RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2012 DA FUVEST-FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

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1 RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 0 DA FUVEST-FASE POR PROFA MARIA ANTÔNIA C GOUVEIA QUESTÕES DO DIA : Q5 Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a + x, a x, a x +, em que x é um número rea a) Determine os possíveis vaores de x b) Cacue a soma dos 00 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor vaor de x encontrado no item a) a) Como os números a + x, a x, a x +, são os três primeiros termos de progressão aritmética: a a + a ± 0 ± 9 x x x x x x x x ou x 5 RESPOSTA: Os possíveis vaores de x são e 5 b) O menor vaor de x encontrado no item a) é, ogo a + e a que a razão r da progressão é Como a 00 a + ( 00 ) r a A soma dos termos de uma PA é determinada através da apicação da reação (a + an) n S n 9 Então a soma dos 00 primeiros termos da PA,,,,50,, é: S RESPOSTA: A soma dos 00 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor vaor de x encontrado no item a) é 7575

2 Q Considere a função f, cujo domínio é o intervao fechado [0, 5] e que está definida peas condições: para 0 x, tem-se f(x) x + ; para <x<, tem-se f(x) x + ; f é inear no intervao [, ] e também no intervao [, 5], conforme mostra a figura ao ado; a área sob o gráfico de f no intervao [, 5] é o tripo da área sob o gráfico de f no intervao [0, ] Com base nessas informações, a) desenhe, no sistema de coordenadas indicado na página de resposta, o gráfico de f no intervao [0, ]; b) determine a área sob o gráfico de f no intervao [0, ]; c) determine f() a) x y x + Ponto 0 y (0, ) y + (, ) x y x + Ponto y + (, ) y + (, ) b) O pentágono ABCDEF representa a região sob o gráfico de f no intervao [0, ] e acima do eixo Ox O pentágono ABCDEF pode ser decomposto de agumas formas diferentes Ao ado foi decomposto em duas regiões retanguares e em duas trianguares, e a sua área é a soma das áreas dessas regiões S S + S + S + S ABCDEF EFG EDH ABFG BCDH + 5 S ABCDEF ,5 RESPOSTA: A área sob o gráfico de f no intervao [0, ] é 5,5ua

3 c) A região quadranguar BCLM, sob o gráfico de f no intervao de [, 5], é formada pea união do trapézio BCJM com o triânguo JLM, ogo sua área é: S BCLM Como S BCLM S BCJM S RESPOSTA: + S ABCEF JLM S BCLM y + 9 f() ( + y) y y + + y 9 y 9 QUESTÕES DO DIA : M0 O poinômio p(x) x + ax + bx + cx 8, em que a, b, c são números reais, tem o número compexo + i como raiz, bem como duas raízes simétricas a) Determine a, b, c e as raízes de p(x) b) Subtraia de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os poinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses novos vaores como raízes a) Se o poinômio p(x) x + ax + bx + cx 8, em que a, b, c são números reais, tem o número compexo + i como raiz, tem também como raiz o número i Se as suas duas outras raízes são simétricas pode-se representá-as por m e m Como o coeficiente de x é e o termo independente de x é 8, o produto de suas raízes também é igua a 8 Logo: ( + i)( i)( m)( m) 8 m 8 m ± Assim as raízes de p(x) são: + i i, e Sendo a o coeficiente de x, então a soma das raízes de p(x) é igua a a, então: + i + i + a a Tem-se agora: p(x) x + x + bx + cx 8 Como e são raízes de p(x), p() p( ) 0 8b + + b + c 8 0 b + c b p(x) x + x + x + x 8 + b c 8 0 b c 8 c RESPOSTA: a, b, c e as raízes de p(x) são + i i, e

