Leandro Lima Rasmussen

Transcrição

1 Resoução da ista de eercícios de Resistência dos Materiais Eercício 1) Leandro Lima Rasmussen No intuito de soucionar o probema, deve ser feita a superposição de casos: Um, considerando a chapa BC como sendo rígida e cacuando a fecha em C a partir da tangente do ânguo que a reta BC fará com a estrutura mutipicado pea distância horizonta L/. Outro, considerando a chapa AB como sendo rígida e cacuando a fecha em C pea tabea das equações de inha eástica. E o útimo caso, tomando-se, novamente, a chapa BC como rígida e verificando o desníve que será provocado peo momento no apoio móve cacuando a tangente do ânguo formado mutipicado por L/. Os casos a serem somados se encontram esquematizados ogo abaio: Para o primeiro caso, o que interessa é o vaor da tangente do ânguo que será formado pea deformação da estrutura no apoio móve. Para obtê-o, deriva-se a equação da inha eástica: v = p$ 2$E$Iz $ K2$ C -Equação da inha eástica- Derivando-a, chega-se na função da incinação:

2 v v p$ 2$E$Iz $ K2$ C = 1 2 p 1 K 6 2 C Apicando-a, chega-se que a fecha do ponto C será: K 1 p 2 $ = K 1 p 96 OBS: o sina de negativo acima serve para definir que o desocamento vertica positivo é, na verdade, aquee que ocorre com o sentido descendente. Continuando com o segundo caso, obtemos da tabea diretamente a seguinte função para a fecha em C: f = p$ 8$E$Iz Já o terceiro caso, de novo, o que interessa é o vaor da tangente do ânguo formado. Então, vamos derivar a função da inha eástica: v v M$ 2 6$E$Iz $ 2$ K$ 2 C = 1 6 M 2 2 K 6 2 C 2 Com = 0 e mutipicando a resposta por L/, atingimos o vaor da fecha provocada em C: f = p$ $ 8 $ 2 E$Iz $ 1 6 $ 2 $ = 1 8 p Para finaizar, basta somar as fechas obtidas acima para se obter a fecha rea no ponto C: p$ 8$E$Iz K 1 96 p C 1 8 p = K p Eercício 2) Letra a) Esta fecha pode ser diretamente obtida da tabea de eásticas para vigas. Já que, os esforços na estrutura podem ser anaisados como equivaentes aos de uma viga bi-apoiada com um momento apicado em um dos apoios. M$ 2 ; Como, no presente caso, é igua a 2a, então, tem- 9$ $E$Iz A equação da fecha fica sendo, então: se: fecha máima = Mc$$a2 9$ $E$Iz

3 Letra b) A fecha no ponto C pode ser obtida pea superposição dos 2 casos que seguem abaio: Para o primeiro caso, já eiste um equacionamento pronto para o cácuo da fecha na tabea de eásticas de vigas. Já no segundo, deve ser cacuado a tangente do ânguo de incinação seguido pea mutipicação do comprimento da chapa BC. Primeiro caso: Da tabea tem-se diretamente que: fecha = KM$2 /Com = a; 2$E$Iz Segundo caso: Primeiro, deriva-se para obter a tangente do ânguo e, depois, o mutipica peo comprimento da chapa BC. v v M$ 2 6$E$Iz $ 2$ K$ 2 C = 1 6 M 2 2 K 6 2 C 2 Apicando a equação acima para o cácuo do ânguo no apoio móve, temos: M 2 a a K 6$0 2 a 2 C $02 2 a = 2 M a 6 Acrescentando o sina de negativo (devido a convenção) e mutipicando por (a), chega-se na fecha procurada: K 2 M a $a

4 Concuindo, soma-se as 2 fechas obtidas para obter a fecha do caso proposto: Fecha no ponto C =K M$a2 2$E$Iz K 2 Eercício ) M a $a =K7 6 M a 2 Usando a tabea de inha eástica para vigas, obtemos a função da fecha para o engastamento onde está sendo apicada a força antes de o mesmo encostar na viga em baança abaio: f = P$ $E$Iz ; Então, por meio dea, e sabendo-se que a fecha deve ser de 0.5 cm, cacumos o vaor da força apicada para conseguir encostar a viga de cima na de baio. 0.5 = P$100 $2000$10 Resovendo para P P = 0 kn Assim, já se torna possíve desenhar a primeira reta do diagrama da fecha: Continuando, sabemos que a força apicada até então na viga acima eh de 0 kn. Então, zeremos este vaor (já que, a viga vai continuar a suportar esses 0 kn) e vamos considerar que, agora, vamos apicar uma força de 0 até 70 kn na viga acima. O que precisamos descobrir é como será dada a distribuição deste esforço nas 2 vigas. O que se tornará possíve ao montarmos o equacionamento de compatibidade no ponto onde ambas se encontram. Fecha de cima = fecha de baio = P$ 70 K P $ = $E$Iz $E$Iz P$ KP $200 = $2000$10 $2000$10 5 /P = kn Para finaizar, basta somar este esforço P, que é passado para a viga de cima, com o que já vinha sendo apicado antes e cacuar a fecha tota da viga: C0 $100 fecha fina = $2000$10 = cm O gráfico fina segue abaio:

