AS CÓNICAS. Alguns exemplos notáveis

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2 2 AS CÓNICAS Modificação de um texto de apoio a uma acção de formação FOCO (1999) Chamam-se cónicas às curvas que podem ser definidas em relação a algum sistema de coordenadas cartesianas em R 2 por uma equação que é um polinómio do 2 o grau nas variáveis x, y igualado a zero. Portanto as coordenadas em relação a um certo referencial dos pontos de uma cónica satisfazem uma equação do tipo Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. Observe-se que esta definição é independente do sistema de coordenadas escolhido, uma vez que as fórmulas de mudanças de coordenadas são lineares. Convenções Estamos a trabalhar em R 2. A partir de agora, a menos de menção expressa em contrário, consideraremos todos os referenciais como sendo ortonormados e a distância considerada é a distância euclidiana. I. ELIPSE Alguns exemplos notáveis Chama-se elipse ao lugar geométrico dos pontos do plano tais que a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos fixos dados (chamados focos da elipse) é sempre igual a um comprimento dado, maior que a distância entre os focos. A condição que caracteriza a elipse exprime-se na forma E = {X : d(x, F 1 ) + d(x, F 2 ) = 2a}. Vamos ver que de facto uma elipse é uma cónica de acordo com a definição que adoptámos, ou seja exprimindo E como o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas (em relação a um certo referencial) são as soluções de uma equação polinomial do 2 o grau. Vamos escolher o referencial de maneira a obter a equação com uma forma particularmente simples. Se a distância entre os dois focos F 1 e F 2 é 2c com c < a tomando para eixo dos xx a recta definida por F 1 e F 2 e para eixo dos yy a mediatriz do segmento de recta [F 1 F 2 ] temos F 1 := ( c, 0), F 2 = (c, 0), com c > o e então teremos a elipse definida analíticamente por E = {X = (x, y) : (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a}.

3 Escrevendo esta equação na forma (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2, e elevando ao quadrado ambos os membros da equação obtemos 3 (x + c) 2 + y 2 = 4a 2 + (x c) 2 + y 2 4a( (x c) 2 + y 2 ) donde desenvolvendo os quadrados e simplificando se obtém a( (x c) 2 + y 2 ) = a 2 cx. De novo, elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temse a 2 (x 2 2cx + c 2 + y 2 ) = a 4 2a 2 cx + c 2 x 2 que simplificada dá (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ). Verifica-se que neste processo não se introduziram novas soluções e tomando b := + a 2 c 2 vemos que que se pode definir esta elipse analitícamente como sendo E = {X = (x, y) : b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 }, onde b 2 = a 2 c 2. Note-se que a equação b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 é equivalente a x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. Inversamente, qualquer subconjunto do plano definido por uma equação do tipo C = {X = (x, y) : m 2 x 2 + n 2 y 2 = p 2 }. é uma elipse. Exercício 1 Verificar esta última afirmação e determinar os focos e o número a da elipse definida por C = {X = (x, y) : m 2 x 2 + n 2 y 2 = p 2 }. Definição Dada uma elipse E de focos F 1, F 2 chama-se eixo maior de E à recta definida por F 1 e F 2 e eixo menor à mediatriz do segmento [F 1 F 2 ]. Os nomes eixo surgem pois as reflexões em qualquer destas rectas são simetrias da elipse.

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5 5 II. HIPÉRBOLES Chama-se hipérbole ao lugar geométrico dos pontos P do plano tais que o módulo da diferença das distâncias P a dois pontos fixos dados (chamados focos da hipérbole) é sempre igual a um comprimento dado, menor que a distância entre os focos. A condição que caracteriza a hipérbole exprime-se na forma H = {X : d(x, F 1 ) d(x, F 2 ) = 2a}. Vamos ver que de facto uma hipérbole é uma cónica de acordo com a definição que adoptámos, ou seja exprimindo H como o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas (em relação a um certo referencial) são as soluções de uma equação polinomial do 2 o grau. Vamos escolher o referencial de maneira a obter a equação com uma forma particularmente simples. Se a distância entre os dois focos F 1 e F 2 é 2c com c > a tomando para eixo dos xx a recta definida por F 1 e F 2 e para eixo dos yy a mediatriz do segmento de recta [F 1 F 2 ] temos F 1 := ( c, 0), F 2 = (c, 0), com c > o e então teremos a hipérbole definida analiticamente por H = {X = (x, y) : (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = 2a}. De novo, não é muito difícil verificar que se pode definir esta hipérbole analiticamente como sendo H = {X = (x, y) : b 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2 }, onde b 2 = c 2 a 2. Note-se que a equação b 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2 é equivalente a x 2 a 2 y2 b 2 = 1. Inversamente, qualquer subconjunto do plano definido por uma equação do tipo é uma hipérbole. C = {X = (x, y) : m 2 x 2 n 2 y 2 = p 2 }. Exercício 2 Verificar esta última afirmação e determinar os focos e o número c da hipérbole definida por C = {X = (x, y) : m 2 x 2 n 2 y 2 = p 2 }. Definição Dada uma hipérbole H de focos F 1, F 2 chamam-se eixos de H à recta definida por F 1 e F 2 e à mediatriz do segmento [F 1 F 2 ]. Os nomes eixo surgem pois as reflexões em qualquer destas rectas são simetrias da hipérbole.