4 b) Um poinômio do quarto grau pode ser escrito em função do coeficiente a (número rea não nuo) do seu termo de maior grau e de suas raízes x, x, x e x da seguinte forma: p(x) a(x x)(x x )(x x)(x x ) Sendo + i i, x i i, x e x, então x ( x + x x + x ) p(x) a(x i)(x + i)(x )(x + ) p(x) a RESPOSTA: Todos os poinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam i, i, e como raízes podem ser representados como p(x) a x + x x + x M0 ( ) No triânguo acutânguo ABC, iustrado na figura, o comprimento do ado BC mede 5 / 5, o ânguo interno de vértice C mede α, e o ânguo interno de vértice B mede α/ Sabe-se, também, que cos( α ) + cosα + 0 Nessas condições, cacue a) o vaor de senα; b) o comprimento do ado AC cos α + cosα + considerando que α é um ânguo agudo, Resovendo a equação ( ) 0 pois ABC é um triânguo acutânguo e que ( cos α sen α ) + cosα + 0 cos α ( cos α ) cosα cos α sen α e sen α cos α : + cosα + 0 ± π cos α + cosα 0 cosα cosα, 0 < α < 8 8 π 5 a) Se cosα, 0 < α < senα cos α senα senα RESPOSTA: b) Sendo α sen 5 senα cosα Sendo sen( a) sen( a) sen ( a) α sen e 5 α senα sen 8 α e que sen 8 8

5 Apicando a Lei dos senos ao triânguo ABC: 5 5 o sen 80 α b α sen 5 α 5sen b 5 α 5sen b b b 5 5 b 5b 5 b RESPOSTA: AC 5 M0 a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infanti De quantas maneiras distintas essas crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um dees com jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos? b) Acontecida a fase inicia do torneio, a fase semifina terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José Os vencedores de cada um dos jogos farão a fina Dado que a probabiidade de um menino ganhar de uma menina é /5, cacue a probabiidade de uma menina vencer o torneio a) A(meninas) B(meninos) C(meninas) D Modos distintos C 0, C, C, Grupo formado peas crianças restantes Número de maneiras distintas para a formação dos grupos atendendo aos pré-requisitos: C0, C, C, RESPOSTA: Existem 7 50 maneiras distintas para a formação dos grupos b) Considerando as probabiidades de Marta e Maria vencerem as semifinais: Considerando as probabiidades de Marta e João vencerem as semifinais e Marta vencer a fina: Considerando as probabiidades de Maria e José vencerem as semifinais e Maria vencer a fina: Assim a probabiidade do torneio ser vencido por uma menina é: ,5 5,% RESPOSTA: A probabiidade do torneio ser vencido por uma menina é de 5,% 5

6 M0 A base do tetraedro PABCD é o quadrado ABCD de ado, contido no pano α Sabese que a projeção ortogona do vértice P no pano α está no semipano de α determinado pea reta BC e que não contém o ado AD Aém disso, a face BPC é um triânguo isóscees de base BC cuja atura forma, com o pano α, um ânguo θ, em que 0 < θ < π/ Sendo PB /, determine, em função de e θ, a) o voume do tetraedro PACBD; b) a atura do triânguo APB reativa ao ado AB ; c) a atura do triânguo APD reativa ao ado AD a) Iniciamente vae a observação de que o sóido PABCD da questão não é um tetraedro (pirâmide trianguar), mas sim uma pirâmide quadranguar cuja base é um quadrado A figura acima é um triânguo isóscees, BH HC / Do triânguo retânguo PHB: h senθ Da figura : PE senθ PH PE senθ PE é a atura da pirâmide (o ponto E é a projeção ortogona do vértice P no pano α) Então o voume de PABCD é: senθ senθ V SABCD PE senθ RESPOSTA: O voume de PABCD é

