Unidade 8 - Trigonometria no Triângulo Retângulo. Trigonometria História Triângulo retângulo Teorema de Pitágoras Teorema de Tales

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1 Unidade 8 - Trigonometria no Triânguo Retânguo Trigonometria História Triânguo retânguo Teorema de Pitágoras Teorema de Taes

2 História O significado etimoógico da paavra trigonometria vem do grego e resuta em três paavras: Tri três Gonos ânguo Metrein medir Sugere então que a paavra Trigonometria significa medida dos ânguos do triânguo. Leitura do texto de introdução

3 História

4 História

5 Triânguo Retânguo Conceito Triânguo retânguo é todo triânguo que apresenta um ânguo reto, ou seja, um ânguo de 90º. Na figura abaixo, podemos observar um triânguo retânguo em Â: O ado BC, oposto ao ânguo reto Â, é chamado de hipotenusa e os ados AB e AC são chamados de catetos do triânguo retânguo. Uma reação matemática importante afirma que, em quaquer triânguo, a soma dos ânguos internos é sempre igua a 180º.

6 Triânguo Retânguo Como num triânguo retânguo um dos ânguos é reto, a soma dos outros dois ânguos agudos B e C é sempre 90º: B + C 90º Quando a soma de dois ânguos é igua a 90º, dizemos que esses ânguos são compementares.

7 Teorema de Pitágoras O Teorema de Pitágoras é um dos mais importantes resutados da Matemática, apresentando diversas apicações na Geometria e na Física. Enunciado na Grécia Antiga, sua descoberta foi, historicamente, atribuída ao extraordinário geômetra grego Pitágoras de Samos ( aC). Conceito Em todo triânguo retânguo, o quadrado da medida da hipotenusa é igua à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

8 Teorema de Pitágoras a b + c a hipotenusa b cateto c cateto

9 Teorema de Pitágoras - apicações temos : no triânguo HBC, o Teorema de Pitágoras apicando medida de quaquer ado, a Sendo h h h h h h + Portanto, para cacuar atura do triânguo isóscees, basta utiizar a equação h

10 Teorema de Pitágoras - apicações Sendo a medida de quaquer ado, apicando o Teorema de Pitágoras no triânguo ABC, temos : d + d d d d Portanto, para cacuar diagona do quadrado, basta utiizar a equação d

11 Teorema de Taes O geômetra grego Taes de Mieto deixou importantes contribuições para Geometria Pana. Vamos revisar um dos seus mais conhecidos teoremas. Consideremos um feixe de retas paraeas, r, s e t, cortadas por duas transversais, u e v, aeatoriamente traçadas:

12 Teorema de Taes Vamos traçar peos pontos A e B as retas v 1 e v, paraeas à reta v, destacando os pontos E, F e F : A a B b C F u a E b F D v E F a b r s t a a' Portanto b b' a+ b a' + b' v v 1

13 Teorema de Taes - apicação Essa parte do mapa da cidade pode ser Representada da seguinte maneira: Utiizando o Teorema de Taes, podemos escrever : 10 x 108 z y 75 w

14 Teorema de Taes - apicação w z y x : escrever podemos Taes, de o Teorema Utiizando m x x x x : temos, proporções as izando particuar Então, m y y y y m z z z z m w w w w

15 Resoução de atividades Página 5 e 6

16 Unidade 8 - Trigonometria no Triânguo Retânguo Reações Trigonométricas Cácuo de Seno, Cosseno e Tangente de ânguos notáveis Construção da tabea trigonométrica Reações entre seno, cosseno e tangente

17 1. Razões trigonométricas Sen a cateto oposto hipotenusa Cos a cateto adjacente hipotenusa tan a cateto oposto cateto adjacente Cateto oposto hipotenusa a Cateto adjacente

18 Determinação de distâncias inacessíveis A Descoagem do Avião Resoução: Determinar a distância (d) percorrida na horizonta, e a atura (a) atingida peo avião 5 segundos após a descoagem. Anaisando o esquema acima (triânguo retânguo) indica: O que é dado: ânguo 0 o hipotenusa 400 m O que queres saber: 1. A distancia percorrida na horizonta (d). A atura atingida (a)

19 1. A distancia percorrida da horizonta (d) Cácuo do cateto adjacente (d) Co-seno cos 0 o comprimento do cateto adjacente ao ânguo comprimento da hipotenusa d 0, d 0, d 76m 0 o

