Parábola. Sumário Parábola com vértice V = (x o, y o ) e reta focal. paralela ao eixo OX... 7

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Parábola. Sumário Parábola com vértice V = (x o, y o ) e reta focal. paralela ao eixo OX... 7"

Transcrição

1 7 aráboa Sumário 7.1 Introdução aráboa ormas canônicas da paráboa aráboa com vértice na origem e reta foca coincidente com o eixo O aráboa com vértice na origem e reta foca coincidente com o eixo O aráboa com vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O aráboa com vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O A equação gera do segundo grau com B = 0 e AC = Exercícios Exercícios Supementares

2 Unidade 7 Introdução 7.1 Introdução Como dissemos na introdução do capítuo 5, a origem da teoria das seções cônicas está intimamente igada ao probema de dupicação do cubo que consiste em, dada a aresta de um cubo, construir, com uso de régua e compasso, a aresta de um segundo cubo cujo voume é o dobro do primeiro. Hipócrates de Chios ( a.c.) provou que o probema se reduz ao seguinte: dados segmentos de comprimentos a e b, determinar segmentos de comprimentos x e y tais que a x = x y = y. Segundo Hipócrates, a b soução do probema se obtém tomando b = 2a igura 7.1: Trajetória parabóica pois, isoando e eiminando y nas identidades, se tem x 3 = 2a 3. Na notação atua isso se traduz em resover duas das equações: x 2 = ay, y 2 = 2ax ou xy = 2a 2. Como veremos adiante, as duas primeiras representam paráboas e a terceira uma hipérboe. Menaechmus fez a descoberta dessas curvas por vota de 360 a.c. e mostrou que a interseção deas daria as médias requeridas no probema, ainda que não construídas com régua e compasso. Muitos matemáticos estudaram as propriedades da paráboa, como Arquimedes ( a.c.) que cacuou a área deimitada por uma reta e uma paráboa, e Gaieu Gaiei ( ) que provou que a trajetória de um projéti é uma paráboa. A propriedade reetora da paráboa, da qua trataremos mais adiante, é a mais exporada nas apicações práticas, como na modeagem igura 7.2: Teescópio reetor de Newton de espehos para teescópios, antenas parabóicas ou faróis reetores. Isaac Newton desenhou e construiu o primeiro teescópio reetor parabóico. O objetivo deste capítuo é estudar a equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + = 0 nos casos em que exatamente um dos coecientes A ou C é nuo. 2

3 aráboa Unidade aráboa Sejam L uma reta e um ponto do pano não pertencente a L. A paráboa de foco e diretriz L é o conjunto de todos os pontos do pano cuja distância a é igua à sua distância a L. = { d(, ) = d(, L) }. Definição 1 Terminoogia L Como já dissemos, o ponto é o foco e a reta L é a diretriz da paráboa. A reta foca da paráboa é a A reta que contém o foco e é perpendicuar à diretriz. O ponto da paráboa que pertence à reta foca é o vértice de. Em particuar, se A é o ponto onde / / igura 7.3: osição do vértice em reação a e a L L intersecta, então é o ponto médio do segmento A. O número 2p = d(, L) é o parâmetro da paráboa. Note que d(, ) = d(, L) = p. Toda paráboa é simétrica em reação à sua reta foca. Observação 2 De fato, seja uma paráboa de foco, vértice, diretriz L e reta foca (igura 7.4). Seja e seja o ponto simétrico de em reação à reta. O segmento intersecta a reta foca num ponto Q que é o ponto médio do segmento. Os triânguos Q e Q são congruentes (LAL). Em particuar, d(, ) = d(, ). L B A Q B igura 7.4: Simetria de em reação à reta foca 3

4 Unidade 7 ormas canônicas da paráboa Aém disso, d(, L) = d(q, L) = d(, L), pois B QA e AQ B são retânguos. Como, temos d(, ) = d(, L). ortanto, d(, ) = d(, L), isto é,. 7.3 ormas canônicas da paráboa amos obter as formas canônicas da paráboa em reação a um sistema de coordenadas O. Começamos com os casos em que o vértice da paráboa é a origem e a reta foca é um dos eixos coordenados. Depois trataremos dos casos em que o vértice é um ponto quaquer e a reta foca é paraea a um dos eixos coordenados aráboa com vértice na origem e reta foca coincidente com o eixo O Caso I. O foco está à direita da diretriz L (igura 7.5). Como o vértice da paráboa é a origem = (0, 0), temos que o foco L é o ponto = (p, 0) e a diretriz é a reta L : x = p, onde 2p = d(, L). Logo, = (x, y) ( p, 0) (p, 0) d(, ) = d(, L) (x p) 2 + y 2 = x + p (x p) 2 + y 2 = (x + p) 2 igura 7.5: aráboa : y 2 = 4px x 2 2px + p 2 + y 2 = x 2 + 2px + p 2 2px + y 2 = 2px y 2 = 4px Caso II. O foco está à esquerda da diretriz L (igura 7.6). Neste caso, = ( p, 0) e L : x = p, onde 2p = d(, L). 4

5 aráboa Unidade 7 Então, L = (x, y) d(, ) = d(, L) (x + p) 2 + y 2 = x p (x + p) 2 + y 2 = (x p) 2 ( p, 0) (p, 0) x 2 + 2px + p 2 + y 2 = x 2 2px + p 2 2px + y 2 = 2px y 2 = 4px igura 7.6: aráboa : y 2 = 4px aráboa com vértice na origem e reta foca coincidente com o eixo O Caso I. O foco está acima da diretriz L (igura 7.7). Neste caso, = (0, p) e L : y = p, onde 2p = d(, L). Logo, = (x, y) x 2 + (y p) 2 = y + p x 2 = 4py (p, 0) (p, 0) L ( p, 0) L ( p, 0) igura 7.7: aráboa : x 2 = 4py igura 7.8: aráboa : x 2 = 4py Caso II. O foco está abaixo da diretriz L (igura 7.8). Neste caso, = (0, p) e L : y = p, onde 2p = d(, L). Logo, = (x, y) se, e somente se, x2 + (y + p) 2 = y p x 2 = 4py 5

6 Unidade 7 ormas canônicas da paráboa Exempo 1 Determine a equação da paráboa com vértice na origem, cujo foco é o ponto: (a) = (3, 0). Soução. Temos p = d(, ) = 3 e reta foca = eixo O. Como o foco está à direita do vértice, temos que a diretriz é a reta L : x = 3 e a equação da paráboa é : y 2 = 12x. (b) = (0, 2). Soução. Temos p = d(, ) = 2 e reta foca = eixo O. Como o foco está abaixo do vértice, temos que a diretriz é a reta L : y = 2 e a equação da paráboa é : x 2 = 8y. Exempo 2 Uma paráboa passa peo ponto (4, 2), tem vértice na origem e o eixo O como reta foca. Encontre sua equação, seu foco e a equação 2 L : y =2 da sua diretriz L. Soução. Temos 4 : x 2 = ±4py, com p = d(, ) > 0. Como (4, 2), vemos que 2 (4, 2) : x 2 = 4py e 16 = 8p. Logo, p = 2, = (0, 2), L : y = 2 e : x 2 = 8y é a equação da paráboa. igura 7.9: aráboa : x 2 = 8y Exempo 3 Um círcuo C, centrado no ponto C = (4, 1), passa peo foco da paráboa : x 2 = 16y. Mostre que a diretriz L da paráboa é tangente ao círcuo C. Soução. A reta foca da paráboa é o eixo O, o vértice é a origem, o foco está abaixo da diretriz e 4p = 16. Então, = (0, 4) e L : y = 4. A equação do círcuo é: C : (x 4) 2 + (y + 1) 2 = r 2. Como = (0, 4) C, temos = r 2, ou seja, r = 5. Então, 6