7 b) Na figura : tem-se PF AB PF é a atura do triânguo APB em reação ao ado AB ; BFEH é um paraeogramo, então BF HE x cosθ cosθ Da figura 5, HE HP cosθ HE cosθ BF HE No triânguo retânguo PBF da figura tem-se: PF BP - BF PF cosθ cosθ ( sen θ) + sen θ Poder-se-ia também ter cacuado a medida de PF apicando o Teorema de Pitágoras ao triânguo retânguo PEF da figura : PF PE + EF PF senθ + + sen θ RESPOSTA: A atura do triânguo APB reativa ao ado AB mede ou c) + sen θ cos θ Figura 7 Como o triânguo PBC é isóscees, o triânguo APD também o é e os pontos de interseção de suas aturas com o pano α pertencem à reta GE Apicando o Teorema de Pitágoras ao triânguo PEG determina-se a medida de PG : PG PG GE + PE + cosθ + PG PG cosθ cosθ senθ + + cosθ + cosθ sen θ + RESPOSTA: A atura do triânguo APD reativa ao ado AD mede 5 + cosθ 7

8 M05 Determine para quais vaores reais de x é verdadeira a desiguadade x 0x + x 5 Iniciamente busque-se determinar as raízes das funções h(x) x 0x + e g(x) x 5 Raízes da equação: x 0 ± x + 0 x x ou x 7 Raiz da equação x 5 0 x 5 Resovendo a inequação x 0x + x 5 x 0x + x 5 0 Considerando x 0x + 0 x ou x 7 i Se x 5 0 x 5 x 0x + ( x 5) 0 x 0x + x x x + 0 x 9 S (,) (7, + ) 5, +,9 ( ) [ [ [ ] [ 7,9] iise x 5 0, x 5 x 0x + ( x + 5) 0 x 0x + + x 5 0 x 7x + 0 x S (,) (7, + ),5,, ( ) ] ] [ ] [ ] Considerando x 0x + 0 x 7 ise x 5 0, x 5 ( x ) 0x + ( x 5) 0 x + 0x x x + 7x 0 x 7x + 0 x ou x S,7 5, +,, +,7 [ ] [ [ (] ] [ [) [ ] iise x 5 0, x 5 ( x ) 0x + ( x + 5) 0 x + 0x + x 5 0 x + x 0 x x + 0 x ou x 9 S,7,5, 9, +, [ ] [ [ (] ] [ [) [ ] 8

9 Concusão: A soução da inequação x 0x + x 5 é S S S [, ] [, ] [, 7] [7, 9] [, ] [, 9] S Outro modo de resover Determinação das raízes comuns a h(x) x 0x + e g(x) x 5 : x 0x + x 5 x 0x + x 5 ou x 0x + x + 5 ± 9 7 ± x x + 0 ou x 7x + 0 x ou x ± 5 7 ± 5 x ou x x, x 9, x, x Os pontos comuns às duas funções são: (, ), (, ), (, ) e ( 9,) Representando essas concusões graficamente: 9 Anaisando o gráfico concui-se que x 0x + x 5 para o intervao: x ou x 9 RESPOSTA: x M0 ou x 9 Na figura, a circunferência de centro 0 é tangente à reta CD no ponto D, o qua pertence à reta AO Aém disso, A e B são pontos da circunferência, AB e BC Nessas condições, determine a) a medida do segmento CD ; c) a área do triânguo AOB; b) o raio da circunferência; d) a área da região hachurada na figura 9

10 Figura- A reta CD tangente á circunferência no ponto D é perpendicuar ao segmento AD, diâmetro da circunferência O triânguo ABD é retânguo porque é inscrito numa semicircunferência BD é atura do triânguo retânguo ADC em reação à hipotenusa AC, ogo vae a reação: BD AB BC BD BD BD No triânguo retânguo ABD tem-se: tgα tgα 0 AB DC DC a) No triânguo retânguo ADC, sen0 DC AC 8 RESPOSTA: DC BD b) No triânguo retânguo ABD, sen0 AD Como AD é o AD AD diâmetro da circunferência, seu raio mede RESPOSTA: A medida do raio é Figura - c) Como AOB é um triânguo isóscees, AÔB 80 α 0 Então S AOB r r sen0 9 RESPOSTA: A área do triânguo AOB é 9 d) A área da região hachurada é: π S Ssetor de0 SAOB 9 π 9 ( π ) RESPOSTA: A área da região hachurada é ( ) π 0