( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (19) O ELITE RESOLVE IME 2012 MATEMÁTICA DISCURSIVAS MATEMÁTICA

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2 (9) 5-0 O EITE ESOVE IME 0 MTEMÁTIC DISCUSIVS MTEMÁTIC QUESTÃO 0 O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma rogressão ritmética () de números inteiros, de razão r, formam, nesta ordem, uma rogressão Geométrica (G), de razão q, com q e r (natura diferente de zero) Determine: a) o menor vaor possíve para a razão r ; b) o vaor do décimo oitavo termo da, para a condição do item a a) Sendo ( a, a, a, ) a progressão aritmética, sabe-se que os termos a, a 7 e a 7 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica ssim: a = a a a + 6r = a + r a + 6r Como r a + ar + 6r = a + 7ar + 6r r = ar, segue que: r = ar r = a Como tanto a quanto r devem ser números inteiros, com r positivo, os menores vaores que satisfazem a epressão acima são: r = a = ssim, o menor vaor possíve para r é r = b) Temos que: a8 = a + 7r = + 7 a 8 = 5 QUESTÃO 0 Os números reais positivos, e são raízes da equação b b a = a, sendo b IN (natura), a I (rea) e a Determine, em função de a e b, o vaor de b og + + a + + or hipótese, a equação dada pode ser escrita como b b a + a = 0 s reações de Girard para essa equação são: + + = a b = b = a Seja E o vaor do ogaritmo dado, então: b + + E = og a ( + + ) E = b oga + ( + + ) oga( + + ) recisamos obter + + Usando a iguadade: + + = ( ) e as reações de Girard acima, concuímos que + + = a b ortanto, E = b oga ( ) oga( ) b E = b ogaa ( a b) og aa + = b( b+ a b) = a b QUESTÃO 0 Os ânguos de um triânguo obtusânguo são 05º, α e β Sabendo que m (rea), determine: a) as raízes da equação sec + m sen = + sen, figura a seguir representa a situação descrita: a) ara 0, podemos trabahar com a equação, e passo a passo, temos: sec + m sen = + sen m sen = + sen ( ) m( sen) = + sen sen m( sen ) = + sen sen m( sen ) = ( sen ) sen m ( cos sen) = 0 cos ara que a epressão acima seja verdadeira, então necessariamente tg = m ou tg = = arctg( m) + k 80 ou = 0 + k 80, com k b) ara que tenhamos as raízes da equação acima como os ânguos internos do triânguo dado, um dos ânguos internos deve ser igua a 0, de acordo com a resoução do item anterior (o único vaor entre 0 e 80 que satisfaz = 0 + k 80 ) Fazendo, por eempo α = 0, segue que o outro ânguo deve ser: ssim: β = 80 ( ) = = arctg( m) m = tg45 m = QUESTÃO 04 Seja o número compeo Z = a + bi, com a e b I (rea) e i = a = ( + ab ) Determine o móduo de Z sabendo que b = ( a b ) Ohando para o sistema em a e b, temos: a = ( + ab ) a ab = b = ( a b ) b a b = Tomando então o número compeo Z = a + bi e o eevando ao cubo temos Z ( a bi) a ab i( a b b ) = + = + Substituindo os vaores obtidos no sistema, temos que ( a+ bi) = + i α ortanto, o móduo de Z é Z Z = + = 8, e, finamente: 6 = 8 Z = 8 QUESTÃO 05 Uma pirâmide reguar trianguar apresenta um voume V Determine o raio da circunferência circunscrita a uma das faces aterais da pirâmide em função de V, sabendo que o ânguo do vértice vae 0 C 05 β em função de m; b) o vaor de m para que α e β sejam raízes dessa equação

3 (9) 5-0 O EITE ESOVE IME 0 MTEMÁTIC DISCUSIVS Seja a pirâmide CD abaio, como especificado no enunciado: D or hipótese, podemos montar a seguinte figura: 0 e M Seja a face formada peo ΔD na figura anterior e o raio da circunferência circunscrita soicitado: 0º D h H C eo Teorema dos Senos, temos: sen0º = = = () Da primeira figura e da equação (), temos que V V = h = h h = 4 ém disso, peo teorema dos cossenos no triânguo D: = + cos0º = gora, sabendo que que ( ) ( ) = = + = H = =, temos, no triânguo DH, H + HD = D + h = 44 V + = 4 ( + ) 4 Mutipicando os dois ados por : V = + 44 V 6 = = ( + 5) ( 5) 44 V V ( 5) 6 + = 44 = 6 7 V 5 = 7 V 5 QUESTÃO 06 É dada uma paráboa de parâmetro p Traça-se a corda foca