Parábola. Sumário Parábola com vértice V = (x o, y o ) e reta focal. paralela ao eixo OX... 7

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1 7 aráboa Sumário 7.1 Introdução aráboa ormas canônicas da paráboa aráboa com vértice na origem e reta foca coincidente com o eixo O aráboa com vértice na origem e reta foca coincidente com o eixo O aráboa com vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O aráboa com vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O A equação gera do segundo grau com B = 0 e AC = Exercícios Exercícios Supementares

2 Unidade 7 Introdução 7.1 Introdução Como dissemos na introdução do capítuo 5, a origem da teoria das seções cônicas está intimamente igada ao probema de dupicação do cubo que consiste em, dada a aresta de um cubo, construir, com uso de régua e compasso, a aresta de um segundo cubo cujo voume é o dobro do primeiro. Hipócrates de Chios ( a.c.) provou que o probema se reduz ao seguinte: dados segmentos de comprimentos a e b, determinar segmentos de comprimentos x e y tais que a x = x y = y. Segundo Hipócrates, a b soução do probema se obtém tomando b = 2a igura 7.1: Trajetória parabóica pois, isoando e eiminando y nas identidades, se tem x 3 = 2a 3. Na notação atua isso se traduz em resover duas das equações: x 2 = ay, y 2 = 2ax ou xy = 2a 2. Como veremos adiante, as duas primeiras representam paráboas e a terceira uma hipérboe. Menaechmus fez a descoberta dessas curvas por vota de 360 a.c. e mostrou que a interseção deas daria as médias requeridas no probema, ainda que não construídas com régua e compasso. Muitos matemáticos estudaram as propriedades da paráboa, como Arquimedes ( a.c.) que cacuou a área deimitada por uma reta e uma paráboa, e Gaieu Gaiei ( ) que provou que a trajetória de um projéti é uma paráboa. A propriedade reetora da paráboa, da qua trataremos mais adiante, é a mais exporada nas apicações práticas, como na modeagem igura 7.2: Teescópio reetor de Newton de espehos para teescópios, antenas parabóicas ou faróis reetores. Isaac Newton desenhou e construiu o primeiro teescópio reetor parabóico. O objetivo deste capítuo é estudar a equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + = 0 nos casos em que exatamente um dos coecientes A ou C é nuo. 2

3 aráboa Unidade aráboa Sejam L uma reta e um ponto do pano não pertencente a L. A paráboa de foco e diretriz L é o conjunto de todos os pontos do pano cuja distância a é igua à sua distância a L. = { d(, ) = d(, L) }. Definição 1 Terminoogia L Como já dissemos, o ponto é o foco e a reta L é a diretriz da paráboa. A reta foca da paráboa é a A reta que contém o foco e é perpendicuar à diretriz. O ponto da paráboa que pertence à reta foca é o vértice de. Em particuar, se A é o ponto onde / / igura 7.3: osição do vértice em reação a e a L L intersecta, então é o ponto médio do segmento A. O número 2p = d(, L) é o parâmetro da paráboa. Note que d(, ) = d(, L) = p. Toda paráboa é simétrica em reação à sua reta foca. Observação 2 De fato, seja uma paráboa de foco, vértice, diretriz L e reta foca (igura 7.4). Seja e seja o ponto simétrico de em reação à reta. O segmento intersecta a reta foca num ponto Q que é o ponto médio do segmento. Os triânguos Q e Q são congruentes (LAL). Em particuar, d(, ) = d(, ). L B A Q B igura 7.4: Simetria de em reação à reta foca 3

