Emerson Marcos Furtado

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1 Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pea Universidade Federa do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pea UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 199. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde Professor da Universidade Positivo de 000 a 005. utor de ivros didáticos destinados a concursos púbicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio ógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 003 a 007. Professor sócio do Coégio Positivo de Joinvie desde 006. Sócio-diretor da Empresa Teorema Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 005. utor de materia didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 005 a 009. Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 199, ecionando as discipinas de raciocínio ógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consutor da Empresa Resut Consutoria em vaiação de Curitiba de 1998 a 000. Consutor em Estatística picada com projetos de pesquisa desenvovidos nas áreas socioeconômica, quaidade, educaciona, industria e eeições desde Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvovimento (Iprocade) desde 008. utor de questões para concursos púbicos no estado do Paraná desde 003.

2 Nesta aua estudaremos tópicos de geometria pana. geometria pana é a parte da Matemática que estuda as figuras geométricas bidimensionais, ou seja, figuras que podem ser observadas em um pano. Iniciaremos nossos estudos a partir dos triânguos. Triânguos O estudo de triânguos é um dos assuntos mais importantes na Geometria Pana, abrangendo interações com outras figuras geométricas, possibiitando reações importantes, aém de serem eementos básicos constituintes de figuras poigonais com mais do que três ados. Observe a definição de triânguo: Triânguo é quaquer poígono composto por exatamente três ados. C Eementos principais de um triânguo Os principais eementos de um triânguo são os ados, os vértices e os ânguos internos. 317

3 Â Ĉ C Considerando o triânguo C acima, temos: Lados: são os segmentos, C e C. Vértices: são os pontos:, e C. Ânguos internos: são os ânguos, e C. Soma dos ânguos internos de um triânguo É importante reembrar de uma propriedade que reaciona os ânguos internos de um triânguo. Observe o triânguo a seguir: Ĉ Â C Se, peo vértice, traçarmos, uma reta paraea a C, obteremos ânguos congruentes aos ânguos e C. Os três ânguos destacados no vértice, juntos, correspondem a um ânguo de 180. Logo, podemos concuir que: + + C = 180 Portanto, em quaquer triânguo, a soma dos ânguos internos é sempre igua a 180. Esta reação é conhecida como teorema anguar de Taes. 318

4 Congruência e semehança de figuras panas s formas geométricas que observamos na natureza, nas obras de arte e até em tehados de casas são, muitas vezes, representadas por figuras semehantes. Para iustrar, observe o desenho, no qua os segmentos M e N são respectivamente paraeos aos segmentos PN e PM : C M N P Nessa iustração, é possíve observar cinco triânguos: C, PM, PN, MNC e PMN. Todos ees são semehantes entre si, pois os ânguos correspondentes têm a mesma medida. Entretanto, apenas um dos triânguos não é congruente com os outros. O triânguo C, apesar de ser semehante, não é congruente com os demais, porque as medidas dos seus ados são diferentes das medidas dos ados correspondentes dos outros triânguos. partir dessas ideias, podemos formaizar o conceito de semehança. Triânguos semehantes Dado o triânguo C a seguir, vamos traçar uma reta r, paraea ao ado determinando o segmento DE e destacando o triânguo DEC. 319

5 C C r D E D E Se é paraeo a DE, os ânguos C e CDE são congruentes. Pea mesma razão, também serão os ânguos C e DEC. Como o ânguo C é comum aos triânguos C e DEC, concui-se que tais triânguos são semehantes, pois apresentam os três ânguos respectivamente congruentes. Devido à semehança, escrevemos C DEC, e estabeecemos uma proporção entre as medidas dos ados homóogos: DE = C C DC = EC = k O vaor de k é a constante de proporcionaidade. Existem agumas situações em que é possíve identificar triânguos semehantes. mais comum consiste em se avaiar se um dos triânguos possui dois ânguos que têm a mesma medida que dois ânguos em um segundo triânguo. Como a soma das medidas dos três ânguos internos de quaquer triânguo deve ser igua a 180, os terceiros ânguos de cada triânguo terão as mesmas medidas, o que garante a vaidade da semehança. Teorema de Taes O geômetra grego conhecido como Taes de Mieto deixou importantes resutados na geometria pana. Vamos estudar um de seus mais conhecidos teoremas. Considere um feixe de retas paraeas, r, s e t, cortadas por duas transversais, u e v, aeatoriamente traçadas. 30

