Objetivos. Aprender a propriedade reflexiva da parábola.

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1 Aula 16 Parábola - continuação MÓDULO 1 - AULA 16 Objetivos Descrever a parábola como um lugar geométrico, determinando a sua equação reduzida nos sistemas de coordenadas com eixo y paralelo à diretriz l, eixo x como eixo de simetria e origem no vértice V. Determinar as coordenadas do foco F, do vértice V e da diretriz l. Esboçar o gráfico da parábola, a partir da sua equação. Fazer translações. Aprender a propriedade reflexiva da parábola. Conceitos: Sistemas de coordenadas cartesianas e distâncias no plano. Referências: Aulas 13 e 14. Na aula anterior encontramos uma equação reduzida da parábola quando o seu eixo de simetria é o eixo y, o eixo x é paralelo à diretriz l e a origem é o vértice. Poderíamos ter procedido de outra maneira. Vamos construir outro sistema de coordenadas e escrever equações reduzidas para a parábola. Para isto, seja ainda 2p, onde p > 0, a distância do foco F à reta diretriz l. Consideramos a origem O situada na reta perpendicular à reta l passando por F e eqüidistante de F e l. A reta perpendicular a l passando por F será o eixo x com uma orientação fixada. O eixo y será a reta paralela a l, com a orientação conveniente (lembre-se que girando a parte positiva do primeiro eixo, o eixo x, no sentido anti-horário em torno de O, obtemos o sentido positivo do segundo eixo, o eixo y). A posição relativa de F, com respeito à diretriz l e à escolha dos eixos coordenados, está ilustrada na Figura Figura 16.1: Sistemas de coordenadas com eixo y paralelo à diretriz. Observe que a origem O = (0, 0) do sistema de coordenadas construído é novamente o vértice V da parábola. Temos dois casos a considerar, conforme a Figura CEDERJ

2 Primeiramente, vamos determinar a equação da parábola no caso em que F = (p, 0) e a equação da reta diretriz l é x = p, conforme o desenho à esquerda da Figura Para cada ponto P = (x, y), o ponto P l, pé da perpendicular passando por P, é P = ( p, y). Portanto, um ponto P = (x, y) pertence à parábola d(p, F ) = d(p, P ) d((x, y), (p, 0)) = d((x, y), ( p, y)) (x p) 2 + (y 0) 2 = (x ( p)) 2 + (y y)) 2 (x p) 2 + y 2 = (x + p) 2, elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, (x p) 2 + y 2 = (x + p) 2, desenvolvendo ambos os membros da igualdade, x 2 2px + p 2 + y 2 = x 2 + 2px + p 2, somando x 2 + 2px p 2 a ambos os membros da igualdade, y 2 = x. Como p > 0 e y 2 0 para todo y R, temos x = y2 0. Logo, os pontos da parábola diferentes da origem estão à direita do eixo y. O gráfico desta equação, ilustrado na Figura 16.2, é: { } { ( ) Graf(y 2 = x) = (x, y) x = y2 y = 2, y y R Na Figura 16.3 estão os gráficos das parábolas: x = y2 4, x = y2 e x = 2y 2. Exemplo 16.1 Vamos encontrar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola x = 1 4 y2. Escrevendo 1 = 1, obtemos = 4, logo p = 1. Então, o foco é 4 F = (p, 0) = (1, 0) e a diretriz é x = p = 1. Consideremos, agora, o caso em que F = ( p, 0) e a equação da reta diretriz é x = p, conforme o desenho à direita da Figura Para cada ponto P = (x, y), o ponto P l, pé da perpendicular passando por P, é P = (p, y). }. CEDERJ 226

3 MÓDULO 1 - AULA 16 Figura 16.2: Parábola x = y2 foco F = (p, 0). com Figura 16.3: Gráficos de x = y2 4, x = y2 e x = 2y 2. Portanto, um ponto P = (x, y) pertence à parábola d(p, F ) = d(p, P ) d((x, y), ( p, 0)) = d((x, y), (p, y)) (x ( p)) 2 + (y 0) 2 = (x p) 2 + (y y) 2 (x + p) 2 + y 2 = (x p) 2, elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, (x + p) 2 + y 2 = (x p) 2, desenvolvendo ambos os membros da igualdade, x 2 + 2px + p 2 + y 2 = x 2 2px + p 2, somando x 2 2px p 2, y 2 = x. Como p < 0 e y 2 0 para todo y R, temos x = y2 0. Logo, os pontos da parábola diferentes da origem estão à esquerda do eixo y. O gráfico desta equação, ilustrado na Figura 16.4, é: Graf(y 2 = x) = { } { ( ) (x, y) x = y2 = y 2, y } y R. Exemplo 16.2 Vamos determinar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação x = 2y 2. Escrevendo 2 = 1, obtemos p = 1. 8 F = ( p, 0) = ( 1, 0) e a equação da diretriz é x = p = Exemplo 16.3 Então, Qual é a equação da parábola com foco F = ( 3, 0) e vértice V = (0, 0)? CEDERJ

4 Figura 16.4: Parábola x = y2 com foco F = ( p, 0) e vértice V = (0, 0). Escrevendo a equação da parábola na forma reduzida x = y2 e sabendo que F = ( p, 0), temos p = 3. Logo, p = 3, = 4 3 = 6, 1 = 1 e x = y2 = y2. 4 p 6 Nos dois casos, a equação da parábola na forma reduzida é: x = ay 2, onde a R e a 0. Note que esta parábola tem foco F = ( 1 1, 0), diretriz x = e o seu 4a 4a gráfico é: Graf(x = ay 2 ) = {(x, y) x = ay 2 } = {(ay 2, y) y R}. Observe, na Figura 16.5, como o gráfico desta equação se comporta, em termos do número real a. A parábola está voltada para a direita quando a > 0 e, para a esquerda, quando a < 0. Figura 16.5: Parábolas x = ay 2, com a > 0 e a < 0. Figura 16.6: Parábolas x = ay 2 e x h = a(y k) 2, com a > 0. CEDERJ 228