4 Unidade 7 ormas canônicas da paráboa Aém disso, d(, L) = d(q, L) = d(, L), pois B QA e AQ B são retânguos. Como, temos d(, ) = d(, L). ortanto, d(, ) = d(, L), isto é,. 7.3 ormas canônicas da paráboa amos obter as formas canônicas da paráboa em reação a um sistema de coordenadas O. Começamos com os casos em que o vértice da paráboa é a origem e a reta foca é um dos eixos coordenados. Depois trataremos dos casos em que o vértice é um ponto quaquer e a reta foca é paraea a um dos eixos coordenados aráboa com vértice na origem e reta foca coincidente com o eixo O Caso I. O foco está à direita da diretriz L (igura 7.5). Como o vértice da paráboa é a origem = (0, 0), temos que o foco L é o ponto = (p, 0) e a diretriz é a reta L : x = p, onde 2p = d(, L). Logo, = (x, y) ( p, 0) (p, 0) d(, ) = d(, L) (x p) 2 + y 2 = x + p (x p) 2 + y 2 = (x + p) 2 igura 7.5: aráboa : y 2 = 4px x 2 2px + p 2 + y 2 = x 2 + 2px + p 2 2px + y 2 = 2px y 2 = 4px Caso II. O foco está à esquerda da diretriz L (igura 7.6). Neste caso, = ( p, 0) e L : x = p, onde 2p = d(, L). 4

5 aráboa Unidade 7 Então, L = (x, y) d(, ) = d(, L) (x + p) 2 + y 2 = x p (x + p) 2 + y 2 = (x p) 2 ( p, 0) (p, 0) x 2 + 2px + p 2 + y 2 = x 2 2px + p 2 2px + y 2 = 2px y 2 = 4px igura 7.6: aráboa : y 2 = 4px aráboa com vértice na origem e reta foca coincidente com o eixo O Caso I. O foco está acima da diretriz L (igura 7.7). Neste caso, = (0, p) e L : y = p, onde 2p = d(, L). Logo, = (x, y) x 2 + (y p) 2 = y + p x 2 = 4py (p, 0) (p, 0) L ( p, 0) L ( p, 0) igura 7.7: aráboa : x 2 = 4py igura 7.8: aráboa : x 2 = 4py Caso II. O foco está abaixo da diretriz L (igura 7.8). Neste caso, = (0, p) e L : y = p, onde 2p = d(, L). Logo, = (x, y) se, e somente se, x2 + (y + p) 2 = y p x 2 = 4py 5

6 Unidade 7 ormas canônicas da paráboa Exempo 1 Determine a equação da paráboa com vértice na origem, cujo foco é o ponto: (a) = (3, 0). Soução. Temos p = d(, ) = 3 e reta foca = eixo O. Como o foco está à direita do vértice, temos que a diretriz é a reta L : x = 3 e a equação da paráboa é : y 2 = 12x. (b) = (0, 2). Soução. Temos p = d(, ) = 2 e reta foca = eixo O. Como o foco está abaixo do vértice, temos que a diretriz é a reta L : y = 2 e a equação da paráboa é : x 2 = 8y. Exempo 2 Uma paráboa passa peo ponto (4, 2), tem vértice na origem e o eixo O como reta foca. Encontre sua equação, seu foco e a equação 2 L : y =2 da sua diretriz L. Soução. Temos 4 : x 2 = ±4py, com p = d(, ) > 0. Como (4, 2), vemos que 2 (4, 2) : x 2 = 4py e 16 = 8p. Logo, p = 2, = (0, 2), L : y = 2 e : x 2 = 8y é a equação da paráboa. igura 7.9: aráboa : x 2 = 8y Exempo 3 Um círcuo C, centrado no ponto C = (4, 1), passa peo foco da paráboa : x 2 = 16y. Mostre que a diretriz L da paráboa é tangente ao círcuo C. Soução. A reta foca da paráboa é o eixo O, o vértice é a origem, o foco está abaixo da diretriz e 4p = 16. Então, = (0, 4) e L : y = 4. A equação do círcuo é: C : (x 4) 2 + (y + 1) 2 = r 2. Como = (0, 4) C, temos = r 2, ou seja, r = 5. Então, 6

7 aráboa Unidade 7 (x, y) C L (x 4) 2 + (4 + 1) 2 = 5 2 (x 4) 2 = 0 x = 4 (x, y) = (4, 4). Logo, L tangencia C no ponto (4, 4) (igura 7.10). 4 L : y =4 1 4 (4, 1) 4 C igura 7.10: aráboa e círcuo C tangenciando a diretriz L aráboa com vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O Da mesma forma como zemos para a eipse e a hipérboe nos capítuos anteriores, para obtermos a forma canônica da paráboa de vértice no ponto = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O, vamos considerar o sistema de eixos ortogonais O, com origem O = = (x o, y o ) e eixos O e O que têm a mesma direção e mesmo sentido dos eixos O e O, respectivamente. Caso I. O foco está à direita da diretriz L. Sabemos que, no sistema de coordenadas O, a equação da paráboa é : y 2 = 4px; o foco é = (p, 0); o vértice é = (0, 0); a diretriz é L : x = p e a reta foca é : y = 0. 7