6 6 Definição Dada uma hipérbole H definida pela equação x2 a 2 y2 b 2 = 1 chamam-se assimptotas de H às rectas definidas pelas equações y = bx a e y = bx a. III. PARÁBOLAS Chama-se parábola ao lugar geométrico dos pontos P do plano equidistantes dum ponto dado F e de uma recta l que não passa por F. A F chama-se o foco da parábola e a l a directriz da parábola. A condição que caracteriza a parábola exprime-se na forma P = {X : d(x, F ) = d(x, l)}. Vamos ver que de facto uma parábola é uma cónica de acordo com a definição que adoptámos, ou seja exprimindo P como o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas (em relação a um certo referencial) são as soluções de uma equação polinomial do 2 o grau. Vamos escolher o referencial de maneira a obter a equação com uma forma particularmente simples. Sendo D o pé da perpendicular baixada de F para l, escolhemos para eixo dos yy a recta DF orientada no sentido de D para F e para eixo dos xx a recta mediatriz do segmento [DF]. Se p for a distância de F a l teremos que neste referencial as coordenadas de F são (0, p ) e que l é a recta definida pela 2 equação y = p. Então, dado um ponto arbitrário X = (x, y), teremos d(x, F ) = x 2 + (y p 2 )2 e d(x, l) = y + p donde a parábola é 2 2 definida analiticamente por P = {X = (x, y) : x 2 + (y p 2 )2 = y + p 2 }. Verifica-se fácilmente que esta última descrição é equivalente a P = {X = (x, y) : x 2 = 2py}. Inversamente, qualquer subconjunto do plano definido por uma equação do tipo x 2 = 2py ou y 2 = 2px com p > 0 ou p < 0 é uma parábola. Exercício 3 Verificar esta última afirmação e determinar o foco e directriz da parábola definida por C = {X = (x, y) : y 2 = 2px}. Definição Dada uma parábola P de foco F e directriz l chama-se eixo de P à recta perpendicular a l que passa por F. O nome eixo justifica-se por a reflexão nesta recta ser uma simetria da parábola.

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9 Outra caracterização de elipses, hipérboles e parábolas Existe uma outra forma, mais unificada, de caracterizar as elipses, hipérboles e parábolas. Teorema a) Seja e um número tal que 0 < e, l uma recta no plano e P um ponto tal que P / l. O conjunto C de todos os pontos X do plano tais que d(x, P ) = e d(x, l) é uma cónica. Se e < 1, C é uma elipse; se e > 1, C é uma hipérbole e, se e = 1, C é uma parábola. b) Inversamente qualquer elipse ou parábola ou hipérbole pode ser descrita como em a). Em particular dada qualquer elipse E e F um foco de E, existe uma recta l e e R com 0 < e < 1 tais que E = {X R 2 : d(x, F ) = e d(x, l)}. Dada uma hipérbole H, e F um foco de H, existe uma recta l e e R com 1 < e tais que H = {X R 2 : d(x, F ) = e d(x, l)}. 9 Definições Ao número e dá-se o nome de excentricidade da cónica, à recta l o nome de directriz e ao ponto P o nome de foco. Observação Tanto a elipse como a hipérbole têm duas directrizes correspondendo aos dois focos. Demonstração a) O caso e = 1 é exactamente o caso já estudado da parábola de forma que vamos supor que e 1, (e portanto 1 e 2 0). Seja d = d(p, l) e seja a = ed e c = ea. Podemos escolher um (1 e 2 ) referencial ortonormado de forma a que as coordenadas de P sejam (c, 0) e l seja definida pela equação x = a. Observemos também que e dado que as distâncias são números positivos a condição d(x, F ) = e d(x, l) é equivalente á condição d(x, F ) 2 = e 2 d(x, l) 2. Dado qualquer ponto X de coordenadas (x, y) em relação a este referencial temos que d(x, F ) 2 = (x c) 2 + y 2 e d(x, l) 2 = (x a e )2. Então um ponto X pertence a C se e só se as suas coordenadas (x, y) em relação ao referencial escolhido satisfazem a equação do 2 o grau (x c) 2 + y 2 = e 2 (x a e )2, ou seja x 2 2cx + c 2 + y 2 = e 2 x 2 2e 2 a e + a2. Dado que c = ea, esta equação é equivalente a (1 e 2 )x 2 + y 2 = (1 e 2 )a 2,