MN, que possui uma incinação de 60 em reação ao eio de simetria da paráboa projeção do ponto M sobre a diretriz é o ponto Q, e o proongamento da corda MN intercepta a diretriz no ponto Determine o perímetro do triânguo MQ em função de p, sabendo que N encontra-se no interior do segmento M 0º N Definindo o parâmetro da paráboa como sendo a distância entre o Foco (F) e a reta diretriz d, temos três triânguos retânguos: ΔMFF, ΔMQ e ΔF or trigonometria no triânguo ΔF, temos: o p sen0 = F = p e por itágoras, = p F Como o quadriátero QF F é um retânguo, F = F ' Q = p Da definição da paráboa, MQ = FM (a distância de um ponto quaquer da paráboa ao foco é igua à distância deste mesmo ponto à reta diretriz) Chamando FM =, temos que MQ = MF`+ QF`= MF`= p No ΔMFF, temos: o MF ' p sen0 = = = = p, ogo MQ = p MF or pitágoras, FF`= p, ogo Q = p ortanto, o perímetro do triânguo MQ é: MQ + M + Q = p + 4p + p = + p F 60º V p 0º Q QUESTÃO 07 Sejam r e s Z (inteiro) rove que (r + s) é mútipo de 7 se e somente se (9r + 5s) é mútipo de 7 or hipótese, temos que 7 7r + 7s, r,s rovando a ida: Se 7 r + s então 7 4 ( r + s), ou seja,7 8r + s Como 7 divide 7r + 7s e divide 8r + s, então 7 divide a subtração dees ogo, 7 divide 7r + 7s (8r + s) = 9r + 5s rovando a vota: Se 7 divide 7r + 7s e divide 9r + 5s, então 7 divide a subtração dees ssim, 7 divide 7r + 7s (9r + 5s) = 8r + s ortanto, temos: 7 8r + s 7 4 ( r + s) Como 7 é um número primo, e divide um produto, então 7 divide agum fator desse produto (podendo ser os dois fatores) Como 7 não divide 4, então 7 divide r + s, o que prova a vota ssim fica demonstrado que 7 r + s 7 9r + 5s, r,s QUESTÃO 08 Cacue as raízes de f ( ) em função de a, b e c, sendo a, b, c e (rea) e a b c f( ) = F d

4 (9) 5-0 O EITE ESOVE IME 0 MTEMÁTIC DISCUSIVS eo teorema de Jacobi, fazendo a primeira inha receber a soma das outras três inhas: a b c f ( ) = + a+ b+ c + a+ b+ c + a+ b+ c + a+ b+ c f ( ) = ea regra de Chió, apicada ao eemento a : a c a b a b c a c c b) or hipótese, as retas que passam por (,) têm equações da r y = m forma: odemos montar o gráfico a seguir: eo teorema de Jacobi, somando a segunda inha na primeira: a b+ c a b+ c 0 b c a c c 0 ( a b+ c) b c a c c ea regra de Chió, apicada ao eemento a : c a b ( a b+ c) a b c eo teorema de Jacobi, somando a segunda inha na primeira: + a b c + a b c ( a b+ c) a b c f ( ) = ( + a + b + c) ( a b + c) ( + a b c) a b c ( a b+ c) ( + a b c) ( a+ b c) ssim: f ( ) = 0 ( + a+ b+ c) ( a b+ c) ( + a b c) ( a+ b c) = 0 = ( a+ b+ c) ou = a+ b c ou = a+ b+ c ou = a b+ c QUESTÃO 09 Considere uma reta r que passa peo ponto (,) reta r intercepta a curva y y = 0 nos pontos e Determine: a) o ugar geométrico definido pea curva; b) a(s) possíve(is) equação(ões) da reta r, sabendo que = 7 a) odemos reescrever a cônica dada na forma y y = 0 y + y = y y = y ssim, temos duas possibiidades: y = y ( t) y = ( ) ( y) = ( y) ou ou y = y ( t) y = ogo, o ugar geométrico descrito pea curva é o conjunto formado por duas retas perpendicuares representadas no gráfico a seguir ( t t ): ssim, temos as seguintes situações: Os pontos e pertencem às retas da cônica e à reta dada, ou seja: = r t e = r t esovendo os sistemas para obter cada ponto, temos: ( m )( ) ( m )( ) m m =, e =, ; m+ + m+ + m+ m+ Cacuando as distâncias e, temos: ( m )( ) ( 5 ) + m ( 5 ) m = + = m+ + m+ + m = = ( 5+ ) ( m )( ) ( 5+ ) + m ( 5+ ) m = + = m+ m+ m = = ( 5 ) + + Mutipicando as distâncias, temos: ( m + ) ( m + ) = ( 5+ ) ( 5 ) m+ + m+ = 7 ( m + ) ( m + m )