8 Unidade 7 ormas canônicas da paráboa Como x = x + x o e y = y + y o, y+y o L y a equação da paráboa é: : (y y o ) 2 = 4p(x x o ) e seus eementos são: foco: = (x o + p, y o ); vértice: = (x o, y o ); diretriz: L : x x o = p, ou seja, L : x = x o p; reta foca: : y y o = 0, ou seja, : y = y o. y o O xo p O x o x x+xo xo+p igura 7.11: : (y y o) 2 = 4p(x x o) Caso II. O foco está à esquerda da diretriz L. Neste caso, a equação da paráboa no sistema O é y 2 = 4px, e seus eementos são: foco = ( p, 0); vértice = (0, 0); diretriz L : x = p e reta foca : y = 0. assando para as coordenadas x, y do sistema O, a equação da paráboa ca na forma: : (y y o ) 2 = 4p(x x o ) e seus eementos são: foco: = (x o p, y o ); vértice: = (x o, y o ); diretriz: L : x x o = p, ou seja, L : x = x o + p; reta foca: : y y o = 0, ou seja, : y = y o. y+y o y o O xo p x+xo L y x O x o xo+p igura 7.12: : (y y o) 2 = 4p(x x o) aráboa com vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O Como no caso anterior, considerando o sistema de eixos ortogonais O, com origem O = = (x o, y o ) e eixos O e O que têm a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos O e O, respectivamente, podemos obter as equações e os eementos das paráboas com vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O. 8

9 aráboa Unidade 7 Caso I. O foco está acima da diretriz L. Neste caso, o foco é = (x o, y o + p); a diretriz é L : y = y o p; a reta foca é : x = x o e a equação da paráboa é: (x x o ) 2 = 4p(y y o ) y o +p y+y o y o y o p O y O x o x x+x o L y o +p y o y+y o y o p O O y x o x x+x o L igura 7.13: : (x x o) 2 = 4p(y y o) igura 7.14: : (x x o) 2 = 4p(y y o) Caso II. O foco está abaixo da diretriz L (igura 7.14). Neste caso, o foco é = (x o, y o p); a diretriz é L : y = y o + p; a reta foca é : x = x o e a equação da paráboa é: (x x o ) 2 = 4p(y y o ) Determine a equação da paráboa de vértice = (3, 4) e foco = (3, 2). Encontre também a equação de sua diretriz. Exempo 4 Soução. Como = (3, 4) e = (3, 2), : x = 3 é a reta foca e está abaixo de, ou seja, abaixo da diretriz L. Logo, a equação da paráboa é da forma: : (x 3) 2 = 4p(y 4). Sendo p = d(, ) = 2, temos que L : y = 6 é a diretriz e : (x 3) 2 = 8(y 4) é a equação da paráboa O :x=3 3 igura 7.15: : (x 3) 2 = 8(y 4) L:y =6 9

10 Unidade 7 A equação gera do segundo grau com B = 0 e AC = 0 Exempo 5 Encontre a equação ( da paráboa com reta foca paraea ao eixo O, que 3 ) passa peos pontos 2, 1, (0, 5) e ( 6, 7). Soução. Como a reta foca da paráboa é paraea ao eixo O, sua equação deve ser da forma : (y y o ) 2 = ±4p(x x o ), que se escreve também na forma: isto é, : y 2 + Dx + Ey + = 0. Substituindo as coordenadas dos pontos dados nessa equação, temos: 3 2 D E + = 1 5E + = 25 6D 7E + = 49. Resovendo o sistema, obtemos D = 8, E = 2 e = 15. ortanto, a equação da paráboa é ou, ainda, y 2 + 8x 2y 15 = 0, y 2 2y + 1 = 15 8x + 1, : (y 1) 2 = 8(x 2). Assim, a paráboa tem vértice = (2, 1) e reta foca : y = 1, paraea ao eixo O. Como 4p = 8, isto é, p = 2, e o foco está à esquerda da diretriz, segue que = (0, 1) e L : x = 4 é a diretriz de. 7.4 A equação gera do segundo grau com B = 0 e AC = 0 Consideremos a equação canônica da paráboa de vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O: (y y o ) 2 = ±4p(x x o ). Desenvovendo e agrupando os termos dessa equação, obtemos: y 2 4px 2y o y + yo 2 ± 4px o = 0. Esta equação é da forma Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + = 0, onde A = 0, B = 0, C = 1, D = 4p, E = 2y o e = yo 2 ± 4px o. 10