10 10 ou seja x 2 a 2 + y 2 (1 e 2 )a 2 = 1. Se 1 e 2 > 0, a cónica assim definida é uma elipse enquanto que se 1 e 2 < 0 a cónica é uma hipérbole. b) Temos que ver que qualquer elipse ou hipérbole admite uma descrição como em a). Consideremos primeiro o caso de uma elipse E definida por uma equação do tipo b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2, com b 2 < a 2. Vamos supor que a > 0. Esta elipse tem como focos os pontos F e F de coordenadas ( c, 0) e (c, 0), respectivamente, onde c = + a 2 b 2 e como constante 2a. Dado que a > c existe e R tal que 0 < e < 1 e c = ea. Consideremos a recta l definida pela equação x = a e consideremos a elipse e G = {X : d(x, F ) = e d(x, l)}. Dado qualquer ponto X de coordenadas (x, y) em relação a este referencial temos d(x, F ) 2 = (x c) 2 + y 2, d(x, l) 2 = (x a e )2. Então um ponto X pertence a G se e só se as suas coordenadas (x, y) em relação ao referencial escolhido satisfazem a equação do 2 o grau que é equivalente a (x c) 2 + y 2 = e 2 (x a e )2, x 2 2cx + c 2 + y 2 = e 2 x 2 2eax + a 2. Dado que c = ea, podemos escrever então a equação sob a forma Uma vez que e = c a equação é ou seja (1 e 2 )x 2 + y 2 = (1 e 2 )a 2. e a2 c 2 = b 2, 1 e 2 = b2 a 2 b 2 a 2 x2 + y 2 = b 2, b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. e logo esta última Logo a elipse G é a elipse E e mostrámos o que pretendíamos. O caso da hipérbole é similar e omitimos os pormenores. Consideramos a hipérbole definida por uma equação da forma b 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2, com a 2 < b 2 e supomos que a > 0. Os focos da hipérbole são os pontos F e F de coordenadas ( c, 0) e (c, 0), respectivamente, onde c = + b 2 + a 2. Definindo e como sendo o número real e > 1, tal que

11 ea = c, pode-se provar que a hipérbole dada é exactamente o conjunto dos pontos X que satisfazem 11 d(x, F ) = e d(x, l), onde l é a recta definida pela equação x = a e. Observação Da demonstração do teorema anterior vê-se imediatamente que tanto a elipse como a hipérbole têm duas directrizes correspondendo aos dois focos. RESUMINDO ELIPSE Caracterizada por d(x, F 1 ) + d(x, F 2 ) = 2a, com d(f 1, F 2 ) = 2c e 0 < c < a. Equação reduzida: x a 2 + y b 2 = 1, com b 2 = a 2 c 2. Focos: ( c, 0), (c, 0), onde c 2 = a 2 b 2 Excentricidade: e = c a = a 2 b 2 a Directrizes x = a e, x = a e. HIPÉRBOLE Caracterizada por d(x, F 1 ) d(x, F 2 ) = 2a, com d(f 1, F 2 ) = 2c e 0 < a < c. Equação reduzida: x a 2 + y b 2 = 1, com b 2 = c 2 a 2. Focos: ( c, 0), (c, 0), onde c 2 = b 2 + a 2 Excentricidade: e = c a = a 2 +b 2 a Directrizes x = a e, x = a e. PARÁBOLA Caracterizada por d(x, F ) = d(x, l), com d(f, l) = p. Equação reduzida: x 2 = 2py. Foco: (0, p 2 ). Excentricidade: e = 1 Directriz y = p 2.

12 12 Observação final Existe uma outra forma que é particularmente elegante de caracterizar estas cónicas usando coordenadas polares (e que inclui o caso da circunferência). Pode-se dar a seguinte: Definição Uma cónica não degenerada no plano é uma curva que pode ser representada em relação a coordenadas polares (r, θ) (convenientemente escolhidas) pela equação r = k 1 e cos θ, onde k > 0 e e 0 são constantes. Aqui e é a excentricidade e valores de r negativos deverão ser interpretados de acordo com a convenção de que (r, θ) e ( r, π + θ) representam o mesmo ponto. Esta descrição pode ser vista em Elementary geometry de J.Roe. Outros exemplos de cónicas 1) As equações mais simples do 2 o grau são as com um só termo, ou seja x 2 = 0, xy = 0, y 2 = 0. A primeira e terceira são substancialmente idênticas (basta permutar o eixo dos xx com o eixo dos yy). A equação y 2 = 0 é apenas satisfeita pelos pontos da forma (x, 0) ou seja pelos pontos do eixo dos xx. Como 0 é raíz dupla desta equação considera-se cada ponto como duplo e diz-se que a equação representa uma recta dupla. A equação xy = 0 é satisfeita apenas pelas coordenadas de todos os pontos dos eixos dos xx e dos yy, e como tal esta equação representa duas rectas que se intersectam. Tanto uma recta dupla como duas rectas que se intersectam são exemplos de cónicas, ditas redutíveis ou degeneradas. 2) Um exemplo de cónica é a circunferência, que é definida geometricamente como sendo o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a um ponto dado C é uma constante r. Diz-se que a circunferência tem centro no ponto C e raio r. Num referencial(ortonormado) em que C seja a origem do referencial a circunferência de centro em C e raio r é definida pela equação x 2 + y 2 = r 2. Uma circunferência pode ser considerada um caso limite ou degenerado de elipse. A degeneração consiste em fazer coincidir os dois focos.