6 u v a b C D a E b F r s t = a, C = b, DE = a, EF = b Peos pontos e são traçadas as retas v 1 e v, paraeas à reta v, destacando os pontos E, F e F : u v a b C a E b b F F D a E b F r s t v v 1 Os triânguos E, CF e CF são semehantes entre si, pois os ânguos correspondentes são iguais. Logo, podemos escrever: a b a b = = + a b a + b Esse resutado caracteriza o que se denomina Teorema de Taes: Um feixe de retas paraeas intersectado por duas transversais determina sobre essas transversais segmentos proporcionais. Exempo: Na iustração, as retas r, s, t, u, v são paraeas. 31

7 Quais são as medidas x, y, z e w? y w z u 108 t x s 10 r v Como as retas r, s, t, u e v são paraeas, podemos utiizar o Teorema de Taes: 10 x 108 z 80 = = = = y 75 w Então, particuarizando as proporções, temos: 10 x 4 x = = 3x= 348 x= 116m = = 4y= 34 y= 81m y 3 y 10 z 4 z = = 3z= 300 z= 100m = = 4w = 40 w= 60m w 3 w 3

8 Triânguo retânguo Vamos estudar agora um tipo de triânguo que se destaca na resoução de probemas geométricos: o triânguo retânguo. Definição: triânguo retânguo é todo triânguo que apresenta um ânguo reto, ou seja, um ânguo de 90. Vamos iniciar considerando um triânguo C, retânguo em. Nesse triânguo, traçamos a atura D, reativa à hipotenusa C, e destacamos os triânguos CD e D que, assim como C, também são triânguos retânguos. b h c C m D n Eementos importantes: C: hipotenusa; C e : catetos; D: atura reativa à hipotenusa; CD e D: projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Os triânguos C, DC e D são triânguos retânguos. Logo, como a soma dos ânguos internos de um triânguo é sempre 180 e um dos ânguos é reto (90 ), concuímos que cada um dees tem um par de ânguos compementares. Consequentemente, os triânguos C, DC e D são semehantes entre si: b β h α c C α m D n β 33

9 Triânguo C: Triânguo DC: Triânguo D: b c m D h h D n C a C b c Da semehança existente entre os três triânguos, podemos obter reações importantes entre as medidas de seus ados, observe: C DC: b m a = b = am. b medida de um cateto ao quadrado é igua ao produto da medida da hipotenusa pea medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa. E ainda: a b c = bc. = ah. h O produto das medidas dos catetos é igua ao produto da medida da hipotenusa pea medida da atura reativa a essa hipotenusa. C D: c n a = c = an. c medida de um cateto ao quadrado é igua ao produto da medida da hipotenusa pea medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa DC D: m h h = h = mn. n medida da atura reativa à hipotenusa, ao quadrado, é igua ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 34

10 Há ainda uma reação que pode ser obtida a partir de duas dessas equações, observe: b = a. m c = a. m dicionando membro a membro, temos: b + c = a. m + a. n b + c = a. (m + n) b + c = a. a b + c = a Esse resutado destaca a vaidade do teorema de Pitágoras em quaquer triânguo retânguo: O quadrado da hipotenusa é igua à soma das medidas dos quadrados dos dois catetos. Circunferência e círcuo Preste atenção ao conceito de circunferência: Circunferência é o conjunto dos pontos de um pano cuja distância a um ponto dado desse pano é fixa. O ponto dado é chamado de centro e a distância fixa é o raio da circunferência. O R P O: centro da circunferência OP: raio da circunferência (R) circunferência Pea definição, a circunferência é o ugar geométrico constituído apenas pea inha formada peos pontos que estão a mesma distância R do centro O. 35