5 (9) 5-0 O EITE ESOVE IME 0 MTEMÁTIC DISCUSIVS Como = 7, temos: ( m ) ( m m ) m + m = + m + = ( m + m ) = ( + m ) ou m + m = m ortanto, as souções das equações são: m + m = + m m= m= ou m + m = m m + m = 0 m = 0 oum = Substituindo os possíveis vaores de m encontrados na equação r y = m, obtemos as seguintes retas: m = 0 y = ; m = y = + ; m = y = + 5 Como a equação ( r) ( y ) m( ) = não cobre o caso da reta perpendicuar ao eio das abscissas que passa por, verifiquemos se a equação = atende às condições do enunciado: = y y = = 5 = y y = = 5+ Cacuando o produto, temos: = 5 5+ = 7, portanto = também é uma equação possíve para r ogo, as equações possíveis para r são: =, y =, y = + ou y = + 5 QUESTÃO 0 Os nove eementos de uma matriz M quadrada de ordem são preenchidos aeatoriamente com os números ou, com a mesma probabiidade de ocorrência Determine: a) o maior vaor possíve para o determinante de M; b) a probabiidade de que o determinante de M tenha este vaor máimo a) Considere (;y;z) uma terna ordenada cujas coordenadas vaem - ou Temos = 8 pontos possíveis em que satisfazem ta condição Observe que a representação desses pontos num sistema de coordenadas cartesianas é um cubo cujo centro é a origem D (-;;) C (-;;-) (;;) (;;-) Temos então três casos: ) Escohem-se três vértices na mesma face Usando, e C temos = 4 Note que, trocando duas inhas desse determinante de ugar então obtemos o vaor -4, de modo que escohendo três vértices distintos então os possíveis vaores para o determinante são 4 e -4 Note que rotacionando o sóido formado usando os vértices, e C obtemos os sóidos formados por D, CD, CD etc ) Escohem-se eatamente dois vértices na mesma face Caso dois sejam coineares com a origem ou então os três vértices escohidos sejam copanares com a origem não teremos um sóido formado e sim uma figura pana Nesse caso o voume será nuo, de modo que o determinante será zero Caso as situações anteriores não ocorram, os possíveis vaores do determinante serão 4 e -4 De fato, os possíveis sóidos seriam formados por rotações do sóido determinado por CE, cujo determinante é = 4 Novamente, trocando duas inhas desse determinante de ugar, seu vaor muda de sina, de modo que obtemos assim o vaor -4 Observe que se um mesmo vértice é escohido duas ou três vezes então o determinante é nuo, uma vez que será formado por duas ou três inhas que são iguais Esses casos não foram considerados anteriormente porque não geravam sóidos Desse modo, segue que os determinantes têm apenas vaores iguais a -4, 0 ou 4, de modo que o maior vaor do determinante é 4 b) O tota de modos que temos para escoher os três pontos e consequentemente as três inhas do determinante é dado por 8 = 5 modos Os casos do determinante nuo são: ) os três vértices escohidos são iguais: 8 possibiidades ) dois vértices escohidos são iguais e um é diferente: nesse caso temos um tota de 8 7 = 68 possibiidades ) os três vértices escohidos são diferentes: nesse caso o determinante será nuo se dois vértices forem coineares com a 4 origem, o que é dado por 6! = 44 ssim, o tota de casos com determinante nuo é = 0 Temos então que 5 0 = 9 casos têm determinante igua a ± 4, donde segue que 9 = 96 tem determinante igua a 4 ssim, a probabiidade do determinante ser máimo é dada por 96 = 5 6 H (-;-;-) G (;-;-) Equipe desta resoução E (-;-;) F (;-;) partir do produto vetoria misto, sabemos que se (, y, z ), (, y, z ) e (, y, z) são vetores então o móduo do determinante y z y z representa o voume do paraeepípedo determinado por y z tais vetores Matemática Darcy Gabrie ugusto de Camargo Cunha Feipe Mascagna ittencourt ima afae da Gama Cavaari odrigo do Carmo Siva evisão Eie arbosa da Siva Fabiano Gonçaves opes Marceo Duarte odrigues Cecchino Zabani Vagner Figueira de Faria Com isso, segue que, escohendo os vértices do cubo, não precisamos anaisar todos os casos, uma vez que todas as possíveis rotações destes vértices em torno da origem irão produzir sóidos semehantes, portanto com mesmo voume e, consequentemente, os móduos dos determinantes destes casos serão os mesmos Digitação, Diagramação e ubicação Edson Viea Gadbem Guiherme Magahães Itacarambi eneuppi 4