PME MECÂNICA I

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1 PME MECÂNIC I a LIST DE EXECÍCIS - CINEMÁTIC LIST DE EXECÍCIS CMPLEMENTES LIV TEXT (Cap. 6 e 7) (FNÇ, L. N. F.; MTSUMU,. Z. Mecânica Gera. Ed. Edgard ücher, ª ed., 004) Exercícios - Cinemática do Ponto (CP.1) Dispara-se verticamente para baixo, com veocidade inicia de 60 m/s, um pequeno projéti contra um meio fuido. Desprezando-se a aceeração da gravidade, e devido à resistência do fuido, o projéti experimenta uma desaceeração a = (-0,4v ) m/s, onde a veocidade é dada em m/s. Determine a veocidade e a posição do projéti 4s após ter sido disparado. esposta: v = 0,6 m/s e s = 11,4 m ( CP.) Num dado instante, a ocomotiva em E tem uma veocidade de 0 m/s e uma aceeração de 1,4 m/s orientada como indicado na figura. Determine: (a) a taxa de aumento de veocidade nesse instante; (b) o raio de curvatura da trajetória. Dados: sen 75º = 0,96596; cos 75º = 0,58819 (CP.3) s carros e estão viajando respectivamente com as veocidades escaares constantes de (v ) 0 = 35, km/h e (v ) 0 = 0,8 km/h em uma estrada coberta de geo. Para evitar utrapassar o carro, o motorista do carro apica seus freios de modo que seu carro desaceera a uma taxa constante de 4, cm/s. Determine a distância d entre os carros na qua o motorista do carro deve pisar no freio para evitar a coisão com o carro. esposta: d = 190,5 m 1

2 (CP.4) Partindo do repouso, um bote segue uma trajetória circuar ( = 50 m) a uma veocidade escaar v = (0,t ) m/s, onde t é dado em segundos. Determine os móduos da veocidade e da aceeração do bote no instante t = 3 s. ( CP.5) Dados experimentais para o movimento de uma partícua ao ongo de uma inha reta registraram vaores medidos da veocidade v para vários desocamentos s. Uma curva suave foi desenvovida com os pontos assinaados no gráfico. Determine a aceeração da partícua, quando s = 40 m. esposta: a = 1,5 m/s ( CP.6) Um ponto P move-se, em reação ao sistema (, i, j, k ), segundo as equações: x = t 3 3 y = t z = t Pedem-se, em função de t, mediante a decomposição dos vetores nas direções i, j, k : a) as veocidades vetoria e escaar de P; b) o vetor aceeração de P; c) o raio de curvatura da trajetória; d) o triedro de Frenet t, n, b ; e) s aceerações tangencia e norma de P. esposta: a) v t i t j k b) a t i j c) t 1 1 d) t t i t j k t 1

3 n 1 t i t 1 j t 1 1 b i t j t k t 1 tk e) a n a t t ( CP.7) Sendo v e a, respectivamente, os vetores veocidade e aceeração de um ponto P numa dada posição, mostre que a curvatura c da sua trajetória nesta posição (= 1/, o inverso do raio de curvatura ) é dada por: v a c = v 3 = 1 ρ (Sugestão: usar coordenadas intrínsecas.) ( CP.8) vídeo Tune, disponíve no site da discipina, mostra uma manobra acrobática com um automóve dentro de um túne. Vamos adotar um modeo físico simpificado para essa manobra, iustrado na figura abaixo, com as seguintes hipóteses: - o túne será representado por uma superfície ciíndrica de raio. Vamos adotar aqui um ciindro competo, embora não houvesse maiores dificudades em adotar um ciindro truncado pea pista de rodagem, o que representaria mehor o caso rea; - o veícuo será representado por um ponto materia P de massa M; - o movimento se inicia no ponto mais baixo do ciindro, com a direção do veícuo fazendo um ânguo de entrada com o eixo daquee; 3