7 aráboa Unidade 7 (x, y) C L (x 4) 2 + (4 + 1) 2 = 5 2 (x 4) 2 = 0 x = 4 (x, y) = (4, 4). Logo, L tangencia C no ponto (4, 4) (igura 7.10). 4 L : y =4 1 4 (4, 1) 4 C igura 7.10: aráboa e círcuo C tangenciando a diretriz L aráboa com vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O Da mesma forma como zemos para a eipse e a hipérboe nos capítuos anteriores, para obtermos a forma canônica da paráboa de vértice no ponto = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O, vamos considerar o sistema de eixos ortogonais O, com origem O = = (x o, y o ) e eixos O e O que têm a mesma direção e mesmo sentido dos eixos O e O, respectivamente. Caso I. O foco está à direita da diretriz L. Sabemos que, no sistema de coordenadas O, a equação da paráboa é : y 2 = 4px; o foco é = (p, 0); o vértice é = (0, 0); a diretriz é L : x = p e a reta foca é : y = 0. 7

8 Unidade 7 ormas canônicas da paráboa Como x = x + x o e y = y + y o, y+y o L y a equação da paráboa é: : (y y o ) 2 = 4p(x x o ) e seus eementos são: foco: = (x o + p, y o ); vértice: = (x o, y o ); diretriz: L : x x o = p, ou seja, L : x = x o p; reta foca: : y y o = 0, ou seja, : y = y o. y o O xo p O x o x x+xo xo+p igura 7.11: : (y y o) 2 = 4p(x x o) Caso II. O foco está à esquerda da diretriz L. Neste caso, a equação da paráboa no sistema O é y 2 = 4px, e seus eementos são: foco = ( p, 0); vértice = (0, 0); diretriz L : x = p e reta foca : y = 0. assando para as coordenadas x, y do sistema O, a equação da paráboa ca na forma: : (y y o ) 2 = 4p(x x o ) e seus eementos são: foco: = (x o p, y o ); vértice: = (x o, y o ); diretriz: L : x x o = p, ou seja, L : x = x o + p; reta foca: : y y o = 0, ou seja, : y = y o. y+y o y o O xo p x+xo L y x O x o xo+p igura 7.12: : (y y o) 2 = 4p(x x o) aráboa com vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O Como no caso anterior, considerando o sistema de eixos ortogonais O, com origem O = = (x o, y o ) e eixos O e O que têm a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos O e O, respectivamente, podemos obter as equações e os eementos das paráboas com vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O. 8

9 aráboa Unidade 7 Caso I. O foco está acima da diretriz L. Neste caso, o foco é = (x o, y o + p); a diretriz é L : y = y o p; a reta foca é : x = x o e a equação da paráboa é: (x x o ) 2 = 4p(y y o ) y o +p y+y o y o y o p O y O x o x x+x o L y o +p y o y+y o y o p O O y x o x x+x o L igura 7.13: : (x x o) 2 = 4p(y y o) igura 7.14: : (x x o) 2 = 4p(y y o) Caso II. O foco está abaixo da diretriz L (igura 7.14). Neste caso, o foco é = (x o, y o p); a diretriz é L : y = y o + p; a reta foca é : x = x o e a equação da paráboa é: (x x o ) 2 = 4p(y y o ) Determine a equação da paráboa de vértice = (3, 4) e foco = (3, 2). Encontre também a equação de sua diretriz. Exempo 4 Soução. Como = (3, 4) e = (3, 2), : x = 3 é a reta foca e está abaixo de, ou seja, abaixo da diretriz L. Logo, a equação da paráboa é da forma: : (x 3) 2 = 4p(y 4). Sendo p = d(, ) = 2, temos que L : y = 6 é a diretriz e : (x 3) 2 = 8(y 4) é a equação da paráboa O :x=3 3 igura 7.15: : (x 3) 2 = 8(y 4) L:y =6 9

10 Unidade 7 A equação gera do segundo grau com B = 0 e AC = 0 Exempo 5 Encontre a equação ( da paráboa com reta foca paraea ao eixo O, que 3 ) passa peos pontos 2, 1, (0, 5) e ( 6, 7). Soução. Como a reta foca da paráboa é paraea ao eixo O, sua equação deve ser da forma : (y y o ) 2 = ±4p(x x o ), que se escreve também na forma: isto é, : y 2 + Dx + Ey + = 0. Substituindo as coordenadas dos pontos dados nessa equação, temos: 3 2 D E + = 1 5E + = 25 6D 7E + = 49. Resovendo o sistema, obtemos D = 8, E = 2 e = 15. ortanto, a equação da paráboa é ou, ainda, y 2 + 8x 2y 15 = 0, y 2 2y + 1 = 15 8x + 1, : (y 1) 2 = 8(x 2). Assim, a paráboa tem vértice = (2, 1) e reta foca : y = 1, paraea ao eixo O. Como 4p = 8, isto é, p = 2, e o foco está à esquerda da diretriz, segue que = (0, 1) e L : x = 4 é a diretriz de. 7.4 A equação gera do segundo grau com B = 0 e AC = 0 Consideremos a equação canônica da paráboa de vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O: (y y o ) 2 = ±4p(x x o ). Desenvovendo e agrupando os termos dessa equação, obtemos: y 2 4px 2y o y + yo 2 ± 4px o = 0. Esta equação é da forma Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + = 0, onde A = 0, B = 0, C = 1, D = 4p, E = 2y o e = yo 2 ± 4px o. 10

11 aráboa Unidade 7 Anaogamente, desenvovendo a equação da paráboa de vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O (x x o ) 2 = ±4p(y y o ), obtemos a equação x 2 2x o x 4py + x 2 o ± 4py o = 0, que é da forma Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + = 0, onde A = 1, B = 0, C = 0, D = 2x o, E = 4p e = x 2 o ± 4py o. No primeiro caso, A = 0, B = 0 e C 0 e, no segundo caso, A 0, B = 0 e C = 0. ortanto, em quaquer caso, B = 0 e AC = 0. Reciprocamente, temos a seguinte proposição: Seja a equação do segundo grau com B = 0: roposição 3 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + = 0. (7.1) Se A = 0 e C 0, esta equação representa um dos seguintes conjuntos: uma paráboa cuja reta foca é paraea ao eixo O, se D 0; um par de retas paraeas ao eixo O, se D = 0 e E 2 4C > 0; uma reta paraea ao eixo O, se D = 0 e E 2 4C = 0; o conjunto vazio, se D = 0 e E 2 4C < 0. O mesmo vae para o caso em que C = 0 e A 0, trocando paraeo ao eixo O por paraeo ao eixo O. Se A = 0, C 0 e D 0, então a equação (7.1) se escreve na forma: Demonstração y 2 + E C y + D C x + C = 0. Competando o quadrado, obtemos: ( y + E ) 2 D + 2C C x + C E2 4C = 0. 2 Como D 0, podemos escrever a equação na forma ( y + E ) 2 ( D = x + C ( )) 2C C D C E2, 4C 2 11

