GABARITO LISTA 5 = REVISÃO GEOMETRIA ESPACIAL: PRISMAS, CILINDROS, PIRÂMIDES, CONES E ESFERAS.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA Professores: Luis Mazzei e Mariana Duro Acadêmicos: Marcos Vinícius e Diego Martinei GABARITO LISTA 5 = REVISÃO GEOMETRIA ESPACIAL: PRISMAS, CILINDROS, PIRÂMIDES, CONES E ESFERAS. 1) a) S base = 6 a ² = 4 cm² S atera = 6*a* = 15 cm² S tota = S atera + * S base = 15 + Voume = S base * = 15 4 cm³ cm² b) S atera = π r = 5π cm² S tota = π r( + r) = 7π cm² Voume = π r² = 5 π cm³ ) B Um prisma é todo poiedro formado por uma face superior e uma face inferior paraeas e congruentes (também camadas de bases) igadas por arestas. As aterais de um prisma são paraeogramos. A nomencatura dos prismas é dada de acordo a forma das bases. Assim, se temos exágonos nas bases, teremos um prisma exagona. O prisma pode ser cassificado em reto quando suas arestas aterais são perpendicuares às bases, e obíquo quando não são. Assim, são prismas os sóidos P (prisma exagona reguar), S (ciindro) e T (paraeepípedo: forma tridimensiona cujas 6 faces são paraeogramos. O paraeepípedo pode ser definido de três formas distintas: um prisma cuja base é um paraeogramo; um exaedro do qua cada face é um paraeogramo e/ou um exaedro com três pares de faces paraeas). ) O voume será igua ao produto área da base pea atura. v Área do trapézio: É necessário cacuar a atura do trapézio. Peo deseno, temos: = ² (0,5)² = 4 0,5 1,9 cm. Logo a área é: S base (,5) + (1,5) *1,9 = =,86 cm² v O voume do cocoate será: V= (,86)*(1) = 46, cm³

2 4) O deseno mostra a parte retirada de cada ado e a caixa construída na forma de um paraeepípedo. O voume será V = (54) x (4) x (8) = cm. 5) O piso terá a forma de um paraeepípedo muito fino, já que sua espessura é de 0,0m. Esse piso entrará em cada box. O voume de cada piso é V = (,5) * (5) * (0,0) =,5 m. O voume tota utiizado nos 18 boxes será V = (18) * (,5) = 6 m. 6) Cacuando a área tota, temos: A tota = *[(0,5)*(,5) + (0,5)*(4)*(,5)*(4)] = 6,5 m². Logo, empregando 5 m por itro, serão gastos 6,5 m² 5 m² / itro = 5, itros. 7) No triânguo isóscees, a atura também é a mediana (segmento de reta que une cada vértice do triânguo ao ponto médio do ado oposto). a = + = = cm Pea reação de Pitágoras temos: ² ² 4² 5 5 O perímetro da base vae: 5 cm + 5 cm + 8 cm = 18 cm A atura do prisma vae 1 *18 cm = 6cm S base = 8* = 1 cm² S atera = (8 * 6) + * (5 * 6) = 108 cm² S tota = S base + S atera S tota = * 1 = 1 cm² 8) B Como a área tota de um tetraedro é dada por S tota = a ² tetraedro é S tota = t², e tendo que sua aresta vae t, a área tota do. De nove triânguos dados, temos que (os estiizados) correspondem a um terça da área. Logo, a soma das áreas de todas as foas de todos os trevos desenados é: t² * 1 = t² 9) D S tota = ² a = ( ) a * = a ². 10) d = a + b + c 100 = (0k) + (1k) + (9k) 100 = 65k Assim, 5k = 100 k = 4 Então, a = 0 * 4 = 80; b = 1 * 4 = 48 m; c = 9 * 4 = 6 m Voume = a * b * c = 80 * 48 * 6 = m³

3 11) 1) A Como a base da pirâmide quadranguar reguar está circunscrita a um circuo de 10π m, o vaor do seu apótema da base será igua ao raio do círcuo. Como a atura é igua ao apótema da base, atura da pirâmide = apótema da base = raio do círcuo. 10π = π r² r = 10 cm = m = g² = ² + m² g² =( 10 ) +( 10 ) g² = 0 g = 0 cm m = 10 = = 10 cm S atera = * g * = 4* = 4* 10 0 = 4 00 = 4*10 = 40 cm² 1) O raio da base de um exágono reguar é igua a aresta da base. Ou seja, r = a =. * Como o voume de uma pirâmide é dado por V = e o seu vaor é igua a 1, podemos escrever: 6* a²* * 1 1 = *. Simpificando a equação, encontramos = a² *. 4 Isoando o, temos a ² =. Substituindo a = r =, encontramos que =. 9 14) Aresta da base ( ) = Aresta atera ( a ) 16 = ² = 4 cm Usando o Teorema de Pitágoras, podemos encontrar o vaor de r (raio da circunferência circunscrita à pirâmide) que é igua a 8 =. a² = ² + r² 4² = ( )² + ² 16 = 8 + ² ² = 8 = 8 = cm

