Versão Online ISBN Cadernos PDE VOLUME II. O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE Produção Didático-Pedagógica

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1 Versão Onine ISBN Cadernos PDE VOLUME II O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE Produção Didático-Pedagógica 008

2 SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUACIONAL JOSÉ MARIO LEITE CADERNO PEDAGÓGICO MATERIAIS MANIPULÁVEIS PARA O ENSINO DE GEOMETRIA ESPACIAL CURITIBA 008

3 JOSÉ MARIO LEITE CADERNO PEDAGÓGICO MATERIAS DIDÁTICOS MANIPULÁVEIS NO ENSINO DE GEOMETRIA ESPACIAL Materia apresentado como requisito parcia ao Programa de Desenvovimento Educaciona do Paraná PDE 008 da área de Matemática. Orientador: Prof. MS. Antônio Amicar Levandoski CURITIBA 008

4 1- INTRODUÇÃO O desenvovimento da percepção espacia e sua compreensão concreta são características fundamentais e necessárias para o víncuo entre teoria e prática. Com essas características, estará manifestando significativo caminho do espaço ao pano, do agoritmo à constatação visua, estreitando o distanciamento entre o prescrito e o experienciado, estabeecendo conexões entre a ágebra e o concreto. Baseada na reaidade do auno e em textos torna-se necessário reacionar a geometria escoar às suas atividades concretas, pois isso contribuirá com um ensino e uma aprendizagem significativa. Para que possam agregar, enriquecer e contribuir para o desenvovimento do educando e dar suporte aos professores da rede púbica estadua, no presente caderno buscou-se demonstrar a operacionaização e eficiência do uso de materiais manipuáveis no ensino de Geometria, dando ênfase ao geopano quadrado, geopano circuar e geopano espacia, buscando sempre comprovar dados agébricos através da experimentação e visuaização bem como a dedução de fórmuas.

5 - ESTRATÉGIAS DE AÇÃO: Produzir atividades que visam fornecer ao professor parâmetros para que ee possa agregar em suas estratégias de trabaho, de forma a garantir a participação produtiva dos aunos, permitindo que transformem e desenvovam habiidades de: observar (visuaização), abstrair (estruturação), comunicar (tradução) e de organizar (identificação e cassificação). Nas atividades, contempar-se-ão idéias que possibiitem, por meio da visuaização e manipuação de materiais concretos, compreender e interpretar geometricamente os conceitos e fórmuas, para que o auno tenha uma mehor percepção do mundo matemático

6 3 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA De acordo com as Diretrizes Curricuares de Matemática para a Educação Básica do estado do Paraná DCE (006), pesquisadores tornaramse também professores matemáticos, e passaram a se preocupar mais diretamente com as questões de ensino. Estes professores começaram a buscar fundamentação não somente nas teorias matemáticas, mas também em estudos pisicoógicos, fiosóficos e socioógicos. Era o início de um movimento de renovação do ensino da Matemática, que veio a ser conhecido como Movimento da Matemática Moderna. O Ensino Médio precisa desenvover o saber matemático, científico e tecnoógico como condição da cidadania, e não como prerrogativa de especiaistas, visto que a compreensão da Matemática é essencia para o cidadão agir como consumidor prudente ou tomar decisões em sua vida pessoa e profissiona. Assim, é preciso que o auno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma inguagem de comunicação de idéias e permite modear a reaidade e interpretá-a. Depois de anaisadas agumas pubicações, verifica-se que desde a infância, utiizam-se objetos para representar pequenos cácuos, conforme ocorre nas escoas de educação infanti, em que as crianças aprendem de uma forma údica, manipuando objetos e fazendo associações. Porém, com o passar do tempo, professores e aunos distanciam-se dos recursos manipuáveis, gerando muitas vezes ensino e aprendizagem sem grandes significados, pois não há associação entre a teoria e a prática.lorenzato (006, p. 18) utiiza o termo materia didático quando se refere aos materiais concretos, considerando quaquer instrumento úti ao processo de ensino aprendizagem. Utiizar MC ou Materiais Manipuáveis não é sinônimo de sucesso e de aprendizagem significativa, mesmo por que seu uso está associado à concepção que o professor tem a seu respeito e de que forma ee utiiza em saa de aua. Minha intenção, ao utiizar esse recurso, foi de intervir e auxiiar os aunos. Porém, quando se faa de intervenção em educação, referindo-nos a uma ação pedagógica que traga contribuições para que o educando encontre possibiidades de atingir um objetivo determinado, ou seja, uma aprendizagem