11 aráboa Unidade 7 Anaogamente, desenvovendo a equação da paráboa de vértice = (x o, y o ) e reta foca paraea ao eixo O (x x o ) 2 = ±4p(y y o ), obtemos a equação x 2 2x o x 4py + x 2 o ± 4py o = 0, que é da forma Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + = 0, onde A = 1, B = 0, C = 0, D = 2x o, E = 4p e = x 2 o ± 4py o. No primeiro caso, A = 0, B = 0 e C 0 e, no segundo caso, A 0, B = 0 e C = 0. ortanto, em quaquer caso, B = 0 e AC = 0. Reciprocamente, temos a seguinte proposição: Seja a equação do segundo grau com B = 0: roposição 3 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + = 0. (7.1) Se A = 0 e C 0, esta equação representa um dos seguintes conjuntos: uma paráboa cuja reta foca é paraea ao eixo O, se D 0; um par de retas paraeas ao eixo O, se D = 0 e E 2 4C > 0; uma reta paraea ao eixo O, se D = 0 e E 2 4C = 0; o conjunto vazio, se D = 0 e E 2 4C < 0. O mesmo vae para o caso em que C = 0 e A 0, trocando paraeo ao eixo O por paraeo ao eixo O. Se A = 0, C 0 e D 0, então a equação (7.1) se escreve na forma: Demonstração y 2 + E C y + D C x + C = 0. Competando o quadrado, obtemos: ( y + E ) 2 D + 2C C x + C E2 4C = 0. 2 Como D 0, podemos escrever a equação na forma ( y + E ) 2 ( D = x + C ( )) 2C C D C E2, 4C 2 11

12 Unidade 7 A equação gera do segundo grau com B = 0 e AC = 0 que é a equação de uma paráboa com reta foca paraea ao eixo O e vértice ( = 4C2 CE 2, E ). 4C 2 D 2C Se D = 0, a equação Cy 2 + Ey + = 0 representa: duas retas paraeas ao eixo O, y = E + E 2 4C 2C se E 2 4C > 0; uma reta paraea ao eixo O, se E 2 4C = 0; o conjunto vazio, se E 2 4C < 0. e y = E 2C, y = E E 2 4C 2C, Os casos em que a equação do segundo grau Ax 2 +Cy 2 +Dx+Ey+ = 0, com AC = 0, representa duas retas paraeas, uma reta ou o conjunto vazio são chamados casos degenerados da paráboa. Exempo 6 erique se as equações abaixo representam uma paráboa ou uma paráboa degenerada. Caso seja uma paráboa, determine seus eementos principais. (a) x 2 8y = 0. Soução. Como x 2 = 8y, a equação representa uma paráboa com: vértice: = (0, 0); reta foca = eixo O : x = 0; parâmetro: 2p = 4 (= p = 2); foco: = (0, 2), acima da diretriz; diretriz: L : y = 2. (b) 2y 2 + 5x + 8y 7 = 0. Soução. Competando o quadrado, obtemos 2(y 2 + 4y) = 5x + 7 2(y 2 + 4y + 4) = 5x que representa uma paráboa com: 2(y + 2) 2 = 5x (y + 2) 2 = 5(x 3) (y + 2) 2 = 5 (x 3), 2 12