4 15) S = S + S tota base atera S = ² + * * g tota = 0 mm = 80 mm m = = 40 mm g² = ² + m² g² = (0)² + (40)² g² =.500 g = 50 mm S = (80)² + *(40)*(50) tota S = S tota tota = cm² 16) B A base é um quadrado, ogo se o apótema da base vae a metade do ado. Isto é, m = 4 m. O apótema da pirâmide é a atura do triânguo que forma a face atera. Logo g = 5 m. Resovendo o triânguo retânguo com a atura como cateto, temos: = (5) (4) = 5 16 = 9 = * 64* O voume vae V = = = 64 m³. Como 1 m = 1000 dm³, temos que 64 m³ é equivaente a dm³. Como 1 dm³ possui 1 itro de ar de capacidade, dm³ possui itros de ar. 17) A Podemos imaginar a tenda como um conjunto de 6 triânguos isóscees: cada um com a base em uma das arestas do exágono da base e o vértice oposto à base, comum, ocaizado à metros de atura, bem no centro do exágono. Se um exágono é reguar, então o seu centro está distante de um de seus vértices de uma medida igua a sua aresta. Isso porque o exágono reguar de aresta a pode ser dividido em 6 triânguos equiáteros de ado a. Portanto, se imaginarmos um triânguo retânguo cujos ados são: Hipotenusa (a) = ado do triânguo isóscees de um dos ados da pirâmide. Cateto = distância entre um vértice do exágono e seu centro = aresta do exágono = m. O outro Cateto () = atura da pirâmide = m. Sabemos: a² = ² + ² a² = 1 a = 1 m Como a área do triânguo isóscees é dada por o ado deste triânguo isóscees é a aresta da face a que vae 1 m. Ou seja, a atura = Área = * = m² 4 ² 4 = 1 1 = 1 = m. b *, onde b a aresta do exágono ( m) e = a² A pirâmide tem 6 ados, mas 1 foi usado como porta, portanto, somente 5 foram cobertos com tecido: 5 * m² = 10 m², já que

5 18) C Seja 1 a atura do prisma e a atura da pirâmide, temos que: O voume do prisma é V prisma = S base * 1 O voume da pirâmide V pirâmide = No entanto, V prisma = * V pirâmide, ou seja: S base * 1 = * * S. Como base * (PRISMA) = S base(pirâmide), então V pirâmide =. *. Simpificando,resuta que 1 =. Concui-se que o prisma tem uma atura de / da atura da pirâmide, isto é, o prisma possui o tripo da metade da atura da pirâmide. 19) V = 4 *π *r³ 4 V = *π *10³ 4000 V = π cm³ Como são 0 esferas devemos mutipicar por 0: V tota = π cm³ Temos agora uma nova equação, em que queremos encontrar o raio da nova esfera π 4 = *π * r³ = 4 * r³ r = cm = 100 cm 0) Neste probema, temos de encontrar a área tota das boinas. S tota = 4π r² S tota = 4π ² S tota = 6π cm² Essa área tota corresponde a uma boina, mas temos 100, ou seja: 6π *100 = 600π cm² 1) Basta cacuar o voume da aranja e dividir por 8. V aranja = 4 *π * r³ V aranja = 4 *π * 4³ V aranja = 56 π cm³ Dividindo por 8, encontramos: V (cada) gomo = π cm³ ) Se apicarmos a apicação da fórmua de área da base do ciindro, encontramos um raio igua a 4 cm. Acompane: S base =π r² 16π =π r² r = 4 cm

6 S atera = *π * r * 50π = *π * 4 * = 15 4 cm Voume = S base * Voume = 16π * 15 4 Voume = 500π cm³ Como a água tem uma vazão de 5 cm³/s, basta dividir o seu voume do ciindro por π 5π = 100 s ) A Para sabermos o que vai acontecer quando coocarmos itros de água no cano, devemos, em primeiro ugar, descobrir quantos itros cabem neste cano. Para isto, vamos cacuar o voume do cano, embrando que seu voume é dado por: Sendo raio = 5 cm e atura = 0 cm, obtemos: O voume encontrado está expresso em cm. Vamos convertê-o: *Para miiitros: *Para itros: Assim temos que a capacidade do cano é de,55 e, portanto, se coocarmos de água no cano, a água utrapassa o meio do cano. 4) Como sabemos que a superfície tota é dada por S tota = π RH+ π R², podemos substituir o vaor fornecido peo exercício e, como sabemos que a atura de um ciindro equiátero é o dobro do raio, conseguimos encontrar o vaor do raio que é igua a cm. V ciindro =π R²*H V ciindro = π 4*4 V ciindro = 16π cm³ Agora temos de dividir o voume de mio que queremos distribuir nas atas para saber quantas atas será necessário. 176π /16π =11 atas

7 5) Apicando Pitágoras, encontramos o outro cateto (o oposto), de ado cm (note que é atura do cone, que é o sóido resutante da rotação competa em torno desse ado). V cone = π r² V cone = 16π cm³ 6) C V esfera = 4 π r ³ A esfera = 4π r ² V A esfera esfera = r Como o exercício propõe, a razão entre o voume e a esfera é igua a. Sendo assim, iguaamos as duas razões, ou seja, r = r = 9 V esfera = 4 π r ³ = 4 π (9)³ = 97π A esfera = 4π r ² = 4π (9)² = 4π 7) D RAIO DA ESFERA E DO CILINDRO r = d r = 5 dm V esfera = 4 π r ³ = 4 π (5)³ = 500 π dm³ V ciindro = π r² = π (5)²*(8) = 00 π dm³ S superfície esférica = 4 π r² = 4 π (5)² = 100 π dm² S atera do ciindro = π r = π *5*8 = 80 π dm² 8) D V ciindro = r² π V esfera = 4 π r ³ Para saber o número de doces, devemos dividir o voume tota de massa peo voume de uma única boina. Assim, sendo "n" o número de boinas, temos: V esfera = boina = 4 π r ³ 4 π ()³ π = = cm³ V ciindro = massa (panea ciíndrica) = π r² = π (10)²*(16) = 1600 π cm³ V ciindro = massa (panea ciíndrica) V esfera = boina = n = 1600 π π n = 150, ou seja, podem-se obter 150 boinas.