7 efetiva. Os Materiais Manipuáveis surgem em saa de aua, muitas vezes, nesses momentos de interferência, como um sava vidas da aprendizagem. Nesse sentido, tais recursos não podem ser apenas um experimento, uma tentativa de acerto, mas que sejam ações pensadas, panejadas, estudadas e inseridas com seriedade e com intencionaidade. (Moura, 1991). Para que Materiais Manipuáveis não sejam apenas um passatempo ou que caracterize atividade vazia, faz-se necessário a eaboração de um projeto, procurando fazer um estudo do artefato didático e propor atividades que atendam as necessidades dos aunos e que este exporem suas potenciaidades (Macedo, Petty e Passos, 000). Os Materiais Didáticos Manipuáveis propiciarão aos aunos: interação e sociaização na saa de aua; autonomia e segurança; criatividade; responsabiidade; motivação; compreensão de entes geométricos; efetiva assimiação do conteúdo. Vamos direcionar esse caderno pedagógico focando o geopano quadrado I e II, geopano circuar I e II e geopano espacia.

8 4 ATIVIDADES Atividade 1 Conteúdo : Área de figuras panas Recursos geopano quadrado I e ou geopano quadado II Fios de ã e ou eásticos cooridos. geopano quadrado I geopano quadrado II Ver anexos Considere a unidade de área (u.a.) o menor quadrado formado por quatro furos ou pregos e a unidade de comprimento (u.c.) a distância entre dois furos ou pregos na horizonta ou vertica. 1 Construir no geopano quadrado um quadrado de ado 5 u.c. Após a construção determine: a) sua área de modo experimenta; b) uma fórmua para faciitar o cácuo de sua área. Resoução: 1.a Construir o quadrado 5 u.c.

9 Podemos constatar que temos 5 quadradinhos, ogo temos 5 u.a. 1.b - Vamos Considerar agora que o quadrado do exercício anterior tem ado medindo, podemos então deduzir uma fórmua agébrica para cácuo de sua área. A =. A = Construir no geopano quadrado um retânguo de ado 5 u.c. por 8u.c. Após a construção determine: a) sua área de modo experimenta; b) uma fórmua para faciitar o cácuo de sua área. Resoução: a Construir o retânguo; Podemos constatar que temos 40 quadradinhos, ogo temos 40 u.a. b - gora consideremos que a base vae b e a atura h, podemos então deduzir uma fórmua agébrica para cácuo da área.

10 A = b. h 3 Construir no geopano quadrado um paraeogramo base 8 u.c. e 4u.c. de atura. Após a construção determine: a) sua área de modo experimenta; b) uma fórmua para faciitar o cácuo de sua área. Resoução 3.a Construir o paraeogramo; b - Construir dois retânguos usando os vértices aterais e a atura da figura; c - Temos então, dois retânguos semehantes que se formaram nos extremos, de dimensões x4 u.c, 8 u.a, sendo que a metade está inserida no paraeogramo e no retânguo centra temos 6 x 4 = 4 u.a Logo A paraeogramo = A paraeogramo = 3 u.a 3.b - Imagine agora a figura com as seguintes dimensões:

11 Temos que a área da figura é: A =. b.h + (B-b).h A = bh + Bh BH A paraeogramo = BH 4 Construir no geopano quadrado um triânguo quaquer de base 8 u.c. e atura 5u.c. Após a construção determine: a) sua área de modo experimenta; b) uma fórmua para faciitar o cácuo de sua área. Resoução 4.a - Construindo o triânguo; b - Construa um retânguo usando a atura e 1 base do triânguo Note que se formou um retânguo de 4 x 5 u.m; então uma área de 0 u.a, sendo que a metade (10) estão inseridas no triânguo. Logo, A triânguo = x 10 = 0 u.a

