LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO II INTEGRAL DEFINIDA E SUAS APLICAÇÕES

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1 008 LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO II INTEGRAL DEFINIDA E SUAS APLICAÇÕES. Calcular a soma superior e inferir de f ( =. sen( no intervalo [0,] com divisões.,86 u.a. e,6 u.a.. Esboce o gráfico e aproime com até casas decimais a área da região limitada pelas curvas y=f(, o eio e as retas =a e =b indicadas abaio: a) f ( =, a=, b=, n=0, considerando etremo esquerdo e etremo direito.,68 u.a. e,09 u.a. f =, a = π, b = π 6 6 b) ( sen(,7 u.a. e,7 u.a., n=8, considerando etremo esquerdo e etremo direito.. Resolva as integrais definidas abaio: a) ( ) + 76 d b) ( ) 0 + d c) ( ) ( - ) 6 d) ( ) d + d

2 008 e) ( ) - + d f) ( 7) 8 + d - g) d 6 60 h) 9 t 8 t dt i) + 7 ln + d j) 9 t t dt. Esboce o gráfico e encontre a área da região limitada pelas curvas dadas:. Sendo [, ] a) =, = y e y = - + u.a. b) y = e = y u.a. c) y = e y = + 9 u.a.

3 008 = 6 d) y = e y 6 8 u.a. e) y = e, = 0, = e y = 0 (e ) u.a. f) y = sen e y = - sen, [0, π] 8 u.a. g) y = cos e y = cos, π π, 8 u.a h) Determine a área da região compreendida entre a parábola y = e a reta y = -. 9/. i) Determine a área da região do º. Quadrante que é limitada por y =, pelo eio e pela reta y =. 0/ j) Determine a área da região compreendida entre y = e y =. /. k) Calcule a área compreendida entre as curvas y = e y = /. l) Calcule a área compreendida entre a curva y = e o eio de = 0 a =. /. m) Ache a área do trapézio limitado pelas retas = e =, pelo eio e pela reta + y = n) Ache a área limitada pela curva y = +6, pelo eio de = - a =. 7/. o) Ache a área limitada pelas curvas y = 6 +8 e y =. 7/6.. Determine a área da região limitada pelas funções abaio:

4 008 a) 6 y = y = / + 9 u.a. b), y = 0, 0 -, - -0, -0, 0 0,, - -, - y = - -, / u.a. c) 9 8 y = 7 6 y = / u.a.

5 008 d) y = - + y = /6+9/+/6 u.a. 6. Calcular a área delimitada pelas curvas y =, y = e y = / u.a. 7. Calcular o valor de cada área do plano XoY delimitada pelas curvas y = cos( y = sen( u.a. e 8. Calcular a área do plano XoY delimitada pelas curvas abaio: a) y = e y = / u.a. b) y = 9 e y = / u.a. c) y = 6 e = 6y u.a. d) y = e = y 9/ u.a. 9. Num processo industrial, uma força variável faz deslocar uma caia sobre uma esteira por uma distância de m. Determine: a) O trabalho realizado pela força em kj; b) A força média aplicada em kn. b = F d a Dica: W ( )

6 008 F = 0,0 + 0, ( kn) a) W=, KJ b),88 KJ/m 0. O gráfico da vazão (m/min) pelo tempo (min), representa o consumo de gás (na temperatura constante) para um processo industrial. Determine para os 0 min de processo: a) Volume consumido de gás; b) O tempo necessário para consumir 0% do volume anterior. t Vol. = vazãodt t Vazão = t ( m /min) a) V=, m b) t = 7, minutos. 6

7 008. Esboce o gráfico e determine o volume da região localizada entre as funções abaio em torno dos eios indicados: a) y = (, = e = em torno eio 8π u. b) y = e = y em torno eio π u. c) y = [, ] em torno eio π u. 69 π u. 0 d) f ( = + g( = e [ 0, ] em torno eio e) y = e y = em torno eio π u. f) y =, = 0 e y = em torno eio y π u. g) y = 6 e y = 6 em torno eio y. 08π u. v h) y = y = e = 0 em torno eio y π u. i) y = ln y = y = e = 0 em torno eio y π e u. e 7

