/mm (móduo de easticidade) µ = 7800 kg/m (massa específica do materia) Obs: considerar g = 10 m/s. 6) estrutura indicada abaio é formada por duas barras de mesma rigidez feiona (): a barra vertica, de comprimento ; e a barra horizonta C, de comprimento. Na etremidade C da barra C age uma força de intensidade P que forma um ânguo β com a vertica conforme iustrado. Na outra etremidade desta barra agem um binário de intensidade P. e uma força horizonta de intensidade P/. Determine para qua vaor de β (ou para quais vaores de β) o desocamento da seção C terá apenas a componente vertica. Cacue o desocamento vertica neste(s) caso(s), desprezando a infuência das forças normais e das forças cortantes na energia de deformação da estrutura. Epresse os resutados (para os desocamentos) apenas em função de P, e. P/ P C β P 7) Determine, através do o Teorema de Castigiano, os vaores dos desocamentos vertica e horizonta e da rotação da seção C para a estrutura C submetida ao carregamento indicado (despreze as parceas da energia de deformação referente às forças cortantes e normais). Dados: P,,, θ. C P θ 8) estrutura indicada na figura a seguir consiste de um arco com raio de curvatura R, disposto no pano horizonta y. etremidade do arco encontra-se engastada em. Determine o desocamento vertica da seção (e seu sentido) quando é apicado nesta mesma seção um binário de intensidade M. (note que o vetor é M = M. ey ). Sabe-se que a seção transversa da barra é circuar (cheia) e que ν = 0,5 (coeficiente de Poisson). Epresse o resutado em função de M, R e. Dado: π 0 sen π π β. d β = cos 0 β. dβ =

4 EPUSP - Depto. de Eng. Mecânica PME-00 / Mecânica dos Sóidos I Prof. R. Ramos Jr. z M R y 9) Determine através do o Teorema de Castigiano a epressão da inha eástica v = v( da viga bi-apoiada submetida à ação do binário de intensidade M o. viga tem comprimento e rigidez feiona (utiize os eios indicados para epressar o resutado). Dados: M o,,. M o y Obs: Chama-se inha eástica de uma viga à função v = v( que fornece os desocamentos transversais dos pontos pertencentes ao eio centra da viga. 10) Obtenha novamente a equação da inha eástica para a viga do eercício (9), através do método de integração da curvatura. 11) Determine a equação da inha eástica v = v( das seguintes estruturas formadas por vigas retas (a rigidez feiona das vigas é constante e igua a nos dois casos). Utiize o método de integração da curvatura ou o o Teorema de Castigiano. a) q b) P y y Obs: Em (a), q representa a intensidade máima do carregamento inearmente distribuído (em N/m). IMPORTNTE: Eercícios Sugeridos (Livro-Teto) Referência: Gere, J.M., Mecânica dos Materiais, São Pauo: Pioneira Thomson Learning, 00, 698 p. Cap. :.7-6,.7-7,.7-8,.7-9 Cap. :.9-,.9-5,.9-6,.9-9 Cap. 9: 9.8-1, 9.8-, 9.8-4, 9.8-6,

5 EPUSP - Depto. de Eng. Mecânica PME-00 / Mecânica dos Sóidos I Prof. R. Ramos Jr. Referência: Gere, J.M. & Goodno,.J., Mecânica dos Materiais, Cengage Learning, 010, 858 p Cap. :.7-6,.7-7,.7-8,.7-9 Cap. :.9-,.9-5,.9-6,.9-9 Cap. 9: 9.8-1, 9.8-, 9.8-4, 9.8-6,

6 EPUSP - Depto. de Eng. Mecânica PME-00 / Mecânica dos Sóidos I Prof. R. Ramos Jr. Respostas da 5 a Lista de Eercícios F. F. 1) δ = ( + ). 5,8. E E ) a) q( = γ. (, onde: γ = peso específico do materia (suposto homogêneo); ( = área da S.T. na seção definida por ; = distância da etremidade ivre a uma S.T. genérica. Resuta:. P. q( = (0 ) (Obs: note que, no S.I., [q] = N/m) b. t b) I( =. = I m. (0 ) 1 1 P. c) δ =. 1 m ) Obs: Considerar que os diâmetros do tronco de cone na etremidade ivre e na etremidade engastada sejam, respectivamente: D = 4c e d = c, sendo c um dado do probema. a) q( = γ. (, onde: γ = peso específico do materia (suposto homogêneo); ( = área da S.T. na seção definida por ; = distância da etremidade ivre a uma S.T. genérica. Resuta, para os dados do probema:. P q( =. 1 + (0 ) (Obs: note que, no S.I., [q] = N/m) 7. I m b) I( =. 1 + (0 ) 16 c) δ = 1. 7 P. m 4 4 G. d 4) constante de moa será dada por: k = 8. D. n 6

7 EPUSP - Depto. de Eng. Mecânica PME-00 / Mecânica dos Sóidos I Prof. R. Ramos Jr. 5) a) Considerando apenas o peso próprio como carregamento, teremos: L < 50 m b) θ = 0,015 rad 1,8 6) a) β = arctan( 0,75) β = 6,87 β = 14,1 P 7 b) δv, C = sen β + cos β + 1 ssim:. β = 6,87 β = 14,1 δ δ V, C V, C P. = 1,667. P. = 0,. ( p / baio) ( p / baio) P 7 7) δ H, C = cosθ senθ (desocamento horizonta da seção C);. P 8 δv, C = senθ cosθ (desocamento horizonta da seção C);. P 5 ϕc = cosθ senθ (rotação da seção C).. 8) M o 9) e 10) v( = ( q. 11) a) v( = ( ) 10.. P b) v( = (.. ) 6. 7