13 aráboa Unidade 7 vértice: = (3, 2); reta foca: : y = 2, paraea ao eixo O; parâmetro: 2p = 5 4 (= p = 5 8 ); foco: = (3 5 ) ( 19 ) 8, 2 = 8, 2, à esquerda da diretriz; diretriz: L : x = = (c) 3y 2 + 7y 6 = 0. Soução. Como A = B = D = 0 e seu discriminante é = 7 ± > 0, a equação (c) representa o par de retas y =, ou seja, y = 3 6 e y = 2, paraeas ao eixo O. 3 (d) 9x x + 49 = 0 Soução. Como B = C = E = 0 e seu discriminante é = = 0, a equação (d) representa a reta x = = 21 9 = 7 3, paraea ao eixo O. (e) 3y 2 2y + 1 = 0 Soução. Como A = B = D = 0 e seu discriminante é 4 12 = 8 < 0, a equação (e) representa o conjunto vazio. O Exempo 7 a seguir, mostra como determinar a equação de uma paráboa usando sua denição e conhecendo aguns de seus eementos. Sejam = ( 2, 1) o vértice de uma paráboa e L : x + 2y = 1 a equação de sua diretriz. Encontre a equação da paráboa e seu foco. Exempo 7 Soução. A reta foca é a reta perpendicuar à diretriz que passa peo vértice. Como (1, 2) L, temos (2, 1) e, portanto, : 2x y = 4+1 = 3. Seja A = (x, y) o ponto de interseção das retas e L. Então, as coordenadas x e y satisfazem ao sistema: { 2x y = 3 x + 2y = 1 { 2x y = 3 2x 4y = 2. Logo, 5y = 5, isto é, y = 1 e x = 1 2y = 1. Sendo o ponto médio do segmento A, temos = 2 A, ou seja, = 2( 2, 1) ( 1, 1) = ( 3, 3). Então, = (x, y) se, e só se, d(, ) = d(, L), isto é, se, e só se, 13

14 Unidade 7 A equação gera do segundo grau com B = 0 e AC = 0 ( ) ( ) 2 2 x + 2y 1 (x + 3)2 + (y + 3) 2 = 5 (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x + 2y 1)2 = 5 x 2 + 6x y 2 + 6y + 9 = x2 + 4xy + 4y 2 2x 4y x x + 5y y + 90 = x 2 + 4xy + 4y 2 2x 4y + 1 : 4x 2 4xy + y x + 34y + 89 = 0, que é a equação da paráboa (igura 7.16). L: x+2y =1 2 ( 2, 1) O 1 : 2x+y =3 ( 3, 3) igura 7.16: : 4x 2 4xy + y x + 34y + 89 = 0 Exempo 8 A reta tangente a uma paráboa num ponto é a única reta, não paraea à reta foca, que intersecta a paráboa apenas no ponto. Mostre que a reta tangente à paráboa : y 2 = 4px, p 0, no ponto = (x o, y o ) é a reta r : y o x 2x o y = y o x o, se x o 0, e é a reta r : x = 0, se x o = 0. { x = x o + mt Soução. Seja r :, t R, a reta tangente à paráboa no y = y o + nt ponto = (x o, y o ). Como r não é paraea à reta foca (eixo O), temos que n 0. Aém 14

15 aráboa Unidade 7 disso, r consiste apenas do ponto, ou seja, a equação do segundo grau (y o + nt) 2 = 4p(x o + mt) n 2 t 2 + 2y o nt + y 2 o = 4px o + 4pmt n 2 t 2 + (2y o n 4pm)t + (y 2 o 4px o ) = 0 n 2 t 2 + (2y o n 4pm)t = 0 t [n 2 t + (2y o n 4pm)] = 0, possui apenas a soução t = 0, que corresponde a = (x o, y o ). ortanto, 2y o n 4pm = 0, ou seja, (m, n) (2p, y o ). Se x o = 0, então y o = 0, pois y 2 o = 4px o. Neste caso, (m, n) (2p, 0), isto é, a reta r passa pea origem e é perpendicuar ao eixo O. Logo, r : x = 0. Se x o 0, temos y o 0 e 2p = y2 o. ( 2x ) o y 2 Neste caso, (m, n) o, y o, ou seja, (m, n) (y o, 2x o ). 2x o Logo, como = (x o, y o ) r, temos: r : y o x 2x o y = x o y o. (ropriedade reetora da paráboa) Sejam as seguintes retas passando por um ponto da paráboa : r, paraea à reta foca, η, norma a (isto é, perpendicuar r L η s Exempo 9 à reta tangente a no ponto ), s, que passa peo foco de. Mostre que os ânguos entre r e η e entre s e η são iguais. Soução. Suponhamos, sem perda de generaidade (escohendo os eixos coordenados de forma apropriada), que igura 7.17: aráboa : y 2 = 4px : y 2 = 4px, com p > 0. Temos que: = (p, 0) é o foco de e = (p x o, y o ) é um vetor paraeo à reta s; o vetor (1, 0) é paraeo à reta r e, peo exempo anterior, n = (yo, 2x o ) é um vetor paraeo à reta η, norma a no ponto = (x o, y o ). 15