11 Comprimento da circunferência Uma reação bastante úti na geometria é a que permite avaiar o comprimento de uma circunferência apenas a partir da medida do próprio raio. medida do comprimento de uma circunferência de raio de medida R, representada por C, é dada por: C = πr em que π vae aproximadamente 3,14. P P P P C = πr ém da circunferência, outro conceito importante é o de círcuo: Círcuo é o conjunto dos pontos de um pano pertencentes a uma circunferência e interiores a ea. R Círcuo de raio R e centro em O Área do círcuo É possíve provar que a medida da área de um círcuo de raio R, representada por S, é dada por: S = πr Eementos da circunferência ém do raio, existem outros eementos importantes em uma circunferência, tais como diâmetro, corda e arco. Observe aguns conceitos importantes: 36

12 Reta secante a uma circunferência é toda reta que corta a circunferência em dois pontos distintos. Reta tangente a uma circunferência é toda reta que toca a circunferência num único ponto. rco de uma circunferência é uma parte da circunferência deimitada por dois pontos pertencentes à circunferência. Corda de uma circunferência é quaquer segmento de reta que tenha extremidades na circunferência. Na figura a seguir, o segmento é o diâmetro da circunferência, sendo, portanto, uma das cordas de maior medida possíve nessa circunferência. O Observe na figura a seguir que a reta s é secante à circunferência nos pontos C e D, e a reta t é tangente à circunferência no ponto P. Os dois pontos distintos C e D determinam a corda CD e os arcos CD e CPD. C D s (secante) t (tangente) P O ponto P é chamado de ponto de tangência ou ponto de contato da reta t com a circunferência. Peas iustrações, podemos concuir que quaquer reta secante a uma circunferência determina na circunferência uma corda e dois arcos. 37

13 Eementos do círcuo Existem dois eementos importantes a serem considerados em um círcuo: o setor circuar e o segmento circuar. Para mehor compreender esses conceitos, é importante reembrar o conceito de ânguo centra. Ânguo centra é todo ânguo com vértice no centro de um círcuo. O α α ânguo centra Ô tem medida α Não é difíci perceber que todo ânguo centra corresponde a um arco e, reciprocamente, a todo arco, um ânguo centra. Setor circuar Setor circuar é a região de um círcuo deimitada por um ânguo centra. O R R α setor circuar de ânguo α área de um setor circuar pode ser obtida por meio de uma proporção reacionando o ânguo de 360, referente à totaidade do círcuo, com o ânguo do setor especificamente. ssim, sendo α o ânguo centra de um setor circuar de área S set, pertencente a um círcuo de raio R, temos: ânguo área 360 πr α S set Um setor circuar também pode ser identificado peo comprimento do arco correspondente. 38

14 R O R α é o comprimento do arco  Nesse caso, a área também pode ser obtida por meio de uma proporção reacionando as medidas das áreas e dos comprimentos. Sendo a medida do comprimento de um arco de um setor circuar pertencente a um círcuo de raio R, temos: área comprimento πr πr S set Segmento circuar Segmento circuar é a parte de um setor circuar compreendida entre a corda e o arco reativos ao setor. O R α segmento circuar reativo à corda R área de um segmento circuar, representada por S seg, pode ser obtida pea diferença entre as áreas do setor circuar correspondente e do triânguo isóscees O, que tem R como dois de seus ados e a corda como terceiro ado. ssim, temos: S seg = S set S triânguo Ânguo inscrito em uma circunferência Ânguo inscrito é a denominação dada a todo ânguo cujo vértice pertença a uma circunferência e cujos ados sejam secantes a ea. 39

15 Exempo: V V é um ânguo inscrito na circunferência Existem duas propriedades importantes reacionadas a um ânguo inscrito de uma circunferência. Propriedade 1 medida de um ânguo inscrito é igua à metade da medida do ânguo centra correspondente. Exempo: Na iustração, a medida do ânguo inscrito P medida do ânguo centra O : é igua à metade da P α O α mo ( ) mp ( ) = Propriedade Ânguos inscritos em uma mesma circunferência, que são reativos a um mesmo arco, têm medidas iguais. α α α Os ânguos inscritos enxergam o arco  segundo o mesmo ânguo α 330