12 Unidade 7 A equação gera do segundo grau com B = 0 e AC = 0 que é a equação de uma paráboa com reta foca paraea ao eixo O e vértice ( = 4C2 CE 2, E ). 4C 2 D 2C Se D = 0, a equação Cy 2 + Ey + = 0 representa: duas retas paraeas ao eixo O, y = E + E 2 4C 2C se E 2 4C > 0; uma reta paraea ao eixo O, se E 2 4C = 0; o conjunto vazio, se E 2 4C < 0. e y = E 2C, y = E E 2 4C 2C, Os casos em que a equação do segundo grau Ax 2 +Cy 2 +Dx+Ey+ = 0, com AC = 0, representa duas retas paraeas, uma reta ou o conjunto vazio são chamados casos degenerados da paráboa. Exempo 6 erique se as equações abaixo representam uma paráboa ou uma paráboa degenerada. Caso seja uma paráboa, determine seus eementos principais. (a) x 2 8y = 0. Soução. Como x 2 = 8y, a equação representa uma paráboa com: vértice: = (0, 0); reta foca = eixo O : x = 0; parâmetro: 2p = 4 (= p = 2); foco: = (0, 2), acima da diretriz; diretriz: L : y = 2. (b) 2y 2 + 5x + 8y 7 = 0. Soução. Competando o quadrado, obtemos 2(y 2 + 4y) = 5x + 7 2(y 2 + 4y + 4) = 5x que representa uma paráboa com: 2(y + 2) 2 = 5x (y + 2) 2 = 5(x 3) (y + 2) 2 = 5 (x 3), 2 12

13 aráboa Unidade 7 vértice: = (3, 2); reta foca: : y = 2, paraea ao eixo O; parâmetro: 2p = 5 4 (= p = 5 8 ); foco: = (3 5 ) ( 19 ) 8, 2 = 8, 2, à esquerda da diretriz; diretriz: L : x = = (c) 3y 2 + 7y 6 = 0. Soução. Como A = B = D = 0 e seu discriminante é = 7 ± > 0, a equação (c) representa o par de retas y =, ou seja, y = 3 6 e y = 2, paraeas ao eixo O. 3 (d) 9x x + 49 = 0 Soução. Como B = C = E = 0 e seu discriminante é = = 0, a equação (d) representa a reta x = = 21 9 = 7 3, paraea ao eixo O. (e) 3y 2 2y + 1 = 0 Soução. Como A = B = D = 0 e seu discriminante é 4 12 = 8 < 0, a equação (e) representa o conjunto vazio. O Exempo 7 a seguir, mostra como determinar a equação de uma paráboa usando sua denição e conhecendo aguns de seus eementos. Sejam = ( 2, 1) o vértice de uma paráboa e L : x + 2y = 1 a equação de sua diretriz. Encontre a equação da paráboa e seu foco. Exempo 7 Soução. A reta foca é a reta perpendicuar à diretriz que passa peo vértice. Como (1, 2) L, temos (2, 1) e, portanto, : 2x y = 4+1 = 3. Seja A = (x, y) o ponto de interseção das retas e L. Então, as coordenadas x e y satisfazem ao sistema: { 2x y = 3 x + 2y = 1 { 2x y = 3 2x 4y = 2. Logo, 5y = 5, isto é, y = 1 e x = 1 2y = 1. Sendo o ponto médio do segmento A, temos = 2 A, ou seja, = 2( 2, 1) ( 1, 1) = ( 3, 3). Então, = (x, y) se, e só se, d(, ) = d(, L), isto é, se, e só se, 13

14 Unidade 7 A equação gera do segundo grau com B = 0 e AC = 0 ( ) ( ) 2 2 x + 2y 1 (x + 3)2 + (y + 3) 2 = 5 (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x + 2y 1)2 = 5 x 2 + 6x y 2 + 6y + 9 = x2 + 4xy + 4y 2 2x 4y x x + 5y y + 90 = x 2 + 4xy + 4y 2 2x 4y + 1 : 4x 2 4xy + y x + 34y + 89 = 0, que é a equação da paráboa (igura 7.16). L: x+2y =1 2 ( 2, 1) O 1 : 2x+y =3 ( 3, 3) igura 7.16: : 4x 2 4xy + y x + 34y + 89 = 0 Exempo 8 A reta tangente a uma paráboa num ponto é a única reta, não paraea à reta foca, que intersecta a paráboa apenas no ponto. Mostre que a reta tangente à paráboa : y 2 = 4px, p 0, no ponto = (x o, y o ) é a reta r : y o x 2x o y = y o x o, se x o 0, e é a reta r : x = 0, se x o = 0. { x = x o + mt Soução. Seja r :, t R, a reta tangente à paráboa no y = y o + nt ponto = (x o, y o ). Como r não é paraea à reta foca (eixo O), temos que n 0. Aém 14

15 aráboa Unidade 7 disso, r consiste apenas do ponto, ou seja, a equação do segundo grau (y o + nt) 2 = 4p(x o + mt) n 2 t 2 + 2y o nt + y 2 o = 4px o + 4pmt n 2 t 2 + (2y o n 4pm)t + (y 2 o 4px o ) = 0 n 2 t 2 + (2y o n 4pm)t = 0 t [n 2 t + (2y o n 4pm)] = 0, possui apenas a soução t = 0, que corresponde a = (x o, y o ). ortanto, 2y o n 4pm = 0, ou seja, (m, n) (2p, y o ). Se x o = 0, então y o = 0, pois y 2 o = 4px o. Neste caso, (m, n) (2p, 0), isto é, a reta r passa pea origem e é perpendicuar ao eixo O. Logo, r : x = 0. Se x o 0, temos y o 0 e 2p = y2 o. ( 2x ) o y 2 Neste caso, (m, n) o, y o, ou seja, (m, n) (y o, 2x o ). 2x o Logo, como = (x o, y o ) r, temos: r : y o x 2x o y = x o y o. (ropriedade reetora da paráboa) Sejam as seguintes retas passando por um ponto da paráboa : r, paraea à reta foca, η, norma a (isto é, perpendicuar r L η s Exempo 9 à reta tangente a no ponto ), s, que passa peo foco de. Mostre que os ânguos entre r e η e entre s e η são iguais. Soução. Suponhamos, sem perda de generaidade (escohendo os eixos coordenados de forma apropriada), que igura 7.17: aráboa : y 2 = 4px : y 2 = 4px, com p > 0. Temos que: = (p, 0) é o foco de e = (p x o, y o ) é um vetor paraeo à reta s; o vetor (1, 0) é paraeo à reta r e, peo exempo anterior, n = (yo, 2x o ) é um vetor paraeo à reta η, norma a no ponto = (x o, y o ). 15

16 Unidade 7 A equação gera do segundo grau com B = 0 e AC = 0 Então, Sejam θ 1 o ânguo entre e n, e θ 2 o ânguo entre n e o vetor (1, 0). cos θ 1 = x o y o + py o y 2 o + 4x 2 o (p xo ) 2 + yo 2 e cos θ 2 = Como x o + p > 0 e (p x o ) 2 + yo 2 = p 2 2x o p + x 2 o + yo 2 = p 2 2x o p + x 2 o + 4px o = p 2 + 2x o p + x 2 o = (x o + p) 2, temos que x o + p = (p x o ) 2 + y 2 o. Logo, y o. y 2 o + 4x 2 o cos θ 1 = x o y o + py o y 2 o + 4x 2 o (p xo ) 2 + yo 2 = ortanto, θ 1 = θ 2. (x o + p)y o (x o + p) y 2 o + 4x 2 o = y o y 2 o + 4x 2 o = cos θ 2. Exempo 10 Ache a equação da reta tangente à paráboa : x 2 = y + 1 paraea à reta r : 2x y = 0, e o ponto de tangência. Soução. Seja r m : 2x y = m uma reta paraea à reta r. Como r m não é paraea ao eixo O (reta foca), segue que r m é tangente a se, e só se, r m consiste de um único ponto, ou seja, a equação x 2 = 2x m + 1 possui uma única soução. Logo, o discriminante da equação x 2 2x + m 1 = 0 é igua a zero, ou seja, = 4 4(m 1) = 0. Então, m = 2 e 2x y = 2 é a reta tangente a paraea à reta 2x y = 0. Como o ponto de tangência = (x, y) é o ponto de interseção da reta 2x y = 2 com a paráboa x 2 = y + 1, temos x 2 = 2x = 2x 1, ou seja, x 2 2x + 1 = 0. ortanto, x = 1 e y = 2x 2 = 0, isto é, (1, 0) é o ponto onde a reta 2x y = 2 tangencia a paráboa : x 2 = y