12 4.b - Agora anaisemos a mesma figura, porém a base vae b e a atura vae h. Note que temos então, dois triânguos retânguos A = b xh A = bxh A = b.h A = 8x5 A = 0 u.a. 5 Construir no geopano quadrado um trapézio retânguo de base maior 10 u.c., base menor 6u.c. e e atura 7 u.c. Após a construção determine: a) sua área de modo experimenta; b) uma fórmua para faciitar o cácuo de sua área. Resoução 5a - construir o trapézio retânguo; b - Construir um retânguo usando os vértices direito do trapézio. Do retânguo que se formou à esquerda, temos 6x7 u.c e do retânguo que está à direita temos 4x7 u.m, sendo que a metade pertence ao trapézio. Então A = 6 x 7 + 4x7 A = A trapézio = 56 u.a.

13 5. b - No trapézio ABCD, considere o ado AB= 10 unidades, como B, o ado CD = 6 unidades como b e a atura = 7 unidades como h, podemos então deduzir o, a fórmua agébrica para o cácuo de área. ( B b). h A = b.h + A = b.h + Bh bh A = bh + Bh bh A = bh + Bh ( b + B). h A trapézio = 6- Construir no geopano quadrado um trapézio que não seja retânguo, de base maior B = 10 u.c., base menor b = 4 u.c. e atura h = 7 u.c. Atenção A base menor de iniciar u.c. a partir do vértice da base maior. Determine sua área: a) por experimentação, b) usando a fórmua. Resoução: 6.a Construir o trapézio de acordo com as orientações; b - Construa dois retânguos em azu nos dois ados do trapézio, usando seus vértices. Agora temos três retânguos, um centra, com 8 quadrados internos, o da direita, também com 8 quadrados, sendo que fazem parte do trapézio, a metade, 14 quadrados e o da esquerda, um retânguo com 14 quadrados inseridos, sendo 7 pertencentes ao trapézio.

14 S = S trapézio = 49 u.a. 6.b - B = 10 u.c b = 4 u.c h = 7 u.c S = ( ).7 S = 14.7 S = 7. 7 S trapézio = 49 u.a. 7 Construir no geopano quadrado um osango de diagona maior 10 u.c. e diagona menor, 6 u.c. Após a construção determine: a) sua área de modo experimenta; b) uma fórmua para faciitar o cácuo de sua área. Resoução: 7a - Construa o osango b- Construa então um retânguo usando a metade da diagona menor e metade da diagona e a maior. Forma-se então um retânguo de 3 x 5= 15 unidades de área, sendo que a metade, 7,5 pertence ao osango. Então 7,5 x 4 = 30 unidades de área. S osango = 30 u.a.

15 7b- Considere a diagona maior como D e a diagona menor como d. Podemos deduzir a fórmua agébrica para cácuo de área. S triânguo = d D x S = d.d 1 x 4 S = d.d 8 S osango = 4 d.d 8 d.d A osango=, comprovando a fórmua: A osango = 6x10 A osango = 60 A osango = 30 u.a. 8 Construir no geopano quadrado um trianguo eqüiátero de ado 6 u.c. por Após a construção determine: a) sua área de modo experimenta; b) uma fórmua para faciitar o cácuo de sua área. Resoução 8a construir o triânguo b construa um retânguo usando 1 base do triânguo e sua atura;.

16 Temos então um retânguo de 3x5 = 15 u.a, das quais a metade, 7,5 pertence ao triânguo. S= x 7.5 = 15 u.a A triânguo = 15 u.a. 8b- Já sabemos que a atura de um triânguo eqüiátero é h = temos 3, então, A = x 3 3 A= 4 x 1 A = 3 8 A = A= A = 4 4 A= 9 3 A = 9 x 1,73 A triânguo = 15,57 u.a A diferença é por usar 3 = 1,73 9 Construir no geopano quadrado um hexágono de ado 6 u.c. Após a construção determine: a) sua área de modo experimenta; b) uma fórmua para faciitar o cácuo de sua área. Resoução: 9.a - Construindo o hexágono