16 Observe, na figura, que os três ânguos inscritos são reativos ao mesmo arco. Logo, de acordo com a propriedade 1, todos são reativos ao mesmo ânguo centra de medida α, e, portanto, têm a mesma medida α. Uma consequência importante da propriedade 1 anterior é a que quando os extremos de um arco são os extremos de um diâmetro, cada um dos arcos é uma semicircunferência e a medida de cada um dos arcos é igua a 180. ssim, se considerarmos um ponto quaquer P sobre uma das semicircunferências, podemos concuir que o ânguo P mede 90. Observe: P α 180º 180 Pea propriedade anterior, a= a= 90. Dessa forma, quaquer triânguo inscrito numa circunferência, que tenha um dos ados coincidindo com o diâmetro da circunferência, certamente será retânguo. P α O Se o ado é diâmetro, o triânguo P é retânguo em P Propriedades compementares 1. Dada uma reta t tangente a uma circunferência num ponto P, o raio com extremidade em P será sempre perpendicuar à reta t. R P PO t O t 331

17 . De um ponto P externo a uma circunferência, é possíve traçar duas retas tangentes à circunferência. Se os pontos de tangência forem e, os segmentos P e P têm medidas iguais. P P = P Poígonos reguares Fique atento à seguinte definição: Poígonos reguares são aquees que apresentam todos os ados congruentes e todos os ânguos congruentes. Dessa forma, por exempo, o triânguo reguar é o triânguo equiátero e o quadriátero reguar é o quadrado. Todos os poígonos reguares são inscritíveis, ou seja, admitem uma circunferência que passa peos seus vértices. Essa circunferência é denominada circunferência circunscrita. Observe estas figuras: 33

18 Todos os poígonos reguares são circunscritíveis, ou seja, admitem uma circunferência que tangencia os ados do poígono nos respectivos pontos médios. Essa circunferência é denominada circunferência inscrita. Exempos: Quadrado circunscrito Pentágono reguar circunscrito Hexágono reguar circunscrito O raio da circunferência inscrita em um poígono é denominado apótema do poígono. r é o apótema Embora existam infinitos poígonos reguares, destacaremos o estudo do triânguo equiátero, do quadrado e do hexágono reguar. Triânguo equiátero O triânguo equiátero é o único poígono reguar composto por exatamente três ados congruentes possuindo, portanto, três ânguos internos de mesma medida. Observe um triânguo equiátero de ado medindo, atura medindo h cujas circunferências inscrita e circunscrita possuem raios medindo r e R, respectivamente. h R r 333

19 Se a soma dos ânguos internos é igua a 180 e todos os ânguos são congruentes, então cada um dos ânguos internos mede 60. ém disso, a bissetriz de quaquer ânguo interno passa peo centro coincidente das circunferências inscrita e circunscrita, dividindo o ânguo interno em dois ânguos de º h r R 30º medida da atura do triânguo retânguo pode ser obtida utiizando razões trigonométricas: sen 60 h = 3 h 3 = h = medida do raio da circunferência inscrita também pode ser obtida por meio de razões trigonométricas: tg 30 r = = r=. r=. h Por outro ado, também é possíve escrever: sen 30 = r R 1 r = R = r r=. h R 3 334

20 área de um triânguo quaquer é igua ao semiproduto das medidas da base e da atura correspondentes. base. atura S = No caso do triânguo equiátero de ado e atura h, temos: h S =. Se a medida da atura é igua a h = 3, então: S = 3. Portanto, a medida da área de um triânguo equiátero é dada por: S = 3 4 Quadrado O quadrado é o quadriátero composto por quatro ados congruentes possuindo quatro ânguos retos. Na próxima iustração pode-se observar um quadrado de ado medindo, diagona d e as circunferências inscrita e circunscrita de raios r e R, respectivamente. R d r 335

21 medida da área de um quadrado de ado é igua ao produto das medidas de dois quaisquer de seus ados, ou seja: S =. S = medida da diagona pode ser obtida por meio do teorema de Pitágoras: D C d 45º d = + d = d= d= Observe que a medida do raio da circunferência inscrita é igua à metade da medida de um ado, ou seja: r = medida do raio da circunferência circunscrita é igua à metade da medida de uma diagona: R d = ou R = Hexágono reguar O hexágono reguar é um poígono reguar composto por seis ados congruentes e seis ânguos internos iguais. 336