17 aráboa Unidade Exercícios 1. Determine a equação da paráboa e seus principais eementos, sabendo que ea tem vértice na origem, (a) passa peo ponto (9, 6) e tem reta foca paraea ao eixo O; (b) passa peo ponto (4, 8) e tem reta foca paraea ao eixo O ; (c) e foco no ponto (0, 3); (d) e diretriz L : x 7 = O raio foca de um ponto da paráboa é a distância de ao foco de. (a) Mostre que o raio foca do ponto = (p 1, p 2 ) da paráboa : y 2 = 4px é p 1 + p. (b) Cacue o raio foca do ponto M de ordenada 6 da paráboa : y 2 = 12x. 3. Encontre as equações das paráboas cuja reta foca é paraea a um dos eixos coordenados, têm vértice no ponto = (2, 1) e parâmetro 2p = 3. Mostre que o outro ponto onde as paráboas se intersectam pertence à reta x y 1 = Seja f : R R, f(x) = ax 2 + bx + c, uma função quadrática de uma variáve, onde a, b, c R e a 0. Mostre que o gráco de f, Gr(f) = {(x, y) R 2 ; y = ax 2 + bx + c e x R}, é uma paráboa e determine seus principais eementos. 5. Ache os eementos principais das paráboas (a) x 2 = 6y + 2; (b) y 2 = 4 6x; (c) y = 1 4 x2 + x + 2; (d) y = 4x 2 8x + 7; 6. Determine a equação da paráboa que tem: (a) foco = (7, 2) e diretriz L : x 5 = 0. 17

18 Unidade 7 Exercícios (b) vértice = (6, 3) e diretriz L : 3x 5y + 1 = 0; (c) vértice = (2, 3), reta foca paraea ao eixo O e passa peo ponto = (4, 5); (d) reta foca paraea ao eixo O e passa peos pontos ( 2, 1), (1, 2) e ( 1, 3). 7. Cassique, em função do parâmetro λ R, a famíia de cônicas: C λ : x 2 + (λ 2)y 2 + 2λx + 2(λ 2)y + 3λ 3 = 0, encontrando, nos casos não degenerados, a equação da reta foca de C λ. 8. Seja a paráboa : y 2 = 4x. Determine o vaor do coeciente anguar k da reta r k : y xk = 2 de modo que: (a) r k tenha dois pontos distintos; (b) r k tenha exatamente um ponto; nesse caso r k é tangente a ; (c) r k =. 9. Determine a reta tangente à paráboa (a) y 2 = 8x que é paraea à reta 2x + 2y = 3, indicando o ponto de tangência; (b) x 2 = 16x que é perpendicuar à reta 2x + 4y = 7, indicando o ponto de tangência. 10. Seja uma paráboa de diretriz L e vértice. rove que d(, L) p, para todo, e que a iguadade ocorre se, e só se, =, onde 2p é o parâmetro de. Isto é, o vértice é o ponto da paráboa mais próximo da diretriz L 18

19 aráboa Unidade Exercícios Supementares 1. O atus rectum de uma paráboa é o comprimento da corda de perpendicuar à reta foca que passa peo foco da paráboa. Cacue o atus rectum das paráboas do Exercício Seja C um arco parabóico que tem 18 metros de atura e 24 metros de base. Encontre a atura de um ponto de C situado a 8 metros da reta foca de C. 3. Determine a equação da paráboa cujo atus rectum (corda perpendicuar à reta foca que passa peo foco) é o segmento AB, onde A = (3, 5) e B = (3, 3). 4. Encontre a equação da paráboa de vértice sobre a reta 7x + 3y 4 ( = 0 e 3 ) de reta foca paraea ao eixo O, que passa peos pontos (3, 5) e 2, Encontre o ponto da paráboa : y 2 = 64x mais próximo da reta 4x+3y = Obtenha as retas tangentes à paráboa : y 2 = 36x que passam peo ponto ( 2, 1). peos pontos de tangência. Determine também a reta que contém a corda que passa 7. (a) Determine, caso existam, os pontos de interseção da paráboa : y 2 = x 24x com a eipse E : y2 225 = 1. (b) O compementar de uma paráboa no pano consiste de duas regiões: a região foca, que contém o foco, e a região não foca, que contém a diretriz. aça um esboço da interseção da região foca da paráboa com a região foca da eipse E do item anterior. 8. Mostre que se duas paráboas, com retas focais perpendicuares entre si, se intersectam em quatro pontos, então estes pontos pertencem a um círcuo. 9. rove que duas paráboas que têm a mesma reta foca e o mesmo foco ocaizado entre os vértices das paráboas, se intersectam perpendicuarmente (isto é, as tangentes nos pontos de interseção são perpendicuares). 19

20 Unidade 7 Exercícios Supementares 10. amos descrever um procedimento para efetuar a construção da paráboa usando o GeoGebra: numa janea do GeoGebra, trace a reta a por dois pontos A e B (diretriz da paráboa). escoha um ponto C, para ser o foco da paráboa, fora da reta a; escoha um ponto D na reta a; trace a reta mediatriz b do segmento CD; trace a reta c perpendicuar à diretriz a que passa peo ponto D; determine a interseção E da mediatriz b com a reta c; habiite o rastro no ponto E; descreva a paráboa de foco C e diretriz a, movendo o ponto D na diretriz. 20

Geometria Analítica - Aula

Geometria Analítica - Aula Geometria Analítica - Aula 19 246 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 20 Vamos analisar a equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 nos casos em que exatamente um dos coeficientes A ou C é nulo. 1. Parábola

Leia mais

0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c

0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c Capítulo 14 Elipse Nosso objetivo, neste e nos próximos capítulos, é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, onde A 0 ou B 0 ou C 0 Para isso, deniremos,

Leia mais

Hipérbole. Sumário. 6.1 Introdução Hipérbole Forma canônica da hipérbole... 6

Hipérbole. Sumário. 6.1 Introdução Hipérbole Forma canônica da hipérbole... 6 6 Hipérbole Sumário 6.1 Introdução....................... 2 6.2 Hipérbole........................ 2 6.3 Forma canônica da hipérbole............. 6 6.3.1 Hipérbole com centro na origem e reta focal coincidente

Leia mais

Geometria Analítica - Aula

Geometria Analítica - Aula Geometria Analítica - Aula 18 228 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 19 Continuamos com o nosso estudo da equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 1. Hipérbole Definição 1 Uma hipérbole, H, de focos F 1

Leia mais

Equação Geral do Segundo Grau em R 2

Equação Geral do Segundo Grau em R 2 8 Equação Geral do Segundo Grau em R Sumário 8.1 Introdução....................... 8. Autovalores e autovetores de uma matriz real 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados........... 5 8.4 Formas Quadráticas..................