13 Cónicas em geral Já definimos uma cónica em geral como sendo o lugar geométrico dos pontos cujas coordenadas em relação a um certo (e portanto a qualquer) referencial satisfazem uma equação do 2 o grau Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. Note-se que quando se diz que a equação é do 2 o grau estamos a dizer que A, B, C não são todos nulos. Vamos transformar esta equação numa equação mais simples, ou seja vamos obter referenciais onde a cónica seja definida por uma equação com menos termos. Primeira simplificação (redução aos eixos) Proposição Seja C uma cónica definida em relação a um referencial pela equação Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F = 0. Existe uma rotação R θ dos eixos de tal forma que em relação ao novo referencial assim obtido a cónica é definida por uma equação A x 2 +C y 2 +D x+e y+f = 0. O ângulo θ [0, 2π[ é tal que tan 2θ = 2B, se A C e θ = π se A C 4 A = C. Demonstração Seja R o referencial original e R o referencial obtido por rotação dos eixos coordenados. Então se (x, y) e (x, y ) são as coordenadas de um mesmo ponto X em relação a R e R respectivamente, temos que [ ] [ ] [ ] x cos θ sin θ x = y sin θ cos θ y ou seja x = cos θ x sin θ y y = sin θ x + cos θ y. Sabemos que um ponto X pertence a C se e só se as coordenadas (x, y) de X em relação a R satisfazem a equação Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. Substituindo x, y pelas suas expressões em x, y, obtemos a equação onde A x 2 + 2B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0, A = A cos 2 θ + C sin 2 θ + B sin 2θ, C = A sin 2 θ + C cos 2 θ B sin 2θ, B = 1 (C A) sin 2θ + B cos 2θ, 2 D = D cos θ + E sin θ, E = D sin θ + E cos θ. 13

14 14 Logo o ponto X C se e só se as suas coordenadas (x, y ) em relação a R satisfazem A x 2 + 2B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0. Se escolhermos θ como no enunciado B anula-se e portanto em relação ao referencial R, C é descrita pela equação Observações importantes A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0. 1) Notemos que se tem [ ] [ ] [ ] [ ] A 0 cos θ sin θ A B cos θ sin θ 0 C = sin θ cos θ B C sin θ cos θ [ ] A B onde A e C são os valores próprios da matriz M = e a B C mudança de referencial corresponde a mudar de base para uma base ortonormada (u, v) de vectores próprios [ de M (que é] escolhida de forma a que or (u, v) = π). Como det cos θ sin θ = 1 obtemos em 2 sin θ cos θ particular que det M = A C ou seja AC B 2 = A C. Logo det M > 0 se e só se os dois valores próprios de M tiverem o mesmo sinal, det M = 0 se um dos valores próprios for nulo e det M < 0 se os dois valores próprios de M tiverem sinais opostos. 2) Como consequência desta proposição obtemos que qualquer cónica pode ser descrita em relação a um certo referencial ortonormado por uma equação do tipo A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0, onde podemos ainda supor que A 0. Com efeito ou A 0 ou C 0. Fazendo se necessário uma troca de eixos pode-se sempre supor que A 0. Podemos ainda simplificar mais as equações: Segunda simplificação (mudança de origem) Proposição Seja C uma cónica definida em relação a um referencial R pela equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, com A 0. Mudando a origem do referencial (ou seja mudando as coordenadas por uma translação) é possivel obter um referencial em relação ao qual C é definida por uma equação da forma Ax 2 + Cy 2 + F = 0, se C 0, ou

15 Ax 2 + Ey = 0, se C = 0 e E 0, ou Ax 2 + F = 0, se C = E = 0. Demonstração Suponhamos primeiro que C 0. Podemos escrever a equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 como A(x + D 2 2A ) + C(y + E 2 2C ) + F D2 4A E2 4C = 0. Se fizermos a mudança de coordenadas x = x D 2A y = y E 2C, que corresponde a mudar a origem do referencial para o ponto ( D 2A, E 2C ), teremos que no novo referencial a cónica C é definida pela equação onde F = F D2 4A E2 4C. Ax 2 + Cy 2 + F = 0 Suponhamos agora que C = 0. Podemos escrever a equação Ax 2 + Dx + Ey + F = 0 como A(x + D 2A ) 2 + Ey + F D2 4A = 0. Se E 0 a equação pode ser ainda escrita A(x + D 2 2A ) + E(y + F E D2 4AE ) = 0. Neste caso, se fizermos a mudança de coordenadas x = x D 2A y = y F E + D2 4AE, que corresponde a mudar a origem do referencial para o ponto ( D, F + 2A E ), teremos que no novo referencial a cónica C é definida pela equação D 2 4AE Ax 2 + Ey = 0. Se E = 0, a equação pode ser escrita A(x + D 2 2A ) + F D2 4A = 0. Neste caso, se fizermos a mudança de coordenadas x = x D 2A y = y, que corresponde a mudar a origem do referencial para o ponto ( D, 0), 2A teremos que no novo referencial a cónica C é definida pela equação Ax 2 + F = 0, 15