22 Na figura a seguir vemos um hexágono reguar de ado e as circunferências inscrita e circunscrita de raios r e R, respectivamente. α r R Como todos os ados têm a mesma medida, os seis arcos, determinados peas cordas correspondentes aos ados, são congruentes. Portanto, a medida do ânguo centra α é dada por 360 = 60. Os ados adjacentes ao 6 ânguo α são congruentes e, portanto, os outros dois ânguos do triânguo também o são. Logo, os triânguos componentes do hexágono reguar são triânguos equiáteros de modo que a medida da área do hexágono reguar é igua a seis vezes a medida da área de um triânguo equiátero, ou seja: 3 S = 6. 4 Para encontrar a medida do apótema, observe a iustração: R r R medida do raio da circunferência inscrita é igua à medida da atura de um dos seis triânguos equiáteros componentes do hexágono reguar: r = 3 337

23 medida do raio da circunferência circunscrita pode ser encontrada de forma imediata, pois se os triânguos são equiáteros, os ados congruentes, ou seja: R = Resoução de questões 1. (Funrio) Na figura abaixo, CD é um quadrado. Se EF = 1cm e a atura do triânguo EFG, reativa ao ado EF, mede 6cm, a medida da área do quadrado CD, em cm, é igua a: G D C E F a) 5. b) 0. c) 16. d) 1. e) 14.. (Esaf) O raio do círcuo é 30% menor do que o raio do círcuo. Desse modo, em termos percentuais, a área do círcuo é menor do que a área do círcuo em: a) 51%. b) 49%. c) 30%. d) 70%. 338 e) 90%.

24 3. (Esaf) Em um poígono de n ados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igua ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igua a: a) 11. b) 1. c) 10. d) 15. e) (Esaf) Em um triânguo C quaquer, um dos ados mede cm e um outro mede cm. Se o ânguo formado por esses dois ados mede 45, então a área do triânguo, em cm, é igua a: a) 3 -/3. b) /. c) -/. d) 3 3. e) (Esaf) Fernando, João Guiherme e runo encontram-se perdidos, uns dos outros, no meio da foresta. Cada um está parado em um ponto, gritando o mais ato possíve, para que os outros possam ocaizá-o. Há um único ponto em que é possíve ouvir simutaneamente Fernando e runo, um outro único ponto (diferente daquee) em que é possíve ouvir simutaneamente runo e João Guiherme, e há ainda um outro único ponto (diferente dos outros dois) em que é possíve ouvir simutaneamente João Guiherme e Fernando. runo encontra-se, em inha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra Fernando. Fernando, por sua vez, está a 350 metros, também em inha reta, do ponto onde está João Guiherme. Fernando grita o suficiente para que seja possíve ouvi-o em quaquer ponto até uma distância de 50 metros de onde ee se encontra. Portanto, a distância em inha reta, em metros, entre os pontos em que se encontram runo e João Guiherme é: 339

25 a) 650. b) 600. c) 500. d) 700. e) (Esaf) Um quadro retanguar cobre exatamente 5% da área de uma parede, também retanguar, que mede 3 metros de atura por metros de argura. Sabe-se que as dimensões do quadro estão na mesma razão que as da parede, isto é, que sua atura está para sua argura assim como 3 está para. ssim, se quiséssemos que o quadro cobrisse exatamente toda a superfície da parede, deveríamos mutipicar a sua atura e a sua argura por: a). b) 3. c) 4. d) 5. e) (Esaf) Um feixe de quatro retas paraeas determina sobre uma reta transversa,, segmentos que medem cm, 10cm e 18cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paraeas determina sobre uma reta transversa,, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversa, compreendido entre a primeira e a quarta paraea, mede 90cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversa são iguais a: a) 6, 30 e 54. b) 6, 34 e 50. c) 10, 30 e 50. d) 14, 6 e 50. e) 14, 0 e