Leia mais

3.2 Determine a equação da circunferência de raio 5, tangente à reta 3x +4y =16no ponto A (4, 1).

3.2 Determine a equação da circunferência de raio 5, tangente à reta 3x +4y =16no ponto A (4, 1). 3.1 Obtenha a equação e esboce o gráfico da circunferência caracterizada por: (a) Centro C (, 1) eraior =5; (b) Passa pelos pontos A (1, ),B(1, 1) e C (, 3) ; (c) Inscrita no triângulo determinado pelas

Leia mais

Geometria Analítica II - Aula 4 82

Geometria Analítica II - Aula 4 82 Geometria Analítica II - Aula 4 8 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 5 Esferas Iniciaremos o nosso estudo sobre superfícies com a esfera, que já nos é familiar. A esfera S de centro no ponto A e raio

Leia mais

Aula 8 Cônicas - Translação de sistemas de coordenadas

Aula 8 Cônicas - Translação de sistemas de coordenadas Aula 8 Cônicas - Translação de sistemas de coordenadas MÓDULO 1 - AULA 8 Objetivos Entender a mudança de coordenadas pela translação do sistema cartesiano. Identificar uma cônica transladada a partir da

Leia mais

Elipse. Sumário. 5.1 Introdução Elipse Forma canônica da elipse Elipse com centro na origem e reta focal coincidente

Elipse. Sumário. 5.1 Introdução Elipse Forma canônica da elipse Elipse com centro na origem e reta focal coincidente 5 Elipse Sumário 5.1 Introdução....................... 5. Elipse.......................... 3 5.3 Forma canônica da elipse............... 6 5.3.1 Elipse E com centro na origem e reta focal coincidente com

Leia mais

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias 4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no

Leia mais

Sistemas de equações lineares com três variáveis

Sistemas de equações lineares com três variáveis 18 Sistemas de equações lineares com três variáveis Sumário 18.1 Introdução....................... 18. Sistemas de duas equações lineares........... 18. Sistemas de três equações lineares........... 8

Leia mais

Curvas Planas em Coordenadas Polares

Curvas Planas em Coordenadas Polares Curvas Planas em Coordenadas Polares Sumário. Coordenadas Polares.................... Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas...................... 6. Exercícios........................

Leia mais

1. A partir da definição, determinar a equação da parábola P, cujo foco é F = (3, 4) e cuja diretriz é L : x + y 2 = 0. (x 3) 2 + (y + 4) 2 =

1. A partir da definição, determinar a equação da parábola P, cujo foco é F = (3, 4) e cuja diretriz é L : x + y 2 = 0. (x 3) 2 + (y + 4) 2 = QUESTÕES-AULA 18 1. A partir da definição, determinar a equação da parábola P, cujo foco é F = (3, 4) e cuja diretriz é L : x + y = 0. Solução Seja P = (x, y) R. Temos que P P d(p, F ) = d(p, L) (x 3)

Leia mais

10. Determine as equações cartesianas das famílias de retas que fazem um ângulo de π/4 radianos com a reta y = 2x + 1.

10. Determine as equações cartesianas das famílias de retas que fazem um ângulo de π/4 radianos com a reta y = 2x + 1. Geometria Analítica. 1. Determine as posições relativas e as interseções entre os conjuntos em R abaixo. Em cada item também faça um esboço dos dois conjuntos dados no mesmo sistema de eixos. (a) C : (x

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2012 DA FUVEST-FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2012 DA FUVEST-FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 0 DA FUVEST-FASE POR PROFA MARIA ANTÔNIA C GOUVEIA QUESTÕES DO DIA : Q5 Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a +

Leia mais

Concluimos dai que o centro da circunferência é C = (6, 4) e o raio é

Concluimos dai que o centro da circunferência é C = (6, 4) e o raio é QUESTÕES-AULA 17 1. A equação x 2 + y 2 12x + 8y + 0 = 0 representa uma circunferência de centro C = (a, b) e de raio R. Determinar o valor de a + b + R. Solução Completamos quadrados na expressão dada.

Leia mais

Objetivos. Aprender a propriedade reflexiva da parábola.

Objetivos. Aprender a propriedade reflexiva da parábola. Aula 16 Parábola - continuação MÓDULO 1 - AULA 16 Objetivos Descrever a parábola como um lugar geométrico, determinando a sua equação reduzida nos sistemas de coordenadas com eixo y paralelo à diretriz

Leia mais

Aula 19 Elipse - continuação

Aula 19 Elipse - continuação MÓDULO 1 - AULA 19 Aula 19 Elipse - continuação Objetivos Desenhar a elipse com compasso e régua com escala. Determinar a equação reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto médio

Leia mais

6. FUNÇÃO QUADRÁTICA 6.1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES

6. FUNÇÃO QUADRÁTICA 6.1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES 47 6. FUNÇÃO QUADRÁTICA 6.1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES Na figura abaixo, seja a reta r e o ponto F de um determinado plano, tal que F não pertence a r. Consideremos as seguintes questões: Podemos obter,

Leia mais

MAT 105- Lista de Exercícios

MAT 105- Lista de Exercícios 1 MAT 105- Lista de Exercícios 1. Determine as áreas dos seguintes polígonos: a) triângulo de vértices (2,3), (5,7), (-3,4). Resp. 11,5 b) triângulo de vértices (0,4), (-8,0), (-1,-4). Resp. 30 c) quadrilátero

Leia mais

A função f(x) = x é a função modular, cujo gráfico. A função g(x) = 1 - x é a função f(x) transformada.

A função f(x) = x é a função modular, cujo gráfico. A função g(x) = 1 - x é a função f(x) transformada. Q uestão 6 - C O número 100.000.000.000 é uma potência inteira de dez igua a 10 11 ; pois 10 10 10... 10 = 100.000.000.000 11 fatores 10 Q uestão 7 - B Todos os números inteiros com o agarismo das unidades

Leia mais

A primeira coisa a fazer é saber quais são as equações das curvas quando elas já se encontram na melhor

A primeira coisa a fazer é saber quais são as equações das curvas quando elas já se encontram na melhor Identificação de Cônicas Uma equação do segundo grau ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 define de maneira implícita uma curva no plano xy: o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equação. Por exemplo,

Leia mais

Objetivos. em termos de produtos internos de vetores.

Objetivos. em termos de produtos internos de vetores. Aula 5 Produto interno - Aplicações MÓDULO 1 - AULA 5 Objetivos Calcular áreas de paralelogramos e triângulos. Calcular a distância de um ponto a uma reta e entre duas retas. Determinar as bissetrizes

Leia mais

Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela. Araraquara, SP

Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela. Araraquara, SP Cônicas e Equações Quadráticas Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2017 1 Parábolas 2 3 4 5 Introdução Parábolas Parábolas

Leia mais

Capítulo 2. Retas no plano. 1. Retas verticais e não-verticais. Definição 1

Capítulo 2. Retas no plano. 1. Retas verticais e não-verticais. Definição 1 Capítulo 2 Retas no plano O objetivo desta aula é determinar a equação algébrica que representa uma reta no plano. Para isso, vamos analisar separadamente dois tipos de reta: reta vertical e reta não-vertical.

Leia mais

Aula 7 Simetrias e simetrias das cônicas

Aula 7 Simetrias e simetrias das cônicas MÓDULO 1 - AULA 7 Aula 7 Simetrias e simetrias das cônicas Objetivos Estudar as simetrias em relação a um ponto e em relação a uma reta. Estudar as simetrias das cônicas no plano. Entender as cônicas degeneradas.

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA. 03/01/ GGM - UFF Dirce Uesu Pesco

GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA. 03/01/ GGM - UFF Dirce Uesu Pesco GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA 03/01/2013 - GGM - UFF Dirce Uesu Pesco CÔNICAS Equação geral do segundo grau a duas variáveis x e y onde A, B e C não são simultaneamente

Leia mais

Aula 9 Cônicas - Rotação de sistemas de coordenadas

Aula 9 Cônicas - Rotação de sistemas de coordenadas MÓDULO 1 - AULA 9 Aula 9 Cônicas - Rotação de sistemas de coordenadas Objetivos Entender mudanças de coordenadas por rotações. Identificar uma cônica rotacionada a partir da sua equação geral. Identificar

Leia mais

Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares

Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares 1 Parábolas 11 Conceito e Elementos Definição 1 Sejam l uma reta e F um ponto não pertencente a l Chamamos parábola de diretriz l e foco F o conjunto dos

Leia mais

MAT Poli Roteiro de Estudos sobre as Cônicas

MAT Poli Roteiro de Estudos sobre as Cônicas MAT25 - Poli - 2003 Roteiro de Estudos sobre as Cônicas Martha Salerno Monteiro Departamento de Matemática IME-USP Uma equação quadrática em duas variáveis é uma equação da forma a + by 2 + cxy + dx +

Leia mais

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia Civil + Física 03 de Julho de Prof o. E.T.