4 - a trajetória se desenvove na superfície ciíndrica do túne. Supõe-se que o ânguo de avanço seja constante, ou seja, a trajetória é heicoida de passo constante isso corresponde a supor que não existam desizamentos aterais do veícuo; - o pioto, aém de manter o voante fixo, não aceera nem freia o veícuo durante toda a manobra, ou seja, não há dissipação nem fornecimento de energia ao veícuo. Nestas condições, pede-se: a) obtenha as coordenadas do ponto P (ou seja, as componentes do vetor posição (P )) usando o sistema de coordenadas cartesiano (, x, y, z) indicados na figura, em função do parâmetro (ânguo) e das constantes e. b) obtenha as coordenadas do ponto P (ou seja, as componentes do vetor posição (P )) usando o sistema de coordenadas ciíndricas (,,, x) indicados na figura, em função do parâmetro (ânguo) e das constantes e. c) obtenha o raio de curvatura da trajetória, nas posições em que o ânguo é igua a -90º, 0º, 45º e 90º. d) obtenha as componentes do vetor veocidade V do ponto P, nos eixos x, y e z indicados na figura, em função do parâmetro (ânguo). e) obtenha as expressões da aceeração tangencia e da aceeração norma desse ponto em função da veocidade V, nas coordenadas intrínsecas (t, n, b ). espostas: a) (P ) = (θ θ o) i + sen(θ θ tgα o ) j + cos(θ θ o ) k b) (P ) = u + (θ θ 0) i tan α c) para todos os vaores de pedidos: ρ = sen α d) V = V cos α i + Vsenα cos(θ θ o )j Vsenα sen(θ θ o ) k e) ceeração tangencia: a t = Vt ; ceeração norma: a n = V n = sen α V n ρ ( CP.9) movimento de um ponto é descrito peas três equações escaares: x = + cos t y = ( + sen t) z = 4 ( + sen t) num sistema cartesiano ortogona xyz. Pedem-se: 1) v, a, a t, a n, v e o raio de curvatura da trajetória. ) mostrar que o movimento é pano 4

5 Exercícios - Cinemática do Sóido 1) s pontos (1,), (,1) e C(1,1) pertencem a um mesmo sóido. Sabendo que v i j e que v 3 i m j, pedem-se: a) vaor de m. b) veocidade v C do ponto C. espostas: a) m 0 b) 3i 6 j v C ) São dadas num determinado instante as posições dos pontos (0,,1), (0,3,1), C(1,3,1) e D(0,3,) e as veocidades v j e vd i k. Considere duas situações para a veocidade de C: v C i e vc i. Pede-se: a) Verificar se, C e D podem pertencer a um mesmo sóido; considere as duas situações do ponto C e justifique a resposta. b) Determinar a veocidade de para que,, C e D pertençam ao mesmo sóido; c) Determinar o vetor rotação desse sóido. espostas: a) sim, i b) v i j k c) i j k v C 3) e são dois pontos genéricos de um sóido em movimento quaquer. Demonstrar que: d a) é ortogona a. dt b) projeção das veocidades de e sobre a reta são iguais. c) diferença de veocidades v v é um vetor ortogona a. 4) Mostre que se dois pontos P e Q de um mesmo corpo rígido têm, em um dado instante, a mesma veocidade, então: i) P Q é paraeo ao vetor de rotação ou ii) corpo reaiza, neste instante, um ato de movimento transatório puro. 5) Seja um ponto de uma figura pana em movimento pano e r o seu vetor de posição. Pede-se mostrar que: a) vetor de posição r C do centro instantâneo de rotação C é dado por rc r v /, onde é o vetor de rotação da figura. b) aceeração do centro instantâneo de rotação C será nua se, para um ponto : a v / v 5

6 6) chassi de um tanque de guerra (ocaizado entre as rodas e da figura) transada com veocidade vi (v > 0, constante). roda de centro e raio r é igada à anterior por uma esteira, não havendo escorregamento entre a esteira e as P rodas. Não havendo escorregamento entre a r j esteira e o soo incinado por onde anda o tanque, determinar por suas componentes na i base i, j, k : a) s veocidades v 1, v, v P P 3 3 dos pontos P 1, P e P 3 indicados. b) s vetores de rotação e P 1 das rodas de centro e, respectivamente. c) veocidade v P do ponto P indicado; P paraeo a i. d) Trace a distribuição de veocidades dos pontos do segmento de reta que vai de P 1 a P. bs.: todas as perguntas se referem ao movimento das rodas em reação ao soo. espostas: a) v 1 0 ; v v i ; 0 v v v 3 b) k k r e c) vi j v P 7) disco de centro e raio roa sem escorregar sobre um pano horizonta com veocidade anguar constante. barra CD de comprimento L é articuada em C e D. uva em D pode desizar ao ongo da guia vertica. Na condição indicada na figura ( = 45 o ), pede-se: a) Determinar a veocidade vetoria v C do ponto C, e o centro instantâneo de rotação I, da barra CD, indicando graficamente. b) vetor de rotação, da barra CD. c) veocidade v D do ponto D. d) aceeração a C do ponto C. = 45 o espostas: a) v C i j b) k c) v D j d) a C i L C L D 6