26 8. (Esaf) Um trapézio CD possui base maior igua a 0cm, base menor igua a 8cm e atura igua a 15cm. ssim, a atura, em cm, do triânguo imitado pea base menor e o proongamento dos ados não paraeos do trapézio é igua a: a) 10. b) 5. c) 7. d) 17. e) (Esaf)s rodas de um automóve têm 40cm de raio. Sabendo-se que cada roda deu votas, então a distância percorrida peo automóve, em quiômetros (km), foi de: a) 16km. b) 16πkm. c) 16π km. d) 1, πkm. e) 1, π km. 10. (Esaf) Um hexágono é reguar quando, unindo-se seu centro a cada um de seus vértices, obtém-se seis triânguos equiáteros. Desse modo, se o ado de um dos triânguos assim obtidos é igua a 3 m, então a área, em metros, do hexágono é igua a: a) b) c) 3. d) 3 3. e)

27 Dica de estudo O bom desempenho em Geometria pana exige a resoução de muitos exercícios para que o raciocínio visua se desenvova. ssim, embora agumas pessoas tenham mais faciidade que outras, a habiidade na resoução de probemas geométricos é obtida progressivamente. Estude bem os triânguos e o círcuo. Com ees, outras figuras poderão ser mais bem compreendidas. Referências OYER, Car. História da Matemática. 1. ed. São Pauo: Edgard ücher Ltda., GERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. umenau: FUR. (Coeção ritthmos.) LIM, Eon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade rasieira de Matemática. (Coeção do Professor de Matemática.) LIM, Eon Lages et a. Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade rasieira de Matemática, 001. v. 1. LINTZ, Rubens G. História da Matemática. umenau: FUR, v. 1. THN, Maba. O Homem que Cacuava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, Gabarito 1. Os triânguos EFG e DCG são semehantes, pois os ânguos FEG e CDG são congruentes, bem como os ânguos EFG e DCG. G D C 6 - E 1 F 34

28 Logo, podemos escrever: 1 6 = 6 - ( ) = - 6= = 7 18= 7 = 4 ssim, a medida da área do quadrado é dada por: S = S = 4 S= 16cm Resposta: C. Sejam R a e R b as medidas dos raios dos círcuos e, respectivamente. Se a medida de R a é 30% menor que a medida de R b, então: R a = (1-0,30). R b R a = 0,70. R b medida da área do círcuo é dada por: S a = π.(r a ) S a =π. (0,70. R b ) S a = (0,70). π. (R b ) S a = 0,49. S b O resutado indica que a área do círcuo é 49% da área do círcuo. Logo, o circuo possui área 51% menor que a do círcuo. Resposta: 343

29 3. Se um poígono convexo possui n ados, então também possui n vértices. De cada vértice podem ser traçadas diagonais para todos os demais vértices, com exceção do próprio vértice e dos dois vértices vizinhos. ssim, de cada vértice podem ser traçadas exatamente (n 3) diagonais. Raciocinando dessa forma, é possíve obter a quantidade de diagonais de um poígono convexo de n vértices. Se de cada um dos n vértices podem ser traçadas (n 3) diagonais, então a quantidade de diagonais seria dada peo produto do número de vértices pea quantidade de diagonais que poderiam ser traçadas de cada um dees: n. (n 3) Entretanto, a diagona traçada do vértice para o vértice C, por exempo, é a mesma que a diagona traçada do vértice C para o vértice. Por esse motivo, para encontrar a quantidade de diagonais, é necessário dividir por dois o produto do número de vértices peo número de diagonais que podem ser traçadas de cada vértice, pois não se deve contar duas vezes a mesma diagona. Portanto, a quantidade de diagonais de um poígono convexo de n ados, representada por D, é dada por: ( ) D n. = n -3 Logo, se um hexágono possui n = 6 vértices, o número de diagonais é dada por: ( ) = D = Se o poígono que se deseja encontrar possui nove diagonais partindo de cada um dos próprios vértices, então o poígono deve possuir uma quantidade de ados n ta que: Resposta: n 3 = 9 n =

30 4. Observe a figura: h 45º Utiizando a razão seno no ânguo de 45 do triânguo destacado, temos: sen 45 = h h=. sen 45 h =. h = 1cm área do triânguo, representada por S, pode ser cacuada peo semiproduto das medidas da base pea atura, ou seja: h S =. S = h Substituindo-se h = 1cm, temos: S = 1cm Resposta: E 345