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia Civil + Física 03 de Julho de Prof o. E.T. Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia Civil + Física 0 de Julho de 2014 - Prof o ETGalante 1 (2,0 pontos) Na gura acima ABCDEF GH é um paralelepípedo O ponto M

Leia mais

Equações da reta no plano

Equações da reta no plano 3 Equações da reta no plano Sumário 3.1 Introdução....................... 2 3.2 Equação paramétrica da reta............. 2 3.3 Equação cartesiana da reta.............. 7 3.4 Equação am ou reduzida da reta..........

Leia mais

Ga no plano 1. GA no plano. Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de u v = aa + bb.

Ga no plano 1. GA no plano. Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de u v = aa + bb. Ga no plano 1 GA no plano Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de 015 1 Introdução Estudaremos as retas no plano euclidiano bidimensional e uma interessante aplicação, que recebe o nome de programação

Leia mais

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) =

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) = 54 CAPÍTULO. GEOMETRIA ANALÍTICA.5 Cônicas O grá co da equação + + + + + = 0 (.4) onde,,,, e são constantes com, e, não todos nulos, é uma cônica. A equação (.4) é chamada de equação geral do grau em e

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 4ª Lista. Nome: DATA: 09/11/2016

INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 4ª Lista. Nome: DATA: 09/11/2016 INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 4ª Lista MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA Nome: DATA: 09/11/016 Alexandre Uma elipse tem centro na origem e o eixo maior coincide com o eixo Y. Um dos focos é 1 F1 0, 3 e a

Leia mais

MÓDULO 1 - AULA 21. Objetivos

MÓDULO 1 - AULA 21. Objetivos Aula 1 Hipérbole - continuação Objetivos Aprender a desenhar a hipérbole com compasso e régua com escala. Determinar a equação reduzida da hipérbole no sistema de coordenadas com origem no ponto médio

Leia mais

Retas e círculos, posições relativas e distância de um ponto a uma reta

Retas e círculos, posições relativas e distância de um ponto a uma reta Capítulo 3 Retas e círculos, posições relativas e distância de um ponto a uma reta Nesta aula vamos caracterizar de forma algébrica a posição relativa de duas retas no plano e de uma reta e de um círculo

Leia mais

7. Determine a equação da parábola que passa pelos pontos P (0, 6), Q(3, 0) e R(4, 10).

7. Determine a equação da parábola que passa pelos pontos P (0, 6), Q(3, 0) e R(4, 10). Lista 3: Cônicas Professora Elisandra Bär de Figueiredo 1. Determine a equação do conjunto de pontos P (x, y) que são equidistantes da reta x = e do ponto (0, ). A seguir construa este conjunto de pontos

Leia mais

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira: Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto

Leia mais

Porque?

Porque? Porque? 6 Parábola Dados um ponto F e uma reta d, com F d, seja p = d(f,d). Chamamos parábola o conjunto dos pontos P do plano que são equidistantes de F e d, i. é., d(p,f)= d(p,d). 7 Elementos da Parábola

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA DEFINIÇÃO... EQUAÇÃO REDUZIDA... EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA... 3 RECONHECIMENTO... 3 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA... 1 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA... 17 PROBLEMAS

Leia mais

TRIGONOMETRIA. Aula 2. Trigonometria no Triângulo Retângulo Professor Luciano Nóbrega. 1º Bimestre. Maria Auxiliadora

TRIGONOMETRIA. Aula 2. Trigonometria no Triângulo Retângulo Professor Luciano Nóbrega. 1º Bimestre. Maria Auxiliadora TRIGONOMETRIA Aua Trigonometria no Triânguo Retânguo Professor Luciano Nóbrega º Bimestre Maria Auxiiadora Eementos de um triânguo retânguo ß a cateto adjacente ao ânguo ß B c A Lembre-se: A soma das medidas

Leia mais

7. Determine a equação da parábola que passa pelos pontos P (0, 6), Q(3, 0) e R(4, 10).

7. Determine a equação da parábola que passa pelos pontos P (0, 6), Q(3, 0) e R(4, 10). Lista 3: Cônicas - Engenharia Mecânica Professora Elisandra Bär de Figueiredo 1. Determine a equação do conjunto de pontos P (x, y) que são equidistantes da reta x = e do ponto (0, ). A seguir construa

Leia mais

6.1 equações canônicas de círculos e esferas

6.1 equações canônicas de círculos e esferas 6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que

Leia mais

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto

Leia mais

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Geometria Analítica NEAD - Núcleo de Educação a Distância Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Katia Frensel - Jorge Delgado Março, 2011 ii Geometria Analítica Conteúdo Prefácio ix 1 Coordenadas na

Leia mais

Aula 15 Parábola. Objetivos

Aula 15 Parábola. Objetivos MÓDULO 1 - AULA 15 Aula 15 Parábola Objetivos Descrever a parábola como um lugar geométrico determinando a sua equação reduzida nos sistemas de coordenadas com eixo x paralelo à diretriz l e origem no

Leia mais

AS CÓNICAS. Alguns exemplos notáveis

AS CÓNICAS. Alguns exemplos notáveis 1 2 AS CÓNICAS Modificação de um texto de apoio a uma acção de formação FOCO (1999) Chamam-se cónicas às curvas que podem ser definidas em relação a algum sistema de coordenadas cartesianas em R 2 por

Leia mais

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (19) O ELITE RESOLVE IME 2012 MATEMÁTICA DISCURSIVAS MATEMÁTICA

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (19) O ELITE RESOLVE IME 2012 MATEMÁTICA DISCURSIVAS MATEMÁTICA (9) 5-0 O EITE ESOVE IME 0 MTEMÁTIC DISCUSIVS MTEMÁTIC QUESTÃO 0 O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma rogressão ritmética () de números inteiros, de razão r, formam, nesta ordem, uma rogressão

Leia mais

MAT Poli Cônicas - Parte I

MAT Poli Cônicas - Parte I MAT2454 - Poli - 2011 Cônicas - Parte I Uma equação quadrática em duas variáveis, x e y, é uma equação da forma ax 2 +by 2 +cxy +dx+ey +f = 0, em que pelo menos um doscoeficientes a, b oucénão nulo 1.