5 MÓDULO 1 - AULA 16 De modo geral, a parábola x = ay 2 tem vértice (0, 0) e eixo de simetria y = 0. Quando esta parábola é transladada de h unidades, horizontalmente, e de k unidades, verticalmente, obtemos uma parábola congruente de equação x h = a(y k) 2. Na Figura 16.6 estão esboçados os gráficos das parábolas x = ay 2 e x h = a(y k) 2, com a > 0. O vértice (0, 0) é transladado para (h, k) e o foco, a diretriz l e o eixo de simetria são transladados como indicado a seguir: x = ay 2 x h = a(y k) 2 vértice: (0, 0) (h, k) foco: ( 1 1, 0) (h + 4a 4a, k) diretriz: x = 1 x = h 1 4a 4a eixo de simetria: y = 0 y = k Exemplo 16.4 Qual é a equação reduzida da parábola com vértice V = ( 3, 2) e diretriz x = 9 2? Sendo a diretriz uma reta vertical, a equação da parábola é da forma x h = a(y k) 2, onde (h, k) = ( 3, 2). Escrevendo a equação da diretriz x = h 1 4a = 9 2, obtemos 1 4a = 9 2 h = = 3 2. Logo, 4a = 2 3 e, portanto, a = 1. Assim, a equação reduzida 6 da parábola é x ( 3) = 1 6 (y ( 2))2, que é equivalente a x+3 = 1 6 (y +2)2. Agora já sabemos identificar a equação da parábola na forma reduzida. Na prática, as aplicações da parábola são decorrência da sua propriedade de reflexão: se uma fonte de luz for colocada no foco F, então os raios que esta fonte irradia incidem na parábola e são refletidos ao longo de retas paralelas ao eixo de simetria. Figura 16.7: Linhas paralelas ao eixo focal são refletidas pela parábola em linhas que passam pelo foco. 229 CEDERJ

6 Um holofote ou um farol de automóvel utilizam este princípio numa superfície parabólica espelhada por dentro. Esta superfície, chamada parabolóide, é obtida pela rotação da parábola em torno do seu eixo de simetria e se constitui de uma infinidade de parábolas com mesmo foco e mesmo eixo de simetria, conforme a Figura Figura 16.8: Parabolóide. As antenas parabólicas são utilizadas para amplificar os sinais captados, concentrando-os no foco. Os sinais incidem no parabolóide, a superfície da antena, paralelos ao eixo de simetria, refletindo para o foco. Resumo Você aprendeu a determinar a equação reduzida da parábola, a partir da sua propriedade geométrica, no sistema de coordenadas com origem no vértice, eixo y paralelo à diretriz l e eixo x como o eixo de simetria ou eixo focal; a esboçar o gráfico da parábola; a fazer translações; a determinar as coordenadas do foco F, do vértice V e a equação da diretriz l, a partir da equação da parábola, além da propriedade reflexiva da parábola. Exercícios 1. Determine o vértice, o foco, a equação da diretriz, o eixo de simetria e trace o gráfico das parábolas: (a) x = 6y 2 (b) 2x = 2y 2 (c) x = y 2 2y + 1 (d) x = y 2 3y + 4 (e) x = y 2 + 2y + 5 (f) x = y 2 4y + 7 CEDERJ 230

7 MÓDULO 1 - AULA 16 (g) x = 2y 2 + 4y 5 (h) 8x + y 2 4y 20 = 0 2. Determine o ponto de interseção de cada uma das parábolas do exercício anterior com o eixo x. Lembre que a equação do eixo x é y = Determine a equação reduzida da parábola que satisfaz a propriedade dada e esboce o gráfico: (a) Foco F = ( 3 4, 0) e diretriz x = 3 4. (b) Foco F = (1, 0) e vértice (0, 0). (c) Diretriz x = 3 e vértice (0, 0). 2 (d) Vértice ( 1, 3) e diretriz x = 3. (e) Vértice (0, 1), eixo de simetria horizontal e o ponto ( 2, 2) está na parábola. (f) Vértice (0, 0), eixo de simetria y = 0 e passa pelo ponto (2, 3). (g) Foco F = (4, 5) e diretriz x = 1. (h) Vértice (4, 1) e diretriz x = Esboce os subconjuntos do plano: (a) A = { (x, y) y + 3 x < 2y 2 }. (b) B = { (x, y) y 2 2y x < 4y y 2 }. (c) C = { (x, y) y 2 2y x y 2 + y 1 }. (d) D = { (x, y) y 2 2 x < 2y 2 + 6y + 7 }. A parábola x = ay 2 + by + c, assim como uma reta vertical, divide o plano em dois subconjuntos disjuntos: os pontos à direita (x > ay 2 + by + c) e os pontos à esquerda da parábola (x < ay 2 + by + c). Auto-avaliação Se você souber determinar o vértice, o foco e a equação da diretriz da parábola, a partir da sua equação, e esboçar o seu gráfico, então pode passar para a próxima aula. É claro que resolveu os exercícios 1 a 4! Vamos para a Aula 20, onde há interessantes aplicações relacionando as propriedades do gráfico da parábola com problemas do nosso cotidiano. 231 CEDERJ

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