16 16 onde F = F D2 4A. Graças a estas simplificações estamos em condições de descrever todas as cónicas ou seja todas as curvas que podem ser definidas em relação a algum sistema de coordenadas cartesianas por uma equação que é um polinómio do 2 o grau nas variáveis x, y igualado a zero. Com efeito acabámos de ver que qualquer destas pode ser descrita em relação a um certo referencial por uma equação de um dos seguintes tipos: I) Ax 2 + Cy 2 + F = 0, com A 0 e C 0, ou II) Ax 2 + Ey = 0, com A 0 e E 0, ou III) Ax 2 + F = 0, com A 0. Analisando as possibilidades temos que qualquer cónica é uma das seguintes Caso III) i) AF > 0 (isto é, F 0 e A e F tem o mesmo sinal) conjunto vazio ii) AF < 0 duas rectas paralelas iii) F = 0 duas rectas coincidentes; Caso II) Parábola Caso I) i) AC > 0 e F = 0 ponto (0, 0) ii) AC < 0 e F = 0 duas rectas concorrentes iii) AC < 0 e F 0 hipérbole iv) AC > 0 e AF > 0 conjunto vazio v) AC > 0 e AF < 0 elipse (e circunferência) Definição Uma cónica diz-se não degenerada ou irredutível se for uma elipse, hipérbole ou parábola. Observação Dada uma cónica em geral, definida por uma equação do tipo Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0,

17 podemos saber imediatamente que possibilidades de cónica temos analisando AC B 2 (ver observação 1) a seguir à primeira simplificação). Assim temos: se AC B 2 > 0, as possibilidades são uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio; se AC B 2 = 0, as possibilidades são uma parábola, duas rectas paralelas (coincidentes ou não), ou o conjunto vazio; se AC B 2 < 0, as possibilidades são uma hipérbole ou duas rectas concorrentes. Exemplos 1) Consideremos a cónica C definida em relação ao referencial canónico por 3x 2 + 2xy + y 2 2x + 3 = 0. Aqui A = 3, B = 1, C = 1. Como > 0, C ou é uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio. Para ver qual destas possibilidades ocorre podemos examinar a equação. Ora 3x 2 + 2xy + y 2 2x + 3 = 0 (y + x) 2 + 2x 2 2x + 3 = 0 17 (y + x) 2 + 2(x 1 2 ) = 0 (y + x)2 + 2(x 1 2 )2 = 5 2. Como a soma de dois quadrados de números reais é sempre maior ou igual a zero, não existem soluções reais e C é o conjunto vazio. 2) Consideremos a cónica C definida em relação ao referencial canónico por 3x 2 + 2xy + y 2 2x 5 = 0. Como no exemplo 1) temos A = 3, B = 1, C = 1 e C ou é uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio. Para ver qual destas possibilidades ocorre podemos examinar a equação. Ora, como em 1) 3x 2 + 2xy + y 2 2x 5 = 0 (y + x) 2 + 2(x 1 2 ) = 0 (y + x) 2 + 2(x 1 2 )2 = Como esta equação mais do que uma solução (por exemplo (0, + 5) e (0, 5)), C é uma elipse. 3) Consideremos a cónica C definida em relação ao referencial canónico por 3x 2 + 2xy + y 2 2x = 0.