Leia mais

Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner

Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner 3 - Parábolas Definição 1.1: Dados um ponto no plano F e uma reta d no plano, é denominada Parábola

Leia mais

Lista de Exercícios de Geometria

Lista de Exercícios de Geometria Núcleo Básico de Engenharias Geometria - Geometria Analítica Professor Julierme Oliveira Lista de Exercícios de Geometria Primeira Parte: VETORES 1. Sejam os pontos A(0,0), B(1,0), C(0,1), D(-,3), E(4,-5)

Leia mais

Aula 10 Produto interno, vetorial e misto -

Aula 10 Produto interno, vetorial e misto - MÓDULO 2 - AULA 10 Aula 10 Produto interno, vetorial e misto - Aplicações II Objetivos Estudar as posições relativas entre retas no espaço. Obter as expressões para calcular distância entre retas. Continuando

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Aluno(a): Professor(a): Curso:

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Aluno(a): Professor(a): Curso: 5 Geometria Analítica - a Avaliação - 6 de setembro de 0 Justique todas as suas respostas.. Dados os vetores u = (, ) e v = (, ), determine os vetores m e n tais que: { m n = u, v u + v m + n = P roj u

Leia mais

Geometria Analítica I - MAT Lista 2 Profa. Lhaylla Crissaff

Geometria Analítica I - MAT Lista 2 Profa. Lhaylla Crissaff 1. Encontre as equações paramétricas das retas que passam por P e Q nos casos a seguir: (a) P = (1, 3) e Q = (2, 1). (b) P = (5, 4) e Q = (0, 3). 2. Dados o ponto P = (2, 1) e a reta r : y = 3x 5, encontre

Leia mais

1. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência.

1. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência. 3.1 A Circunferência EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 3.1 1. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência. (a) Centro C ( 2; 1) e raio r = 5: (b) Passa elos ontos A (5; 1) ; B (4; 2) e

Leia mais

Geometria Analítica. Cônicas. Prof. Vilma Karsburg

Geometria Analítica. Cônicas. Prof. Vilma Karsburg Geometria Analítica Cônicas Prof. Vilma Karsburg Cônicas Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não perpendiculares. Considere e fixa e g girar 360 em torno de e, mantendo constante o ângulo entre

Leia mais

Aula Distância entre duas retas paralelas no espaço. Definição 1. Exemplo 1

Aula Distância entre duas retas paralelas no espaço. Definição 1. Exemplo 1 Aula 1 Sejam r 1 = P 1 + t v 1 t R} e r 2 = P 2 + t v 2 t R} duas retas no espaço. Se r 1 r 2, sabemos que r 1 e r 2 são concorrentes (isto é r 1 r 2 ) ou não se intersectam. Quando a segunda possibilidade

Leia mais

Aula 18 Cilindros quádricos e identificação de quádricas

Aula 18 Cilindros quádricos e identificação de quádricas MÓDULO 2 - AULA 18 Aula 18 Cilindros quádricos e identificação de quádricas Objetivos Estudar os cilindros quádricos, analisando suas seções planas paralelas aos planos coordenados e estabelecendo suas

Leia mais

GABARITO LISTA 5 = REVISÃO GEOMETRIA ESPACIAL: PRISMAS, CILINDROS, PIRÂMIDES, CONES E ESFERAS.

GABARITO LISTA 5 = REVISÃO GEOMETRIA ESPACIAL: PRISMAS, CILINDROS, PIRÂMIDES, CONES E ESFERAS. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA Professores: Luis Mazzei e Mariana Duro Acadêmicos: Marcos Vinícius

Leia mais

Transformações geométricas planas

Transformações geométricas planas 9 Transformações geométricas planas Sumário 9.1 Introdução....................... 2 9.2 Transformações no plano............... 2 9.3 Transformações lineares................ 5 9.4 Operações com transformações...........

Leia mais

Apresentaremos as equações do plano: Equação vetorial e Equação geral do. = AB e v. C A u B. ) não-colineares do plano.

Apresentaremos as equações do plano: Equação vetorial e Equação geral do. = AB e v. C A u B. ) não-colineares do plano. CAPÍTULO VIII PLANO Consideremos em V 3 o sistema de referência (O, i, j, k ), onde E = ( i, j, k ) é base ortonormal positiva e O(0, 0, 0). 8.1. EQUAÇÕES DO PLANO plano. Apresentaremos as equações do

Leia mais

Matemática I Cálculo I Unidade B - Cônicas. Profª Msc. Débora Bastos. IFRS Campus Rio Grande FURG UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE

Matemática I Cálculo I Unidade B - Cônicas. Profª Msc. Débora Bastos. IFRS Campus Rio Grande FURG UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE Unidade B - Cônicas Profª Msc. Débora Bastos IFRS Campus Rio Grande FURG UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE 22 12. Cônicas São chamadas cônicas as curvas resultantes do corte de um cone duplo com um plano.

Leia mais

Curso de Geometria Analítica. Hipérbole

Curso de Geometria Analítica. Hipérbole Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 03 - Cônicas- Circunferência, Elipse, Hipérbole e Parábola

Leia mais

Aula 3 A Reta e a Dependência Linear

Aula 3 A Reta e a Dependência Linear MÓDULO 1 - AULA 3 Aula 3 A Reta e a Dependência Linear Objetivos Determinar a equação paramétrica de uma reta no plano. Compreender o paralelismo entre retas e vetores. Entender a noção de dependência

Leia mais

Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte 2. Circunferência. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis

Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte 2. Circunferência. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte Circunferência a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Geometria Analítica Parte Circunferência 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Em cada item abaixo,

Leia mais

Estudante: Circunferência: Equação reduzida da circunferência: Circunferência: Consideremos uma circunferência de centro C (a, b) e raio r.

Estudante: Circunferência: Equação reduzida da circunferência: Circunferência: Consideremos uma circunferência de centro C (a, b) e raio r. Gênesis Soares Jaboatão, de de 014. Estudante: Circunferência: Circunferência: A circunferência é o conjunto de todos os pontos de plano equidistantes de outro ponto C do mesmo plano chamado centro da

Leia mais

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1)

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1) Lista de Exercícios Estudo Analítico das Cônicas e Quádricas 1. Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço. a) P : y 2 = 4x b) P : y 2 +8x = 0 c) P : x 2 +6y =

Leia mais

Equações paramétricas das cônicas

Equações paramétricas das cônicas Aula 1 Equações paramétricas das cônicas Ao estudarmos as retas no plano, vimos que a reta r que passa por dois pontos distintos P 1 = x 1, y 1 ) e P = x, y ) é dada pelas seguintes equações paramétricas:

Leia mais

Coordenadas e distância na reta e no plano

Coordenadas e distância na reta e no plano Capítulo 1 Coordenadas e distância na reta e no plano 1. Introdução A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por pares ordenados de números reais

Leia mais

Instituto de Matemática - UFBA Disciplina: Geometria Analítica - Mat A 01 1 a Lista - Cônicas

Instituto de Matemática - UFBA Disciplina: Geometria Analítica - Mat A 01 1 a Lista - Cônicas Instituto de Matemática - UFBA Disciplina: Geometria Analítica - Mat A 0 a Lista - Cônicas. Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos dados: (a) foco F (,

Leia mais

3. São dadas as coordenadas de u e v em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule a medida angular entre u e v.

3. São dadas as coordenadas de u e v em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule a medida angular entre u e v. 1 a Produto escalar, produto vetorial 2 a Lista de Exercícios MAT 105 1. Sendo ABCD um tetraedro regular de aresta unitária, calcule AB, DA. 2. Determine x de modo que u e v sejam ortogonais. (a) u = (x

Leia mais

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 2º Grau. Alex Oliveira Engenharia Civil

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 2º Grau. Alex Oliveira Engenharia Civil CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2 Função do 2º Grau Alex Oliveira Engenharia Civil Função do Segundo Grau Chama-se função do segundo grau ou função quadrática a função f: R R que

Leia mais

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1)

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1) Lista de Exercícios Estudo Analítico das Cônicas e Quádricas 1. Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço. a) P : y 2 = 4x b) P : y 2 +8x = 0 c) P : x 2 +6y =

Leia mais

01. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A( 2, 3, 2) e tem a. = 2x. v são: b c

01. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A( 2, 3, 2) e tem a. = 2x. v são: b c 01. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(, 3, ) e tem a direção do vetor v = 3 i + k. a = 3 As componentes do vetor v são: b = 0. c = Tendo em vista que b = 0, a reta se acha num plano

Leia mais

Este trabalho foi licenciado com a Licença Creative Commons Atribuição - NãoComercial - SemDerivados 3.0 Não Adaptada

Este trabalho foi licenciado com a Licença Creative Commons Atribuição - NãoComercial - SemDerivados 3.0 Não Adaptada 1. Introdução Definição: Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias entre uma reta fixa, chamada de reta diretriz, e a um ponto fixo situado fora desta reta, chamado de foco da

Leia mais

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 2017.1 Gabarito Questão 01 [ 1,25 ] Determine as equações das duas retas tangentes à parábola de equação y = x 2 2x + 4 que passam pelo ponto (2,

Leia mais

Universidade Federal do Pará Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica

Universidade Federal do Pará Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica 1 Universidade Federal do Pará Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica 1. Determine a distância entre os pontos A(-2, 7) e

Leia mais

Revisão de Círculos. Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff

Revisão de Círculos. Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff Revisão de Círculos Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff 2017.2 1 Definição Circunferência é uma figura geométrica formada por todos os pontos que estão a uma mesma distância de um ponto fixado no plano.