7 8) s discos da figura formam um corpo rígido, o qua gira sem escorregar sobre o triho EF. barra tem comprimento r e tem sua extremidade arrastada sobre o triho EF. Sabendo que o ponto tem veocidade escaar v, aceeração escaar a, e que o conjunto se desoca na direção de i, determinar, em função de r,, v e a: a) vetor de rotação do disco. b) aceeração a C do ponto C. c) veocidade v do ponto. d) veocidade v r do ponto. e) vetor de rotação C da barra. E F 9) sistema indicado move-se no pano i j. barra gira em torno de, de maneira que t ( > 0, constante). No ponto as barras estão igadas por uma articuação. extremidade percorre um trecho do eixo j. Pedem-se: a) posição do CI da barra. b) veocidade v de e a veocidade v de. c) vetor de rotação da barra. d) veocidade v M, do ponto médio M da barra. e) s vaores máximo e mínimo de v M, indicando para quais vaores de ees ocorrem. (Item compementar) bs. i) dmitir que o sistema possibiita 0. ii)s vetores pedidos devem ser expressos na base ( i, j, k ). iii)s escaares pedidos devem ser expressos em função da variáve. espostas: b) v cos j ; v ( sen i cos j) c) k 3 1 d) v M ( seni 3cos j) e) vm máx ; v, 0 M mín, 7

8 10) extremidade da barra move-se com veocidade horizonta v constante, conforme indicado na figura. Pede-se: a) s coordenadas do CI em reação ao sistema de coordenadas dado. b) veocidade anguar da barra. c) vetor veocidade do ponto. v y x h 11) Na figura está representado o esquema de uma guihotina. âmina móve L da guihotina é acionada peas aavancas e D. É conhecida a veocidade anguar da aavanca e as seguintes dimensões: = ; 1 D = 8, D = 6. Determinar: L a) Centro Instantâneo de otação (CI) 1 da aavanca D. b) vetor veocidade v do ponto. c) vetor de rotação D da aavanca D. d) vetor veocidade v D do ponto D. e) vetor de rotação L da âmina móve D L. espostas: b) v j c) D k d) v D 0,48i 0, 64j e) L k

9 1) No mecanismo pano da figura, a barra EF é paraea ao eixo x e tem veocidade constante vi. barra é articuada em, não havendo escorregamento entre o disco e as barras EF e nos seus pontos de contato D e C. Pede-se determinar em função de v, e : a) centro instantâneo de rotação I do disco, assim como I. b) v e o vetor de rotação d do disco. C c) v C e o vetor de rotação b da barra. d) aceeração a do ponto. e) a v E D, supondo que D pertença à barra EF. F D 13) barra é articuada em e o ponto escorrega sobre o pano; o disco de centro e raio roa sem escorregar sobre o pano, com veocidade anguar constante. Pede-se determinar: a) Graficamente o CI do disco e o da barra. b) reação entre os ânguos e. c) vetor de rotação da barra. d) veocidade vetoria do ponto. e) aceeração vetoria do ponto. L f) s vaores de para os quais a barra tem um ato de movimento de transação. bs.: utiize os versores i, j e k indicados. sen Lsen c) k L cos seni cosj f) 0 ou espostas: b) 1 cos e) a d) 1 cos v Lsen i 9

10 14) Um disco de raio e centro roa, sem escorregar, com veocidade anguar constante, conforme indica a figura. barra tem comprimento L e está presa, em, numa sapata desizante e, em, num pino a uma distância a do centro do disco. Pedem-se, em função de, a, L, e, para a posição mostrada na figura: a) veocidade v do ponto. b) CI da barra. c) vetor de rotação da barra. d) veocidade v do ponto. a L 15) No sistema da figura os dois discos (, r) e (, ) são unidos entre si por um eixo em, mas podem girar independentemente um do outro, sem atrito, em torno do eixo comum. disco menor (, r) roa sem escorregar sobre o pano horizonta com veocidade anguar constante. barra C apóia-se no disco (, ) e não há escorregamento no contato. Pedem-se em função de, r, e usando os versores i, j, k : a) posição do CI do disco (, ). b) veocidade anguar do disco (, ). c) veocidade anguar b da barra C. d) aceeração a do ponto da barra. C r espostas: r cos r sin a) ( CI ) j b) k c) k cos cos r 3 ( r) sin r cos cosr cos d) a i 1 j cos r cos r cos r 10