18 18 Como no exemplo 1) temos A = 3, B = 1, C = 1 e C ou é uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio. Para ver qual destas possibilidades ocorre podemos examinar a equação. Ora, como em 1) 3x 2 + 2xy + y 2 2x = 0 (y + x)2 + 2(x 1 2 ) = 0 (y + x) 2 + 2(x 1 2 )2 = 0. Como a única solução desta equação é ( 1, 1 ), C é um ponto ) Consideremos a cónica C definida em relação ao referencial canónico por 5x 2 + 6xy + y = 0. Temos A = 5, B = 3, C = 1. Como AC B 2 = 5 9 < 0, ou temos uma hipérbole ou duas rectas concorrentes. Como 5x 2 + 6xy + y = 0 5x 2 + (y + 3x) 2 9x = 0 4x 2 + (y + 3x) = 0 (y + x)(y + 5x) = 3, a cónica é uma hipérbole. 5) Consideremos a cónica C definida em relação ao referencial canónico por 5x 2 + 6xy + y 2 = 0. Temos A = 5, B = 3, C = 1. Como AC B 2 = 5 9 < 0, ou temos uma hipérbole ou duas rectas concorrentes. Como 5x 2 + 6xy + y 2 = 0 5x 2 + (y + 3x) 2 9x 2 = 0 4x 2 + (y + 3x) 2 = 0 (y + x)(y + 5x) = 0, temos duas rectas concorrentes. 6) Consideremos a cónica C definida em relação ao referencial canónico por x 2 + 6xy + y 2 4y + 1 = 0. Temos A = 1, B = 3, C = 1. Como AC B 2 = 1 9 < 0 ou temos uma hipérbole ou duas rectas concorrentes. Como x 2 + 6xy + y 2 2y + 1 = 0 (x+3y) 2 9y 2 +y 2 2y +1 = 0 (x+3y) 2 8(y 2 + 1y + 1 ) = 0 (x y)2 8(y )2 = 3, a cónica é uma hipérbole. 2 7) Consideremos a cónica C definida em relação ao referencial canónico por x 2 + 2xy + y 2 4y + 1 = 0. Temos A = 1, B = 1, C = 1. Como AC B 2 = 1 1 = 0, podemos ter uma parábola, duas rectas paralelas (coincidentes ou não), ou o conjunto vazio. Como x 2 +2xy+y 2 4y+1 = 0 (x+y) 2 4(y 1 4 ) = 0, a cónica é uma parábola. 8) Consideremos a cónica C definida em relação ao referencial canónico por 4x 2 + 8xy + 4y = 0. Temos A = 4, B = 4, C = 4. Como AC B 2 = 0, podemos ter uma parábola, duas rectas paralelas (coincidentes ou não), ou o conjunto

19 vazio. Como 4x 2 + 8xy + 4y = 0 4(x + y) 2 = 1, temos o conjunto vazio. 9) Consideremos a cónica C definida em relação ao referencial canónico por 4x 2 + 8xy + 4y 2 1 = 0. Como no exemplo 8) podemos ter uma parábola, duas rectas paralelas (coincidentes ou não), ou o conjunto vazio. Como 4x 2 +8xy +4y 2 1 = 0 (2(x + y)) 2 1 = 0 (2(x + y) 1)(2(x + y) + 1) = 0, temos duas rectas paralelas não coincidentes. 19 Intersecções de rectas e cónicas Proposição Seja C uma cónica. Uma recta que não esteja contida em C intersecta C no máximo em dois pontos. Demonstração Seja l uma recta que passa por um ponto (x 0, y 0 ) de C. A recta l pode ser definida pelas equações paramétricas x = x 0 + pt, y = y 0 + qt, t R. Substituindo estas expressões na equação da cónica obtemos uma equação de grau menor ou igual a 2 na incógnita t, cujas soluções são os valores de t para os quais (x 0 + pt, y 0 + qt) C. Logo a única maneira de ter mais do que dois pontos de intersecção seria ter obtido a equação trivial 0 = 0. Mas isto significaria que todos os pontos de l pertenciam à cónica, o que vai contra a hipótese. Definição Seja C uma cónica não degenerada. Uma recta l que passe pelo ponto P = (x 0, y 0 ) C é uma tangente a C no ponto P se (descrevendo l pelas equações paramétricas x = x 0 +pt, y = y 0 +qt, t R) t = 0 for uma raíz dupla da equação que se obtém substituindo estas expressões na equação da cónica. De forma equivalente podemos dizer que uma recta é tangente a uma cónica não degenerada se o sistema de equações formado pelas equações da recta e da cónica tem uma raíz dupla, ou seja quando substituindo na equação da cónica uma das coordenadas pela expressão na outra deduzida da equação da recta, se obtiver uma equação do 2 o grau com uma raíz dupla. Observação Esta definição de tangente coincide com a definição usual em termos de funções de variável real, quando representamos um ramo da cónica como o gráfico de uma função real de variável real.

20 20 Exercício Comparar a forma como as rectas do plano intersectam os três diferentes tipos de cónicas não degeneradas. Em particular ver que uma característica das hipérboles que não tem paralelo no caso das elipses é a existência de assímptotas. Se uma recta l é tangente a uma cónica não degenerada C, então l C é um único ponto. Será que l C ser um único ponto caracteriza as tangentes? Proposição Se m for uma recta que intersecta a cónica não degenerada C num único ponto P, então: se C é uma elipse, m é tangente a C em P ; se C é uma hipérbole e m não é paralela a uma das assímptotas da hiperbole, m é tangente a C em P ; se m for paralela a uma das assímptotas, m não é tangente a C; se C é uma parábola, e m não é perpendicular à directriz da parábola, m é tangente a C em P ; se m for perpendicular à directriz da parábola, m não é tangente a C. Demonstração Suponhamos agora que m é uma recta que intersecta a cónica C só no ponto P. Podemos supor que temos um referencial em relação ao qual a cónica está definida por uma equação em forma reduzida, e em que o ponto P tem coordenadas (x 0, y 0 ). Sejam x = x 0 + pt, y = y 0 + qt, t R equações paramétricas de m em relação a este referencial. A recta m será tangente a C em P se substituindo estas expressões na equação da cónica obtivermos uma equação do 2 o grau. Com efeito a hipótese de que p C implica que t = 0 é solução da equação e a hipótese de C m = {P } implica que esta equação não tem soluções diferentes de t = 0. Suponhamos primeiro que C é uma elipse, de equação x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. Substituindo as expressões dos pontos da recta na equação da cónica e usando P C obtemos a equação ( 2px 0 + 2qy 0 )t + a 2 (p2 b2 a + q2 2 b 2 )t2 = 0. Dado que (p, q) (0, 0), temos p2 + q2 0, donde a equação acima é a 2 b 2 do 2 o grau. A hipótese C m = {P } implica imediatamente que t = 0 é uma raiz dupla, donde de facto m é tangente à elipse no ponto P.