Leia mais

Emerson Marcos Furtado

Emerson Marcos Furtado Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pea Universidade Federa do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pea UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 199.

Leia mais

XXVII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase

XXVII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase XXVII Oimpíada Brasieira de Matemática GBRITO Segunda Fase Souções Níve 3 Segunda Fase Parte CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PRTE Na parte serão atribuídos 4 pontos para cada resposta correta e a pontuação máxima

Leia mais

13. (Uerj) Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T é definido pela seguinte equação:

13. (Uerj) Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T é definido pela seguinte equação: 1. (Ufc) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(2,0); B(0,4) e C(2Ë5, 4+Ë5). Determine o valor numérico da altura relativa ao lado AB, deste triângulo. 2. (Unesp) A reta r é perpendicular

Leia mais

Proposta de teste de avaliação

Proposta de teste de avaliação Proposta de teste de avaliação Matemática A 10. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: O teste é constituído por dois grupos, I e II. O Grupo I inclui cinco questões de escolha múltipla. O Grupo

Leia mais

Cursos de Estatística, Informática, Ciências de Informação Geográfica ALGA, Ficha 10 Cónicas

Cursos de Estatística, Informática, Ciências de Informação Geográfica ALGA, Ficha 10 Cónicas Cursos de Estatística, Informática, Ciências de Informação Geográfica ALGA, Ficha 10 Cónicas EXERCÍCIOS: Circunferência 1. Escreva a equação da circunferência de centro em C e de raio r, onde: a) C está

Leia mais

A equação da circunferência

A equação da circunferência A UA UL LA A equação da circunferência Introdução Nas duas últimas aulas você estudou a equação da reta. Nesta aula, veremos que uma circunferência desenhada no plano cartesiano também pode ser representada

Leia mais

Matemática 2 Módulo 9

Matemática 2 Módulo 9 Matemática Módulo 9 GEOMETRIA ANALÍTICA VI COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. Se duas circunferências são concêntricas, então os seus centros são coincidentes. Temos a circunferência λ : x + y 4x y + =

Leia mais

Universidade Estadual de Montes Claros Departamento de Ciências Exatas Curso de Licenciatura em Matemática. Notas de Aulas de

Universidade Estadual de Montes Claros Departamento de Ciências Exatas Curso de Licenciatura em Matemática. Notas de Aulas de Universidade Estadual de Montes Claros Departamento de Ciências Exatas Curso de Licenciatura em Matemática Notas de Aulas de Cálculo Rosivaldo Antonio Gonçalves Notas de aulas que foram elaboradas para

Leia mais

Resumo: Nestas notas faremos um breve estudo sobre as principais propriedades. mínimos, gráficos e algumas aplicações simples.

Resumo: Nestas notas faremos um breve estudo sobre as principais propriedades. mínimos, gráficos e algumas aplicações simples. Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Equação quadrática Prof. Doherty

Leia mais

IME º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

IME º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR IME - 2006 1º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Sejam a 1 = 1 i, a n = r + si e a n+1 = (r s) + (r + s)i (n > 1) termos de uma sequência. DETERMINE, em função de n,

Leia mais

Lista 4 com respostas

Lista 4 com respostas Lista 4 com respostas Professora Nataliia Goloshchapova MAT0 - semestre de 05 Exercício. Estude a posição relativa das retas r e s. (a) r : X = (,, ) + λ(,, ), s : (b) r : x y z = x y = 5 x + y z = 0,

Leia mais

Resoluções de Exercícios

Resoluções de Exercícios Resoluções de Exercícios MATEMÁTICA IV Co Capítulo 04 Ângulos entre Retas; Inequações no Plano; Circunferência 0 D Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são: 01 A) 03 C Assim,

Leia mais

Instituto de Matemática UFBA Disciplina: Geometria Analítica Mat A01 Última Atualização ª lista - Cônicas

Instituto de Matemática UFBA Disciplina: Geometria Analítica Mat A01 Última Atualização ª lista - Cônicas Instituto de Matemática UFBA Disciplina: Geometria Analítica Mat A01 Última Atualização - 005 1ª lista - Cônicas 1 0 ) Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos

Leia mais

Nome: nº Professor(a): UBERLAN / CRISTIANA Série: 3ª EM Turmas: 3301 / 3302 Data: / /2013

Nome: nº Professor(a): UBERLAN / CRISTIANA Série: 3ª EM Turmas: 3301 / 3302 Data: / /2013 Nome: nº Professor(a): UBERLAN / CRISTIANA Série: 3ª EM Turmas: 3301 / 3302 Data: / /2013 Sem limite para crescer Bateria de Exercícios de Matemática II 1) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2),

Leia mais

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA 4. Geometria Analítica 4.1. Introdução Geometria Analítica é a parte da Matemática,

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA. 2) Obtenha o ponto P do eixo das ordenadas que dista 10 unidades do ponto Q (6, -5).

GEOMETRIA ANALÍTICA. 2) Obtenha o ponto P do eixo das ordenadas que dista 10 unidades do ponto Q (6, -5). GEOMETRIA ANALÍTICA Distância entre Dois Pontos Sejam os pontos A(xA, ya) e B(xB, yb) e sendo d(a, B) a distância entre eles, temos: Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem: [d

Leia mais

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Diagonalização Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Nosso objetivo neste capítulo é estudar aquelas transformações lineares de R n para as quais existe pelo menos uma base em que elas são representadas

Leia mais

Ricardo Bianconi. Fevereiro de 2015

Ricardo Bianconi. Fevereiro de 2015 Seções Cônicas Ricardo Bianconi Fevereiro de 2015 Uma parte importante da Geometria Analítica é o estudo das curvas planas e, em particular, das cônicas. Neste texto estudamos algumas propriedades das

Leia mais

RETA E CIRCUNFERÊNCIA

RETA E CIRCUNFERÊNCIA RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 1. (Unifesp 016) Na figura, as retas r, s e t estão em um mesmo plano cartesiano. Sabe-se que r e t passam pela origem desse sistema, e que PQRS é um trapézio. a) Determine

Leia mais

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 2º grau. Lucas Araújo Engenharia de Produção Rafael Carvalho Engenharia Civil

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 2º grau. Lucas Araújo Engenharia de Produção Rafael Carvalho Engenharia Civil CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.1 Função do 2º grau Lucas Araújo Engenharia de Produção Rafael Carvalho Engenharia Civil Roteiro Função do Segundo Grau; Gráfico da Função Quadrática;

Leia mais

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência Plano cartesiano, Retas e Alex Oliveira Circunferência Sistema cartesiano ortogonal O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A intersecção dos eixos x e y é

Leia mais