31 5. Observe a figura na qua estão destacadas peos pontos F, J e as posições de Fernando, João Guiherme e runo, respectivamente. J F Observe que os círcuos com centros nos pontos F, J e correspondem às regiões em que é possíve ouvir os gritos de Fernando, João Guiherme e runo, respectivamente. Esses três círcuos são tangentes externamente dois a dois, pois existe um único ponto em que é possíve ouvir simutaneamente duas dessas pessoas. Logo, a distância entre runo e João Guiherme é dada por: Resposta: C J = J = 500m 6. Sejam a e b as medidas da atura e da argura do quadro, em metros, respectivamente. Então: a b 3 = a b = 15, a = 1,5. b 346

32 área da parede retanguar, representada por S p, é igua ao produto das medidas da atura pea argura: S p = 3. S p = 6m Se o quadro cobre exatamente 5% da área da parede, então a área do quadro, representada por S q, é dada por: S q = 0,5. 6 S q = 1,5m Por outro ado, a área do quadro é igua ao produto das medidas da atura pea argura: Substituindo a = 1,5. b, temos: S q = a. b 1,5 = a. b 1,5 = 1,5. b. b 1 = b Como a medida b não pode ser negativa, concui-se que: b = 1m Então, a atura do quadro é dada por: a = 1,5. b a = 1,5. 1 a = 1,5m Logo, se mutipicássemos por x, x > 0, as medidas da atura e da argura do quadro, as dimensões seriam iguais a 1,5x (atura) e 1x (argura). Para que a área do quadro, após mutipicarmos a atura e a argura por um determinado número x seja igua à área da parede deveríamos ter: 347

33 1,5x.1x = 6 1,5x = 6 6 x = 15, x = 4 x = Resposta: Outra forma de soucionar essa questão seria considerar a semehança existente entre as figuras retanguares constituídas pea parede e peo quadro: Sp Sp = æ S è ç ö aø = æ è ç ö bø = æ S è ç ö aø = æ è ç ö 3 3 bø 05,. q p æ3 4 = è ç ö aø = æ è ç ö bø = 3 = a = 1,5 e b = 1 a b ssim, se mutipicarmos por dois cada uma das dimensões do quadro, teremos as dimensões da parede: resposta é a da aternativa (). 1,5. = 3m (atura) e 1. = m (argura) 348

34 7. Observe a iustração em que estão destacadas as medidas das transversais na reta e as medidas a serem determinadas x, y e z, na reta : x 10 y z Utiizando o teorema de Taes, temos: x y z = = Utiizando propriedades das proporções e, ainda, observando que x + y + z = 90, temos: x y z x y z = 10 = 18 = = = Particuarizando as proporções, temos: x = x m 3 =. 3 = 6 y = 3 y= 10. 3= 30m 10 Resposta: z = 3 z= 18. 3= 54m

35 8. Observe a figura na qua estão destacados o trapézio CD, a correspondente medida da atura, GF, o triânguo CDE, e a respectiva atura EG, todas as medidas em cm: E h D G 8 C 15 F 0 Os triânguos E e DCE são semehantes, pois os ânguos E^ e ED^ C são congruentes, bem como os ânguos ^E e DC^E, uma vez que as bases de quaquer trapézio situam-se em retas paraeas. Logo, pode-se escrever: DC EF = EG h h = = h h 5h =. (15 + h) 5h = 30 + h 5h - h = 30 3h = 30 h = 30 3 h = 10cm Resposta: 9. medida do comprimento de uma circunferência de raio R é dada por: C = πr Considerando-se que as rodas do automóve são perfeitamente circuares, em votas a distância percorrida peo automóve é dada por: 350

36 D = C D = πr Substituindo-se a medida do raio, temos: D = π. 40 D = π cm Observando-se que 1km = cm, temos: D= p km Resposta: D = 16pkm 10. Observe a iustração na qua um hexágono reguar é composto por seis triânguos equiáteros, cada um dees com medida do ado, em metros: área de um dos triânguos equiáteros que compõem o hexágono reguar é dada por: S T = 3 4 Logo, a área do hexágono é dada por: 3 S H =

37 Substituindo a medida do ado por 3, temos: S H = 6 æ 3 ö. 4 ç. è ø 3 S H 3 3 =.. 3 S H = cm Resposta: 35

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