21 21 Se C for uma hipérbole de equação obtemos a equação x 2 a 2 y2 b 2 = 1, ( 2px 0 2qy 0 )t + a 2 (p2 b2 a q2 2 b 2 )t2 = 0. Esta equação não é do 2 o grau se e só se p2 q2 = 0. Esta última a 2 b 2 igualdade dá-se se e só se a recta m é paralela a uma das assíntotas. No caso da parábola definida por uma equação do tipo x 2 = 2ay, a equação obtida por substituição é p 2 t 2 = 2(aq px 0 )t, que não é do 2 o grau se e só se p = 0 ou seja se e só se m é paralela ao eixo dos yy. Esta última condição é equivalente a l ser perpendicular à directriz da parábola, pelo que temos a proposição demonstrada. Observações 1) Desta demonstração obtemos também um método de calcular as tangentes a um dado ponto de uma cónica não degenerada e concluímos que existe uma e uma só tangente a um dado ponto. 2) Também decorre da demonstração que uma recta paralela a uma assímptota da hipérbole intersecta a hipérbole no máximo num ponto, enquanto que uma recta perpendicular à directriz de uma parábola intersecta a parábola exactamente num único ponto. Propriedades reflectoras das cónicas A tangente a uma cónica num ponto goza de propriedades importantes: Proposição Seja E uma elipse de focos F 1 e F 2 e P um ponto de E. A tangente a E em P bissecta um dos pares de ângulos opostos formados por F 1 P e F 2 P. Demonstração Consideremos as rectas F 1 P e F 2 P e em F 2 P escolhemos um ponto T de tal forma que P está entre T e F 2 e tal que d(t, P ) = d(f 1, P ). Seja m a mediatriz do segmento [F 1, T ]. Como d(t, P ) = d(f 1, P ), P m. Se F 1, F 2, T são colineares, então m é a perpendicular à recta F 1 F 2 que passa no ponto P e os ângulos formados por F 1 P e F 2 P com l são ambos rectos e portanto iguais. Se F 1, F 2, T não são colineares, consideremos o triângulo [F 1 P T ], que é isósceles, dado que os segmentos [F 1 P ] e [T P ] têm o mesmo comprimento. A recta m passa pelo ponto médio M do segmento [F 1 T ], e temos F 1 P M = MP T. Se S for um ponto de m tal que P está

22 22 entre M e S, temos também MP T = F 2 P S por serem ângulos opostos. Temos então que, em ambos os casos (F 1, F 2, T colineares ou não), os ângulos formados por F 1 P e F 2 P com m são iguais. Para demonstrar o que pretendemos, basta-nos ver que m é a tangente a E no ponto P e para isso usaremos o facto de uma recta ser tangente a uma elipse num ponto P se a intersecção da recta e a elipse for exactamente P. Suponhamos então que Q E m. Dado que m é a mediatriz de [F 1 T ], d(q, F 1 ) = d(q, T ). Por outro lado, como Q E, por definição de elipse temos d(q, F 1 ) + d(q, F 2 ) = d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ). Logo d(q, T ) + d(q, F 2 ) = d(p, T ) + d(p, F 2 ). Por construção o ponto P está no segmento [F 2 T ] e logo donde deduzimos que d(p, T ) + d(p, F 2 ) = d(t, F 2 ), d(q, T ) + d(q, F 2 ) = d(t, F 2 ). Desta última igualdade concluimos que Q [F 2 T ], e portanto Q é um ponto comum à recta m e à recta definida por F 2 e T, donde P = Q. Provámos assim que m E = {P } e portanto m é a tangente a E em P. Proposição Seja P uma parábola definida pela directriz l e foco F e seja P um ponto de P. Se T for o pé da perpendicular baixada de P para l, os ângulos formados por P T e P F com a tangente a P em P são iguais. Demonstração A distância de P a l é exactamente d(p, T ). Se m for a mediatriz de [F T ] temos que, por definição de parábola, P m. Se F, P, T são colineares, então m é a paralela à recta l que passa no ponto P e os ângulos formados por F P e F T com m são ambos rectos e portanto iguais. Se F, P, T não são colineares, consideremos o triangulo [F P T ], que é isósceles, dado que os segmentos [F P ] e [T P ] têm o mesmo comprimento. m passa pelo ponto médio M do segmento [F T ], e temos F P M = MP T. Temos então que, em ambos os casos (F, P, T colineares ou não), os ângulos formados por F T e F P com l são iguais. Para demonstrar o que pretendemos, basta-nos ver que m é a tangente a P no ponto P. Dado que m passa por P e T / m, m não é perpendicular a l. Portanto para mostrar que m é tangente a P em P basta-nos mostrar que a intersecção da recta m e da parábola P é exactamente P.