17 Para esse exercício, trabahamos com a decomposição do hexágono em outros sóidos. O hexágono formado por dois trapézios. Reveja o exercício número 6. Forma um retânguo centra de 6x5 u.c; Formam dois retânguos nos extremos de 3x5 u.c, sendo que a metade pertence ao trapézio (hexágono). Então a área do trapézio é A= 30 u.a + 15 u.a A = 45 u.a para cada trapézio. A h = 45 x A hexágono = 90 u.a O hexágono formado por 3 osangos Rever exercício número 7 sobre osangos; quando formamos os retânguo de d 6 dimensões b = b= b = 3 u.c.

18 h = D 10 h = h = 5 u.c Temos que A = 3x5 A = 7,5 u.a A = 4 x 7,5 S osango =30 u.a. A h = 3 x A osango A h = 3 x 30 A hexágono = 90 u.a. Um hexágono é formado por 6 triânguos eqüiáteros. Um triânguo eqüiátero é A = 3, 4 6. A = A = 3 A = A= A = A hexágono = 54 3 u.a. A hexágono = 93.4 u.a A diferença é por usar 3 = 1,73 Atividade Comprovação experimenta do Teorema de Pitágoras usando geopano quadrado. A soma dos quadrados dos catetos é igua ao quadrado da hipotenusa. a = b + c Recursos: Geopano quadrado I e ou geopano quadrado II Lãs e eou eásticos cooridos 1- Construa no geopano um triânguo retânguo usando ã de sua preferência, de catetos 3 e 4 u.c. (unidade de comprimento), sendo que a unidade de comprimento será a distância entre dois furos consecutivos. Resoução: Vamos construir um trianguo com os catetos medindo 3 e 4 u.c.

19 Usando a fórmua agébrica do Teorema de Pitágoras determine a sua hipotenusa. Resoução: a = b + c a = a = a = 5 a = 5 u.c. 3 Comprove agora o teorema de Pitágoras de modo experimenta: Resoução: Para essa experimentação, construa um quadrado ao ado do cateto menor de ado 3 u.c. Qua é a área desse quadrado? A área desse quadrado mede 9 u.a (unidades de áreas) Ao ado do outro cateto construa um quadrado de 4 u.c.; Qua é a área desse quadrado? A área desse quadrado é 16 u.a (unidades de áreas) Somando as duas áreas temos: 5 u.a (unidades de áreas). Então para provar-mos experimentamente devemos cacuar a área do quadrado de hipotenusa e encontrarmos 5 u. a.

20 Sobre a hipotenusa, construa um quadrado. Note que esse quadrado fica na diagona do geopano, dificutando assim, a comprovação do teorema. Para ta comprovação, usaremos de aguns artifícios: Proongue o cateto menor até o se ainhar com o vértice superior esquerdo do quadrado da hipotenusa (cor verde); forme um retânguo de 3x4 unidades de medidas. Proongue o cateto maior da mesma forma, ainhando com o vértice do quadrado da hipotenusa; Construa um outro retânguo tendo como base o cateto maior e atura o cateto menor;

21 Construa por fim, outro retânguo que tem como diagona o ado superior do quadrado da hipotenusa. Para provar o teorema temos que comprovar a existência de 5 quadrados no quadrado da hipotenusa. Cada retânguo (verde) tem como base 3 x 4 unidades, ogo 1 unidades quadradas, sendo que a metade, 6 quadrados, pertencem ao quadrado da hipotenusa. Como temos 4 retânguos, são 6 x 4 = 4; Podemos observar que no centro dos retânguos verdes formou-se um quadradinho isoado que somando-se aos 4 comprovam os Construa um triânguo de ados 6 u.c.; 8 u.c. e 10 u.c. a) Prove experimentamente que é um triânguo retânguo. Resoução: a Depois de construídos os quadrados dos catetos e da hipotenusa, proongue o cateto menor até o se ainhar com o vértice superior esquerdo do quadrado da hipotenusa; forme um retânguo de 6x8 unidades de medidas.; b- segue-se o mesmo processo do exercício anterior até que se fechem os 4 retânguos, então, no centro entre ees, formam-se 4 quadradinhos isoados.