11 16) s discos indicados (de raios e r) movem-se num pano, roando sem escorregar sobre a horizonta fixa. Num certo instante o vetor de rotação do disco de centro 1 é k, ( 0, k i j). Nesse instante a barra, cujas extremidades são articuadas a dois pontos na periferia dos discos, ocupa a posição indicada, na qua, e estão ainhados. Pedem-se nesse 60 o 1 instante, em função das constantes., r e, expressando os vetores na base ( i, j, k ) : r a) s veocidades v e v dos pontos e. b) vetor de rotação do disco de centro. 17) s discos de raios r, centros e roam sem escorregar, externa e internamente à circunferência fixa de centro e raio. movimento se dá no pano do sistema móve i j indicado. Dado o vetor de rotação do disco de centro : k, (, constante, k i j ), determinar por suas componentes na base i, j, k : a) vetor de rotação da barra que está articuada aos centros dos discos. y x b) vetor de rotação do disco de centro. c) aceeração a M do ponto médio M do segmento. espostas: r a) k r b) k c) r r a M r r r i r j 11

12 18) haste rígida gira com veocidade anguar constante movimentando o disco de centro que roa sem escorregar sobre o disco de centro, que é fixo. Determine: a) CI da barra e do disco de centro. b) veocidade v do ponto., c) vetor de rotação do disco de centro. d) veocidade v e a aceeração a do ponto. 19) No sistema da figura a barra move-se com veocidade vi de móduo constante. Não ocorre escorregamento no ponto K entre o disco de raio r e a barra C. Utiizando a base ( u,, k ), fixa em reação à barra C, pede-se: a) Determinar graficamente o CI do disco. b) vetor de rotação K do disco. c) vetor de rotação da barra C. d) vetor aceeração anguar do disco. e) s vetores aceeração a r K dos pontos K do disco e da barra C. C v espostas: v a) ( CI ) r tanu r b) cosk c) ω = v sin φ r k v sin 3 d) k r cos φ r cos 3 v cos 1 v sin e) a K, sin tanu ; a K, D u cos r cos r cos 1

13 0) mecanismo pano de quatro barras é constituído por barras com dimensões: = CD = L e D = C = L. s barras estão articuadas em,, C, D conforme a figura. disco de raio r e centro G roa sem escorregar sobre a barra C com veocidade anguar constante. ânguo entre as barras e D segue a ei horária t ( = constante). No instante mostrado na figura, o ponto E de contato está situado na metade da barra C e o F ponto F está na periferia do disco e na vertica definida r peos pontos E e G. Neste instante pedem-se: a) a veocidade do ponto E ( v G E ); C b) a veocidade do ponto F ( v F ); E c) a aceeração do ponto E pertencente ao disco. No instante em que 45, determine: D d) as coordenadas do centro instantâneo de rotação para o disco, usando o sistema i j k. (Item compementar) 1) Na figura os discos concêntricos são soidários. barra move-se horizontamente com veocidade constante v. Não há escorregamento em D. Um fio, fexíve e inextensíve, é enroado no disco menor e sua extremidade E tem veocidade absouta igua a v como mostrado na figura. dotando como referencia móve a barra e utiizando os versores ( i, j, k ), pede-se: a) veocidade reativa (v D,re ) e absouta E v 3r (v D,abs ) do ponto D. b) vetor de rotação absouta ( r C ) dos discos. c) CI dos discos. v d) s aceerações reativa, de arrastamento, D de Coriois e absouta do ponto D do disco. espostas: a) 0 3v v D vi ; vd, re b) ω= k 4r 7v d) ad, arr 0; ad, cor 0; ad ad, re j 16r 4r 3 c) I D j 13