23 Suponhamos então que Q P m. Dado que m é a mediatriz de [F T ], d(q, F ) = d(q, T ). Por outro lado, como Q P, por definição de parábola temos d(q, F ) = d(q, l) e logo d(q, T ) = d(q, l). Como T l, pelas propriedades da distância de um ponto a uma recta, concluímos que T é o pé da perpendicular baixada de Q para l. Dado que uma recta perpendicular a l intersecta P num único ponto, temos necessariamente Q = P. 23 Observações 1) Para as hipérboles temos propriedades semelhantes, i.e. dada uma hipérbole H de focos F 1 e F 2 e um ponto P de H, a tangente a H em P bissecta um dos pares de ângulos opostos formados por F 1 P e F 2 P. 2) Para uma demonstração analítica das proposições anteriores ver Rey Pastor.

24 24

25 Aplicações As leis da física de reflexão dizem que os raios incidentes e reflectidos num ponto de uma curva fazem angulos iguais com a tangente à curva nesse ponto. Do que vimos temos então que um raio saindo de um foco de uma elipse é reflectido de forma a que passa pelo outro foco. Também um raio saindo do foco de uma parábola é reflectido segundo uma direcção paralela ao eixo da parábola, enquanto que os raios com direcção paralela ao eixo da parábola são reflectidos de forma a que convergem no foco. Como aplicações destas propriedades temos por exemplo: antenas parabólicas; forma (de secção parabólica) dos farois dos carros e das lanternas portáteis; o truque para fazer fogo usando um pedaço de vidro de secção parabólica. 25 Congruências, semelhanças, transformações afins Temos o seguinte: Teorema Duas elipses E e E definidas respectivamente por E = {X : d(x, F 1 ) + d(x, F 2 ) = 2a}, E = {X : d(x, G 1 ) + d(x, G 2 ) = 2b}, são congruentes se e só se d(f 1, F 2 ) = d(g 1, G 2 ), a = b. Duas hipérboles H e H definidas respectivamente por H = {X : d(x, F 1 ) d(x, F 2 ) = 2a}, H = {X : d(x, G 1 ) d(x, G 2 ) = 2b}, são congruentes se e só se d(f 1, F 2 ) = d(g 1, G 2 ), a = b. Duas parábolas P e P definidas respectivamente por P = {X : d(x, F ) = d(x, l)}, E = {X : d(x, G) = d(x, m)}, são congruentes se e só se d(f, l) = d(g, m).

26 26 Demonstração Ver Rey Pastor ou Borsuk, ou observar como construímos o referencial de forma a obter as descrições das cónicas de uma forma simples. Definição Uma semelhança de razão k (k > 0) do plano é uma bijecção f que satisfaz d(f(p ), f(q)) = k d(p, Q) para todos os pontos P, Q do plano. Uma semelhança embora não preserve as distâncias preserva os ângulos. Duas figuras geométricas A e B dizem-se semelhantes se houver uma semelhança F tal que f(a) = B. Temos o seguinte: Teorema Duas parábolas P e P são sempre semelhantes. Duas elipses E e E são semelhantes se e só se tiverem a mesma excentricidade e. Duas hipérboles H e H são semelhantes se e só se tiverem a mesma excentricidade e. Demonstração Ver Borsuk. As semelhanças são casos particulares de transformações afins (que são a composição de uma aplicação linear com uma translação). Temos: Teorema Dadas duas elipses ou circunferências existe sempre uma transformação afim que aplica uma na outra. Dadas duas hipérboles existe sempre uma transformação afim que aplica uma na outra. Demonstração Ver Borsuk. Sugestões de bibliografia J.Roe Elementary geometry, Oxford Science Publications, 1993 Muito claro, descreve as cónicas também em coordenadas polares e apresenta as parametrizações racionais das cónicas.

27 J.Rey Pastor Geometria analitica, Editorial Kapelusz, Buenos Aires, 1959 Bastante completo, em espanhol. K.Borsuk Multidimensional analytic geometry, PWN, Varsóvia, 1969 Muito completo e claro, apresentando em particular a forma de obter cónicas dadas como secções de cones (do ponto de vista analítico). Brieskorn e Knorrer Plane algebraic curves, Birkhauser parte histórica e descreve construções de cónicas. 27 Tem uma J.Sebastião e Siva Geometria analítica plana, 4 o capítulo do manual do antigo 7 o ano do liceu. Hilbert e Cohn-Vossen Geometry and the imagination, Chelsea Publishing, 1952 C.Stanley Ogilvy Excursions in geometry, Dover Publications, 1969.