x 2 a 2 + y2 c 2 = 1, b 2 + z2 Esta superfície é simétrica relativamente a cada um dos planos coordenados e relativamente

Transcrição

1 Capítulo 2 Cálculo integral 2.1 Superfícies quádricas Uma superfície quádrica é um subconjunto de R 3 constituído por todos os pontos de R 3 que satisfazem uma equação com a forma A + B + Cz 2 + Dxy + Eyz + F xz + Gx + Hy + Iz + J = 0, onde A, B,..., J são constantes reais e A, B,..., F não todas nulas. Pode provar-se que, para toda a superfície quádrica, existe um referencial ortonormado de R 3 em relação ao qual a equação da quádrica assume uma forma mais simples, a chamada forma canónica. Vejamos então quais são as equações das quádricas na forma canónica Elipsóide Um elipsóide é uma quádrica cuja equação na forma canónica é com a, b, c R +., Esta superfície é simétrica relativamente a cada um dos planos coordenados e relativamente à origem. A intersecção de um elipsóide na forma canónica com um plano paralelo a um dos planos coordenados é uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio. Se a = b = c o elipsóide é uma superfície esférica de centro na origem e raio a. Na figura seguinte estão representados alguns elipsóides. 47

2 48 Textos de Apoio de Análise Matemática IV 2003/2004 Fig Hiperbolóide de uma folha Um hiperbolóide de uma folha é uma quádrica cuja equação na forma canónica é de uma das formas:, ou.

3 Cristina Caldeira 49 Fig Fig O hiperbolóide de uma folha representado na figura é uma superfície simétrica relativamente a cada um dos planos coordenados. As secções por planos paralelos ao plano XOY são elipses. As secções por planos paralelos a XOZ ou a Y OZ são hipérboles Hiperbolóide de duas folhas Um hiperbolóide de duas folha é uma quádrica cuja equação na forma canónica é de uma das formas: a y2 2 b + z2 2 c = 1, 2 ou.

4 50 Textos de Apoio de Análise Matemática IV 2003/2004 Fig Fig O hiperbolóide de duas folhas representado na figura é uma superfície simétrica em relação a cada um dos planos coordenados. As secções por planos paralelos a XOY são ou o conjunto vazio, ou um ponto ou uma elipse. As secções por plano paralelos a Y OZ ou a XOZ são hipérboles.

5 Cristina Caldeira Cone elíptico Um cone elíptico é uma quádrica cuja equação na forma canónica é de uma das formas: c 2 = 0, c 2 = 0 ou c 2 = 0. c 2 = 0 Fig c 2 = 0 c 2 = 0 Fig O cone representado na figura é uma superfície simétrica em relação a cada um dos planos coordenados. As secções por planos paralelos a XOY são elipses no caso de planos distintos de XOY e um ponto no caso do plano XOY. As secções por plano estritamente paralelos a Y OZ ou a XOZ são hipérboles. A intersecção com o plano XOZ é constituída por duas rectas, assim como a intersecção com o plano Y OZ.

6 52 Textos de Apoio de Análise Matemática IV 2003/ Parabolóide elíptico Um parabolóide elíptico é uma quádrica cuja equação na forma canónica é de uma das formas: a + y2 2 b = 2pz, 2 c 2 = 2px ou a 2 + z2 c 2 = 2py, com p 0. a + y2 2 b = 2pz com p > 0 2 a + y2 = 2pz com p < 0 2 b2 Fig b + z2 2 c = 2px com p > 0 2 a + z2 = 2py com p > 0 2 c2 Fig

7 Cristina Caldeira 53 b + z2 2 c = 2px com p < 0 2 a + z2 = 2py com p < 0 2 c2 Fig Os parabolóides representados na figura são simétricos em relação aos planos XOZ e Y OZ. As secções por planos paralelos a XOY são o vazio, um ponto ou uma elipse. As secções por planos paralelos a Y OZ ou a XOZ são parábolas Parabolóide hiperbólico Um parabolíode hiperbólico é uma quádrica cuja equação na forma canónica é de uma das formas: a y2 2 b = 2pz, 2 c 2 = 2px ou a 2 z2 c 2 = 2py, com p 0. a y2 = 2pz com p > 0 2 b2 Fig

8 54 Textos de Apoio de Análise Matemática IV 2003/2004 a y2 = 2pz com p < 0 2 b2 Fig Os parabolóides hiperbólicos representados nas figuras e são simétricos relativamente aos planos XOZ e Y OZ. As intersecções com XOY são constituídas, para cada hiperbolóide, por duas rectas. As intersecções com planos estritamente paralelos a XOY são hiérboles e as intersecções com planos paralelos a XOZ ou Y OZ são parábolas Cilindro elíptico Um cilindro elíptico é uma quádrica cuja equação na forma canónica é de uma das formas: b 2 = 1, ou a 2 + z2. Para cada um destes cilindros, se as duas quantidades a e b ou b e c ou a e c são iguais, o cilindro diz-se circular recto. b 2 = 1, com a < b Fig

9 Cristina Caldeira 55 com b > c a 2 + z2 com a < c Fig O cilindro elíptico representado na figura é uma superfície simétrica relativamente a cada um dos planos coordenados. As secções por planos paralelos ao plano XOY são elipses. As secções por planos paralelos a XOZ ou a Y OZ são duas rectas, uma recta ou o vazio Cilindro hiperbólico Um cilindro hiperbólico é uma quádrica cuja equação na forma canónica é de uma das formas: b 2 = 1, x2 b 2 = 1,, y2, a z2 = 1, ou 2 x2 c2 a + z2 2 c = 1. 2 b 2 = 1, com a < b Fig

10 56 Textos de Apoio de Análise Matemática IV 2003/2004 b 2 = 1 a 2 z2 Fig O cilindro hiperbólico representado na figura é uma superfície simétrica relativamente a cada um dos planos coordenados. As secções por planos paralelos ao plano XOY são hipérboles. As secções por planos paralelos a XOZ são duas rectas. As secções por planos paralelos a Y OZ são duas rectas, uma recta ou o vazio Cilindro parabólico Um cilindro parabólico é uma quádrica cuja equação na forma canónica é de uma das formas: com a 0. y = az 2, y = a, x = az 2, x = a, z = a, ou z = a, y = az 2, com a > 0 Fig

11 Cristina Caldeira 57 x = az 2, com a < 0 z = a, com a > 0 Fig O cilindro parabólico representado na figura é uma superfície simétrica relativamente aos planos coordenados XOY e Y OZ. As secções por planos paralelos ao plano Y OZ são parábolas. As secções por planos paralelos a XOZ são duas rectas, uma recta ou o vazio. As secções por planos paralelos a XOY são rectas. 2.2 Exercícios 1. Identifique e esboce as seguintes superfícies quádricas: (a) z 2 = 1 ; (b) + z 2 = 9 ; (c) + + z 2 = 2z ; (d) + = 4 z ; (e)(z 4) 2 = + ; (f)y = ; { z = 2 + y 2 (g) x 2 ; (h) = 0 ; (i) + 2 z 2 = 1 ; (j) z 2 = Represente geometricamente o sólido S definido pelas condições: (a) + z 2 ; (b) + 4 e + (z 6) 2 ; (c) + 1 e 0 z x + y; (d) 0 z 2 e + z Faça o esboço gráfico dos seguintes subconjuntos de R 3 : (a) S = {(x, y, z) R 3 : x 0, y 0, z 0, e 6x + 3y + 2z 12}; (b) S = {(x, y, z) R 3 : + = 6y e + + z 2 36}; (c) S = {(x, y, z) R 3 : 4 + z + e 2 z + }.