22 Para provar que o triânguo é retânguo, basta comprovar peo teorema a existência de 100 quadradinhos no quadrado da hipotenusa. Cada retânguo (azu escuro) tem 6 x 8 unidades de comprimento, ogo 48 unidades quadradas, sendo que a metade, 4 quadrados, pertencem ao quadrado da hipotenusa. Como temos 4 retânguos, são 4 x 4 = 96; então quadradinhos centrais e isoados comprovam os Apicando o teorema de Pitágoras no triânguo retânguo deduzir a fórmua da diagona em função do ado. Resoução: Construir um quadrado de ado igua a 5 u.c. e depois trace sua diagona. Considerando o ado de 5 u.c. como e apicando o teorema de Pitágoras temos: d = + d = d = d = 6 - Apicando o teorema de Pitágoras no triânguo retânguo deduzir a fórmua da atura do triânguo eqüiátero em função do ado. Resoução: Construir um triânguo eqüiátero de ado 6 u.c. e marcar a sua atura Considerando o ado de 6 u.c. como e a atura com h e apicando o teorema de Pitágoras temos:

23 = ( ) + h 4 + h = = - 4 h = 4 4 h = 3 4 h = 3 4 h = 3. Atividade 3 Poígonos inscritos e circunscritos Recursos: geopano circuar I. (ver anexos) geopano circuar II Eásticos e ou fios de ã cooridos. 1 Construir um triânguo eqüiátero inscrito na circunferência de raio maior e circunscrito na circunferência de raio menor. L 3 = ado do triânguo m = apótema do triânguo Deduzir as reações: r a) 3 = r 3 b) m = Resoução a - Construir as duas circunferências concêntricas b - Construir o triânguo eqüiátero inscrito na circunferência de raio maior e circunscrito na circunferência de raio menor;

24 c - Considere o raio da menor circunferência (apótema do triânguo) (m), o raio da maior circunferência (R) e a metade do ato do triânguo ( ), através da reação entre o ado do triânguo e os raios, deduza a fórmua para o cácuo do apótema do triânguo e de seu ado; No geopano acima, as circunferências são divididas em 4 arcos e a distância entre dois pregos forma com um arco com um ânguo centra de Temos um ânguo reto formado por m e, o ânguo agudo formado por m e o R consta de 4 pregos vezes 15 0 = Então = 30 0 é o ânguo agudo formado por e R. a) sen 30 0 = R m 1 = m R.m = 1.R m = R b) Cós 30 0 = R 3 = R x = R 3 = R 3 Construir um quadrado inscrito na circunferência de raio maior e circunscrito na circunferência de raio menor. 4 = ado do quadrado m 4 = apótema do quadrado Deduzir as reações:

25 a) 4 = r b) m 4 = Recursos: geopano circuar II. (4 circunfências concêntricas) eásticos e ou fios de ã cooridos. a Construir o quadrado inscrito e circunscrito às circunferências; b Construir o apótema do quadrado e construir o raio da circunferência maior; Aqui fica nítido que dois ados consecutivos de um quadrado (vermeho) formam um ânguo reto, ogo a metade é um ânguo de c - Considere o raio da menor circunferência (apótema do quadrado) (m), o raio da maior circunferência (R) e a metade do ato do quadrado ( ), através da reação entre o ado do triânguo e os raios, deduza a fórmua para o cácuo do apótema do quadrado e de seu ado; a) sen = 45 0 = R m b) cos 45 0 = R m = R = R m = R = R

26 m= R 4 = R, então, m= 3 Construir um hexágono inscrito na circunferência de raio maior e circunscrito na circunferência de raio menor. L 6 = ado do hexágono Deduzir as reações: Recursos: m 6 = apótema do hexágono a - 6 = r b m 6 = geopano circuar II. (4 circunfências concêntricas) Eásticos e ou fios de ã cooridos. R 3 3.a Construir o hexágono inscrito e circunscrito às circunferências; b Construir o apótema do hexágono e o raio da circunferência maior; Aqui as circunferências são divididas em 1 arcos congruente de 30 0, ogo o ânguo agudo formado por m e R é de 30 0, então o outro ânguo agudo tem que ser de a) Sen 60 0 = R m m = 3 R m = R 3 b) cos 60 0 = R 1 = R R = L