14 ) No guindaste iustrado na figura, a veocidade de içamento do peso é v, constante. cabine e a ança do guindaste giram com veocidade anguar, constante, em torno de um eixo vertica passando por. Supondo sempre vertica e sendo a cabine o referencia móve e o soo o referencia fixo, pede-se, usando ( i, j, k ) : y a) veocidade absouta do ponto, supondo φ constante. h b) aceeração absouta do ponto, v supondo φ constante. c) veocidade absouta do ponto, φ supondo constante. (Item x compementar) b 3) pataforma circuar mostrada na figura tem veocidade anguar constante. barra e o disco de raio a e centro giram com a pataforma, permanecendo sempre no pano yz do sistema de coordenadas (, x, y, z) de versores ( i, j, k ) z a soidário à pataforma. ânguo 0 é constante. Pede-se em função de,, e demais dados do 0,, probema: a) os vetores veocidade reativa, de arrastamento e y absouta do ponto, pertencente à periferia do disco; x b) os vetores aceeração reativa, arrastamento e absouta do mesmo ponto. espostas: a) v, re θa cos θj senθk v, arr cos 0 asenθ ωi b) a θ asenθ θa, re θj θ cos acos θ θasenθ k a, arr ω cos 0 asenθ j ωθa cos θi a, cor 14

15 4) Um caminhão de bombeiros avança com veocidade v C constante. o mesmo tempo, sua escada gira em torno de um eixo norma ao pano da figura e que passa por, com veocidade anguar. Um homem sobe a escada com veocidade reativa a esta v s. s São dados s(t) e (t), portanto também conhecidos v, v,,. bter em função dos dados: a) Sendo a escada o referencia móve, v re, v arr, v, do homem, usando os versores ( i, j, k ). v b) Idem, usando os versores ( u,, k ). C c) Também para o homem, e sendo a escada ainda o referencia móve, a re, a arr, a, usando os versores ( u,, k ). 5) triedro (xyz) gira em torno de z, fixo, com veocidade anguar 1. pano gira em torno do eixo y com veocidade anguar, reativa ao triedro (xyz). ânguo entre as barras e é constante. Na posição mostrada na figura, em que o z pano coincide com o pano zy, pede-se, utiizando como referencia móve o triedro (xyz): a) s veocidades vetoriais reativa, de arrastamento e absouta do ponto. y b) s aceerações vetoriais reativa, de arrastamento, compementar (Coriois) e absouta de. x c) vetor de rotação absouto e o vetor aceeração anguar absouto do triedro. d) eixo heicoida instantâneo do triedro. espostas: a) ω senθ ω θi v abs 1 cos a abs ω senθ ω θ i ω ω senθ ω θ j 1 cos 1 1 cos b) ω senθk c) abs j 1 k, abs j 1 k 1 i d) E j 1 k 15

16 6) figura mostra um sistema de captação de energia eóica composto por um rotor horizonta acionado por uma héice de 3 pás e raio. carcaça do rotor pode girar em torno do eixo vertica z. Uma rajada de vento imprime rotação à héice dada por z (t) e provoca um movimento de rotação do conjunto em torno de z dado por (t). Em função de,,,, e dos parâmetros geométricos, pede-se, expressando os resutados na base móve ( i, j, k ), soidária à carcaça : a x r a) o vetor de rotação absouto da héice e a veocidade v y do ponto ; b) a veocidade vetoria v P P do ponto P da pá nº 1, situado em sua inha centra a uma distância r de ; Q c) o vetor aceeração anguar absouto da héice; d) a aceeração de Coriois a Q, comp do ponto Q, na extremidade da pá; e) a aceeração vetoria do ponto P. (Item compementar) 16

17 7) mecanismo da figura consiste de uma barra que gira em torno da extremidade com veocidade anguar constante. extremidade é presa por um pino no cursor (ver figura) que pode desizar internamente ao garfo D, articuado em D. Usando como referencia móve o garfo D, determine em função de,, a e s para = 90º: a) veocidade absouta do ponto. b) veocidade reativa e de arrastamento do ponto. c) vetor de rotação do garfo D. a j i s D a ω espostas: b) v, re ω i ; v, arr ω j c) k s s s 8) No mecanismo da figura a barra C apresenta movimento de rotação em torno de, com veocidade anguar constante. ane escorrega sobre a C barra C e a barra, articuada no ane, tem iberdade de movimento apenas na vertica. Pede-se cacuar a veocidade reativa de com respeito à barra C. 17