8 008. Considere a região limitada por : y = e pela rotação da região: a) em torno do eio ; b) em torno do eio y. π π a) b) 6 y =. Determine o volume do sólido gerado. Considere a região limitada por: y = ; y = 0; = e =. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região: a) em torno do eio ; b) em torno do eio y; c) em torno da reta =. π π π a) b) c) 6. Usando integral para sólido de revolução, deduza o volume do cone gerado pela rotação em Y, do triângulo ao lado definido no primeiro quadrante. Y h π r h r X. Faça a montagem da epressão necessária para o cálculo do volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas equações em torno do eio : + y 0 = e y + = 0 y 8

9 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região indicada em relação ao eio. y = ; y = e y = 0 π (7 + 6 ) 0 7. Podemos calcular o volume de um sólido se soubermos como varia a área, de sua seção, em relação a direção de integração. Veja: b V = A( d a Considere um sólido cuja seção é formada por círculos, perpendiculares ao eio, com etremidades apoiadas em y 0 e em y [0 ; ]. = =. Determine seu volume para 8 π 8. Faça similar a questão 6, porém com seção formada por quadrados. 6/ 9

10 Faça similar a questão 6, porém com seção formada por triângulos equiláteros. 0. Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eio dos, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas. a) y = +, = 0, = e y = 0. 6π u. b) y = +, = 0, = e y = 0. 06π u. c) y = e y =. π u. d) y =, = -, = e y = 0. π u. 7. Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eio dos y, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas. a) y = ln, y = -, y = e =0. πe π - e u. b) = y +, = ½, y = - e y =. π u. 0 0

11 008 c) y =, = 0, y = ¼ e y =. π u.. Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eios dados. a) y =, y = 0, = 0, = ; ao redor do eio dos. 7π u. b) y =, = 0, y = 0, y = ; ao redor do eio dos y. 8π u. c) y =, =, = e y = ; ao redor do eio y =. π u. d) = y e = y ; ao redor do eio dos y. 6π u.. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y =, da região limitada por y =, = -, = e y =. π u.. Uma criança rolando uma pedra utiliza uma força F ( = 0 + sen( Newtons sobre ela, quando esta rola metros. Quanto trabalho deve a criança realizar, para fazer a pedra rolar metros? 6-cos() N.m. Calcular o trabalho realizado pela força periódica F( = 0 cos( durante períodos. 60 π 6.Calcular o valor médio da força aplicada no primeiro quadrante da questão anterior. 0 u.f.

12 O preço da carne moída nos supermercados pode ser modelado pela função P ( t) = 0,08t 0,t + ( sendo t meses após o início do ano e P preço da carne em reais por quilo). Qual foi o preço médio da carne nos primeiros meses do ano? R$0, 6 8. O número de bactérias presente em uma cultura após t minutos pode ser epresso pela t função Q( t) = 0e + 00sen( t) Segundo essa função, qual o número médio de bactérias durante os primeiros minutos? Com t meses de eperiência um funcionário do correio é capaz de separar t Q( t) = e + 8t + 0t + 00 cartas por hora. Qual é a velocidade média com que um funcionário consegue separa a correspondência durante os primeiros meses de trabalho? cartas/hora 0. A temperatura em certo aeroporto t horas após a meia noite pode ser epressa pela função T = 0,t + t + sen( + 0 o C. Qual foi a temperatura média no aeroporto entre 9 horas e meio dia? 6,9º C. No projeto da câmara para uma máquina de jateamento de peças metálicas, surge na necessidade da determinação do centro de massa das blindagens compostas por chapas de mesma espessura. Considere as medidas em metros. a) (0,; 0,8)

13 008 b) f( = + 0, (0,6;0,) c) y = + 0, para 0, 0, y = para 0 0, (0,08; 0,)