27 Atividade 4 Conteúdo Geometria Espacia Pirâmides Recursos Geopano quadrado ou geopano espacia 1- Construa uma pirâmide de base quadrada com 1 u.c. de aresta da base e 5 cm de atura. Resoução a) Construir a base quadrada de 1 u.c. de aresta e o apótema da base; b) O apótema da base quadrada, como já vimos na unidade anteiror é indicado por m= 1 m = m = 6 u.c. c) Construa a atura que sai centro e vai até o vértice da pirâmide, h = 5 cm ( u.c.) e o apótema da pirâmide (g); O apótema da pirâmide é um segmento que sai do ponto médio de um ado até o vértice. É denominado por (g) Perceba que formou-se um triânguo retânguo com o apótema da base (m), o apótema da pirâmide (g) e a atura (h)

28 g = m + h g = g = g = 661 g 5,7 u.c. d) Construa agora as arestas da pirâmide, novamente formou-se um triânguo retânguo usando o raio, a atura e a aresta (a). a = r + h a = a = a = 746 a 7.31 u.c Cacuar a área tota significa somar todas as áreas. Uma base quadrada e 4 faces trianguares formadas por b = 1 u.c, g 5,7 u.c. A base = A base = 1 A b = 144 u.a. A face = bxh A face = 1x5,7 A face = 308,4 A f 154, u.a A tota = 4 x A A face A t = 4 x 154, A t 616,8 u.a. Voume = S b xh 144x5 V 3 3 V = V = 100 Anexos Anexo 1 Geopano quadrado I Tabueiro de chapa de madeira perfurada, formato quadrado, medindo 30cmx30cm.

29 Geopano quadrado II MATERIAIS Um quadrado de madeira MDF, medindo: 30cm 30cm 9mm; Pregos sem cabeça Marteo Régua Lápis Borracha Fios de ã cooridos; diversas cores e comprimentos; Lixa fina; Seador para madeira: 1/8 de itro; Tinta esmate sintético: 1/8 de itro; INSTRUÇÕES Recorte uma chapa de madeira em quadrados 30cmx30cm; Prepare a chapa de madeira, usando uma ixa fina; Passe o seador de madeira, após a secagem pinte da cor de sua preferência. Divida a madeira como se fosse um tabueiro de xadrez. ( cm ) Cooque um prego em cada intersecção

30 APLICAÇÕES Estudo do Ponto: auxiia na visuaização e cassificação de pontos coineares, não coineares, mas copanar ou não copanar; Estudo de Retas: auxiia na visuaização e cassificação de retas paraeas, concorrentes, perpendicuares, reversas ou ortogonais; Estudo do Pano: auxiia na visuaização e cassificação de panos paraeos ou secantes; Estudo de ânguos: montagem, cassificação e resoução de probemas; Estudo de triânguos: montagem, cassificação e resoução de probemas; Estudo dos quadriáteros: montagem, cassificação e probemas; resoução de Estudo do teorema de Taes: montagem, demonstração e resoução de probemas; Estudo da semehança em triânguo e poígonos: montagem, demonstração e resoução de probemas; Estudo do triânguo retânguo: montagem, demonstrações das métricas e resoução de probemas de medida; reações Estudo das razões trigonométricas no triânguo retânguo: montagem, demonstrações das razões trigonométricas e resoução de probemas; Estudo das figuras geométricas panas: montagem, cassificação e cácuo de áreas; No estudo da geometria anaítica: auxiia a montagem, visuaização do sistema de coordenadas cartesianas e nas demonstrações de fórmuas, tais como: distância entre dois pontos, ponto médio, ainhamento de três pontos, equações da reta, distância entre ponto e reta, equação da bissetriz de um ânguo formado por duas retas, cácuo de áreas de triânguos e poígonos dados os pontos do vértice e resoução de probemas. Anexo Geopano circuar I (duas circunferências concêntricas)