20 . A atura atingida (a) Cácuo do cateto oposto (a) Qua a razão trigonométrica que reaciona o cateto oposto com a hipotenusa? seno sen0 o comprimento do cateto oposto ao ânguo comprimento da hipotenusa a 0,4 400 a 0,4 400 a 16m 0 o

21 . Resoução de probemas usando a trigonometria 10º x seno 80 cm O que é dado: Cateto oposto ânguo 10º O que queres saber: hipotenusa Qua a razão trigonométrica que reaciona o cateto oposto com a hipotenusa? 10º sen10º comprimentodocatetoopostoaoânguo comprimento da hipotenusa sen º 0,174 x x 459, cm x x 0, cm X 4,6 m

22 Resove o seguinte triânguo retânguo A 4 cm B 7 cm x AB 4cm AC 7cm C Determinar os ânguos desconhecidos: ABC ˆ 90º 4 senx senx 0,571 7 CAB ˆ 180º-5º-90º55º Determinar o ado desconhecido: X 5º BC cos 5º BC cos 5º.7 BC 0,819.7 BC 7 5,7cm

23 Para você fazer p. 7 co couna c senθ sen50º h estrutura 8 c 0,77 c 0,77.8 c 6,6m 8

24 Para você fazer p. 8 : ca afastamento cosθ cosθ : h escada 4 cosθ 1 cosθ 0,5 θ 60º

25 Para você fazer p. 9 co atura tgθ tg45º ca distância a 0.1 a 0m atura do prédio 0m + 1 m (pessoa) a 0 m

26 Cácuo de seno, cosseno e tangente de ânguos agudos notáveis Atuamente, a maioria das cacuadoras dispõe de funções para cácuo de vaores de seno, cosseno e tangente para ânguos entre 0º e 60º. Entretanto, nas reações geométricas, os ânguos 0º, 45º e 60º se destacam em reação aos demais, pois são muito utiizados. Por essa razão, são denominados de ânguos notáveis.

27 Seno, cosseno e tangente de 0º Utiizando um triânguo equiátero, temos: h. 1. 0º cos 0º 1 sen 0º h tg h

28 Seno, cosseno e tangente de 60º h. 60º 1 1. cos 60º 1. sen 60º temos : Apicando os conceitos estudados no triânguo ABC, h tg h

29 Seno, cosseno e tangente de 60º Essas razões podem ser obtidas utiizandose um quadrado Apicando os conceitos estudados no triânguo ABC, temos : sen 45º d 1. cos 45º d 1. d tg45º 1

30 Construção da Tabea Trigonométrica 0º 45º 60º sen cos tg 1 1 1

31 Reação entre as razões trigonométricas do mesmo ânguo C b B a c Dado o triânguo [ABC], sabemos por definição que: α A senα b c a cosα tgα c b a Vamos cacuar o seguinte quociente: senα b c cosα c a b a Concusão: senα tg α cosα

32 Reação entre o seno e o co-seno do mesmo ânguo Considerando novamente o triânguo retânguo anterior, vamos utiizar o Teorema de Pitágoras para obter outra reação importante: c a + b C b B a c α sen α+ cos α 1 Fórmua fundamenta da trigonometria A dividindoc c a b a b c c c c c b Mas, considerando que sen α e cosα c então a iguadade anterior corresponde a : 1 a + b por c comc 0, temos : ( cosα) + ( sen α) sen α+ cos α 1 a c,

33 Exercício Seja senα 0,6 e α um ânguo agudo, determina tgα. Resoução: Determinação do co-seno sen α+ cos α 1 0,6 + cos α 1 cos α 1 0,6 cos α 0,64 cos α ± 0,64 cos α ±0,8 Como cosαépositivo, vem cos α 0,8 Determinação da tangente Sabemos que: senα 0,6 Então: cos α 0,8 senα 0,6 tg α 0, 75 cos α 0,8 Resposta: tgα0,75

34 Reação entre o seno e o co-seno do mesmo ânguo No triânguo, o cateto b é oposto em reação a α e adjacente a β. Da mesma forma, o cateto a é oposto em reação ao β e adjacente em reação α C b B β a c α A b a Por isso, sen α cosβ e sen β cosα c c Isso ocorre sempre que os ânguosα eβ são companares, ou seja, α +β 90º. De forma gera, comoα eβ são ânguos compementares eβ 90º -α, temos : sen α cosβ sen α cos sen α cosβ sen α cos sen β cosα cosα sen ( 90º -α) ( 90º -α) ( 90º -α)

35 Resoução de atividades Página 1 Nota ivre vestibuares p. 1

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