16 Unidade 7 A equação gera do segundo grau com B = 0 e AC = 0 Então, Sejam θ 1 o ânguo entre e n, e θ 2 o ânguo entre n e o vetor (1, 0). cos θ 1 = x o y o + py o y 2 o + 4x 2 o (p xo ) 2 + yo 2 e cos θ 2 = Como x o + p > 0 e (p x o ) 2 + yo 2 = p 2 2x o p + x 2 o + yo 2 = p 2 2x o p + x 2 o + 4px o = p 2 + 2x o p + x 2 o = (x o + p) 2, temos que x o + p = (p x o ) 2 + y 2 o. Logo, y o. y 2 o + 4x 2 o cos θ 1 = x o y o + py o y 2 o + 4x 2 o (p xo ) 2 + yo 2 = ortanto, θ 1 = θ 2. (x o + p)y o (x o + p) y 2 o + 4x 2 o = y o y 2 o + 4x 2 o = cos θ 2. Exempo 10 Ache a equação da reta tangente à paráboa : x 2 = y + 1 paraea à reta r : 2x y = 0, e o ponto de tangência. Soução. Seja r m : 2x y = m uma reta paraea à reta r. Como r m não é paraea ao eixo O (reta foca), segue que r m é tangente a se, e só se, r m consiste de um único ponto, ou seja, a equação x 2 = 2x m + 1 possui uma única soução. Logo, o discriminante da equação x 2 2x + m 1 = 0 é igua a zero, ou seja, = 4 4(m 1) = 0. Então, m = 2 e 2x y = 2 é a reta tangente a paraea à reta 2x y = 0. Como o ponto de tangência = (x, y) é o ponto de interseção da reta 2x y = 2 com a paráboa x 2 = y + 1, temos x 2 = 2x = 2x 1, ou seja, x 2 2x + 1 = 0. ortanto, x = 1 e y = 2x 2 = 0, isto é, (1, 0) é o ponto onde a reta 2x y = 2 tangencia a paráboa : x 2 = y

17 aráboa Unidade Exercícios 1. Determine a equação da paráboa e seus principais eementos, sabendo que ea tem vértice na origem, (a) passa peo ponto (9, 6) e tem reta foca paraea ao eixo O; (b) passa peo ponto (4, 8) e tem reta foca paraea ao eixo O ; (c) e foco no ponto (0, 3); (d) e diretriz L : x 7 = O raio foca de um ponto da paráboa é a distância de ao foco de. (a) Mostre que o raio foca do ponto = (p 1, p 2 ) da paráboa : y 2 = 4px é p 1 + p. (b) Cacue o raio foca do ponto M de ordenada 6 da paráboa : y 2 = 12x. 3. Encontre as equações das paráboas cuja reta foca é paraea a um dos eixos coordenados, têm vértice no ponto = (2, 1) e parâmetro 2p = 3. Mostre que o outro ponto onde as paráboas se intersectam pertence à reta x y 1 = Seja f : R R, f(x) = ax 2 + bx + c, uma função quadrática de uma variáve, onde a, b, c R e a 0. Mostre que o gráco de f, Gr(f) = {(x, y) R 2 ; y = ax 2 + bx + c e x R}, é uma paráboa e determine seus principais eementos. 5. Ache os eementos principais das paráboas (a) x 2 = 6y + 2; (b) y 2 = 4 6x; (c) y = 1 4 x2 + x + 2; (d) y = 4x 2 8x + 7; 6. Determine a equação da paráboa que tem: (a) foco = (7, 2) e diretriz L : x 5 = 0. 17