31 Tabueiro de madeira MDF, medindo 30cmx30cm, contendo 49 pinos de madeira, prego ou rebite, distribuídos sobre duas circunferências concêntricas, divididas em 4 arcos congruentes. (sugestão r 1 = 7 u.c. r = 14 u.c.) Marque o centro O da madeira, traçando as diagonais; Desenhe uma circunferência com centro em O raio 7 cm; Desenha outra uma circunferência, concêntrica a primeira e raio de 14 cm; Divida as circunferências em 4 arcos congruentes; Se preferir use pregos (sem cabeça) de 1 x1 ou menor e marteo ou Faça um furo com quatro mm de diâmetro, em cada ponto marcado, sem traspassar a madeira caso você use pinos de madeira; Cooque um pino de madeira, em cada furo; Passe o seador de madeira, após a secagem pinte da cor que você achar mehor. Eásticos cooridos, diversos tamanhos e cores; Lã para tricô, diversos tamanhos e cores; Anexo 3 Geopano circuar II. (4 circunfências concêntricas) Tabueiro de madeira MDF, 30cmx30cm,

32 Marque o centro O da madeira; Desenhe quatro circunferências concêntricas, a primeira de raio 14cm e centro em O. As três outras com raios diferentes; sendo os raios os apótemas do hexágono reguar, do quadrado e do triânguo eqüiátero inscritos na primeira; Divida as circunferências em 1 arcos congruentes; Faça um furo com quatro mm de diâmetro, em cada ponto marcado ou use pregos e marteo, sem traspassar a madeira; Cooque um pino de madeira, em cada furo; Passe o seador de madeira, após a secagem pinte da cor de sua preferência. APLICAÇÕES 1. Estudo de ânguos: montagem, cassificação e resoução de probemas;. Estudo de triânguos: montagem, cassificação e resoução de probemas; 3. Estudo dos quadriáteros: montagem, cassificação e resoução de probemas; 4. Estudo dos poígonos reguares inscritos e circunscritos em uma circunferência: montagem, demonstração das reações métricas e resoução de probemas; 5. Estudo da circunferência: montagem, demonstrações das reações métricas, resoução de probemas; 6. Estudo do teorema de Taes: montagem, demonstração e resoução de probemas; 7. Estudo da semehança em triânguo e poígonos: montagem, demonstração e resoução de probemas; 8. Estudo do triânguo retânguo: montagem, demonstrações das reações métricas e resoução de probemas de medida;

33 9. Estudo das razões trigonométricas no triânguo retânguo: montagem, demonstrações das razões trigonométricas e resoução de probemas; 10. Estudo das figuras geométricas panas: montagem, cassificação e cácuo de áreas; 11. Estudo da Função Seno, Função Cosseno e Função Tangente: auxiia na construção de tabeas e gráficos; 1. No estudo da Redução ao Primeiro Quadrante; mostra a redução ao primeiro quadrante, dos arcos notáveis, sem uso de fórmuas. Anexo 4 Geopano espacia MATERIAIS: Dois geopanos quadrados de 0cmx0cmx3mm; Quatro hastes de madeira 10x10x10mm; Oito parafusos ou pregos Fios de ã cooridos; Eásticos cooridos. INSTRUÇÕES Prepare os dois geopanos; Prepare as quatro hastes e fixe-as aos geopanos; Passe o seador de madeira; Pinte a madeira na cor de sua preferência.

34 APLICAÇÕES: Os dois geopanos quadrados II dão uma idéia dos panos que contêm as bases e vértices de um poígono, fixos por quatro hastes paraeas. Os furos dão idéia de pontos e vértices. Usamos ãs cooridas para representar as retas suportes das arestas. Neste materia os sóidos geométricos são montados segundo suas estruturas ineares (arestas, apótemas, raios, etc.) faciitando a visuaização. Após terem estudado as reações entre os eementos das bases, agora introduzindo o pano paraeo, podemos estudar as reações entre as arestas aterais e apótemas, faciitando assim a resoução de probemas de áreas e de voume nos poiedros.