5 Eercício ) Este eercício deve ser resovido pea superposição de 2 casos. O primeiro é o desocamento vertica do ponto A devido ao encurtamento da moa e o segundo é a fecha do ponto A devido à força apicada no centro da viga bi-apoiada. Para o primeiro caso, temos a fecha partir da equação da moa e de uma simpes regra de : F = k$ / Com F = 10 kn; e k = 5 kn cm ; Assim, =1 cm. Porém, no ponto A, o vaor rea é / do obtido no ponto de apicação da moa (chegouse a este vaor por meio de uma regra de ). Então, o desocamento vertica de A deve ser: $1 cm Continuando, para o segundo caso, da tabea de eásticas pode ser apicada o seguinte equacionamento para a fecha: fecha em A = 10$00 16$10 7 $ K $ = cm Para finaizar, façamos a sobreposição dos 2 casos, chegando-se no resutado fina. Fecha no Ponto A = C $1 = cm Não podendo se esquecer que, pea convenção, positivo significa um desocamento descendente. Eercício 5) Letra a) Para resover as forças nas barras, devemos apicar uma das equações da estática mais a condição de compatibiidade da estrutura em agum ponto da mesma. Aqui, será apicado a somatória dos momentos no ponto do apoio fio e a compatibiidade se dará no ponto de apicação da força vertica. Da estática, temos: > Momentos em A =0; F BD $200 CF CE $00 K20$200 = 0; Continuando, para a compatibiidade no ponto B, temos que fazer a superposição de 2 casos e iguaar

6 sua consequência com o aongamento da barra BD. Segue abaio esta superposição: F = 1 2 $ΔBarra CE ; F = PKF BD $L 8$E$Iz ; A compatibiidade fica sendo, então, dada peo seguinte equacionamento: F CE $100 1$E $ 1 2 C 20KF BD $00 8$2000$E = F BD $100 E$1 Juntamento com a primeira equação acima, podemos, agora, montar um sistema de 2 equações e 2 incógnitas e resover os vaores das forças nas barras. Após resovido o sistema, chega-se nos seguinte vaores: F BD = kn; F CE = kn; Letra b) Por regra de, sabemos que o aongamento da barra BD deve ser a metade do da barra CE. Desse fato, mais o uso dos princípios da estática, podemos cacuar os vaores das reações nas barras a partir do seguinte sistema: F CE $L 2$E$A = F BD $L E$A ; F BD $200 CF CE $00 K20$200 = 0; F BD $200 C2$ F BD $00 K20$200 = 0 Souções para F BD kn

7 $200 CF CE $00 K20$200 = 0 Souçoespara F CE 8 kn Eercício 6) Começando, usando o conceito de que a força apicada na barra deve ser repartida entre os dois sistemas estruturais a ea igado, podemos, com os métodos da estática, encontrar os diagramas de norma e força cortante: OBS: Nos diagramas que se seguem, K foi empregado para simboizar a porcetagem da força P que é dividida para cada ado da estrutura. Diagrama de Norma: Diagrama de Força Cortante:

8 Encontrados os diagramas, para resover a força podemos utiizar a já conhecida técnica de se cacuar a compatibiidade da estrutura em agum ponto. Vamos considerar o próprio ponto de apicação da força. Dessa forma, tanto o desocamento obtido pea estrutura da direita deve ser igua ao obtido pea da esquerda. Para o caso da direita, devemos sobrepor duas situações da tabea de inha eástica: Aongamento da barra + feão da viga em baanço: N$L E$A C P$L $E$Iz ; Cacuando: K$60$ $2 C K$60$00 $20000$2000 = 2 10 K Agora, para o caso da esquerda, teremos a soma dos efeitos de outros 2 casos: Feão da viga + desocamento do ponto de apicação da força devido ao giro provocado na chapa vertica engastada peo momento resutante: P$L $E$I C v M$L 2 v 2$E$Iz $ 1 K 2$ L C 2 $L; L =0 Cacuando: 1 KK $60$200 $20000$2000 C 1 2 $ K 1 KK $60$200$200 2 $ K C 2$ $2000 $200 = 1 KK Resovendo a compatibiidade, obtemos: 1 KK = 2 10 $K Resovendo para K Concuindo, apicando este K na primeira das equações, chegamos no desocamento do ponto que queremos: 0.0$60$ $2 C 0.0$60$00 $20000$2000 = cm para baio.