18 Unidade 7 Exercícios (b) vértice = (6, 3) e diretriz L : 3x 5y + 1 = 0; (c) vértice = (2, 3), reta foca paraea ao eixo O e passa peo ponto = (4, 5); (d) reta foca paraea ao eixo O e passa peos pontos ( 2, 1), (1, 2) e ( 1, 3). 7. Cassique, em função do parâmetro λ R, a famíia de cônicas: C λ : x 2 + (λ 2)y 2 + 2λx + 2(λ 2)y + 3λ 3 = 0, encontrando, nos casos não degenerados, a equação da reta foca de C λ. 8. Seja a paráboa : y 2 = 4x. Determine o vaor do coeciente anguar k da reta r k : y xk = 2 de modo que: (a) r k tenha dois pontos distintos; (b) r k tenha exatamente um ponto; nesse caso r k é tangente a ; (c) r k =. 9. Determine a reta tangente à paráboa (a) y 2 = 8x que é paraea à reta 2x + 2y = 3, indicando o ponto de tangência; (b) x 2 = 16x que é perpendicuar à reta 2x + 4y = 7, indicando o ponto de tangência. 10. Seja uma paráboa de diretriz L e vértice. rove que d(, L) p, para todo, e que a iguadade ocorre se, e só se, =, onde 2p é o parâmetro de. Isto é, o vértice é o ponto da paráboa mais próximo da diretriz L 18

19 aráboa Unidade Exercícios Supementares 1. O atus rectum de uma paráboa é o comprimento da corda de perpendicuar à reta foca que passa peo foco da paráboa. Cacue o atus rectum das paráboas do Exercício Seja C um arco parabóico que tem 18 metros de atura e 24 metros de base. Encontre a atura de um ponto de C situado a 8 metros da reta foca de C. 3. Determine a equação da paráboa cujo atus rectum (corda perpendicuar à reta foca que passa peo foco) é o segmento AB, onde A = (3, 5) e B = (3, 3). 4. Encontre a equação da paráboa de vértice sobre a reta 7x + 3y 4 ( = 0 e 3 ) de reta foca paraea ao eixo O, que passa peos pontos (3, 5) e 2, Encontre o ponto da paráboa : y 2 = 64x mais próximo da reta 4x+3y = Obtenha as retas tangentes à paráboa : y 2 = 36x que passam peo ponto ( 2, 1). peos pontos de tangência. Determine também a reta que contém a corda que passa 7. (a) Determine, caso existam, os pontos de interseção da paráboa : y 2 = x 24x com a eipse E : y2 225 = 1. (b) O compementar de uma paráboa no pano consiste de duas regiões: a região foca, que contém o foco, e a região não foca, que contém a diretriz. aça um esboço da interseção da região foca da paráboa com a região foca da eipse E do item anterior. 8. Mostre que se duas paráboas, com retas focais perpendicuares entre si, se intersectam em quatro pontos, então estes pontos pertencem a um círcuo. 9. rove que duas paráboas que têm a mesma reta foca e o mesmo foco ocaizado entre os vértices das paráboas, se intersectam perpendicuarmente (isto é, as tangentes nos pontos de interseção são perpendicuares). 19

20 Unidade 7 Exercícios Supementares 10. amos descrever um procedimento para efetuar a construção da paráboa usando o GeoGebra: numa janea do GeoGebra, trace a reta a por dois pontos A e B (diretriz da paráboa). escoha um ponto C, para ser o foco da paráboa, fora da reta a; escoha um ponto D na reta a; trace a reta mediatriz b do segmento CD; trace a reta c perpendicuar à diretriz a que passa peo ponto D; determine a interseção E da mediatriz b com a reta c; habiite o rastro no ponto E; descreva a paráboa de foco C e diretriz a, movendo o ponto D na diretriz. 20