Geometria Analítica. Superfícies. Prof Marcelo Maraschin de Souza

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1 Geometria Analítica Superfícies Prof Marcelo Maraschin de Souza

2 Superfícies Quadráticas A equação geral do 2º grau nas três variáveis x,y e z ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q = 0 Onde a,b,c,d,e ou f é diferente de zero, representa uma superfície quadrátrica. Se a superfície quadrática for cortada pelos planos coordenadas ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamada traço da superfície no plano.

3 Superfícies Quadráticas Por exemplo, o traço da superfície quadrática no plano z=0 é a cônica ax 2 + by 2 + 2dxy + mx + ny + q = 0 contida no plano xy, e representa uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola, ou ainda uma cônica degenerada.

4 Superfícies de Revolução Superfície de revolução é a superfície gerada por uma curva plana (geratriz) que gira 360º em torno de uma reta (eixo) situada no plano da curva. Neste caso, o traço da superfície num plano perpendicular ao eixo é uma circunferência e a equação da superfície é obtida através da equação geratriz.

5 Superfícies de Revolução Exemplo: considere a superfície gerada pela revolução da parábola em torno do eixo dos y. z 2 = 2y x = 0

6 Observações: Superfícies de Revolução O traço da superfície é uma circunferência de centro C(0,y,0); Uma interseção desta circunferência com a parábola é o ponto Q(0,y,z 1 ); Neste caso, o raio da circunferência é z 1. CP=CQ=r Do triângulo retângulo vem que CP = x 2 + z 2 Da parábola temos que z 1 = 2y Logo, de CP=CQ, temos x 2 + z 2 = 2y ou x 2 + z 2 = 2y que é a equação dessa superfície.

7 Superfícies de Revolução Ou seja, bastava fazer a substituição de z por x 2 + z 2 na equação dada. Então, se a geratriz estiver contida num dos planos coordenados e girar 360 em torno dos eixos desse plano, a equação da superfície é obtida por: se a curva gira em torno: do eixo x, substitui y ou z na equação da curva por y 2 + z 2 do eixo y, substitui x ou z na equação da curva por x 2 + z 2 do eixo z, substitui x ou y na equação da curva por x 2 + y 2

8 Elipsóide Considere no plano yz a elipse de equações y 2 b 2 + z2 c2 = 1, x = 0

9 Elipsoide Ao girarmos essa elipse em torno do eixo dos y, obtemos o elipsoide de revolução, cuja equação será obtida da equação da elipse, substituindo-se z por ± x 2 + z 2. ou y 2 b 2 + x2 + z 2 c 2 = 1 x 2 c 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1

10 Elipsoide Ao girarmos essa elipse em torno do eixo dos z, obtemos o elipsoide de revolução, cuja equação será obtida da equação da elipse, substituindo-se y por ± x 2 + y 2. ou x 2 + y 2 b 2 + z2 c 2 = 1 x 2 b 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1

11 Elipsoide Ou seja, o elipsoide (com centro na origem) de maneira mais geral é representado pela equação, x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 onde a, b e c são reais positivos e representam as medidas dos semieixos do elipsoide.

12 Elipsoide Os traços do elipsoide: no plano xy, é a elipse x2 no plano xz, é a elipse x2 no plano yz, é a elipse y2 + y2 a 2 b + z2 a 2 c + z2 b 2 c 2 = 1, z = 0; 2 = 1, y = 0; 2 = 1, x = 0.

13 Elipsoide Se o centro do elipsoide for C(h, k, l), a equação é obtida através da translação de eixos, (x h) 2 a 2 + (y k)2 b 2 + (z l)2 c 2 = 1 onde a, b e c são reais positivos e representam as medidas dos semieixos do elipsoide.

14 Exemplos de Elipsoide ch%2felipsoide

15 Elipsoide Exercício 1: Escreva a equação do seguinte elipsoide. Qual é a equação do traço no plano xz? Exercício 2: faça o esboço do gráfico do elipsoide de equação: x y z 1 2 =

16 Superfície Esférica No caso de a=b=c, a equação do elipsoide (com centro na origem) toma a forma ou x 2 a 2 + y2 a 2 + z2 a 2 = 1 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 e representa uma superfície esférica de centro C(0,0,0) e raio a. Observe que, essa superfície também é de revolução, é apenas um caso particular do elipsoide.

17 Superfície Esférica Superfície esférica com centro C(h,k,l), (x h) 2 +(y k) 2 +(z l) 2 = a 2 Exemplos:

18 Observação sobre o exemplo 2: Superfície Esférica Se r 2 = 0, a equação representa um ponto; Se r 2 < 0, a solução da equação é um conjunto vazio. Exemplo 3: verifique se a equação x 2 + y 2 + z 2 4x 2y + 8z + 12 = 0 é a equação de uma superfície esférica. Caso seja, dê o raio e o centro. Exemplo 4: encontre a equação geral da superfície esférica que passa pelos pontos (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3). Dica: a equação procurada é da forma

19 Superfície Esférica Um plano π é tangente a uma superfície esférica de centro C e raio r se a distância d C, π = r e, sendo P o ponto de tangência, o vetor CP é um vetor normal a π.

20 Exemplo: Superfície Esférica